ED DE CIRCUITOS

7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS CIRCUITOS Y SU SOLUCIÓN

7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS CIRCUITOS Y SU

SOLUCIÓN...239

7.1 INTRODUCCIÓN. ...240

7.1.1 SOLUCIÓN NATURAL Ó DE ESTADO TRANSITORIO: ...243

7.1.2 SOLUCIÓN FORZADA:...244

7.2 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA RESPUESTA NATURAL Y DE LA RESPUESTA FORZADA...244

7.3 RESPUESTA NATURAL Y FORZADA DE CIRCUITOS SENCILLOS. ...248

7.4 NECESIDAD DE UN MÉTODO SISTEMÁTICO PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE LOS CIRCUITOS ...276

7.5 EJEMPLOS...277

7.5.1 EJEMPLO 1 ...277

7.5.2 EJEMPLO 2. ...282

7.1 INTRODUCCIÓN.

Figura 7.1.1.Ecuaciones diferenciales de los circuitos y su solución.

Con ayuda del circuito de la figura 7.1.1, repasaremos brevemente como planteamos las ecuaciones de los circuitos.

Primero que todo dividimos los elementos en dos categorías:

los activos, ó fuentes, en los cuales se conoce el voltaje, la corriente, ó ambas cantidades; y los pasivos, ó impedancias y fuentes controladas, en los que se establecen ecuaciones entre los voltajes y las corrientes.

En las fuentes (las no controladas) la característica esencial es que no se plantean ecuaciones propiamente dichas (a lo más, se establece una “asignación” del tipo V^a = 10 voltios, por ejemplo). Para el circuito de la figura 7.1.1, tendremos:

b b

a a

V V

V V

=

= Asignaciones de las fuentes

Entendiendo por Va y Vb voltajes conocidos, no incógnitas a determinar.

En las impedancias, en cambio, se plantean las ecuaciones en el mismo circuito.

V Z i V Z i V Z i V Z i V Z i

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

=

=

=

=

=

.

Ecuaciones en las impedancias

Ahora se plantean las ecuaciones de Kirchhoff:

Nodo N i i i

Nodo N i i i

1 1 2 3

2 2 3 1

→ = +

→ + = Son redundantes, como debemos saber

=

−

−

−

→

=

−

−

−

→

0 0

4 2 3 2

3 5 1 1

b a

V V V V M Malla

V V V V M Malla

No son redundantes, son independientes

Reemplazando las ecuaciones de “rama” y la de nodo en las de malla obtenemos:

( )

(

)

2 2 4 2 2 1 3

1 5 2 1 3 1 1

b a

V i Z i Z i i Z

i Z i i Z i Z V

Figura 7.1.2.Ecuaciones diferenciales de los circuitos y su solución.

corrientes de malla”, que cumplen automáticamente las ecuaciones de nodo de Kirchhoff, y plantear solo las ecuaciones de malla pero con los voltajes de rama reemplazados por las ecuaciones que los relacionan con las corrientes. Así mismo, existe el método de los “voltajes de nodo” (ver apéndice A) que utiliza como variables los voltajes en los nodos, que cumplen automáticamente las ecuaciones de malla. Solo se requiere, entonces, plantear las ecuaciones de nodo pero con las corrientes reemplazadas por las ecuaciones que las relacionan con los voltajes de nodo.

Volviendo a las dos últimas ecuaciones, vemos que podemos despejar una de las corrientes, digamos i²:

( )

( )

[ ]

V Z Z Z i Z i

i Z Z Z Z i V

a

a

= + + −

= + + −

1 3 5 1 3 2

2

3 1 3 5 1

1

Y reemplazarla en la otra ecuación:

( )

( )

0

1 3

5 3 4 1

2 3 1 3

2 4 2 3 1 3

=

− + −

+ + +

−

∴

=

− +

+

−

b a b

V V Z i

Z Z Z Z

Z Z i Z

V i Z Z Z i Z

( )( ) ( )

( )( )

[ ] ^{( )}

∴ − + + + +

= − + +

∴ − + + + + = − + +

Z Z Z Z Z Z Z

Z i V Z Z Z V

Z

Z Z Z Z Z Z Z i Z V Z Z Z V

b

a

b a

3

3 2 4 1 3 5

3 1

3 2 4

3 32

3 2 4 1 3 5 1 3 3 2 4

Ahora, recordemos que es una Z de las que aparecen en la ecuación anterior. Estas Zs son operadores lineales integro diferenciales de la forma:

Z L d

dt C dt R

K K

K t

= + 1 + K

0

Aunque podrían tener formas algo más complejas, para los fines que perseguimos aquí, bastará con la forma anterior, pero ¿cómo “opera” este operador?

Para verlo operar, apliquémoslo a una corriente, digamos:

i = 5t²

3 2

2 0

3 5 10 5

1 5

t t R

t C L i Z

t R C dt

dt L d i Z

K K

K K

K t

K K

K

+ +

=

∴

+ +

=

Al reemplazar estos operadores en la ecuación que obtuvimos del circuito, nos resulta una ecuación con integrales y diferenciales. Sin embargo, para resolver estas ecuaciones lo usual es reducirlas por diferenciaciones sucesivas a ecuaciones sólo diferenciales. El resultado final es una ecuación diferencial de la forma:

a d

dt i a d

dt i a d

dt a i h t

n n

n n

n

+ ₋₁ n⁻₋¹₁ + +... ₁ + ₀ = ( )

Donde las ak vienen de las Rs, las Ls y las Cs del circuito, y la h (t) es la parte correspondiente a las fuentes del circuito (Va

y Vb en el ejemplo). Ecuaciones de este tipo se llaman

“ecuaciones diferenciales de orden n”. La solución de cualquiera de estas ecuaciones consta de dos partes:

7.1.1 SOLUCIÓN NATURAL Ó DE ESTADO TRANSITORIO:

Es la corriente expresada como función del tiempo que satisface la ecuación:

a d

dt i a d

dt i a d dt a i

n n

n n

n

+ ₋₁ n⁻₋¹₁ + +... ₁ + ₀ =0

Ecuación que se obtiene igualando a cero la parte izquierda

7.1.2 SOLUCIÓN FORZADA:

Es una solución de la ecuación original:

a d

dt i a d

dt i a d

dt a i h t

n n

n n

n

+ ₋₁ n⁻₋¹₁ + +... ₁ + ₀ = ( )

El nombre de “forzada” es muy apropiado, pues esta solución tiene que acomodarse a la forma de las excitaciones ó fuentes del circuito, representadas por h (t). Llamaremos esta solución i_forzada( ).t

La solución completa de la ecuación (y por lo tanto del circuito), será:

i t( ) .= i_natural( ).t + i_forzada( ).t

A medida que resolvamos circuitos la naturaleza física de estas respuestas se irá volviendo transparente. Pero no sobran algunas explicaciones preliminares.

7.2 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA RESPUESTA NATURAL Y DE LA RESPUESTA FORZADA.

El sentido cabal y completo del significado de la respuesta natural y forzada lo adquiriremos a medida que resolvamos circuitos críticamente; pero podemos adelantar algunas ideas generales al respecto. Consideremos un resorte (Figura 7.2.1) unido a una pared rígida y situado sobre una superficie lisa.

Si se comprime ese resorte, dándole energía, y se libera después, vibrará “libremente”, tratando de disipar su energía almacenada, y no dejará de vibrar hasta que consiga disiparla por completo. Este funcionamiento “libre” es lo que llamaremos “respuesta natural” del resorte.

En cambio, tomando el extremo suelto del resorte con la mano, podemos obligarlo a moverse forzadamente en el tiempo, con movimientos distintos a sus vibraciones naturales (ver figura 7.2.2), por ejemplo, trazando dientes de

sierra en el tiempo. Este comportamiento será la respuesta

“forzada” del resorte al estímulo externo.

Figura 7.2.1.Interpretación física de la respuesta natural.

Figura 7.2.2.Interpretación física de la respuesta forzada.

Por lo anterior, vemos que la respuesta natural es la respuesta del sistema a energías almacenadas en sus elementos, las cuales tratan de disiparse, si pueden, ó repartirse entre los elementos, si pueden, para aumentar la entropía (el desorden) en el sistema. La respuesta forzada, como su nombre, excelentemente escogido, lo pregona, es la respuesta del sistema forzada, obligada, por un agente

derivadas continuas. Algunos sistemas electrónicos aparentemente generan funciones con cambios bruscos, como funciones triangulares por ejemplo, que tendrían discontinuidades en sus derivadas; pero una observación con algo mas de detalle, como se lograría usando un osciloscopio de mayor base de tiempo, rápidamente nos convence que esos cambios bruscos desaparecen, pues solo parecían como tales por ocurrir en tiempos pequeñísimos. Ahora, nosotros usamos unas fuentes de voltaje (en los condensadores) y unas fuentes de corriente (en las inductancias) para simular las energías almacenadas. Para ser rigurosos y consecuentes, debemos aceptar que estas fuentes son las que producen el comportamiento natural, pues representan las energías almacenadas. Por otra parte, un impulso, aunque sea una fuente aplicada, y sólo exista en un tiempo despreciable, es capaz de almacenar energía en los elementos capaces de almacenarla (usualmente inductancias y condensadores), y esa energía almacenada luego propicia el comportamiento natural. Por eso resulta que la respuesta a un impulso siempre contiene la respuesta natural. Para el caso del resorte un impulso sería algo así como un “papirotazo”, un golpe súbito, que lo comprimiera y luego lo soltara para que vibrara libremente. Las ecuaciones de los circuitos, entonces, toman la escritura más general:

Ecuación diferencial = Σ (fuentes internas)+

Σ (fuentes de energía interna)+ Σ (impulsos).

Y la respuesta natural puede obtenerse indistintamente de la ecuación diferencial igualada a cero, de la ecuación diferencial igualada a las fuentes que representan la energía almacenada, o de la ecuación diferencial igualada a un impulso luego de restar de la solución la respuesta impulsiva.

Estas posibilidades oscurecen un poco la interpretación sencilla y lógica que emana de las consideraciones físicas, de modo que la interpretación física debe primar sobre la matemática o meramente convencional.

El proceso de solución implica los siguientes pasos:

1. Encontrar la solución de:

Ecuación diferencial = 0

Lo cual nos da la “solución natural” (en matemáticas se llama

“función complementaria“, ó también “homogénea”). Esta solución resulta en términos de unos parámetros, cuyos valores se deben determinar después. Esta ecuación no debe tener limitaciones en t = 0 (saltos como la función paso, etc);

esto porque la ecuación está simplemente igualada a cero.

Esta solución natural también puede obtenerse de:

Ecuación diferencial = Σ (fuentes de energía interna), o de la ecuación:

Ecuación diferencial = Σ(impulsos)

La única diferencia es que la respuesta del último caso también contiene respuestas impulsivas que no hacen parte de la respuesta natural.

2. Encontrar una solución de :

Ecuación diferencial = Σ(fuentes externas) + + Σ(impulsos)

Esta solución “particular”, si tendrá los saltos bruscos en t = 0 y los impulsos a que den lugar esos saltos bruscos.

3. Por último, se sustituye la solución natural y la solución particular

(

)

Apliquemos este método a algunos casos sencillos.

7.3 RESPUESTA NATURAL Y FORZADA DE CIRCUITOS SENCILLOS.

a. Condensador cargado, “descargándose” a través de una resistencia.

Figura 7.3.1. Condensador cargado descargándose a través de una resistencia.

En la figura 7.3.1 describimos como hacemos evolucionar el circuito, no sólo para representar la energía almacenada (fuente Eo), sino para interpretar el cierre del interruptor como la función paso. La ecuación de malla del último circuito es:

E u t Ri

C idt

o

t

−₁ = +

0

( ) 1

Diferenciando respecto a t para lograr una ecuación sólo diferencial:

E u t Rdi dt

i

o o( )= + C

La solución natural de este circuito correspondería a la ecuación:

0= Rdi + dt

i C

Ensayando una solución exponencial, pues vimos en el capítulo precedente que esta función no cambia “de forma” al ser diferenciada, y reemplazándola en la ecuación diferencial:

( )

i I e R d

dt I e I e C R I e I e

C

o t

o t o t

o t o t

=

= +

∴ = +

α

α α

α α

α 0

0

Cancelando términos comunes:

0 1

1

= +

∴ = −

R C

RC α α

De modo que la solución natural tendrá la forma general:

i I e_o

t

= R C⁻

Donde Io es un parámetro que debemos encontrar después.

Ahora debemos resolver la ecuación:

E u t Rdi dt

i

o o( )= + C

La única diferencia con el caso anterior, es que debemos obtener un impulso; pero el impulso lo obtenemos derivando la función paso. Ensayemos esta solución :

C e I t e u

I t dt u Rd t u E

e I t u i

RC t RC f

t f o

o

RC t f

−

− −

−

−

−

+

=

∴

=

) ) (

( )

( ) (

1 1

1

e I t e u

I t Ru e

I t u

R ^RC

t RC f

t RC

t −

− −

−

− + +

= 1 ( )

) ( )

( ¹

∴E u t_{o o} = R u t I e_{o f} ⁻

t

( ) ( ) RC

Pero, recuérdese que un impulso sólo “dura” de t = 0^- a t = 0⁺, o sea que e e

t

RC RC

−

= ⁰ =1, durante la vida del impulso.

∴I = E

f Ro

La solución completa de este circuito sería:

i I e u t E R e

o t

RC o t

= ⁻ + ₋₁( ) RC⁻

Vamos a reemplazarla en la ecuación diferencial:

E u t R d

dt I u t E R e

C I u t E R e

o o o o t

RC o o t

( )= + ₋₁( ) ⁻ + 1 + ₋₁( ) RC⁻

E u t R u t E

R e R I u t E

R RC e

C I u t E R e

o o o

o t

RC o

o t

RC

o

o t

RC

( ) ( ) ( )

( )

= + + + −

+

+

−

−

−

−

−

0 1

1

1

1

∴ = − + +

− +

− − −

−

− −

E u t R u t E

R e RI e RC

I e C

u t E

RC e E

RC e

o o o

o t

RC o

t

RC o

t RC

o t

RC o t

RC

( ) ( )

1( )

Evidentemente la solución cumple la ecuación diferencial, y aún no hemos calculado el parámetro Io. Ahora, la solución también debe cumplir la ecuación integro diferencial, veámoslo:

dt R e

t E u e C I R e

t E u e I R t u E

t

RC t RC o

t RC o

t RC o

t o

o ₋ = ⁻ + ₋ ⁻ + ⁻ + ₋ ⁻

0

1 1

1( ) ( ) 1 ( )

∴ = + +

−

+

− − −

− −

−

−

E u t R I u t E R e

C

I e RC

u t E R e RC

o o o t

RC o

t

RC o t

RC t

1 1

1

0

1

1 1

( ) ( ) ( )

( )

E u t RI u t E e RC

C I e I e u t E

R e u t E R e

o o o

t RC

o t

RC o RC o t

RC o RC

− −

−

−

−

−

−

= + +

− − + −

1 1

0

1 1

0

( ) ( )

( ) ( )

( )

∴ = + − − + +

∴ = → =

− − −

−

E u t RI u t E RI u t E e RI u t E−

RI I

o o o o o

t

RC o o

o o

1 1 1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

Entonces este circuito ¿no tiene respuesta natural, pues Io = 0 es cero?; lo que ocurre es que la respuesta natural es la correspondiente a la fuente interna, a la fuente que representa la energía almacenada, tal como habíamos anunciado.

¿Pero que diferencia existe entre I e y u t E R e

o t

RC o t

RC

−

−

−

1( ) ?

Esa diferencia, crucial, la ilustramos en la figura 7.3.2. La primera función puede existir para t<0, en cambio la segunda función es cero para t< 0.

Por otro lado, obsérvese que para calcular los parámetros de las soluciones es necesario utilizar las ecuaciones más

“primitivas” del circuito, las que no han sido diferenciadas con respecto al tiempo.

Figura 7.3.2. Diferencia entre las funciones exponenciales.

b. Condensador descargado excitado con fuente cosenoidal.

La ecuación para el circuito final de la figura 7.3.3 es:

u t E wt Ri

C idt

t

−₁ = +

0

( ) cos( ) 1

Figura 7.3.3. Condensador descargado y fuente cosenoidal.

Diferenciando de nuevo, para obtener una ecuación diferencial:

u t E w u t Ew wt Rdi

dt i

o( ) cos( × −0) ₋₁( ) sen( ) = +C

Aplicamos la propiedad del impulso que evalúa las funciones a las que multiplica en su punto de ocurrencia.

Conocemos la solución libre ó natural por el caso anterior:

i_n u t I e_o

t

= ₋₁( ) RC⁻

En cuanto a la solución forzada debe ser de tipo senoidal pues este el tipo de la fuente:

i_f =u t I₋₁( ) cos(_f wt+α)

La solución completa : i i= + , sustituida en la ecuación _n i_f diferencial nos da :

+ +

+

+ +

=

−

−

−

−

−

−

) cos(

) 1 (

) cos(

) ( )

( )

( ) 0 cos(

) (

1

1 1

α

α

wt I

e I t C u

wt I

e I t dt u R d wt Ewsen t

u E

t u

RC f t o

RC f t o o

u t E u t Ew wt R u t I e I wt

R u t I e

RC I w wt

C u t I e I wt

o o o

t

RC f

o t RC

f

o t

RC f

( ) cos( ) ( ) sen( ) ( ) cos( )

( ) sen( )

( ) cos( )

0

1

1

1

1

− = + +

+ − − +

+ + +

−

−

−

−

−

−

α

α

α

Igualando por separado las funciones impulso y las funciones paso:

( )

+

+ +

+

− −

=

−

∴

+

=

∴

+

× +

=

−

−

−

−

−

) cos(

) (

) (

) ( ) ( ) (

cos

) 0 cos(

) ( )

(

1 1 1

0

α

α α

α

C wt t I u

C e wt I

wsen C RI

e t I u wt Esen t u

RI RI E

w I

e I t Ru E t u

f

RC t f o

RC t o f

o

f o o o

∴ − = − + − +

∴ = + − +

Ew wt wI R wt

wC wt

E wt I R wt

wC wt

f

f

sen( ) sen( ) cos( )

sen( ) sen( ) cos( )

α α

α α

1

1

Debemos volver el lado derecho una función senoidal única;

para hacerlo procedemos así:

( ) ( )

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

( )

(

)

α

α θ α

θ α

α

α α

α α

+ +

= +

+ +

= +

+ + + +

= +

sen b a bsen

a

sen sen

b a bsen

a

b sen a

b b

a b a a bsen

a

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

) cos(

cos cos

) cos(

) ( cos

) cos(

Figura 7.3.4. Conversión a una única función senoidal.

Definiendo el ánguloθ, mediante el triángulo de la figura 7.3.4.

[ ]

) 1 (

) cos(

) ( ) (

) 1 cos(

) (

1 1

1 cos

2 2

2 2

2 2

2 2

θ α

α θ

α θ

θ θ

− + +

=

+

− + +

=

+

=

+

=

wt wC sen

R I

wt sen

wt wC sen

R I wt Esen

R wC sen wC

R wC R

f f

Para que sean iguales los términos de la izquierda y de la derecha:

R wC R wC

I_f E

=

=

=

− +

=

−

1 tan

0 1 ,

1 2 2

θ α

θ α

De la parte impulsiva de la ecuación:

E =RI_o+RI_f cosα

( )

[

]

) 1 (

1 1

1

1 1

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

= + +

=

∴

+

− +

=

+

−

=

+

× +

+

=

RwC R

E

R wC wC R I E

R wC wC R R

R E

R wC ER R

I E

R wC R

R wC R E RI E

o o

o

La respuesta total será entonces:

( )

[

]

R wC e E

RwC R

i E ^RC

t

−

−

+ +

+ +

= θ

Cuya gráfica incluimos en la figura 7.3.5.

Figura 7.3.5. Gráfica de una senoidal amortiguada.

c. Inductancia con corriente inicial.

Sea In la corriente en t = 0, y no reemplacemos esta corriente por una fuente de corriente, sino que solucionemos el circuito directamente:

Ri Ldi + dt = 0

Figura 7.3.6.Respuesta natural y forzada de los circuitos sencillos.

Evidentemente, sólo existe la solución natural, pues no hay fuente aplicada de ningún tipo. La solución será de la forma:

i I e_o

tR

= ⁻ L

Como se comprueba reemplazándola en la ecuación diferencial:

RI e LI R

L e

o tR

L o

tR

− −L

+ − = 0

Ahora el valor de Io, lo encontramos de la condición i = Ia en t = 0.

i _t I_a I e_o I

tR L

t o

=

−

= = = =

0 0

La solución natural de este circuito tendrá la forma final mostrada en la figura 7.3.7.

Obsérvese que la función de la figura 7.3.7 no está recortada en t = 0. Teóricamente la corriente siempre ha existido y está en continuo decrecimiento. Pero veamos una situación diferente, pero con similitudes respecto a la anterior (ver figura 7.3.8). Se trata de una inductancia en corto por la que circula Ia; al abrir repentinamente el interruptor, la corriente Ia es forzada a pasar por la resistencia. Ahora si representaremos la corriente por una fuente de corriente escalón.

Aplicando el teorema de Thévenin a la fuente en paralelo con la inductancia obtenemos el circuito de la figura 7.3.8.a, cuya ecuación es:

Ri Ldi

dt LI u t_{a o}

+ = ( )

Figura 7.3.8. Descarga de una inductancia a través de una resistencia.

Figura 7.3.8.a Equivalente Thevenin de la inductancia y la fuente escalón.

Igualando la ecuación diferencial homogénea a cero, obtenemos:

i I e_o

tR

= ⁻L

Y resolviendo la ecuación igualada a la excitación, obtenemos la solución forzada:

i I e u t_f

tR

= ⁻L ₋₁( ) La solución completa será:

i I e_o

tR

= ⁻L + I e u t_f

tR

−L

−1( ) Reemplazando en la ecuación completa

RI e_o

tR

−L

+ RI e u t LI R

L e LI R

L e u t

f tR

L o

tR

L f

tR

− L

−

− −

+ − + − − +

1( ) 1( )

LI e u t_f LI u t

tR

L o a o

− ( )= ( )

De la solución anterior tenemos If = Ia, pero Io sigue siendo desconocida. Para hallar Io debemos aplicar el criterio i = 0 para t = 0^-, pues antes de abrir el interruptor ninguna corriente circulaba por la resistencia.

i I e u t_a

tR

= ⁻L ₋₁( )

Nótese que esta solución “forzada” es la misma solución natural para t>0. Para acabar con un rigorismo inútil, de aquí en adelante será válido llamar “solución natural” a cualquier solución que tenga la “forma” de la solución natural, y la solución “forzada” a la solución que tenga la forma de la fuente ó excitación. Por último veamos como representamos la corriente en el interruptor cuando este se abrió (Figura 7.3.8.b)

Figura 7.3.8.b Respuesta natural y forzada de los circuitos sencillos.

La representación matemática de i sería: i =Ia −u₋₁

( )

y el circuito se podría representar por el mostrado en la figura 7.3.8.c.

Figura 7.3.8.c Otra forma de representar la descarga de la inductancia.

Pero ahora apliquemos Thévenin en a y b (Figura 7.3.8.d):

Figura 7.3.8.d Equivalente Thevenin de la inductancia y la nueva fuente.

Obtenemos los mismos resultados que “inyectando” una corriente de función paso en el interruptor como hicimos en el ejemplo. Entonces para representar una corriente en un interruptor que se abre hay dos métodos:

1) Inyectar una corriente en sentido opuesto igual a que circulaba mediante la función paso, y 2) utilizar una función

“paso” a cero (1−^u₋1

( )

La gráfica para la corriente en la resistencia es la siguiente (Figura 7.3.9).

Figura 7.3.9 Respuesta natural y forzada de los circuitos sencillos.

Figura 7.3.10 Respuesta natural y forzada de los circuitos sencillos.

La ecuación para el circuito mostrado en la figura 7.3.10 será:

V V V

C idt Ldi dt iR

C L R

t

+ + =

∴ + + =

−∞

0

1 0

Como se trata de una ecuación integro diferencial, la diferenciamos de nuevo respecto a t.

∴ 1 + + =

0

2

Ci Ld i2

dt Rdi dt

Es la primera vez que encontramos, en estos ejemplos, una segunda derivada, lo cual nos dice que se trata de una ecuación de “segundo orden”. La forma más general de solución para este tipo de ecuación es:

i = I e₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2} +I te₃ ^{S t3}

Reemplazando la solución en la ecuación diferencial, obtenemos:

( )

( )

I

Ce I

Ce I

Cte Ld

dt I e I e I te R d

dt I e I e I te

S t S t S t S t S t S t

S t S t S t

1 2 3 2

2 1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 0

+ + + + + +

+ + =

( )

(

)

3 3

2 1

3 2

1

3 3 3

2 2 1

1

3 3 3

2 2 1

3 1 2

1

= +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

∴

t S t

S t S t

S

t S t

S t S t

S t

S t

S t

S

te I S e I e S I e S I R

te I S e I e S I e S dt I Ld Cte

e I C e I C I

( )

(

)

3 3

3 2

1 3

2 1

3 3 3

2 2 1

1

3 2 3 3

3 2

3 3 2

2 2 2

1 3 1

2 1

= +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+ +

t S t

S t S t

S

t S t

S t

S t

S t

S t

S t

S t

S

te I S e I e S I e S I R

te I S e I S e S I e S I e S I L e Ct e I C e I C I

(

)

3 3 2 3 3 3

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1

3 3

2 1

= + +

+ +

+ +

+ +

+ +

∴

RI S LI e S RI S C LI te I

S RI S C LI e I S RI S C LI e I

t S t

S

t S t

S

Para que se cumpla la ecuación anterior para todo valor de t, se debe cumplir:

1. I₁ C LS12 RS

1

1 + + = 0

2. 1 0

2 22

2 +LS +RS =

I C 3. I

C LS RS

3 32

3

1 + + = 0

4. ^I3

(

)

I₁ = I₂ = = I₃ 0

Que significa únicamente que el circuito no tiene ninguna excitación, ni energía almacenada, y por lo tanto, ni corrientes ni voltajes en sus elementos.

De 3. y 4. Comprobamos que si I3≠ 0, S3 no puede ser igual a cero, pues de 3 obtendríamos:

I₃ C1 I₃ I R₃

0 0 0

× + × + × =

I L R

3 2 0 0

0

× × × =

∴ =

Resultado que descartamos, pues estamos asumiendo una resistencia y una capacidad finitas, diferentes de cero.

Entonces, si I³ ≠ 0, esto implica S3≠ 0, y tendríamos de 4. :

S R

3 = −2L Y reemplazando en 3. :

1

2 2 0

1

4 2 0

1

2 4 4

2

2 2

2

2 2 2

C L R

L R R

L

C

R L L

R L C

R L

R L

R L

+ − + − =

∴ + − =

∴ = − =

Por lo tanto, sólo para esta combinación de los valores de C, R, y L, resulta que existe el término I e₃ ^{S t3} . Ahora, como 1, 2, y 3 son ecuaciones idénticas, resulta que para esta combinación de valores se cumple que S₁ = S₂ = S₃ = , y la solución S queda:

( ) ( )

i= I₁+I e₂ ^St +I te₃ ^St = I₄+I t e₃ ^St Llamando I₁+I₂ = I₄

La tercera posibilidad se tiene con I³ = 0. Sólo nos quedan las ecuaciones 1 y 2, que son, evidentemente, la misma ecuación cuadrática:

S R

LS CL

2 1

+ + = 0

Cuyas raíces son:

S R L

R

L CL

1

2

2 4 2

= − + − 1

S R

L R

L CL

2

2

2 4 2

= − − − 1

El análisis de estas raíces nos arroja tres posibilidades:

a. R

L CL

2

4 2

1 0

− = , que corresponde al caso ya estudiado, cuando existe el término I e₃ ^{S t3} . En este caso :

S S R

1 = 2 = −2L, y decimos que se trata de raíces reales iguales.

b. 1 0

4 ²

2 − >

L CL

R _{; S}1 y S² son dos raíces reales distintas.

c.

1 0 4 ²

2 − <

CL L

R ; en este caso S1 y S2 son raíces complejas distintas. Mejor, se trata de raíces conjugadas.

d. R = 0; a veces se incluye este caso, aunque no pertenece al circuito R-L-C. Las raíces son :

S CL j

1 CL

1 1

= + − = +

S CL j

2 CL

1 1

= − − = −

Resultando raíces imaginarias conjugadas.

a. 1 0 4 ²

2 − >

CL L R

i = I e₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2}

S R

L R

L CL

1

2

2 4 2

= − + − 1

S R

L R

L CL

2

2

2 4 2

= − − − 1

Figura 7.3.11 Respuesta sobre amortiguada.

Se trata del caso “sobre amortiguado”.

b.

( )

R

L CL

S S S S R

L

i I I t e^St

2 2

1 2 3

4 3

4

1 0

2

− =

= = = = −

= + ⋅

Figura 7.3.12 Respuesta críticamente amortiguada.

Caso llamado “críticamente amortiguado”

c.

1 0 4 ²

2 − <

CL L R

i = I e₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2}

S R

L j R

L CL

1

2

2 4 2

= − + − 1

S R

L j R

L CL

2

2

2 4 2

= − − − 1

Figura 7.3.13 Respuesta sub amortiguada.

Caso “sub amortiguado”.

d. R = 0

i = I e₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2}

S CL j

1 CL

1 1

= + − = +

Figura 7.3.14 Respuesta oscilatoria.

Caso “oscilatorio”.

El papel de la resistencia es decisivo en el tipo de respuesta del circuito. El primer caso, el “sobreamortiguado”, corresponde a un valor de resistencia muy grande. Las energías almacenadas en las inductancias y en la capacidad se disipan rápidamente en la resistencia, de modo que la corriente disminuye a un ritmo elevado. En el segundo caso, el “críticamente amortiguado”, ya la resistencia es menor, y la disipación de energía en ella también lo es; el circuito una sola vez alcanza a hacer la “oscilación”, que consiste en que la energía queda momentáneamente almacenada en la capacidad solamente, y la corriente pasa por el valor de cero, luego la energía almacenada vuelve a hacer circular la corriente en sentido contrario al que tenía inicialmente. En el tercer caso, el “subamortiguado”, ya la resistencia y la disipación en ella son tan pequeñas que la energía alcanza un régimen oscilatorio entre la inductancia y la capacidad de modo que la energía que aún queda en el circuito queda almacenada en la L o la C momentáneamente y la corriente pasa por el valor cero. La energía almacenada vuelve a hacer circular la i en sentido contrario. En cada oscilación se disipa energía. En el caso final, el “oscilatorio”, como no existe resistencia, tampoco se presenta disipación, y la energía total del circuito no mengua, manteniéndose constante, pero oscilando entre la inductancia y la capacidad. Para lograr en la práctica circuitos osciladores, (un R = 0, solo se consigue en la “superconductividad”), se añade un elemento activo que actúe como un resistencia negativa.

Ahora si la resistencia total resulta negativa, el circuito ganará energía en cada oscilación y las corrientes y los voltajes serán mayores cada vez, pero no estudiaremos estos comportamientos por ahora.

En la solución del circuito R-L-C en serie, nos queda pendiente el cálculo de los coeficientes I¹, I², I³, I⁴. Para este cálculo, debemos conocer el valor de la corriente ó de sus derivadas (ó integrales) en cualquier, ó cualesquiera, valor, ó valores, de t. Pero el caso más común, y el más importante también, es aquel en el cual se conoce el valor de la corriente y de su primera derivada en t = 0. Veamos ese cálculo de coeficientes, llamando:

i I y di

dt a

t=₀ = o t=₀ =

a. i I e= ₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2}

i I e I e I I I

di

dt I S I S a

I S S I I a

I S S a S I I a S I

S S e I a S I

S S

t o

t

o

o

o o

=

=

= + = + =

= + =

∴ + − =

∴ − = −

∴ = −

− = −

−

0 1 0

2 0

1 2

0 1 1 2 2

1 1 2 1

1 1 2 2

1 2

1 2 2 1

2 1

( )

( )

( ) ( )

Como:

S R

L R

L CL

1

2

2 4 2

= − + − 1

S R

L R

L CL

2

2

2 4 2

= − − − 1

Y la respuesta queda:

( )

[ ]

i R

L LC

a S I e_o ^{S t} a S I e_o ^{S t}

=

−

− − −

1 2 4

2 1

2

2 ¹ ( 1 ) ²

b. ^{i =}

(

)

( )

i I I

di

dt S I I t e I e SI I a

I I e I a SI

t o

t

St St

t

o o

=

= =

= =

= + +

= + =

∴ = = −

0 4

0 4 3 3 0

4 3

4 3

Como:

S R

= − L 2 Tendremos:

( )

[ ]

[ ]

i I a SI e

i I St at e

i I Rt

L at e

o o St

o St

o

Rt L

= + +

= − +

= + + ⁻

(1 )

1 2 ²

c. i = I e₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2}

Se trata del mismo caso de a., de modo que la respuesta debe ser:

( )

[ ]

i R

L LC

a S I e_o ^{S t} a S I e_o ^{S t}

=

−

− − −

1 2 4

2 1

2

2 ¹ ( 1 ) ²

Pero como,

1 0 4 ²

2

CL R −L ,

y el radical queda imaginario, se suele escribir:

S R

L j R

L CL jw

1

2

2 4 2

= − + − 1 = − +α

S R

L j R

L CL jw

2

2

2 4 2

= − − − 1 = − −α

Con estos reemplazos la solución queda:

[ ]

[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

{ }

i jw a jw I e a jw I e

i e

jw a I e e jwI e e

o jw t

o jw t

t

o jwt jwt

o jwt jwt

= + + − + −

∴ = + − + +

− + − −

− − −−

1 2

2

(α ) (α ) ^{( )}

α

α α

α

Pero:

e^jwt−e^−jwt = 2 sen( )j wt

[ ]

+ +

=

∴

+ +

=

∴

= +

−

−

−

) cos(

) (

) cos(

2 )

( 2 ) 2 (

) cos(

2

wt I

wt w sen

I e a

i

wt jwI

wt jsen I

jw a i e

wt e

e

o o t

o o

t jwt jwt

α α

α α

d. i I e= ₁ ^{S t1} +I e₂ ^{S t2}

Es el mismo caso anterior, pero con = 0:

+ × a 0 I

Para terminar el análisis del circuito R-L-C, veamos como quedan las respuestas y sus gráficos cuando I^o = 0. Es decir, cuando la corriente en el instante t = 0 es cero por cualquier razón.

a. ⁱ

[ ]

R

L LC

ae^{S t} ae^{S t}

=

− 1 − 2 4

2 1

2

1 2

Pero:

S R

L j R

L CL jw

1

2

2 4 2

= − + − 1 = − +α

S R

L j R

L CL jw

2

2

2 4 2

= − − − 1 = − −α

[

]

w

i a ^{( ) ( )}

2

−

− +

− −

=

∴ ^{α α}

Figura 7.3.15 Caso sobre amortiguado con corriente inicial cero.

Ahora, como α > ω , el gráfico de la respuesta sería el de la figura 7.3.15.