1 Funciones de varias variables

UNC - AN ´ALISIS MATEM ´ATICO II GU´IA DE EJERCICIOS - A ˜NO 2010

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Funciones de varias variables

1. Dibuje B(a, r) y B(a, r)−apara los siguientes casos. Interprete geom´etricamente.

• en R, a= 1, r= 1₂

• en R2_{, a= (0,1), r =} 1 4

• en R3_{, a= (−1,2,1), r=} 1 2

2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos deR2 _{diciendo si son puntos} interiores, exteriores, puntos limites o frontera.

• A={x∈R: 3≤x≤5}

• B ={(x, y)∈R2_:x2_+y2 _{<1} ∪ {(0,1),(1,2)}}

• C={(x, y)∈R2 :|x|<2∧ |y| ≤2} ∪ {(3, y)∈R2} • D={(x, y, z)∈R3 _:x2_+y2_{<1 ∨ x}2_+y2 _{= 4∨ (0,}3

2,0)}

3. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos cerrados, ambas o ninguna de las dos cosas.

• A={(x, y)∈R2_{:|(x, y)−(0,1)| ≤1}}

• B ={(x, y)∈R2_{: 4x}2_{+ 9y}2_36}

• C={(x, y)∈R2 _{: (x, y)6= (0,1) ∧ (x, y)6= (2,1)}}

• D={(x, y)∈R2 _:y≥x}

• E={(x, y, z)∈R3 :z < x+y}

4. Dado el conjunto A={(x, y, z)∈R3 :x2+ 2y2+z₃2 <1}, caracterice los siguientes puntos:

• p₁ = (0,0,1) • p2 = ( √ 2 2 ,12,0) • p3 = (0,0,5₂)

1.2 Dominio, gr´aficas y curvas de nivel 5. Determine el dominio de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = x+y x−y (b) f(x, y) =√x y (c) f(x, y) = x y x2_−y2 (d) f(x, y) =p4x2_{+ 9y}2₋₃₆ (e) f(x, y) = p 1 x2_−y2 (f) f(x, y, z) = e xyz √ x y z

6. Esboce la gr´afica de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = sinx, 0≤x≤2π, 0≤y≤1 (b) f(x, y) =y2_{, −1≤x≤1, −1≤y≤1}

(c) f(x, y) = 4−x2_−y2_{, x}2_+y2 _{≤4, x≥0, y≥0} (d) f(x, y) = 4−x2

(e) f(x, y) = 6−x−2y

7. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones: (a) f(x, y) =x−y

(b) f(x, y) =x2_{+ 2y}2

(c) f(x, y) =x y

(d) f(x, y) = x2

y

8. Identifique el conjunto S⊆R2 _definido

• expl´ıcitamente por f(x) =x2

• param´etricamente por f(x) = (cosx, senx)

• impl´ıcitamente porf(x, y) =x+y= 3 9. Identifique el conjunto S⊆R3 definido

• param´etricamente por f(x) = (cosx, senx, x)

• param´etricamente por f(x) = (xcosy, xseny, x2)

1.3 L´ımites y continuidad

10. Calcule los siguientes l´ımites. Si no existen, explique por qu´e. (a) lim (x,y)→(2,−1)(x y+y 2₎ (b) lim (x,y)→(0,0) x2_+y2 y (c) lim (x,y)→(0,0) x x2_+y2 (d) lim (x,y)→(0,1) x2(y−1)2 x2_{+ (y−1)}2 (e) lim (x,y)→(0,0) y3 x2_+y2

11. Indique en que puntos las siguientes funciones no son continuas: • f(x, y) = _x2₋xy_y • f(x, y, z) =ln(_xxyz_+z) • f(x, y) = ½ _xy x2_+y2 si |x| ≥1 2 5 si x= (12,0) 12. Dada la funci´onf(x, y) = x2+y2−x3y3

x2_+y2 ((x, y)6= (0,0)), Definaf(0,0) de manera que ´esta sea continua en todo punto deR2_.

13. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

• f(x, y) =tg(xy)

• f(x, y, z) = _x2_+y12_+z2

• f(x, y) =exy

• f(x, y, z) = 3x2_{+ 2y−sen(xy)}

1.4 Derivadas parciales

14. Calcule las siguientes derivadas parciales y eval´uelas en el punto dado: (a) f(x, y) =x−y+z, (3,2)

(b) f(x, y) =x y+x2_{, (2,0)} (c) f(x, y, z) =x3_y4_z5_{, (0,−1,−1)}

(d) f(x, y, z) = x z

y+z, (1,1,1)

(e) z= arctan(y/x), (−1,1)

15. Calcule la derivada parcial en (0,0) usando la definici´on:

f(x, y) = (

2x3_−y3

x2_+3y2 (x, y)6= (0,0)

0 (x, y) = (0,0)

16. Muestre que las funciones satisfacen la ecuaci´on diferencial dada:

(a) z=x ey _x∂z ∂x = ∂z ∂y (b) z= x+y x−y x ∂z ∂x+y ∂z ∂y = 0 (c) z=px2_+y2 _x∂z ∂x+y ∂z ∂y =z (d) z=f(x2+y2) (conf diferenciable) y ∂z ∂x −x ∂z ∂y = 0

17. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la normal al gr´afico de las siguientes funciones en los puntos especificados:

(a) f(x, y) =x2_−y2 _{en (−2,1)} (b) f(x, y) = cos(x/y) en (π,4)

18. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie dada por la ecuaci´on z =

x4−4x y3+ 6y2−2 en los que la superficie tiene un plano tangente horizontal.

19. Use las aproximaciones lineales adecuadas para aproximar los valores de las siguientes fun-ciones en los puntos dados:

(a) f(x, y) =x2y3 en (3.1,0.9)

(b) f(x, y) = sin(π x y+ lny) en (0.01,1.05) (c) f(x, y, z) =√x+ 2y+ 3z en (1.9,1.8,1.1)

20. Las aristas de una caja rectangular son medidas con una precisi´on del 1% de su valor. ¿Cu´al es, aproximadamente, el m´aximo error porcentual en:

(a) el volumen de la caja? (b) una de las caras de la caja?

1.5 Ejercicios de deber 1. Calcule los siguientes l´ımites.

• lim (x,y)→(1,2) 2x2_{−x y} 4x2_−y2 • lim (x,y)→(0,0) x2_y2 x2_+y4 2. Defina la funci´on f(x, y) = x3−y3

x−y (x6=y) a lo largo de la recta x = y de manera que la

funci´on resultante sea continua en todo punto. 3. (f) w= ln(1 +exyz_{), (2,0,−1)}

(g) f(x, y) = sin(x√y), (π/3,4)

(h) w=eylnz_{), (e,2, e)}

4. Calcule la derivada parcial en (0,0) usando la definici´on:

f(x, y) = ( x2_−2y2 x−y x6=y 0 x=y 9. (d) f(x, y) = x−y x+y en (1,1) (e) f(x, y) =exy _{en (2,0)}

10. Encuentre todos los planos horizontales que son tangentes a la superficie dada por z =

x y e−x2+y 2

2 . ¿En qu´e puntos son estos planos tangentes a la superficie?.

11. (d) f(x, y) = arctan ³_y x ´ en (3.01,2.99) (e) f(x, y) = 24 x2_{+x y+y}2 en (2.1,1.8)

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Funciones de varias variables: Regla de la cadena

1. Calcule las derivadas parciales segundas de: (a) z=x2_{(1 +y}2₎

(b) f(x, y) =x2_+y2 (c) w=x3y3z3

2. Una funci´on f(x, y) es arm´onica si satisface la ecuaci´on fxx +fyy = 0. Muestre que las

siguientes funciones son arm´onicas:

(a) f(x, y) = 3x2_y−y3 _{en el plano. ¿ Hay otro polinomio de grado 3 enxe y que tambi´en} sea arm´onico?

(b) f(x, y) = ln(x2_+y2_{) en R}2_{− {(0,0)}}

3. Suponga que u(x, y) y v(x, y) tienen derivadas parciales segundas continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

ux =vy v_x=−u_y

Pruebe que u(x, y) yv(x, y) son arm´onicas. 4. Derive usando la regla de la cadena:

(a) µ ∂w ∂x ¶ z , si w=f(x, y, z) ey =g(x, z). (b) ∂w ∂t, si w=f(x, y),x=g(r, s), y=h(r, t),r =k(s, t) y s=n(t) 5. Calcule ∂u ∂t siu= p

x2_+y2_{, x=e}s t_{, y= 1 +s}2 _{costusando la regla de la cadena. Compare} con el resultado que obtiene al reemplazarx ey y luego derivar.

6. Sea z=f(x, y), x= 2s+ 3t, y= 3s−2t. Calcule: (a) ∂2z ∂s2 (b) ∂2_z ∂s∂t (c) ∂2_z ∂t2

7. Sea u= u(x, t). Haciendo el cambio de variables ξ =x+t c, η = x pruebe que la ecuaci´on

∂u ∂t =c

∂u

∂x puede escribirse como ∂u ∂η = 0.

8. Transforme las siguientes expresiones:

(a) 1 x ∂f ∂x− 1 y ∂f ∂y haciendo u= ln(x2+y2),v= ln(x2−y2).

2.2 Ejercicios de deber 2. (c) f(x, y) = x

x2_+y2 en R2− {(0,0)} 3. Muestre que la funci´on u(x, t) =t−1/2_e−x2_/4t

satisface la ecuaci´on del calor unidimensional, es decir: ∂u ∂t = ∂2_u ∂x2 4. dw dz, µ ∂w ∂z ¶ x , µ ∂w ∂z ¶ x,y , siw=f(x, y, z), x=g(y, z),y=h(z)

5. Derive (suponiendo que las derivadas parciales primeras son continuas):

(a) ∂ ∂xf(y 2_{, x}2₎ (b) ∂ ∂xf(s t 2_{, s}2_+t)

6. Sea x=tsins, y=t coss. Calcule: ∂2

∂s∂tf(x, y) 7. (c) zxx−2x zyx+x2zyy haciendo x=u,y=v−u 2 2 (d) ∂2z ∂x∂y haciendo 2x=v+ lnu; 2y=−v+ lnu

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Funciones de varias variables: derivada direccional, gradiente

1. Para las siguientes funciones encuentre: (i) El gradiente en el punto indicado.

(ii) Una ecuaci´on del plano tangente al gr´afico en el punto dado.

(iii) Una ecuaci´on de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto dado. (a) f(x, y) =x2_−y2 _{en (2,−1).}

(b) f(x, y) = x−y

x+y en (1,1).

(c) f(x, y) = cosx

y en (π,4).

2. Encuentre la ecuaci´on del plano tangente a la superficie de nivel de la funci´on que pasa por el punto dado.

(a) f(x, y, z) =x2_y+y2_z+z2_{x en (1,−1,1).} (b) f(x, y, z) = cos(x+ 2y+ 3z) en (π/2, π, π).

3. Encuentre la tasa de cambio de cada funci´on en el punto dado y en la direcci´on indicada: (a) f(x, y) = 3x−4y en (0,2) , en la direcci´on del vector−2ˆı

(b) f(x, y) =x2_{y en (−1,−1) , en la direcci´on de ˆı+ 2ˆ}

(c) f(x, y) = x2 _+y2 _{en (1,−2), en la direcci´on que determina un ´angulo de 60}◦ _con

respecto al ejex.

4. Muestre que, en t´erminos de las coordenadas polares (r, θ), el gradiente de una funci´onf(r, θ) est´a dado por∇f = ∂f

∂r rˆ+

1

r ∂f ∂θ θˆ.

5. La temperaturaT(x, y) en los puntos del plano (x, y) est´a dada por T(x, y) =x2_−2y2_. (a) Dibuje algunas isotermas.

(b) ¿En qu´e direcci´on deber´ıa moverse una hormiga situada en el punto (2,−1) si desea refrescarse tan r´apido como sea posible?

(c) Si la hormiga se mueve en la direcci´on anterior con velocidadv, ¿a qu´e tasa experimentar´a el descenso de temperatura?

(d) ¿A qu´e tasa experimentar´ıa la hormiga el descenso de temperatura si se moviera a partir del punto (2,−1) con velocidadv en la direcci´on del vector −ˆı−2ˆ?

6. La temperatura en el espacio 3D est´a dada porT(x, y, z) =x2_−y2_+z2_{+x z}2_{. En el tiempo}

t= 0 una mosca pasa por el punto (1,1,2), volando a lo largo de la curva de intersecci´on de las superficiesz= 3x2_−y2 _{y 2x}2_{+ 2y}2_−z2 _{= 0. Si la velocidad de la mosca es 7 cm/s, ¿qu´e} tasa de cambio de temperatura experimenta ent= 0?

(a) dx dy si x y 3_+x4_{y= 2} (b) dz dy si z 2_{+x y}3 ₌ xz y (c) ∂w ∂t si H(u2w, v2t, w t) = 0 (d) µ ∂x ∂y ¶ z six2_+y2_+z2_+w2_{= 1 yx+ 2y+ 3z+ 4w= 2.} 3.2 Ejercicios de deber 1. (d) f(x, y) = x x2_+y2 en (1,2). (e) f(x, y) = 2x y x2_+y2 en (0,2).

3. (d) f(x, y, z) = (y2+ sinz)e−x en (0,2, π), en la direcci´on hacia el punto (1,1,0). 4. Sea f(x, y, z) =|r|−n_{, donde r=xˆı+yˆ+z}ˆ_{k. Muestre que ∇f =} −n r

|r|n+2. 7. (e) dx dy si x y 3 _=y−z (f) dy dz si ey z−x2z lny=π (g) dy dx si F(x, y, x2−y2) = 0

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Extremos locales y absolutos de funciones de varias variables.

Multiplicadores de Lagrange

4.1 Ejercicios para hacer en clase

1. Encuentre y clasifique los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) =x2_{+ 2y}2_{−4x+ 4y} (b) f(x, y) =xy−x+y (c) f(x, y) =x4_+y4_−4xy (d) f(x, y) = x y + 8 x −y

2. Encuentre los valores m´aximos y m´ınimos def(x, y) =x y e−x2_−y4

3. Encuentre los valores m´aximos y m´ınimos de las funciones dadas en los dominios indicados: (a) f(x, y) =x−x2_+y2 _{en el rect´ngulo 0≤x≤2, 0≤y≤1}

(b) f(x, y) =x y−x3_y2 _{en el cuadrado 0≤x≤1, 0≤y≤1}

(c) f(x, y) = sinx cosy en el tri´angulo cerrado cuyos lados son el eje x, el eje y y la recta

x+y= 2π

4. Use multiplicadores de Lagrange para maximizar la funci´on f(x, y) = x3_y5_{, sujeta a la} res-tricci´onx+y = 8.

5. Encuentre la menor distancia del punto (3,0) a la par´abolay=x2 _{de dos maneras:} (a) transformando el problema en otro que dependa de una sola variable

(b) usando multiplicadores de Lagrange

6. Encuentre la distancia del origen al planox+ 2y+ 2z= 3 de tres maneras: (a) usando argumentos geom´etricos

(b) reduciendo el problema a uno de dos variables sin restricciones (c) usando multiplicadores de Lagrange

7. Use el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas: (a) Encontrar el m´ınimo y el m´aximo def(x, y, z) =x+y−z en la esferax2_+y2_+z2 _{= 1} (b) Encontrar la distancia m´as corta del origen a la superficiex y z2 _{= 2}

(c) Encontrar el valor m´aximo y el valor m´ınimo de la funci´onf(x, y, z) =x+ 2y−3zsobre el elipsoide x2_{+ 4y}2_{+ 9z}2 _≤108

4.2 Ejercicios de deber 1. (e) f(x, y) =x3_+y3_−3xy

(f) f(x, y) = xy 2 +x2_+y2

2. Encuentre los valores m´aximos y m´ınimos def(x, y) = x 1 +x2_+y2 3. (d) f(x, y) =x y−2x en el rect´ngulo−1≤x≤1, 0≤y≤1

(e) f(x, y) =x+ 2y sobre el c´ırculox2_+y2 _≤1.

Ayuda: parametrice el c´ırculo x2_+y2 _{= 1 con (x, y) = (cost,sint),−π ≤t≤π; llame}

g(t) a la funci´on que resulta al hacer el cambio enf; use Maple para resolverg0_{(t) = 0.}

7. (d) Encontrar la m´ınima y la m´axima distancia del punto (2,1,−2) a la esferax2_+y2_+z2 _{= 1} (e) Encontrara,b yctales que el volumen del elipsoide x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1 que pasa por el punto (1,2,1) sea lo menor posible. El volumen mencionado esV(a, b, c) = 4