Estadística descriptiva

MATEMÁTICA APLICADA

TECNOLOGÍA EN FINANZAS

ESTADÍSTICA RECUPERACIÓN La Dorada, 14 de Marzo de 2011

Estadística descriptiva

4. L as punt uacio nes o btenidas po r un grupo en una prueba han sid o:

15, 20, 15, 18 , 22, 13 , 13, 16, 15 , 19, 18 , 15, 16, 20, 16 , 15, 18 , 16, 14, 13.

Const ruir la tabla de distri buci ón de frecuencias y dibuja el pol ígono de frecuencias.

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica viene n dad os por la

siguiente tabla:

Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

fi 8 10 16 14 10 5 2

a) Const ruir la tabla de f recuencias.

b) Represent ar el histograma y el polígono de frecuencias.

14 Se ha aplicado un test a los empleados de una fáb rica, obteni éndose la

siguiente tabla: fi [38, 44) 7 [44, 50) 8 [50, 56) 15 [56, 62) 25 [62, 68) 18 [68, 74) 9

[74, 80) 6

Dibujar el hi stograma y el polígono de frecuencias acumul adas.

21. Completar los dat os que faltan e n l a siguiente tabla e stadística:

xi fi Fi ni 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 8

Calcular la media, med iana y moda de e sta di stribució n.

28. Una persona A mide 1.75 m y reside e n una ci udad donde la estatura

media es de 1.60 m y la desviació n típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive e n una ciudad do nde la estatura media e s de 1.7 0 m y la desviació n típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respe cto a sus conci udadanos?

29. Un profe sor ha realizado dos te sts a un grupo de 40 alumnos,

obteniendo los siguie ntes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviaci ón tí pica 1 .5.

Para el segundo test la media es 4 y la desvi ación tí pica 0 .5.

Un al umno obtiene un 6 en el prime ro y un 5 en el segundo. En rel ación con el grupo , ¿e n cuál de l os dos test s obt uvo me jor punt uació n?

30 L a asiste ncia de espectadores a las 4 salas de un ci ne un de terminado

día fue de 200, 500, 3 00 y 1000 personas.

a) Calcular la di spersi ón del número de asistentes.

b) Calcular el coefi ciente de vari aci ón.

c) Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿q ué efecto

tendría sobre la dispersi ón?

Inferencia estadística

1

En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades

de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar.

a) Explicar qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con

o sin reposición. ¿Por qué?

4

Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16

comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.

Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida:

a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?

b) Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.

5

La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es

1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria

que sigue una distribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2.

a) Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la

población.

b) ¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda decirse que la

verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?

6

Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos se distribuyen según una ley

normal, con desviación típica 900 €. En un estudio estadístico de las ventas realizadas en los últimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 €.

b) ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo?

7

Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltónicos de una población a través

del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamaño n.

a) Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el

valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al 3,1%.

b) Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, y el porcentaje de individuos

daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población.

9

Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se

eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.

a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

b) Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1-α = 0.95, ¿qué

tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?

10

La duración de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una

distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

Combinatoria

2

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que

empiecen por vocal?

4

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

6

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos

saludos se han intercambiado?

8

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para

asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

10

Con el punto y raya del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar,

usando como máximo cuatro pulsaciones?

12

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con

13

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

b) Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

c) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

Probabilidad

3

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra

verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

b) La primera bola no se devuelve.

5

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.

Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

a) Con reemplazamiento.

b) Sin reemplazamiento.

7

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.

Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

a) Sea hombre.

b) Sea mujer morena.

c) Sea hombre o mujer.

9

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

a) La probabilidad de que salga el 7.

b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.

c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

11

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un

número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

13

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

a) Dos caras.

b) Dos cruces.

c) Una cara y una cruz.

15

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender

un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

16

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

Distribución binomial

1

Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras

que cruces.

2

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan

de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a) Las cinco personas.

b) Al menos tres personas.

c) Exactamente dos personas.

3

Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está

comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

4

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces

¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

5

En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se

anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.

Distribución normal

2

En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a

para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

4

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica

3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: a) Entre 60 kg y 75 kg. b) Más de 90 kg. c) Menos de 64 kg. d) 64 kg. e) 64 kg o menos.

6

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

8

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90

familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

10

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al

menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando

menos dos televisores?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos

televisores?

Distribuciones bidimensionales

1. Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

a) Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

b) ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

2. Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

Nº de clientes (X) 8 7 6 4 2 1

Distancia (Y) 15 19 25 23 34 40

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal.

b) Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

c) Si desea recibir a 500 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe

situarse?

3. Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

Matemáticas 6 4 8 5 3. 5

Química 6. 5 4. 5 7 5 4

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

4. Un conjunto de datos bidimensionales (X, Y) tiene coeficiente de correlación r =

−0.9, siendo las medias de las distribuciones marginales = 1, = 2. Se sabe que una

de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de Y sobre X: y = -x + 2 3x - y = 1 2x + y = 4 y = x + 1

Seleccionar razonadamente esta recta.

5. Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Calcular:

a) La recta de regresión de Y sobre X.

b) El coeficiente de correlación.

c) El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

6. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller (X), y a unidades producidas (Y), determinar la recta de regresión de Y sobre X, el coeficiente

de correlación lineal e interpretarlo.

Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Producción (Y) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240

7. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

Nº de horas dormidas (X) 6 7 8 9 10

Nº de horas de televisión (Y) 4 3 3 2 1

Frecuencias absolutas (fi) 3 16 20 10 1

Se pide:

a) Calcular el coeficiente de correlación.

b) Determinar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.

c) Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la

televisión?

8. La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud (X) dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba (Y) en cientos de euros.

X 25 42 33 54 29 36

Y 42 72 50 90 45 48

a) Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

b) Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Predecir las ventas de un vendedor que