Ensayo de Rendimiento DISTRIBUCIÓN DE ESTADÍSTICOS MUESTRALES

(1)

Ensayo de Rendimiento

DISTRIBUCIÓN DE

(2)

Objetivo: conocer propiedades de una población a partir de una muestra

Muestreo

Propiedades Parámetros

Los estadísticos muestrales sirven como

estimación (aproximación) de los

(3)

Muestreo

Los parámetros son constantes

Los estadísticos son variables aleatorias y poseen distribución

(4)

Distribución de estadísticos muestrales: objetivos

•

Comprender la naturaleza aleatoria de

los estadísticos muestrales.

•

Estudiar las propiedades estadísticas

de la media y la varianza muestrales.

•

Adquirir destrezas en el cálculo de

probabilidades asociadas a estos estadísticos.

(5)

Distribución de estadísticos muestrales

Las distribuciones de los estadísticos muestrales se estudian suponiendo

(6)

Distribución de los estadísticos muestrales

Muestreo aleatorio con reposición: las unidades seleccionadas pueden repetirse dentro de la muestra y entre muestras.

Muestreo aleatorio sin reposición: las unidades seleccionadas no se repiten dentro de la muestra y entre muestras.

(7)

Distribución del estadístico media muestral: ejemplo

Se tiene una población (finita) de cuatro plantas de zapallos (N=4), donde la característica de interés es el número de zapallos por planta.

Se realizará un muestreo aleatorio simple con reposición, para muestras de tamaño 2.

Objetivo: estudiar la distribución de la

(8)

Distribución del estadístico media muestral Planta X = Nº de frutos f(x_i) P₁ 3 1/4 P₂ 2 1/4 P₃ 1 1/4 P₄ 4 1/4 1 2 3 4 Número de frutos 0.00 0.25 0.50 f( x )

Función de densidad del número de frutos en una población de 4 plantas de zapallo.

(9)

Distribución del estadístico media muestral ( ) i i i x f x







       

1 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2.5 4 4 4 4 4           La esperanza será:

(10)

Distribución del estadístico media muestral





2 2 ( ) i i i x f x  





_

















2 2 2 2 2 1 1 1 1 2.5 2 2.5 3 2.5 4 4 4 1 4 2.5 1.25 4 = +           La varianza será:

(11)

Tomando muestras de dos plantas con

reposición, hay N2_{muestras posibles}

(12)

Muestra Plantas Nro. de frutos

Media muestral

Muestra Plantas Nro. de frutos Media muestral 1 P₁P₁ 3; 3 3.0 9 P₃P₁ 1; 3 2.0 2 P₁P₂ 3; 2 2.5 10 P₃P₂ 1; 2 1.5 3 P₁P₃ 3; 1 2.0 11 P₃P₃ 1; 1 1.0 4 P₁P₄ 3; 4 3.5 12 P₃P₄ 1; 4 2.5 5 P₂ P₁ 2; 3 2.5 13 P₄P₁ 4; 3 3.5 6 P₂ P₂ 2; 2 2.0 14 P₄P₂ 4; 2 3.0 7 P₂ P₃ 2; 1 1.5 15 P₄P₃ 4; 1 2.5 8 P₂ P₄ 2; 4 3.0 16 P₄P₄ 4; 4 4.0

Espacio muestral generado por muestreo aleatorio con muestras de tamaño n=2, con reposición, de una población de cuatro plantas de zapallo.

(13)

Valores que asume la variable aleatoria “media muestral del número de frutos” en muestras de tamaño n=2 y sus

densidades. Media Muestral 1,0 1.(1/16) = 0,0625 1,5 2.(1/16) = 0,1250 2,0 3.(1/16) = 0,1875 2,5 4.(1/16) = 0,2500 3,0 3.(1/16) = 0,1875 3,5 2.(1/16) = 0,1250 4,0 1.(1/16) = 0,0625

(14)

Distribución del estadístico media muestral 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Medias muestrales 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 f(x ) Función de densidad de la variable aleatoria media muestral del número de frutos.

(15)

2.5

x







2 2 1.25 0.625 2 x n



   2 2 x EE n



  Error Estándar Error Estándar

(16)

Si se hubieran utilizado muestras de mayor tamaño, se vería que la función de densidad se aproxima más aún a la gráfica de una densidad normal, con idéntica esperanza y varianza inversamente proporcional al tamaño muestral.

Este comportamiento no es casual sino la consecuencia de un importantísimo resultado que se resume en el siguiente teorema: 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Medias muestrales 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 f(x )

(17)

Sea X una variable aleatoria con esperanza µ y

varianza finita 2_{. Sea la media muestral de una}

muestra aleatoria de tamaño n y Z la variable aleatoria

definida como: X Z n                

Teorema Central del Límite

entonces, la distribución de Z se aproxima a la

distribución normal estándar cuando n se aproxima a

(18)

Ejemplo de un muestreo aleatorio sin reposición desde una población finita

Rendimientos de un híbrido de maíz (N=15) 99.04 94.98 101.52 95.74 96.42 85.44 102.64 111.75 112.86 107.66 103.49 104.93 104.48 101.24 104.31  = 101.77 2 = 44.67 Sin reposición

(19)

Muestreo

Muestreo: todas las muestras

posibles de tamaño

n

Estadísticos: media y varianza

(20)

Distribución de las medias de muestras con n=2 89.00 92.43 95.86 99.29 102.71 106.14 109.57 113.00 Media (n=2) 0.00 0.09 0.19 0.28 0.37 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal(101.766,20.940)

(21)

Distribución de las medias de muestras con n=3 90.89 93.22 95.56 97.90 100.24 102.57 104.91 107.25 109.59 111.92 Media (n=3) 0.00 0.06 0.13 0.19 0.26 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal(101.766,12.792)

(22)

Distribución de las medias de muestras con n=5 89.0 91.0 93.0 95.0 97.0 99.0 101.0 103.0 105.0 107.0 109.0 111.0 113.0 Media (n=5) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal(101.766,6.384)

(23)

Distribución de las medias de muestras con n=8 89.00 92.43 95.86 99.29 102.71 106.14 109.57 113.00 Media (n=8) 0.00 0.04 0.09 0.13 0.18 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal (101.766, 2.792)

(24)

Cuando se hace un muestreo aleatorio sin

reposición desde una población finita las

expresiones para obtener la esperanza y la varianza de la variable media muestral son: x







2 2

1

x n

N

n

N

  















Corrección por finitud

(25)

En síntesis:

 

2 2 1 44.67 15 2 2 15 1 2 _x 101.766 _x N n 20.94 n N n            

 

2 2 1 44.67 15 3 3 15 1 3 _x 101.766 _x N n 12.76 n N n            

 

2 2 1 44.67 15 5 5 15 1 5 _x 101.766 _x N n 6.38 n N n            

 

2 2 1 44.67 15 8 8 15 1 8 _x 101.766 _x N n 2.76 n N n            

(26)

En síntesis: 90.8993.2295.5697.90100.24102.57104.91107.25109.59111.92 Media (n=3) 0.00 0.06 0.13 0.19 0.26 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal(101.766,12.792) 89.00 92.43 95.86 99.29 102.71 106.14 109.57 113.00 Media (n=2) 0.00 0.09 0.19 0.28 0.37 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal(101.766,20.940) 89.091.093.095.097.099.0101.0103.0105.0107.0109.0111.0113.0 Media (n=5) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal(101.766,6.384) 89.00 92.43 95.86 99.29 102.71 106.14 109.57 113.00 Media (n=8) 0.00 0.04 0.09 0.13 0.18 fre cu e n ci a re la ti va Ajuste: Normal (101.766, 2.792) n=3 n=2 n=5 n=8

(27)

Conclusión

Cuando el tamaño de la muestra aumenta, la varianza de las medias disminuye

2 2 x EE n



  Error Estándar Recordando…

(28)

Ejemplo

El diámetro de las tortas de girasol se distribuye normalmente con media 18 cm y desviación estándar de 6 cm.

En una muestra de 10 tortas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar tortas con diámetro

(29)

Ejemplo

 16 16 18  1.05 0.14885 0.15 6 10 P X P Z P Z        _  _         

¿Cuál es la probabilidad, en una muestra con n=10, de encontrar tortas con diámetro inferior a 16 cm. si la distribución del diámetro se aproxima a una N (18;36/10)?

0 4 7 11 14 18 21 25 28 32 35

(30)

Ejemplo

Tabla de Cuantiles de la Distribución Normal

z área z área z área quantil z

-3.25 0.00058 -1.00 0.15866 1.25 0.89435 0.00001 -4.265 -3.20 0.00069 -0.95 0.17106 1.30 0.90320 0.0001 -3.719 -3.15 0.00082 -0.90 0.18406 1.35 0.91149 0.001 -3.090 -3.10 0.00097 -0.85 0.19766 1.40 0.91924 0.00 -2.576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1.20 0.11507 1.05 0.85314 3.30 0.99952 0.995 2.576 -1.15 0.12507 1.10 0.86433 3.35 0.99960 0.999 3.090 -1.10 0.13567 1.15 0.87493 3.40 0.99966 0.9999 3.719 -1.05 0.14686 1.20 0.88493 3.45 0.99972 0.99999 4.265 Área: P(Zz)

(31)

Distribución del estadístico media muestral 1 n X T S n T      _          

Observación: los grados de libertad de la T se corresponden con el tamaño de la muestra con la que se calculó S.

Cuando no se conoce la varianza

poblacional:

Grados de libertad

(32)

Distribución T de Student

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.00 0.11 0.23 0.34 0.45 D e n s id a d Dist. Normal Dist. T

(33)

Ejemplo

Si la producción diaria de leche se aproxima a una distribución normal y se tiene la siguiente muestra de producciones diarias de leche (en litros):

67.9 69.3 70.0 74.8 75.3 69.6 67.3 65.8 70.5

¿Cuál es la probabilidad que una variable T, con los grados de libertad apropiados para este problema, exceda el valor de T obtenido a partir de los datos anteriores, si se supone que la producción promedio de leche en la población es de 67 litros?

(34)

Ejemplo

  70.06 67 2.87 0.01 3.19 9 X P T P T P T S n         _  _  _  _ _ _             70.0556 lts. S = 3.1887 lts. n = 9 = 67 lts. X   -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

(35)

Ejemplo

Tabla de Cuantiles de la Distribución T

 0.700 0.725 0.750 0.775 0.800 0.825 0.850 0.875 0.900 0.925 0.950 0.975 0.990 0.995 1 0.727 0.854 1.000 1.171 1.376 1.632 1.963 2.414 3.078 4.165 6.314 12.71 31.82 63.66 2 0.617 0.713 0.816 0.931 1.061 1.210 1.386 1.604 1.886 2.282 2.920 4.303 6.965 9.925 . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.546 0.624 0.706 0.794 0.889 0.993 1.108 1.240 1.397 1.592 1.860 2.306 2.896 3.355 9 0.543 0.621 0.703 0.790 0.883 0.986 1.100 1.230 1.383 1.574 1.833 2.262 2.821 3.250 10 0.542 0.619 0.700 0.786 0.879 0.980 1.093 1.221 1.372 1.559 1.812 2.228 2.764 3.169 11 0.540 0.617 0.697 0.783 0.876 0.976 1.088 1.214 1.363 1.548 1.796 2.201 2.718 3.106 . . . . . . . . . . . . . . . 49 0.528 0.602 0.680 0.762 0.849 0.944 1.048 1.164 1.299 1.462 1.677 2.010 2.405 2.680 50 0.528 0.602 0.679 0.761 0.849 0.943 1.047 1.164 1.299 1.462 1.676 2.009 2.403 2.678 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0.010 0.005

(36)

Distribución asociada al estadístico varianza muestral

Espacio muestral generado por muestreo aleatorio con muestras de tamaño n=2, con reposición, de una población de cuatro plantas de zapallo.

Muestra Plantas Nº de frutos

Varianza Muestra Plantas Nº de frutos Varianza 1 P₁P₁ 3-3 0.0 9 P₃P₁ 1-3 2.0 2 P₁P₂ 3-2 0.5 10 P₃P₂ 1-2 0.5 3 P₁P₃ 3-1 2.0 11 P₃P₃ 1-1 0.0 4 P₁P₄ 3-4 0.5 12 P₃P₄ 1-4 4.5 5 P₂P₁ 2-3 0.5 13 P₄P₁ 4-3 0.5 6 P₂P₂ 2-2 0.0 14 P₄P₂ 4-2 2.0 7 P₂P₃ 2-1 0.5 15 P₄P₃ 4-1 4.5 8 P₂P₄ 2-4 2.0 16 P₄P₄ 4-4 0.0

(37)

Distribución del estadístico varianza muestral

Valores que asume la variable aleatoria “varianza muestral del número de frutos” en muestras de tamaño

n=2 y sus densidades. Varianza Muestral 0 4.(1/16) = 0.25 0.5 6.(1/16) = 0.375 2 4.(1/16) = 0.25 4.5 2.(1/16) = 0.125  2 2 P S  s

(38)

Distribución del estadístico varianza muestral

Función de densidad de la variable aleatoria varianza muestral del número de frutos. 0.00 1.50 3.00 4.50 S2 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 F(s2)

(39)

Distribución de las varianzas de muestras con n=3 0.0 28.1 56.2 84.3 112.4 140.4 168.5 196.6 224.7 252.8 VarianzaC(n=3) 0.00 0.13 0.27 0.40 0.54 fre cu e n ci a re la ti va Estadística descriptiva

Variable Media Var(n) VarianzaC(n=3) 44.67 1977.49

(40)

Distribución de las varianzas de muestras con n=5 0.0 12.6 25.2 37.9 50.5 63.1 75.7 88.4 101.0 113.6 126.2 138.8 VarianzaC(n=5) 0.00 0.06 0.12 0.18 0.24 fre cu e n ci a re la ti va Estadística descriptiva

Variable Media Var(n) VarianzaC(n=5) 44.67 873.27

(41)

Para calcular probabilidades asociadas a varianzas muestrales se utiliza la distribución de la variable:

Distribución Ji-cuadrado (



2

)

2 2 2 1

(

1)

n

S n







Grados de libertad

(42)

Distribución Ji-cuadrado

0 4 8 11 15 0.00 0.12 0.24 0.36 0.48 D e n si d a d 2 gl 4 gl 6 gl

(43)

Ejemplo

Un fitomejorador desea controlar la variabilidad de los brotes comerciales de espárrago, ya que las normas de embalaje establecen una longitud máxima de cajas de 23,5 cm.

La variable largo del brote de espárrago sigue una distribución normal, con una

(44)

Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad que una muestra de 5 cajas, tenga una desviación estándar que exceda a 2 cm, si la verdadera desviación estándar es de 1,5 cm?    2  2 2   2   2 1 4 4 2 4 2.25 S n P S P S P  P            __  __  _  _       2   2  7.11 1 7.11 1 0.85 0.15 P  P          0.0 2.0 4.0 6.0 8.1 10.1 12.1 14.1 16.1 18.1

(45)

Ejemplo

Tabla de Cuantiles de la Distribución Chi-Cuadrado

 0.010 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 0.0358 0.0642 0.1015 0.1485 0.2059 0.2750 0.3573 0.4549 . . . . . . . . . . . . . 4 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 1.3665 1.6488 1.9226 2.1947 2.4701 2.7528 3.0469 3.3567 . . . . . . . . . . . . . 49 28.9407 31.5549 33.9303 36.8182 38.8588 40.5344 42.0104 43.3664 44.6491 45.8895 47.1114 48.3350  0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.999 1 0.5707 0.7083 0.8735 1.0742 1.3233 1.6424 2.0723 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 10.8278 . . . . . . . . . . . . . 4 3.6871 4.0446 4.4377 4.8784 5.3853 5.9886 6.7449 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 18.4670 . . . . . . . . . . . . . 49 49.5796 50.8659 52.2186 53.6697 55.2653 57.0786 59.2411 62.0375 66.3386 70.2224 74.9194 85.3511