VALUACIÓN DE ACTIVOS E INVERSIONES

VALUACIÓN DE

ACTIVOS E INVERSIONES

VALUACIÓN DE

ACTIVOS E INVERSIONES

Alejandro Diosdado Rodríguez Administración de Riesgos Financieros Ernst & Young (México)

Temario

1.

Entorno de la Inversiones

2.

Valuación de Activos No Financieros

3.

Valuación de Activos Financieros (Bonos)

4.

Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

5.

Instrumentos Financieros Derivados

1.

Entorno de la Inversiones

2.

Valuación de Activos No Financieros

3.

Valuación de Activos Financieros (Bonos)

4.

Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

El Entorno de las Inversiones

Tierras Inmuebles Equipos Tecnología Otros Préstamos Bonos Acciones Conjunto de Activos Reales Conjunto de Activos Financieros Tierras Inmuebles Equipos Tecnología Otros Préstamos Bonos Acciones

 Usados para crear bienes y servicios (Tangibles e Intangibles)

 Rendimientos Variables  Lado Activo del Balance

 Derechos “generados” para reclamar activos reales.

 Rendimientos Fijos y Variables  Lado Activo y Pasivo del Balance

Activos – Valuación, Rendimiento y Riesgo

Tanto los activos reales, como los activos

financieros que soportan dichos activos reales,

representan cierto

riesgo

para la empresa y para

los inversionistas.

Dependiendo el tipo de inversionista, existen

diversos niveles de aceptación de

riesgo

y

rendimiento

requerido (desde aversión absoluta

hasta indiferencia completa al mismo).

Tanto los activos reales, como los activos

financieros que soportan dichos activos reales,

representan cierto

riesgo

para la empresa y para

los inversionistas.

Dependiendo el tipo de inversionista, existen

diversos niveles de aceptación de

riesgo

y

rendimiento

requerido (desde aversión absoluta

hasta indiferencia completa al mismo).

Valuación de un Activo

Proceso que relaciona el

riesgo

y el

rendimiento

de

un activo para determinar su valor razonable.

Influyen en el valor del activo tres factores principales:

►

Flujos de efectivo

►

Momento en que ocurren los flujos

►

Rendimiento requerido (en función del riesgo)

Proceso que relaciona el

riesgo

y el

rendimiento

de

un activo para determinar su valor razonable.

Influyen en el valor del activo tres factores principales:

►

Flujos de efectivo

►

Momento en que ocurren los flujos

Modelo Básico de Valuación

►

El valor de cualquier activo es el valor presente de

todos los flujos de efectivo futuros que se espera

proporcione durante el periodo de tiempo relevante.

►

Es decir, el valor del activo se determina al

descontar los flujos de efectivo esperados usando

un rendimiento requerido acorde con el riesgo del

activo.

►

El valor de cualquier activo es el valor presente de

todos los flujos de efectivo futuros que se espera

proporcione durante el periodo de tiempo relevante.

►

Es decir, el valor del activo se determina al

descontar los flujos de efectivo esperados usando

un rendimiento requerido acorde con el riesgo del

activo.

n n

k

FE

k

FE

k

FE

Po

)

1

(

...

)

1

(

)

1

(

2 2 1















Valuación de Activos

Valuación de Activos

No Financieros

No Financieros

Valuación de Activos

Valuación de Activos

No Financieros

No Financieros

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (1)

Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y como parte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI por

sus siglas en inglés).

La información disponible del edificio es la siguiente:

Ingresos Brutos potenciales por Renta $250,000 Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection 5%

Seguro $10,000

Impuestos $8,000

Mantenimiento y mejoras $22,000

Método de Flujos de efectivo descontados después de

impuestos.

Este método liga el valor de una propiedad a la

tasa de impuesto marginal de un inversionista

Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y como parte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI por

sus siglas en inglés).

La información disponible del edificio es la siguiente:

Ingresos Brutos potenciales por Renta $250,000 Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection 5%

Seguro $10,000

Impuestos $8,000

Mantenimiento y mejoras $22,000

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (2)

Valor del Inmueble (Perpetuidad)

Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas (market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como una perpetuidad:

Valor del Inmueble: NOI / market rate

Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1’975,000

Valor del Inmueble (Perpetuidad)

Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas (market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como una perpetuidad:

Valor del Inmueble: NOI / market rate

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (3)

Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,

Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.

Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionista adquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y el

resto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.

La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)

El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 por intereses + 8,997 por pago a capital)

La tasa impositiva del inversionista es del 28% La depreciación anual estimada es de $45,000

Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,

Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.

Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionista adquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y el

resto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.

La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)

El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 por intereses + 8,997 por pago a capital)

La tasa impositiva del inversionista es del 28% La depreciación anual estimada es de $45,000

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (4)

Cálculo de los utilidad neta después de impuestos

Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos: Utilidad Neta Operativa (NOI) $ 197,500

- Depreciación - $ 45,000

- Intereses - $ 148,000

= Utilidad Neta Antes de Impuestos = $ 4,500 - Impuestos (NI * Tasa impositiva) - $ 1,260

= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) =$ 3,240

El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendría un inversionista en el futuro.

Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivo como la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago que realiza como abono a capital del préstamo hipotecario.

Cálculo de los utilidad neta después de impuestos

Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos: Utilidad Neta Operativa (NOI) $ 197,500

- Depreciación - $ 45,000

- Intereses - $ 148,000

= Utilidad Neta Antes de Impuestos = $ 4,500 - Impuestos (NI * Tasa impositiva) - $ 1,260

= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) =$ 3,240

El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendría un inversionista en el futuro.

Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivo como la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago que realiza como abono a capital del préstamo hipotecario.

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (5)

Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)

Utilidad Neta después de Impuestos $ 3,240

+ Depreciación + $ 45,000

- Pago de Capital - $ 8,997

= Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 39,243

Bajo esta metodología, es posible conocer para los años subsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calcular tanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa interna de rendimiento del proyecto (TIR)

Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)

Utilidad Neta después de Impuestos $ 3,240

+ Depreciación + $ 45,000

- Pago de Capital - $ 8,997

= Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 39,243

Bajo esta metodología, es posible conocer para los años subsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calcular tanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa interna de rendimiento del proyecto (TIR)

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (6)

Cálculo del Valor Presente Neto

Supongamos que el inversionista planea vender el edificio dentro de

tres años en $1’950,000. Dentro de 3 años, el saldo remanente del

préstamo hipotecario es de $1,450,000. Asumiendo que el costo de

capital es de 10% y los flujos de efectivo después de impuestos son los

siguientes: _{Año 1 Año2 Año 3}

Utilidad Neta Operativa (NOI) $197,500 $197,500 $197,500 - Depreciación -$45,000 -$45,000 -$45,000

- Intereses -$148,000 -$147,100 -$146,111

= Utilidad Antes de Impuestos $4,500 $5,400 $6,389 - Impuestos (NI * Tasa impositiva) -$1,260 -$1,512 -$1,789

Utilidad Neta Después de Impuestos $3,240 $3,888 $4,600

Depreciación $45,000 $45,000 $45,000

Pago de Capital $8,997 $9,897 $10,887

FCF _{$39,243 $38,991 $38,714}

Utilidad x Venta $500,000

Año 1 Año2 Año 3

Utilidad Neta Operativa (NOI) $197,500 $197,500 $197,500 - Depreciación -$45,000 -$45,000 -$45,000

- Intereses -$148,000 -$147,100 -$146,111

= Utilidad Antes de Impuestos $4,500 $5,400 $6,389 - Impuestos (NI * Tasa impositiva) -$1,260 -$1,512 -$1,789

Utilidad Neta Después de Impuestos $3,240 $3,888 $4,600

Depreciación $45,000 $45,000 $45,000

Pago de Capital $8,997 $9,897 $10,887

FCF _{$39,243 $38,991 $38,714}

Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (7)

Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:

El Valor Presente de los flujos de efectivo es:

EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:

Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viable y puede ser aceptado.

649

,

472

$

10

.

1

721

,

538

10

.

1

991

,

38

10

.

1

243

,

39

$

3 2







Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:

El Valor Presente de los flujos de efectivo es:

EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:

Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viable y puede ser aceptado.

649

,

102

$

000

,

370

$

649

,

472

$





Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (8)

Cálculo de la TIR:

Resumiendo, los flujos de efectivo de la inversión son los siguientes:

0

CF

$370,000

-0





Año

1

CF

39,243

$

1





Año

1



$

39,243



CF

₁

Año

3

CF

38,991

$

2





Año

3

CF

$538,721

3





Año

20.18%

TIR



Resumen de Variables y supuestos de la Valuación

►

Determinación del NOI (Renta, Tasa de

desocupación, seguro, impuestos y

mantenimiento).

►

Tasa de Crecimiento de las Rentas.

►

Tasa de Préstamo Hipotecario.

►

Depreciación Anual.

►

Costo de Capital.

►

Valor del Inmueble a la fecha de venta.

►

Determinación del NOI (Renta, Tasa de

desocupación, seguro, impuestos y

mantenimiento).

►

Tasa de Crecimiento de las Rentas.

►

Tasa de Préstamo Hipotecario.

►

Depreciación Anual.

►

Costo de Capital.

Valuación de Activos

Valuación de Activos

Financieros

Financieros

Valuación de Activos

Valuación de Activos

Financieros

Financieros

Activos Financieros

Permiten la transferencia de fondos de los individuos con

superávit hacia quienes demandan recursos para invertir en

Activos Reales. Existen 3 clases de activos financieros:

►

Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estos

activos está parcialmente relacionado con la evolución

económica del emisor

(Bonos, Préstamos).

►

Renta Variable: el retorno depende totalmente de la

performance del emisor

(Acciones).

►

Derivados: su rendimiento depende de la evolución del

precio de otro activo

(Forwards, Swaps, Opciones).

►

Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estos

activos está parcialmente relacionado con la evolución

económica del emisor

(Bonos, Préstamos).

►

Renta Variable: el retorno depende totalmente de la

performance del emisor

(Acciones).

►

Derivados: su rendimiento depende de la evolución del

Bonos: Componentes

Valor Nominal (Par Value, Face Value)

Valor Nominal (Par Value, Face Value)

Tipo de Cupón

Tipo de Cupón

►

►

Cupón cero

Cupón cero

►

►

Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)

Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)

►

►

Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)

Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)

Tiempo al vencimiento (Maturity)

Tiempo al vencimiento (Maturity)

Opciones Adheridas (Call, Put)

Opciones Adheridas (Call, Put)

Valor Nominal (Par Value, Face Value)

Valor Nominal (Par Value, Face Value)

Tipo de Cupón

Tipo de Cupón

►

►

Cupón cero

Cupón cero

►

►

Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)

Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)

►

►

Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)

Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)

Tiempo al vencimiento (Maturity)

Tiempo al vencimiento (Maturity)

Opciones Adheridas (Call, Put)

Opciones Adheridas (Call, Put)

Riesgo de tasa de interés

Riesgo de tasa de interés: El precio de un bono típico cambiará en dirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionista tiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, un

incremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdida de capital.

Riesgo de reinversión:

Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a las que se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe el inversionista provocará una pérdida de ingresos.

Riesgo de llamada: Riesgo de llamada:

►

El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con

certeza.

►

Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el

inversionista está expuesto al riesgo de reinversión.

Riesgos en un Bono

Riesgo de tasa de interés

Riesgo de tasa de interés: El precio de un bono típico cambiará en dirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionista tiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, un

incremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdida de capital.

Riesgo de reinversión:

Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a las que se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe el inversionista provocará una pérdida de ingresos.

Riesgo de llamada: Riesgo de llamada:

►

El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con

certeza.

►

Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el

Riesgo de crédito:

Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principal y los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo de

default). También se consideran las pérdidas potenciales debido a la

disminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).

Riesgo de inflación:

Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos de efectivo de debido a la inflación.

Riesgo de tipo de cambio:

Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en una

moneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo de cambio.

Riesgo de liquidez:

Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisión puede ser vendida lo más cerca posible de su precio.

Riesgos en un Bono

Riesgo de crédito:

Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principal y los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo de

default). También se consideran las pérdidas potenciales debido a la

disminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).

Riesgo de inflación:

Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos de efectivo de debido a la inflación.

Riesgo de tipo de cambio:

Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en una

moneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo de cambio.

Riesgo de liquidez:

Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisión puede ser vendida lo más cerca posible de su precio.

Valuación de un Bono

Valuación de Flujos de Dinero

Valuación de Flujos de Dinero

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente

de todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:

►

los flujos esperados

►

la tasa de rendimiento (yield) apropiada

Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es

►

Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez

►

El par value al vencimiento.

Valuación de Flujos de Dinero

Valuación de Flujos de Dinero

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente

de todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:

►

los flujos esperados

►

la tasa de rendimiento (yield) apropiada

Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es

►

Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez

►

El par value al vencimiento.

Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta la madurez T:

r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.

0 t₁ $C₁ $C₂ $C_i Valor Futuro $C N Valor Presente t_i t₂ t_N=T

Valuación de un Bono (Flujos)

Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta la madurez T:

r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.

1 1 ( ) ( ) 1 1

(1

)

(1

)

i i i i N N r t _i i _t i i N N r T t T t i i i i

C

VP

C e

R

VF

C e

C

R

        





























1

1

1

N

1

N

C

VN

P

y

_y

_y

Y

R

N

M

m

y

C

VN

m

m







_



_

























0 1 $C $C $C $C+ $VN Precio i 2 N

R = tasa cupón (anual)

Y = rendimiento actual (anual) m = frecuencia anual de pagos

Valuación de un Bono (Anualidad)









1

1

1

N

1

N

C

VN

P

y

_y

_y

Y

R

N

M

m

y

C

VN

m

m







_



_

























R = tasa cupón (anual)

Y = rendimiento actual (anual) m = frecuencia anual de pagos

Precio de un bono cupón-cero:



1



N

VN

P

y





Si la tasas de interés NO se mantienen constante (Tasa

Revisable) hasta la madurez T:

R₁ ,…, R_N son conocidas hoy, pero F₁,…, F_N no lo son (tasas forward). 1 1 ( ) ( ) 1 1

(1

)

(1

)

¿?

i i i i i i N N r t _i i _t i i _i N N f T t T t i i i i i

C

VP

C e

R

VF

C e

C

F

        























Valuación de Bonos Tasa Revisable

Tasas Forward

Si la tasas de interés NO se mantienen constante (Tasa

Revisable) hasta la madurez T:

R₁ ,…, R_N son conocidas hoy, pero F₁,…, F_N no lo son (tasas forward). 1 1 ( ) ( ) 1 1

(1

)

(1

)

¿?

i i i i i i N N r t _i i _t i i _i N N f T t T t i i i i i

C

VP

C e

R

VF

C e

C

F

        























Relación Precio – Yield

El precio cambia en dirección contraria a cambios en la yield requerida.

Cuando la tasa cupón es igual a la yield requerida, el precio del bono será igual al par value.

Precio

El precio cambia en dirección contraria a cambios en la yield requerida.

Cuando la tasa cupón es igual a la yield requerida, el precio del bono será igual al par value.

Yield

Tasa Cupón

Bono a Premio y Bono a Descuento

VN Bono a premio Bono a la par Bono a descuento

Pull to par

Pull to par::

Según se acerca el momento de la madurez, el precio del

bono converge a su valor nominal.

Yield To Maturity

El yield (o rendimiento) de cualquier inversión es la tasa de interés que igualará el valor presente de los flujos al precio o costo de la inversión.

1 1

(1 )

i i N N r t _i i _t i i

C

P

Ce

y

  











•• P = precio de mercadoy = yield compuesto simple

• r = yield compuesto continuo

1 1

(1 )

i i N N r t _i i _t i i

C

P

Ce

y

  











el yield calculado con esta relación es la TIR (tasa interna de retorno)

Rendimiento al vencimiento

Yield curve

Curva de tasas de rendimientos

Curva de tasas de rendimientos (yield curve):

Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos de la misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.

Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno on-the-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estos carecen de riesgo de default.

yield

Curva de tasas de rendimientos

Curva de tasas de rendimientos (yield curve):

Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos de la misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.

Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno on-the-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estos carecen de riesgo de default.

Madurez

Yield de un Portafolio

El yield de un portafolio

NO

es simplemente su promedio o

promedio ponderado de las YTM de los instrumentos que

lo conforman.

Se debe calcular determinando los flujos de efectivo del

portafolio y la tasa que igualará el valor presente de

dichos flujos al valor de mercado del portafolio.

El yield de un portafolio

NO

es simplemente su promedio o

promedio ponderado de las YTM de los instrumentos que

lo conforman.

Se debe calcular determinando los flujos de efectivo del

portafolio y la tasa que igualará el valor presente de

dichos flujos al valor de mercado del portafolio.

Volatilidad en el Precio de los Bonos

Algunas de las medidas más utilizadas: Algunas de las medidas más utilizadas:

a) D*: Duración

b) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01 c) Conv: Convexidad

Algunas de las medidas más utilizadas: Algunas de las medidas más utilizadas:

a) D*: Duración

b) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01 c) Conv: Convexidad

Duración





















* 1 2 *

YTM

1

/

1

1

1

1

₁

1

1

1

1

YTM

n n n n

D

D

m

n VN

C Y

C

Y

_Y

_Y

D

P

m

C

VN

P

Y

_Y

_Y

R

n

M

m

Y

C

VN

m

m









 

_

_









_































_



_













































* 1 2 *

YTM

1

/

1

1

1

1

₁

1

1

1

1

YTM

n n n n

D

D

m

n VN

C Y

C

Y

_Y

_Y

D

P

m

C

VN

P

Y

_Y

_Y

R

n

M

m

Y

C

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m

m









 

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_









_































_



_

























Duración y PVBP

La duración es solamente una aproximación lineal. Asume que la relación precio-rendimiento es lineal. $40 $55 $70 $85 $100 $115 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0%

Precio Correcto Precio con D Error Precio * *

10000

1

32

3200

100

32

32

D

P

PVBP

YV

PVBP

YV

D

P















$40 $55 $70 $85 $100 $115 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0%

Precio Correcto Precio con D

–D*_$

Teorema de Inmunización

Teorema de Inmunización: Teorema de Inmunización:

Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfacer una obligación (pasivo) en un horizonte determinado,

independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde el presente hasta el horizonte.

Si el horizonte de inversión

H

es exactamente igual a la duración del

portafolio

D

, entonces el retorno total de la inversión

V

no cambia, aún si el yield

r

cambia en Δ

r

:

Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas se cancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.

Un portafolio con horizonte

H=D

estará inmunizado, su rendimiento total será el yield de hoy

r

, y:

Teorema de Inmunización: Teorema de Inmunización:

Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfacer una obligación (pasivo) en un horizonte determinado,

independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde el presente hasta el horizonte.

Si el horizonte de inversión

H

es exactamente igual a la duración del

portafolio

D

, entonces el retorno total de la inversión

V

no cambia, aún si el yield

r

cambia en Δ

r

:

Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas se cancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.

Un portafolio con horizonte

H=D

estará inmunizado, su rendimiento total será el yield de hoy

r

, y:

(

,

)

( ,

)

Teorema de Inmunización

$0 $200,000 $400,000 $600,000 $800,000 $1,000,000 $1,200,000 0 1 2 3 4 5 6 4.00% 8.00% 12.00% $0 $200,000 $400,000 $600,000 $800,000 $1,000,000 $1,200,000 0 1 2 3 4 5 6 4.00% 8.00% 12.00% D = H

Cuando las tasas bajan, la pérdida por reinversión de cupones es compensada con un mayor precio del bono. Cuando las tasas suben, la pérdida por valor del bono, se compensa por la reinversión de

Convexidad







































1 2 * 1 2 3 ₂ 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 / 2 1 2 1 1 1 1 Conv. n n n n n n n C VN P Y _{Y Y} n VN C Y C Y _{Y Y} D P n n VN C Y C Cn Y _{Y Y Y Y} P       _  _         _              _{ }             







































1 2 * 1 2 3 ₂ 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 / 2 1 2 1 1 1 1 Conv. n n n n n n n C VN P Y _{Y Y} n VN C Y C Y _{Y Y} D P n n VN C Y C Cn Y _{Y Y Y Y} P       _  _         _              _{ }             

Convexidad

$0.00 $50.00 $100.00 $150.00 $200.00 $250.00 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0% P correcto Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C

Se define como el grado de curvatura de la relación

precio-rendimiento, alrededor de cierto nivel de tasas de interés.

$0.00 $50.00 $100.00 $150.00 $200.00 $250.00 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0% P correcto Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C

Aproximación Numérica de la Duración y

Convexidad

YTM actual

Precio o valor para un yield

y

Cambio de yield 0 ( ) y P y y  Denotamos: Calculamos: Aproximamos: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P P y P P y y P P y y          Precio actual

Precio para una disminución de yield

Precio para un aumento de yield

* 0 0 2 2 2 Conv ( ) P P D P y P P P P y               Denotamos: Calculamos: Aproximamos: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P P y P P y y P P y y          Precio actual

Precio para una disminución de yield

Duración y Convexidad de un Portafolio

La Duración de un portafolio con “n” activos será:

La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:

“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total del portafolio Por tanto: 1 1 2 2 1

...

n P n n i i i

D

w D

w D

w D

w D







 





1 1 2 2 1

Conv

Conv

Conv

...

Conv

Conv

n P n n i i i

w

w

w

w







 





La Duración de un portafolio con “n” activos será:

La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:

“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total del portafolio Por tanto: i i

P

w

P



1 2

...

n

1

w



w

 

w



1 1 2 2 1

Conv

Conv

Conv

...

Conv

Conv

n P n n i i i

w

w

w

w







 





Estructura Intertemporal

Estructura Intertemporal

de Tasas de Interés

de Tasas de Interés

Estructura Intertemporal

Estructura Intertemporal

de Tasas de Interés

de Tasas de Interés

Bonos del Gobierno

►El Gobierno de México emite los siguientes bonos: ► Cupón ceroCupón cero:

►CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)

madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)

► Cupón fijoCupón fijo:

►BONOS-M: Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fija

madurez de 3 a 5 años (cupón semestral)

► Cupón FlotanteCupón Flotante:

►BREMS ►Bondes

►Bonos IPAB ►Udibonos

►El Gobierno de México emite los siguientes bonos: ► Cupón ceroCupón cero:

►CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)

madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)

► Cupón fijoCupón fijo:

►BONOS-M: Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fija

madurez de 3 a 5 años (cupón semestral)

► Cupón FlotanteCupón Flotante:

►BREMS ►Bondes

►Bonos IPAB ►Udibonos

Problemas de valorar usando la Yield Curve

Ejemplo:

Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y un bono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1 año.

¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y que vence en 1 año?

Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valor real del bono.

Cetes (A) B C Valor Nominal 100 100.00 100.00 Cupón 0.00% 8.00 10.08 YTM 7 8.00 ???? Frecuencia 180 180 DXV 180 360 360 Precio 96.62 100.00 ???? # Títulos 1.00 1.00 1.00 Ejemplo:

Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y un bono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1 año.

¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y que vence en 1 año?

Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valor real del bono.

Cetes (A) B C Valor Nominal 100 100.00 100.00 Cupón 0.00% 8.00 10.08 YTM 7 8.00 ???? Frecuencia 180 180 DXV 180 360 360 Precio 96.62 100.00 ???? # Títulos 1.00 1.00 1.00

► Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero

(strips):

► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4 ► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104 ► ¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?

► El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que debería

tener el mismo yield de 7%.

► Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:

Problemas de valorar usando la Yield Curve

► Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero

(strips):

► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4 ► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104 ► ¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?

► El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que debería

tener el mismo yield de 7%.

► Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:

2

$4

$104

$100

1.035

1

2

Y







_











precio de Bono B =

► El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta de

valorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:

Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%

► La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) será

descontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero.

2

$5.04

$105.04

$101.9662

1.035



1.0401



precio de Bono C =

Problemas de valorar usando la Yield Curve

► El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta de

valorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:

Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%

► La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) será

►

► Tasa Spot o Tasa CeroTasa Spot o Tasa Cero (spot rate)

Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurez dada.

►

► Curva Spot o Curva CeroCurva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)

Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero de gobierno.

► Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno a

cualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero a partir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.

► La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero TeóricaCurva Cero Teórica

(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de la Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

Estructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interest

rate). Este proceso se logra, mediante un proceso de

“Bootstrapping”

Curva Cero

►

► Tasa Spot o Tasa CeroTasa Spot o Tasa Cero (spot rate)

Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurez dada.

►

► Curva Spot o Curva CeroCurva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)

Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero de gobierno.

► Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno a

cualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero a partir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.

► La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero TeóricaCurva Cero Teórica

(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de la Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

Estructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interest

Curva cero futura (Tasa Forward Implícita)

► Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte de

inversión de 1 año tiene dos alternativas:

► A1: comprar un bono cupón cero a un año

► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis

meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seis meses.

► ¿Para qué tasa esperada

f

dentro de 6 meses ambas alternativas

serían equivalentes?

y

_0.5= 5.25%

y

₁= 5.50%

► Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte de

inversión de 1 año tiene dos alternativas:

► A1: comprar un bono cupón cero a un año

► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis

meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seis meses.

► ¿Para qué tasa esperada

f

dentro de 6 meses ambas alternativas

serían equivalentes? 0 Hoy 0.5 6 meses 1 año

y

_0.5= 5.25%

E(f)

= ???% 2

5.75%

0.055

0.0525

1

1

1

2

2

2

f

f



_



_



_

 

_{ }



_







 









 





Instrumentos Financieros

Instrumentos Financieros

Derivados

Derivados

Instrumentos Financieros

Instrumentos Financieros

Derivados

Derivados

Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)

►

Sea M un activo que paga según el resultado del

lanzamiento de una moneda:

►

¿Cuál debería ser el “precio correcto” $

m

del activo M

en el mercado?

M: $m = ¿?

p = 0.5 _$2

►

Sea M un activo que paga según el resultado del

lanzamiento de una moneda:

►

¿Cuál debería ser el “precio correcto” $

m

del activo M

en el mercado?

M: $m = ¿?

► S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana. ► D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:

► M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:

► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismo

mercado que el ejemplo anterior?

S: $2 p = 0.5 p = 0.5 $5 $1 D: $d si S=$5 (p = 0.5) si S=$1 (p = 0.5) $2 $0

Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)

► S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana. ► D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:

► M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:

► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismo

mercado que el ejemplo anterior?

si S=$1 (p = 0.5) M: $1 p = 0.5 p = 0.5 $2 $0 p = 0.5 p = 0.5 $2 $0 D: $d = ¿?

► Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, compro

una unidad de S:

► A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S. ► Se dice que D es un derivadoderivado, con subyacentesubyacente S.

► Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitrajearbitraje) si

$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de

q

(probabilidad neutral

# Títulos Riqueza Inicial

-2 Vendo 2 unidades de D -D2 $2 1 Compro una Unidad de S +S -$2

$0

D Paga Valor de S _{Riqueza Final}

Escenario 1

S=$5, p=0.5 _{-$4 $5 $1} Escenario 2

S=$1, p=0.5 _{$0 $1 $1}

p=1

Probabilidad Neutral al Riesgo

► Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, compro

una unidad de S:

► A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S. ► Se dice que D es un derivadoderivado, con subyacentesubyacente S.

► Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitrajearbitraje) si

$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de

q

(probabilidad neutral D Paga Valor de S _{Riqueza Final}

Escenario 1

S=$5, p=0.5 _{-$4 $5 $1} Escenario 2

S=$1, p=0.5 _{$0 $1 $1}

Instrumentos Financieros Derivados

►

► Instrumento DerivadoInstrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futuros

dependen funcionalmente de del valor de otro título o variable de mercado (subyacentesubyacente) .

► El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:

► acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc. ► … o una variable de mercado:

► tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.

► Se pueden utilizar con varios fines:

► cobertura de cierto riesgo,

► especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),

Derivado Implícito

►

► Instrumento DerivadoInstrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futuros

dependen funcionalmente de del valor de otro título o variable de mercado (subyacentesubyacente) .

► El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:

► acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc. ► … o una variable de mercado:

► tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.

► Se pueden utilizar con varios fines:

► cobertura de cierto riesgo,

► especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),

Clasificación de Instrumentos

Financieros Derivados

► Los tipos de instrumentos derivados básicos son: ►

►ForwardsForwards:

► obligación de comprar/vender en el futuro a un precio

prefijado

►

►FuturosFuturos:

► como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado

►

►OpcionesOpciones:

► derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado ►

►SwapsSwaps:

► intercambio de dos flujos de dinero en el futuro

► Los tipos de instrumentos derivados básicos son: ►

►ForwardsForwards:

► obligación de comprar/vender en el futuro a un precio

prefijado

►

►FuturosFuturos:

► como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado

►

►OpcionesOpciones:

► derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado ►

►SwapsSwaps:

Determinación de Precios Forward bajo la

probabilidad neutral al riesgo (libre de arbitraje)

0 rT

F



S e

( ) 0 e r r T

F



S e

 0 e r T rT

S e



Fe

Precio Forward sobre subyacentes que no generan ingresos

rT te

F S₀  

Precio Forward sobre divisas

( ) 0 e r r T

F



S e



f

_t(

T

₁,

T

₂)

y

_t(

T

₁)

y

_t(

T

₂) T1 T2 t





2





1





2 1 2 1 1 2

1



y T

_t

( )

T t

 

1

y T

_t

( )

T t

 

1

f T T

_t

( ,

)

T T Precio Forward sobre tasas de interés

Precio del Swap

►

Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculo

del precio se basa en el principio de

no arbitraje

:

►

Si no se cumple con la condición de

no arbitraje

, una parte

tendrá que compensar a la otra con un pago por adelantado

igual a la diferencia de los valores presentes.

►

Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a las

tasas de mercado vigentes en el momento.

fijo flotante

VP



VP

►

Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculo

del precio se basa en el principio de

no arbitraje

:

►

Si no se cumple con la condición de

no arbitraje

, una parte

tendrá que compensar a la otra con un pago por adelantado

igual a la diferencia de los valores presentes.

►

Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a las

tasas de mercado vigentes en el momento.

swap fijo flotante

Contratos de Opciones

►

► OpciónOpción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,

pero no la obligación, de realizar una compra (Opción callOpción call) o una venta (Opción putOpción put) en un momento futuro.

► Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (optionoption

premium premium).

► Terminología: ►

► EjercicioEjercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put) ►

► Precio de ejercicioPrecio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el

comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender (put) el subyacente

►

► Fecha de expiraciónFecha de expiración: en la que vence el contrato ►

► PrimaPrima: valor de mercado del contrato ►

► OpciónOpción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,

pero no la obligación, de realizar una compra (Opción callOpción call) o una venta (Opción putOpción put) en un momento futuro.

► Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (optionoption

premium premium).

► Terminología: ►

► EjercicioEjercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put) ►

► Precio de ejercicioPrecio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el

comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender (put) el subyacente

►

► Fecha de expiraciónFecha de expiración: en la que vence el contrato ►

Option Payoffs

Max { S_T–K , 0} Max { K–S_T , 0} Max { S_T–K , 0} Max { K–S_T , 0}

Clasificación de Opciones

►

Por sus condiciones de “

Fecha de Ejercicio

”, pueden

clasificarse en:

►

Opciones Europeas:

Aquellas que solo se pueden ejercer en la

fecha del contrato “Fecha de Ejercicio”

►

Opciones Americanas:

Opciones que permiten el ejercicio

anticipado, de manera espontánea.

►

Opciones Bermudas:

Opciones que permiten el ejercicio

anticipado en fechas específicas.

►

Por sus condiciones de “

Fecha de Ejercicio

”, pueden

clasificarse en:

►

Opciones Europeas:

Aquellas que solo se pueden ejercer en la

fecha del contrato “Fecha de Ejercicio”

►

Opciones Americanas:

Opciones que permiten el ejercicio

anticipado, de manera espontánea.

►

Opciones Bermudas:

Opciones que permiten el ejercicio

Clasificación de Opciones

►

Por sus condiciones de “

Payoff

”, pueden clasificarse en:

►

No dependientes de la trayectoria del precio del

subyacente:

Aquellas cuyo valor y ejercicio dependen

exclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de la

trayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmente

existen fórmulas analíticas “cerradas” para determinar su

valor.

►

Dependientes de la trayectoria:

Su valor depende no sólo

del valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de uno

o más valores de éste durante la vida del contrato.

Regularmente requieren de un modelo o aproximación

numérica (árbol binomial o simulación) para determinar su

valor.

►

Por sus condiciones de “

Payoff

”, pueden clasificarse en:

►

No dependientes de la trayectoria del precio del

subyacente:

Aquellas cuyo valor y ejercicio dependen

exclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de la

trayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmente

existen fórmulas analíticas “cerradas” para determinar su

valor.

►

Dependientes de la trayectoria:

Su valor depende no sólo

del valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de uno

o más valores de éste durante la vida del contrato.

Regularmente requieren de un modelo o aproximación

numérica (árbol binomial o simulación) para determinar su

valor.

Ejemplos de Opciones

NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA

► Plain Vanilla (call, put, swaption) ► Exóticas

► Barrera Europea

► Binomial (cash “K”or nothing) ► Chooser DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA ► Americana, bermuda ► Exóticas ► Barrera Americana ► Lookback ► Asiática NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA

► Plain Vanilla (call, put, swaption) ► Exóticas

► Barrera Europea

► Binomial (cash “K”or nothing) ► Chooser DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA ► Americana, bermuda ► Exóticas ► Barrera Americana ► Lookback ► Asiática

Opción de Compra (Call)

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 20 30 40 50 60 70 Stock Price ($) P a y o ff ($ ) K R ise = Cu-Cd Slope = R un = Su-Sd d u d u s s c c D e lta      -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 20 30 40 50 60 70 Stock Price ($) P a y o ff ($ ) K R ise = Cu-Cd Slope = R un = Su-Sd

Métodos Numércos (Árbol Binomial)

S

₀

S

₁

= dS

₀

S

₁

= uS

₀

S

₂

= u

2

_S

0

S

₂

= ud S

₀

S

₂

= d

2

_S

0

S

₃

= u

3

_S

0

S

₃

= u

2

_dS

0

S

₃

= ud

2

_S

0

S

₃

= d

3

_S

0

u

d

u

u

u

u

u

d

d

d

d

d

S

₀

S

₁

= dS

₀

S

₁

= uS

₀

S

₂

= u

2

_S

0

S

₂

= ud S

₀

S

₂

= d

2

_S

0

S

₃

= u

3

_S

0

S

₃

= u

2

_dS

0

S

₃

= ud

2

_S

0

S

₃

= d

3

_S

0

u

d

u

u

u

u

u

d

d

d

d

d

Árbol Binomial de Precios de un Activo

8/27 (2/3)3_=8/27 1 12/27 (1/3)(2/3)2_=4/27 3 6/27 (1/3)2_(2/3)=2/27 3 1/27 (1/3)3_=1/27 1 Probabilidad total: P(S₃=x) Prob. por trayectoria Núm. de trayectorias

P(Ω)=1

8

8/27 (2/3)3_=8/27 1 12/27 (1/3)(2/3)2_=4/27 3 6/27 (1/3)2_(2/3)=2/27 3 1/27 (1/3)3_=1/27 1 Probabilidad total: P(S₃=x) Prob. por trayectoria Núm. de trayectorias

P(Ω)=1

8

S

₀

S

₁

S

₁

S

₂

S

₂

S

₂

x=8.64

x=5.04

x=2.94

x=1.71

TOTAL

S

₃ P(H)=1/3 P(T)=2/3 H T u=1.2 d=0.7 8/27 (2/3)3_=8/27 1 12/27 (1/3)(2/3)2_=4/27 3 6/27 (1/3)2_(2/3)=2/27 3 1/27 (1/3)3_=1/27 1 Probabilidad total: P(S₃=x) Prob. por trayectoria Núm. de trayectorias

P(Ω)=1

8

8/27 (2/3)3_=8/27 1 12/27 (1/3)(2/3)2_=4/27 3 6/27 (1/3)2_(2/3)=2/27 3 1/27 (1/3)3_=1/27 1 Probabilidad total: P(S₃=x) Prob. por trayectoria Núm. de trayectorias

P(Ω)=1

8

S

₀

S

₁

S

₁

S

₂

S

₂

S

₂

x=8.64

x=5.04

x=2.94

x=1.71

TOTAL

S

₃ P(H)=1/3 P(T)=2/3 H T u=1.2 d=0.7