MATEM ´
ATICAS
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ercurso de Ciencias Ambientales
TEMA 1: FUNCIONES DE UNA VARIABLE y MODELOS DE CRECIMIENTO
1. El modelo exponencial: si una poblaci´on, inicialmente con N0 individuos, crece un α% cada
a˜no, entonces el n´umero total de individuos en tiempo t viene dado por y(t) = N0 1 + α 100 t .
a) Comprobar que y(t) se puede escribir como y(t) = N0ert, tomando r = ln(1 +100α ).
b) Considerar tres poblaciones dadas por
y1 = 100e2t, y2 = 500e0
05t
, y3 = 1000e−t.
Determinar qu´e porcentaje crece al a˜no cada una de las poblaciones.
Calcular cu´ando se igualan las poblaciones y1 e y3, y cu´ando se tiene y3 = 10.
Representar en una misma gr´afica las funciones y1, y2 e y3. ¿Cu´al tendr´a m´as individuos
a largo plazo?
c) Si cierta poblaci´on decrece un 5% cada a˜no e inicialmente hay cien mil individuos, escribir el tama˜no de la poblaci´on como y(t) = aebt, y determinar cu´al es la velocidad de crecimiento en los instantes t = 3 y t = 50.
2. El modelo logar´ıtmico
y = a + b ln x (para x > 0)
se utiliza, por ejemplo, para describir la relaci´on entre la altura y alcanzada por una planta, y la concentraci´on x de cierta hormona de crecimiento.
a) Esbozar en una misma gr´afica las funciones
y1 = 10 + 2 ln x, y2 = 10 + 005 ln x.
En cada caso, ¿cu´anto crece la planta cuando duplicamos la concentraci´on de hormona? b) Para cierta especie de planta sabemos que la altura es y = 28 cuando x = 205, y que cada vez que duplicamos la concentraci´on de hormona la altura aumenta en 3 unidades. Ajustar estos datos a un modelo y = a + b ln x.
3. Una regla experimental en Ecolog´ıa establece que al duplicar el ´area X de una parcela el n´umero Y de especies distintas de plantas aumenta en una cantidad fija k (que se denomina ´ındice de diversidad ). Comprobar que el modelo logar´ıtmico
Y = a + k log2X cumple la regla anterior. Si experimentalmente se observa
X : 8 16 32 64 Y : 11 14 17 20
a) Hallar a, k y determinar el n´umero de especies en un terreno de 48 m2.
4. En Zoolog´ıa se ha observado que las medidas de dos partes diferentes del cuerpo de un animal (X e Y ) en distintos momentos de su crecimiento cumplen aproximadamente una relaci´on logar´ıtmica lineal (o relaci´on alom´etrica)
ln Y = a + b ln X .
a) Comprobar que dicha relaci´on se puede escribir como Y = kXα, para ciertas constantes k, α. b) Se toman los siguientes datos experimentales del per´ımetro craneal P (en cms) y el peso corporal m (en Kgs) en cierto animal.
P : 35 41 44 47.2 48.8 m : 3.6 6.3 8 10.2 11.5
Esbozar una gr´afica (ln m, ln P ) y comprobar que es aproximadamente lineal. Utiliza los primeros datos para encontrar una relaci´on P = kmα.
5. a) Un comerciante sube los precios un 20% justo antes de la campa˜na de rebajas, para luego aplicar descuentos del 20% en caja durante la campa˜na. ¿Es rentable el negocio? ¿De cu´anto deber´ıan ser los descuentos para que el comerciante no pierda dinero?
b) Por otro lado, el comerciante vecino decide bajar sus precios un 20% durante las rebajas, y al finalizar ´estas, volverlos a subir un 20%. ¿Es esta estrategia correcta? ¿Cu´al deber´ıa ser la subida despu´es de las rebajas?
6. Un individuo contrata un fondo de inversi´on con la mala suerte de que ´este cae un 40% durante el primer a˜no. Posteriormente el fondo crece a un ritmo constante del 10% cada a˜no. ¿Cu´anto tiempo debe pasar para que recupere su inversi´on? ¿Y para que la duplique?
7. Un banco ofrece dos productos: un dep´osito bancario durante un a˜no al 6% de inter´es, con intereses pagaderos mensualmente. Por otro lado, un dep´osito anual al 8% de inter´es, con pago al final del a˜no. ¿Qu´e beneficios obtendremos con uno u otro si invertimos 1000 euros?
8. a) La pol´ıtica seguida en una reserva natural para proteger cierta especie resulta un ´exito, y cada a˜no la poblaci´on se incrementa en un 8%. Si al iniciar el programa se contaba con 20 ejemplares, ¿cu´al es la poblaci´on estimada al cabo de 30 a˜nos?
b) ¿Cu´al tendr´ıa que ser el porcentaje de incremento anual para conseguir la misma poblaci´on final que en el apartado anterior, pero en s´olo 20 a˜nos?
9. Una sustancia radiactiva se desintegra a raz´on de un α% cada a˜no.
a) Si la cantidad de sustancia presente en este momento es de 120 Kg., hallar la expresi´on de la cantidad de sustancia, C(t), al cabo de t a˜nos.
b) Calcular el valor de α sabiendo que dentro de 20 a˜nos la cantidad de sustancia presente ser´a el doble de la que habr´a dentro de 40 a˜nos.
10. Un gas confinado en un dep´osito perforado, pierde una proporci´on fija de las mol´eculas por unidad de tiempo. A las 7 de la ma˜nana medimos una concentraci´on en el dep´osito de 15 ppm (partes por mill´on). Media hora m´as tarde la concentraci´on ha bajado un 1% respecto a la anterior.
a) Escribir la funci´on que expresa la concentraci´on del gas en funci´on del tiempo.
b) ¿Que concentraci´on hab´ıa a las 3 : 30 de la ma˜nana, antes de que hici´esemos nuestra primera medici´on?
11. La carencia de una buena pol´ıtica de protecci´on en una reserva natural produce un decrec-imiento del 10% anual en el n´umero de individuos de una especie protegida. Si inicialmente la poblaci´on contaba con 1000 ejemplares,
a) ¿cu´al ser´a la poblaci´on al cabo de 10 a˜nos?
b) ¿cu´antos a˜nos deben pasar para que la poblaci´on disminuya por debajo de 100 individuos? c) Si al llegar a los 100 individuos se introducen pol´ıticas de protecci´on que dan lugar a un crecimiento anual del 10% para esta especie, ¿cu´antos a˜nos llevar´a recuperar la poblaci´on inicial de 1000 individuos?
12. Se ha observado que la cantidad de basura generada por una gran ciudad aumenta un 5% cada a˜no. Se construye un vertedero, inicialmente vac´ıo, en el que el primer a˜no se depositan 1000 toneladas de basura. Como la basura no se retira, se va acumulando en a˜nos posteriores. a) Escribir la funci´on x(n) que expresa la cantidad de basura generada por la ciudad durante el a˜no n, y calcular x(30).
b) Determinar la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n a˜nos.
c) Si la capacidad del vertedero son 90.000 toneladas de basura, calcular cu´antos a˜nos han de pasar para que el vertedero se llene.
13. Se est´a estudiando una especie de gato mont´es. Se sabe que en cautividad la tasa anual de crecimiento de la poblaci´on es de 4,5%, en libertad protegida es de un 1,676%, y en libertad sin protecci´on el n´umero de animales decrece anualmente en un 0,549%. Se cuenta con una poblaci´on inicial de 100 animales.
a) En cada una de esas tres situaciones, escribir la funci´on que expresa el n´umero de animales al cabo de n a˜nos, y calcular cu´antos ejemplares habr´a al cabo de 20 a˜nos.
b) En un segundo estudio se permite la caza de 3 individuos cada a˜no. Calcula en cada caso la poblaci´on al cabo de 20 a˜nos.
c) En el modelo con caza anterior, determinar cu´ando se extinguen las poblaciones en libertad, y cu´ando se triplica la poblaci´on en cautividad.
14. Un estudiante decide aceptar un contrato en pr´acticas de un a˜no (para obtener cr´editos de libre configuraci´on). Tiene dos ofertas.
La empresa A le ofrece un sueldo de 200 euros el primer mes y revisi´on salarial cada mes con aumento de sueldo: cada mes le pagar´an un 5% m´as que el anterior.
La empresa B le ofrece un sueldo de 200 euros el primer mes y revisi´on salarial cada mes con aumento de sueldo: cada mes le pagar´an 5,5 euros m´as que el anterior.
a) Para cada una de las ofertas obtener, razonadamente, el sueldo que obtendr´ıa el ´ultimo mes del a˜no.
b) Para cada una de las ofertas obtener, razonadamente, el sueldo total que obtendr´ıa en un a˜no.
15. Estudiamos una explotaci´on forestal con una cantidad inicial de 1000 ´arboles. La masa forestal se regenera de forma natural, aumentando en un 005% aproximadamente cada mes. Por otro lado, se talan k ´arboles cada mes.
a) Si k = 10, calcular la cantidad de ´arboles al cabo de 24 meses. b) Si k = 10, ¿cu´antos meses tardar´ıa en extinguirse la poblaci´on? c) Calcula el valor de k para el que la poblaci´on al cabo de 24 meses sea
16. En cierto cultivo de bacterias se observa que la poblaci´on crece un 5% cada hora, a partir de una poblaci´on inicial de 1000 individuos.
a) Escribir una f´ormula para el n´umero de bacterias tras n horas. ¿Cu´ando se alcanzar´a el mill´on de individuos?
b) Se quiere probar un antibi´otico, del que se sabe que cada dosis elimina 200 bacterias. Si al cultivo anterior le aplicamos una dosis de antibi´otico cada hora, escribe una f´ormula para el n´umero de bacterias tras n horas. ¿Cu´anto tardar´a en desaparecer la poblaci´on de bacterias? 17. El n´umero de individuos en poblaciones con recursos limitados se suele modelizar con una
funci´on log´ıstica (o sigmoide):
f (t) = k
1 + ae−rt, t ∈ (0, ∞), donde a, k, r son ctes > 0.
a) Representa las funciones f1(t) =
150
1 + 2e−t y f2(t) =
150
1 + 2e−2t para t > 0.
b) Hallar el instante en que las velocidades de crecimiento son m´aximas.
c) ¿En qu´e tama˜no tienden a estabilizarse las poblaciones? ¿Cu´ando se alcanza el 90% de la poblaci´on m´axima?
18. La concentraci´on de ox´ıgeno en un estanque contaminado con un residuo org´anico viene dada por la funci´on:
y = f (t) = t
2− t + 1
t2+ 1 , para 0 ≤ t < ∞,
donde t representa el tiempo en semanas. a) Representar la funci´on.
b) Hallar los instantes en los que se alcanzan las concentraciones m´axima y m´ınima de ox´ıgeno. c) Hallar el instante en que la velocidad de crecimiento de la concentraci´on de ox´ıgeno es m´axima.
19. El n´umero N de cabezas de ganado vacuno (en miles) en una regi´on se ve afectado por una epidemia. Como consecuencia, este n´umero empieza a disminuir, hasta que las eficaces medidas del gobierno comienzan a solucionar la situaci´on. La funci´on que describe, aproximadamente, la evoluci´on de N en funci´on del tiempo (en a˜nos) es:
N (t) = 5t
2− 5t + 10
t2+ 1 , para t ≥ 0.
a) N´umero de cabezas de ganado al comenzar el problema.
b) ¿Cu´ando se hace m´ınimo el n´umero de cabezas de ganado vacuno? ¿Cu´al es el n´umero de reses en el peor momento?
c) ¿Cu´al es la velocidad de crecimiento del n´umero de reses al cabo de 3 a˜nos? d) ¿En qu´e valor tiende a estabilizarse N cuando va pasando el tiempo?
e) Con los resultados de los apartados anteriores hacer una representaci´on aproximada de la evoluci´on de N .
20. Se est´a estudiando la capacidad de reproducci´on de una especie de aves en una isla. Si d = densidad de aves (en parejas/m2) y B = n´umero medio de descendientes por pareja, se observa
experimentalmente la relaci´on
B = 4 + 2d − 2d2. a) Dibujar la gr´afica de B(d).
b) Hallar d que maximiza el n´umero de descendientes por pareja, y el valor de dicho m´aximo. c) Hallar d que maximiza el n´umero de descendientes por m2, y el valor de dicho m´aximo.
21. Las granjas de patos contaminan el agua con nitr´ogeno en forma de ´acido ´urico. Se hace un seguimiento del nivel de ´acido ´urico (Y ) de un r´ıo, cerca de una de estas granjas, a lo largo del tiempo (en meses). Este nivel de ´acido ´urico se puede describir, durante un buen per´ıodo de tiempo, mediante la funci´on:
y = f (t) = 4 ln(t + 1) − 5 ln(t + 2) + 10 para t ≥ 0. a) ¿Cu´al es el nivel de ´acido ´urico al comenzar el seguimiento?
b) El nivel de ´acido ´urico, ¿crece o decrece en los primeros meses? ¿Cu´ando alcanza su nivel m´aximo o m´ınimo? ¿Cu´al es este nivel m´aximo o m´ınimo?
c) Hacer una representaci´on aproximada y razonada de la evoluci´on del nivel de ´acido ´urico durante el per´ıodo [0, 24] (los dos primeros a˜nos).
22. Dos especies de paramecios (paramecium aurelia y paramecium caudata) compiten en un nicho ecol´ogico por los mismos recursos. El n´umero de individuos por mililitro (N ) de paramecium caudata en este ecosistema viene dado por la funci´on:
N = 50(6t + 1)e−2t (t = tiempo en d´ıas). a) N´umero de individuos de paramecium caudata al empezar el estudio. b) Calcular el n´umero m´aximo de individuos e indicar cuando se alcanza. c) ¿Qu´e ocurre con la poblaci´on a largo plazo?
23. Considerar el modelo exponencial correspondiente a un crecimiento del 5% en cada unidad de tiempo, partiendo de un valor inicial de N0 = 100 (en t = 0).
a) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 para aproximar f (t) alrededor de t = 0.
b) Comparar el valor exacto y el aproximado del tama˜no de la poblaci´on al cabo de 2 unidades de tiempo.
24. Hallar el polinomio de Taylor de grado 4 para aproximar la funci´on y = f (t) = ln(1 + t) alrededor de t = 0. Comparar el valor exacto y el aproximado para t = 1.
25. Cada 4 horas tomamos 20 miligramos de un medicamento y cada 4 horas el cuerpo elimina una quinta parte de lo que tiene.
a) ¿Cu´antos miligramos de medicamento tendremos inmediatamente despu´es de tomar la ter-cera dosis?
b) Escribir la funci´on que expresa el n´umero de miligramos en el organismo en funci´on del tiempo (tomando como unidad de tiempo los intervalos de 4 horas).
