Códigos de grupo

(1)

C´

odigos de grupo

Francisco C´

esar Polcino Milies

Instituto de Matem´

aticas e Estat´ıstica

Universidade de Sao Paulo, Sao Paulo, Brasil

e-mail:

[email protected]

ALTENCOA6-2014

San Juan de Pasto, Colombia

11 al 15 de agosto de 2014

Resumen

En este curso se tratar´an los siguientes temas:

1. Conceptos b´asicos de la teoria de c´odigos correctores de errores.

2. C´odigos Lineares y c´odigos c´ıclicos.

3. ´Algebras de grupo y c´odigos de grupo.

4. ´Algebras de grupo semisimples e idempotentes primitivos.

5. C´odigos a partir de subgrupos.

6. Algunas aplicaciones.

(2)

C´odigos C´ıclicos ´

Algebras de Grupo C´odigos C´ıclicos Ideales en ´Algebras de Grupo Idempotentes primitivos

´

Algebras de Grupo y Teoria de C´

odigos

C´esar Polcino Milies Universidade de S˜ao Paulo Universidade Federal do ABC

(3)

(4)

Definici´on

Un código linealC ⊂_Fn _{se llama un} _c´_{odigo c´ıclico}_{se, para todo} vector (a0,a1, . . . ,an−2,an−1) en el código, se tiene que también el vector (an−1,a0,a1, . . . ,an−2) está en el código.

Note que la definici´on implica que si (a0,a1, . . . ,an−2,an−1) est´a en el

código, entonces todos los vectores que se obrienen a partir de este por una permutación c´ıclica de sus coordenadas también están en el código.

(5)

Definici´on

Un código linealC ⊂_Fn _{se llama un} _c´_{odigo c´ıclico}_{se, para todo} vector (a0,a1, . . . ,an−2,an−1) en el código, se tiene que también el vector (an−1,a0,a1, . . . ,an−2) está en el código.

Note que la definici´on implica que si (a0,a1, . . . ,an−2,an−1) est´a en el

código, entonces todos los vectores que se obrienen a partir de este por una permutación c´ıclica de sus coordenadas también están en el código.

(6)

Sea

R_n= F[X]

hXn₋₁_i;

Denotaremos por [f] la clase del polinomio f ∈F[X] en Rn.

La funci´on:

ϕ

:

_F

n

→

F

[X

]

h

X

n

₋

₁

_i

(a0,a1, . . . ,an−2,an−1)∈F[X] 7→ [a0+a1X+. . .+an−2Xn−2+an−1Xn−1].

ϕes un isomorfismo de F-espacios vectoriales. Por lo tantoUn

c´odigoC ⊂_Fn _{es c´ıclico si y solamente si}_ϕ_(C) _{es un ideal de}_R n.

(7)

Sea

R_n= F[X]

hXn₋₁_i;

Denotaremos por [f] la clase del polinomio f ∈F[X] en Rn. La funci´on:

ϕ

:

_F

n

→

F

[X

]

h

X

n

₋

₁

_i

(8)

Sea

R_n= F[X]

hXn₋₁_i;

Denotaremos por [f] la clase del polinomio f ∈F[X] en Rn. La funci´on:

ϕ

:

_F

n

→

F

[X

]

h

X

n

₋

₁

_i

(9)

En el caso en queCn=ha|an= 1i={1,a,a2, . . . ,an−1} es un grupo c´ıclico de ordenn, yF es un cuerpo, los elementos deFCn son de la forma:

α=α0+α1a+α2a2+· · ·+αn−1an−1.

Es muy facil probar que

FCn ∼= Rn= F

[X]

hXn₋₁_i;

Por lo tanto, estudiar c´

odigos c´ıclicos es equivalente

a estudiar ideales de un ´

algebra de grupo de la

forma

_F

C

n

.

(10)

α=α0+α1a+α2a2+· · ·+αn−1an−1. Es muy facil probar que

FCn ∼= Rn= F

[X]

hXn₋₁_i;

Por lo tanto, estudiar c´

odigos c´ıclicos es equivalente

a estudiar ideales de un ´

algebra de grupo de la

forma

_F

C

n

.

(11)

α=α0+α1a+α2a2+· · ·+αn−1an−1. Es muy facil probar que

FCn ∼= Rn= F

[X]

hXn₋₁_i;

Por lo tanto, estudiar c´

odigos c´ıclicos es equivalente

a estudiar ideales de un ´

algebra de grupo de la

forma

_F

C

n

.

(12)

´

(13)

SeanG un grupo yR un anillo conmutativo, con unidad. Denotaremos porRG el conjunto de todas las combinaciones lineales formales: α= X g∈G αgg, donde αg ∈R. Dados α=P g∈G αgg e β = P g∈Gβgg tenemos que α=β ⇐⇒αg =βg, ∀g ∈G. Definimos:   X g∈G αgg  +   X g∈G βgg  = X g∈G (αg +βg)g.   X g∈G αgg     X g∈G βgg  = X g,h∈G (αgβh)gh.

(14)

SeanG un grupo yR un anillo conmutativo, con unidad. Denotaremos porRG el conjunto de todas las combinaciones lineales formales: α= X g∈G αgg, donde αg ∈R. Dados α =P g∈G αgg e β = P g∈Gβgg tenemos que α=β ⇐⇒αg =βg, ∀g ∈G. Definimos:   X g∈G αgg  +   X g∈G βgg  = X g∈G (αg +βg)g.   X g∈G αgg     X g∈G βgg  = X g,h∈G (αgβh)gh.

(15)

SeanG un grupo yR un anillo conmutativo, con unidad. Denotaremos porRG el conjunto de todas las combinaciones lineales formales: α= X g∈G αgg, donde αg ∈R. Dados α =P g∈G αgg e β = P g∈Gβgg tenemos que α=β ⇐⇒αg =βg, ∀g ∈G. Definimos:   X g∈G αgg  +   X g∈G βgg  = X g∈G (αg +βg)g.   X g∈G αgg     X g∈G βgg  = X g,h∈G (αgβh)gh.

(16)

Algebras de Grupo Códigos C´ıclicos Ideales en Álgebras de Grupo Idempotentes primitivos Paraλin R definimos λ   X g∈G αgg  = X g∈G (λαg)g. Definición

El conjuntoRG, con las operaciones definidas, es un ´algebra sobre

(17)

Algebras de Grupo Códigos C´ıclicos Ideales en Álgebras de Grupo Idempotentes primitivos Paraλin R definimos λ   X g∈G αgg  = X g∈G (λαg)g. Definición

El conjuntoRG, con las operaciones definidas, es un ´algebra sobre

(18)

(19)

Definici´on

(20)

(21)

Definici´on

Un ´algebraAse dice semisimplesi todo ideal de Aes un sumando directo.

Dado un idealJ enA, existe otro ideal Ltal que A=J⊕L. Escribiendo 1 =e+f, con e ∈J yf ∈L, es facil provar que

e2 =e y queJ =Ae.

En un ´algebra semisimple A, todo ideal es generado por un elemento idempotente.

Teorema

(Maschke)A ´algebra de grupoFG essemisimplesi y solamente si la caracter´ıstica deFno divide el orden de G.

(22)

Definici´on

e2 =e y queJ =Ae.

Teorema

(23)

Definici´on

e2 =e y queJ =Ae.

Teorema

(24)

Definici´on

e2 =e y queJ =Ae.

Teorema

(Maschke)A ´algebra de grupoFG essemisimple si y solamente si la caracter´ıstica deFno divide el orden de G.

(25)

CuandoAes semisimple, entonces existe un unico conjunto de elementoscentrales e1,e2, . . . ,en in FG tales que:

1 e2

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes). 2 _e_i_e_j _{= 0 if}_i 6=_j _{(son ortogonales dos a dos).} 3 Si e_i =e0

i +ei00 conei0,ei00 idempotentes centrales ortogonales, entonces ei =e_i0 o ei =ei” (cada idempotente es primitivo o indescomponible).

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

Este conjunto es llamdo elconjunto completo de idempotentes centrales primitivosdeFG.

(26)

1 e2

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes).

2 _e_i_e_j _{= 0 if}_i 6=_j _{(son ortogonales dos a dos).} 3 Si e_i =e0

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

(27)

1 e2

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes). 2 _e_i_e_j _{= 0 if}_i 6=_j _{(son ortogonales dos a dos).}

3 Si e_i =e0

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

(28)

1 e2

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

(29)

1 e2

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

(30)

1 e2

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

Este conjunto es llamdo elconjunto completo de idempotentes centrales primitivosde FG.

(31)

Los ideales generados por los idempotentes centrales primitivos; i.e. los ideales de la formaIi =FGei son los ideales bilaterales minimales deA.

Todo ideal bilateral deA es de la formaI =Ae, dondee ∈A es un elemento idempotente central.

Existe un resultado similar para ideales a la izquierda (o a la derecha).

(32)

(33)

(34)

CuandoAes semisimple, entonces existe un conjunto de elementos

e1,e2, . . . ,en in FG tales que:

1 e2

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes). 2 e_ie_j = 0 ifi 6=j (son ortogonales dos a dos). 3 _Si _e_i ₌_e0 i +e 00 i cone 0 i,e 00

i idempotentes ortogonales, entonces

ei =ei0 o ei =ei” (cada idempotente es primitivo). 4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

Este conjunto es llamado unconjunto completo de idempotentes primitivosdeFG.

Todo ideal a izquierd deA es de la formaI =Ae, donde e ∈Aes un elemento idempotente central.

(35)

e1,e2, . . . ,en in FG tales que: 1 e2

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes).

2 e_ie_j = 0 ifi 6=j (son ortogonales dos a dos). 3 _Si _e_i ₌_e0 i +e 00 i cone 0 i,e 00

(36)

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes). 2 e_ie_j = 0 ifi 6=j (son ortogonales dos a dos).

3 _Si _e_i ₌_e0 i +e 00 i cone 0 i,e 00

(37)

i =ei,1≤i ≤n (son idempotentes). 2 e_ie_j = 0 ifi 6=j (son ortogonales dos a dos). 3 Si e_i =e0 i +e 00 i cone 0 i,e 00

ei =ei0 o ei =ei” (cada idempotente es primitivo).

4 1 =e₁+e₂+· · ·+e_n

(38)

(39)

(40)

(41)

Por lo tanto:

Si suponemos que

char

(

_F

)

6

|

G

|

, entonces el estudio

de c´

odigos de grupo es equivalente al estudio de

ideales de ´

algebras de grupo y estos son siempre

genereados por elementos idempotentes.

(42)

Idempotentes a partir de subgrupos

SeaH un subgrupo de un grupo finitoG y seaFun cuerpo tal que

car(F)6||G|. El elemento b H = 1 |H| X h∈H h

es un idempotente del ´algebraFG, llamado elidempotente determinado porH.

b

(43)

Idempotentes a partir de subgrupos

SeaH un subgrupo de un grupo finitoG y seaFun cuerpo tal que

car(F)6||G|. El elemento b H = 1 |H| X h∈H h

es un idempotente del ´algebraFG, llamado elidempotente determinado porH.

b

(44)

SiH es un subgrupo normal del grupo G, tenemos que FG ·Hb ∼=F[G/H]. luego dim_F (FG)·Hb = |_|G_H|_| = [G :H].

Seaτ ={t1,t2, . . . ,tk}un transversaldeK enG (donde

k= [G :H] y elegimos t1 = 1), entonces {tiHb |1≤i ≤k} es unabasede (FG)·Hb.

(45)

SiH es un subgrupo normal del grupo G, tenemos que FG ·Hb ∼=F[G/H].

luego

dim_F (FG)·Hb

= |_|G_H|_| = [G :H].

k= [G :H] y elegimos t1 = 1), entonces {tiHb |1≤i ≤k} es unabasede (FG)·Hb.

(46)

luego

dim_F (FG)·Hb

= |_|G_H|_| = [G :H].

k= [G :H] y elegimost1 = 1),

entonces {tiHb |1≤i ≤k} es unabasede (FG)·Hb.

(47)

luego

dim_F (FG)·Hb

= |_|G_H|_| = [G :H].

k= [G :H] y elegimost1 = 1), entonces {tiHb |1≤i ≤k} es unabasede (FG)·Hb.

(48)

SeaG un grupo finito y seaF un cuerpo tal quechar(F)6||G|. Sean todaviaH yH∗ subgrupos normales deG tales que H⊂H∗. Podemos definir otro tipo de idempotentes por:

e =Hb −Hc∗.

(49)

Par´

ameteros del c´

odigo

Teorema (R. Ferraz - P.M.)

SeaG un grupo finito y seaF un cuerpo tal quechar(F)6||G|. SeanH yH∗ subgrupos normales deG tales queH ⊂H∗ e sea

e =Hb −Hc∗. Entonces: dimF(FG)e = |G/H| − |G/H∗|= |G| |H| 1− |H| |H∗_| w((FG)e) = 2|H|

(50)

Par´

ameteros del c´

odigo

(51)

Par´

ameteros del c´

odigo

(52)

Teorema

e =Hb −Hc∗.

SeanAun transversal de H∗ enG yτ un transversal de H enH∗ que contene el elemento 1. Entonces

B = {a(1−t)Hb |a∈ A,t∈τ\ {1}}

(53)

Es posible determinar los idempotentes centrales primitivos a partir de los idempotentes determnados por subgrupos?

(54)

Teorema (Arora-Pruthi (1997), Ferraz-P.M. (2007))

SeanFun cuerpo con q elementos yAun grupo c´ıclico de orden

pn, p un primo impar, tal que o(q) =ϕ(pn) enU(Zpn) (dondeϕ denota la funci´on de Euler). Sea

A = A0 ⊃A1 ⊃ · · · ⊃An={1}

la cadena descendente de todos los subgrupos deA. Entonces, el conjunto de idempotentes primitivos deFAes el siguiente:

e0 = 1 pn X a∈A a ! ei =Ab_i −Ad_i−1, 1≤i ≤n.

(55)

Teorema (Arora and Pruthi (2002), Ferraz-PM (2007))

SeaF un cuerpo con q elementos yAun grupo c´ıclico de orden

2pn_,_p _{un primo impar, tal que}_o_{(q) =}_ϕ_(pn_{) in} _U(

Z2pn).

EscribimosG =C ×AdondeA denota elp-subgrupo de Sylow de G yC ={1,t}es el 2-subgrupo de Sylow.

Siei, 0≤i ≤n denota el conjunto de idempotentes primitivos de

FA, entonces los idempotentes primitivos de FG son los siguientes:

(1 +t)

2 ·ei y

(1−t)

(56)

SeaA unp-grupo abeliano. Para cada subgrupo H deA tal que

A/H6={1}es c´ıclico, podemos construir un idempotente de FA. ComoA/H es un subgrupo c´ıclico de oreden una potencia de p, existe un ´unico subgrupoH∗ deA, que contiene H y tal que |H∗/H|=p. Escribimos eH =Hb −Hc∗. y tambi´en eG = 1 |G| X g∈G g.

(57)

A/H6={1}es c´ıclico, podemos construir un idempotente de FA. ComoA/H es un subgrupo c´ıclico de oreden una potencia de p, existe un ´unico subgrupoH∗ deA, que contiene H y tal que |H∗/H|=p. Escribimos eH =Hb −Hc∗. y tambi´en eG = 1 |G| X g∈G g.

(58)

Teorema (Ferraz-PM (2007))

Seap un primo impar e sea Aunp-grupo abeliano de exponentee. Entonces, el conjunto de idempotentes dado en el teorema anterior es el conjunto de los idempotentes primitivos deFAsi y solamente

si vale una de las siguientes condiciones:

(i) e = 2pr,p 6= 2 y q es impar.

(ii) pr _{= 4 y} _q _≡₃ _{(mod 4).}

(iii) o(q) =ϕ(pn) enU(Zpn).

(59)

Teorem (Ferraz-PM (2007))

Seap un primo impar y seaAun p-grupo abeliano de exponente 2pr. EscribimosA=E×B, dondeE es un 2-grupo abeliano elemental yB es unp-grupo. Enbtonces, los idempotentes primitivos deFA son productos de la formae.f, dondee es un idempotente primitivo deFE yf un idempotente primitivo deFB.

(60)

Teorem (Ferraz-PM (2007))

Seap un primo impar y seaAun p-grupo abeliano de exponente 2pr. EscribimosA=E×B, dondeE es un 2-grupo abeliano elemental yB es unp-grupo. Enbtonces, los idempotentes primitivos deFA son productos de la formae.f, dondee es un idempotente primitivo deFE yf un idempotente primitivo deFB.

(61)

Preliminares Códigos c´ıclicos vs Códigos Abelianos Códigos dihedrales

Algunas aplicaciones

C´esar Polcino Milies

(62)

Preliminares

Códigos c´ıclicos vs Códigos Abelianos Códigos dihedrales

(63)

Preliminares

Par´

ameteros del c´

odigo

SeaG un grupo finito y seaF un cuerpo tal quecar(F)6||G|. Sean

H yH∗ subgrupos normales deG tales queH⊂H∗ e sea

(64)

Preliminares

Par´

ameteros del c´

odigo

(65)

Preliminares

Par´

ameteros del c´

odigo

(66)

Preliminares

Teorema

e =Hb −Hc∗.

SeanAun transversal de H∗ enG yτ un transversal de H enH∗

que contene el elemento 1. Entonces

B = {a(1−t)Hb |a∈ A,t∈τ\ {1}}

(67)

Preliminares

A/H6={1}es c´ıclico, vamos a construir un idempotente deFA.

ComoA/H es c´ıclico, de orden una potencia de p, existe un ´unico subgrupoH∗ deA, que contiene H, tal que |H∗/H|=p.

Construimos los idempotentes

eH =Hb −Hc∗. y tambi´en eG = 1 |G| X g∈G g.

No es dif´ıcil ver que este es un conjunto de idempotentes ortogonales cuja suma es 1.

(68)

Preliminares

(69)

Preliminares

(70)

Preliminares

Definici´on

Seag un elemento de un grupo finitoG. Aclase q-ciclot´omica de g es el conjunto

Sg = {gq

j

|1≤j ≤tg −1},

dondetg es el menor entero positivo tal que qtg _≡₁₍_{mod o}₍_g₎₎_.

Teorema

SeaG un grupo finito yFel cuerpo conq elementos y supongamos

quegcd(q,|G|) = 1. Entonces, el número de componentes simples deFG es igual al número de clasesq-ciclotómicas deG.

(71)

Preliminares

Definici´on

Seag un elemento de un grupo finitoG. Aclase q-ciclot´omica de g es el conjunto

Sg = {gq

j

|1≤j ≤tg −1},

dondetg es el menor entero positivo tal que qtg _≡₁₍_{mod o}₍_g₎₎_.

Teorema

SeaG un grupo finito yFel cuerpo conq elementos y supongamos

quegcd(q,|G|) = 1. Entonces, el número de componentes simples deFG es igual al número de clases q-ciclotómicas deG.

(72)

Preliminares

Teorema (Ferraz-PM (2007))

SeaF un cuerpo finito con|F|=q, y sea Aun grupo abeliano

finito, de exponentee. Entonces, el conjunto de los idempotentes primitivos deFG es el constru´ıdo a partir de subgrupos si y s´olo si

vale una de las siguientes condiciones:

(i) e = 2 y q es impar.

(ii) e = 4 y q ≡3 (mod 4).

(iii) e =pn_y_o₍_q_{) =}_ϕ₍_pn_{) en}_U₍

Zpn). (iv) e = 2pn yo(q) =ϕ(pn) enU(Z2pn).

(73)

Preliminares

Teorema (Arora-Pruthi (1997), Ferraz-P.M. (2007))

SeanF el cuerpo conq elementos y Aun grupo c´ıclico de ordenpn

tales queo(q) =ϕ(pn) enU(Zpn) (dondeϕ denota la funci´on de

Euler). Sea

A = A0 ⊃A1 ⊃ · · · ⊃An={1}

la cadena descendiente de todos los subgrupos deA. Entonces, el conjunto de idempotentes primitivos deFAest´a dado por:

e0 = 1 pn X a∈A a ! ei =Ab_i −Ad_i−1, 1≤i ≤n.

(74)

Preliminares

Teorema

SeanGi ⊂Gi−1 subgrupos consecutivos en la cadena de subgrupos

deG yei =Gb_i −Gd_i−1. Entonces

w((RG)ei) = 2|Gi |, parai 6= 0

y

w((RG)e0) =|G |, for 0≤k ≤t−1.

Teorema (F. Melo - PM (2013))

ConsidereI =I0⊕...⊕Ij,con 0≤j ≤n−1. Entonces, w(I0⊕I1⊕...⊕Ij) =|Gj |.

(75)

Preliminares

Teorema

y

w((RG)e0) =|G |, for 0≤k ≤t−1.

ConsidereI =I0⊕...⊕Ij,con 0≤j ≤n−1. Entonces,

(76)

Preliminares

Teorema

y

w((RG)e0) =|G |, for 0≤k ≤t−1.

ConsidereI =I0⊕...⊕Ij,con 0≤j ≤n−1. Entonces, w(I0⊕I1⊕...⊕Ij) =|Gj |.

(77)

Preliminares

SiI =Ij1⊕...⊕Ijl,jr <jr+1, para 1≤r ≤l con {j1, ...,jl}${0,1, ...,jl}, entonces

(78)

Preliminares

SiI =Ij1⊕...⊕Ijl,jr <jr+1, para 1≤r ≤l con {j1, ...,jl}${0,1, ...,jl}, entonces

(79)

Preliminares

C´odigos c´ıclicos vs C´odigos Abelianos

C´odigos dihedrales

(80)

Preliminares

Vamos a comparar códigos c´ıclicos e códigos abelianos no c´ıclicos de longitud 2n, sobre un cuerpo con q elementos, siempre con la hipótesis de queo(q) =ϕ(p2) inU(Zpn).

Observaci´on

Note que, enFCp2 existen precisamente tres idempotentes

primitivos, a saber:

e0 =Gb, e₁=Gc₁−Gb e e₂ =Gc₂−Gc₁.

Para cada peso posible, los ideales de mayor dimensi´on correspondientes son:

I =I0⊕I1 y J =I1⊕I2

(81)

Preliminares

Observaci´on

e0 =Gb, e₁ =Gc₁−Gb e e₂ =Gc₂−Gc₁.

I =I0⊕I1 y J =I1⊕I2

(82)

Preliminares

Observaci´on

e0 =Gb, e₁ =Gc₁−Gb e e₂ =Gc₂−Gc₁.

I =I0⊕I1 y J =I1⊕I2

(83)

Preliminares

Ahora vamos a considerar c´odigos no c´ıclicos de longitud p2; esto es, ideales deFG donde

G = (Cp×Cp) =<a>×<b> .

Para determinar los idempotentes primitivos deFG, precisamos

encontrar los subgruposH deG tales queG/H es c´ıclico. Estos subgrupos son, precisamente

\

y todos los subgrupos de la forma

\

(84)

Preliminares

G = (Cp×Cp) =<a>×<b> .

encontrar los subgruposH deG tales queG/H es c´ıclico.

Estos subgrupos son, precisamente

\

\

(85)

Preliminares

G = (Cp×Cp) =<a>×<b> .

encontrar los subgruposH deG tales queG/H es c´ıclico. Estos subgrupos son, precisamente

\

\

(86)

Preliminares

Los idempotentes deFG son:

e0=Gb, e₁=<\a>−Gb, e₂ =<\b >−Gb,

(87)

Preliminares

Los pesos y las respectivas dimensiones de estos c´odigos son las siguientes:

dim(FG)e0 = 1 e dim(FG)e1 =dim(FG)fi =p−1, w((FG)e0) =p2 e w((FG)e1) =w((FG)fi) = 2p.

Dados dos subgrupos cualquieraH,K elegidos entre los anteriores, tenemos queG =H×K.

EscribamosH=<h> yK =<k >. Los idempotents centrales correspondientes sone =Hb −Gb,f =Kb −Gb. Considere

(88)

Preliminares

(89)

Preliminares

(90)

Preliminares

(91)

Preliminares

EscribamosH=<h>yK =<k >. Los idempotents centrales correspondientes sone =Hb −Gb,f =Kb−Gb. Considere

(92)

Preliminares

Teorema (F. Melo e P.M)

EL peso y la dimensi´on deI = (FG)e⊕(FG)f est´an dados por las

f´ormulas:

w(I) =dim(I) = 2p−2,

Definici´on

Laconveniencia de um c´odigoC es el n´umero

(93)

Preliminares

Teorema (F. Melo e P.M)

EL peso y la dimensi´on deI = (FG)e⊕(FG)f est´an dados por las

f´ormulas:

w(I) =dim(I) = 2p−2,

Definici´on

Laconveniencia de um c´odigoC es el n´umero

(94)

Preliminares

Para los c´odigos c´ıclicos no minimales tenemos:

conv(I0⊕I1) =p2 econv(I1⊕I2) = 2(p2−1).

Para la suma de dos c´odigos abelianos no c´ıclicos tenemos:

conv(N) = 4(p−1)2.

Luego, sip >3, tenemos que conv(N) es mayor que conv(I) para todo ideal propioI deFqCp2.

(95)

Preliminares

conv(N) = 4(p−1)2.

(96)

Preliminares

conv(N) = 4(p−1)2.

(97)

Preliminares C´odigos c´ıclicos vs C´odigos Abelianos

(98)

En esta secci´on vamos a considerar grupoes dihedrales de orden 2pm, conp primo, es decir, grupos de la forma:

Dpm =a,b|ap m

(99)

Teorema (Dutra, Ferraz, P.M.)

SeaFq un cuerpo finito con q elementos, tal quemdc(2pm,q) = 1

yU(Zpm) =hq¯i. Sea A=hai, y sea

A=H0⊇H1 ⊇ · · · ⊇Hm={1}

la cadena de subgrupos deA. Considere:

e0 =Ab , e_j =cH_j −H[_j₋₁, 1≤j ≤m. y e11= 1 +b 2 e0 e e22= 1−b 2 e0.

Entonces, el conjunto de idempotentes centrales primitivos de

FqDpm es

(100)

Teorema

Para cada idempotente centralej de FqDpm differente dee₁₁,e₂₂

los elementos e₁₁j = 1 +b 2 ej y e j 2= 1−b 2 ej son idempotnentes primitivos no centrales.

Teorema (Assuena- P.M.)

Con la notaci´on anterior, consideree₁₂j = 1+b₂ ej1−₂b.

Entoncesfj =e11j −e j

12 es un idempotente no central primitivo y,

paraI = (FqDpm)f_j tenemos que:

(101)

Teorema

Para cada idempotente centralej de FqDpm differente dee₁₁,e₂₂

los elementos e₁₁j = 1 +b 2 ej y e j 2= 1−b 2 ej son idempotnentes primitivos no centrales.

Con la notaci´on anterior, consideree₁₂j = 1+b₂ ej1−₂b.

Entoncesfj =e11j −e j

12 es un idempotente no central primitivo y,

paraI = (FqDpm)f_j tenemos que:

(102)

Definition

SeaF un cuerpo y seanG1,G2 grupos finitos del mismo orden.

Una equivalencia combinatoriaes un isomorfismo de espacios vectorialesφ: FG1−→FG2 tal queφ(G1) =G2.

Dos c´odigosC1⊂FG1 yC2⊂FG2, soncombinatoriamente

equivalentessi existe una equivalencia combinatoria

(103)

Definition

SeaF un cuerpo y seanG1,G2 grupos finitos del mismo orden.

Una equivalencia combinatoriaes un isomorfismo de espacios vectorialesφ: FG1−→FG2 tal queφ(G1) =G2.

Dos c´odigosC1⊂FG1 yC2⊂FG2, soncombinatoriamente

equivalentessi existe una equivalencia combinatoria

(104)

SeaDpm o grupo dihedral:

Dpm =a,b |ap m

= 1 =b2, bab=a−1

. y seaFq un cuerpo finito conq elementos, tal que

mdc(2pm,q) = 1 yU(Zpm) =hq¯i.

Entonces, en cada componente simple deFqDpm, exisite un ideal a

la izquierda minimal (un c´odigo izquierdo) que no es combinatoriamente equivalente a un c´odigo abeliano.

(105)

Una familia de ejemplos

SeanFqun cuerpo finito con q elementos y D9 el grupo dihedral de

orden 18. Sigcd(2pm,q) = 1,U(Zpm) =hq¯i y la caracteristica de

Fq no es 2, 3, 5 e 7, entonces:

dim[FqD9(e111 −e121 )] =ϕ(3) = 2;

w[FqD9(e111 −e121 )] = 15.

Enwww.codetables.de hay c´odigos sobreF5 yF7 de esta

(106)

Una familia de ejemplos

SeanFqun cuerpo finito con q elementos y D9 el grupo dihedral de

orden 18. Sigcd(2pm,q) = 1,U(Zpm) =hq¯i y la caracteristica de

Fq no es 2, 3, 5 e 7, entonces:

dim[FqD9(e111 −e121 )] =ϕ(3) = 2;

w[FqD9(e111 −e121 )] = 15.

Enwww.codetables.de hay c´odigos sobreF5 yF7 de esta