Índice
Capítulo 1
Teoría de exponentes
5
Capítulo 2
Polinomios
8
Capítulo 3
Productos notables I
11
Capítulo 4
Productos notables II
14
Capítulo 5
Repaso
17
Capítulo 6
División algebraica I
20
Capítulo 7
División algebraica II
23
Capítulo 8
Factorización
25
Capítulo 9
MCD - MCM - Fracciones algebraicas
29
I Bimestre
Capítulo 10
Ecuaciones de primer grado
32
Capítulo 11
Planteo de ecuaciones de primer grado
35
Capítulo 12
Ecuaciones de segundo grado
38
Capítulo 13
Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada
41
Capítulo 14
Sistemas de ecuaciones I
43
Capítulo 15
Sistemas de ecuaciones II
46
Capítulo 16
Repaso
49
Capítulo 17
Desigualdades - inecuaciones de primer grado
52
Capítulo 18
Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto
55
Álgebra
Capítulo 19
Funciones I
59
Capítulo 20
Funciones II
62
Capítulo 21
Logaritmos I
66
Capítulo 22
Logaritmos II
69
Capítulo 23
Repaso
73
Capítulo 24
Progresiones
77
Capítulo 25
Factorial, número combinatorio y binomio de Newton
82
Capítulo 26
Radicación
85
Capítulo 27
Cantidades imaginarias
88
Capítulo 28
Repaso
91
Capítulo 29
Teoría de exponentes
94
Capítulo 30
Polinomios - productos notables
96
Capítulo 31
Repaso
100
Capítulo 32
Ecuaciones de 2do. grado
103
Capítulo 33
Sistema de ecuaciones
106
Capítulo 34
Inecuaciones - Valor absoluto
109
Capítulo 35
Funciones
112
Capítulo 36
Logaritmos - progresiones
116
1
Teoría de exponentes
Ejercicios resueltos
1. Si: xy=2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: ( ) . ( ) ( ) x x x x 2 6 4 y y x x x y y 2 2 y y y − + − − −
(Ex. Admisión UNMSM 2010–I)
Resolución
Preparamos convenientemente a la expresión:
( ) ( ) . ( ) ( ) x x x x 2 6 4 . y y x x y x y 2 1 2 y y y − + − − − Reemplazamos el dato: ( ) ( ) . ( ) 2 2 6 2 4 2 2 8 3 16 4 1 2 1 2+ 2 = + − − − − 5 4 65 4 13 = =
2. Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" es un número entero, entonces el valor de 2(n+3), es: (Ex. Admisión UNMSM 2009–I)
Resolución
Factorizamos: 5n+1. (base común elevado al menor exponente) . (1 5 5 5 ) 5n 1+ 14444+ +224444+ 33 =780 se obtiene de dividir: ; ; ; 5 5 5 5 5 5 5 5 n n n n n n n n 1 1 1 2 1 3 1 4 + + + + + + + + Factor común Operando: . ( )
5n 1+ 156 =780 & 5n 1+ =51 & n+ =1 1 & n=0 ` 2 (n+3) = 6
3. Resuelva la ecuación: 22x+2–5(6x)=32x+3, luego calcule 5x (Ex. Admisión UNMSM 2011 - I)
Resolución
Preparamos las potencias de la ecuación . . ( )( ) . 22x 22−5 3 2x x =32x 32 . ( ) . ( )( ) ( ) 4 2x 2−5 2 3x x =9 3x2 Entonces: a ab b 4 2−5 −9 2=0 Factorizando: (4a – 9b)(a+b) = 0 4a=9b Puesto que: a ≠ –b 4 . (2x)=9 . (3x)
Para facilitar su resolución hacemos cambios: 2x = a / 3x=b a ab b 4 2−5 −9 2=0 4 a a –9 b b –9 ab 4 ab –5 ab (+) . . 2 22 x=3 32 x " 2x+2=3x+2 ; x + 2 = 0 ; ` x= −2 5x=5−2= 251
1. Calcule el valor de: 2 1 5 2 7 4 , 3 2 1 0 5 + + − − − ` j 8 B ; E ' 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Indique el exponente final de "x" en: ( .x x . ... . ) (x x x ... x) veces veces 7 7 7 10 7 7 7 10 + + + 14442444 13 44424443 a) 72 b) 70 c) 76 d) 77 e) 78 3. Al reducir la expresión: . . ( ) . . ; x x x x x x x 0 ( ) 4 3 12 2 3 2 2 2 2 4 3 ! − − −
Se obtiene xn, entonces. ¿Cuál es el valor de n+3? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16 4. Si: . . . x 96 15 15 10 6 2 4 4 5
= ; entonces es verdad que:
a) x < 2 b) x ∈ N c) 3x ∈ N d) 2 < x < 2,5 e) 2x ∈ Z
5. Calcule el valor de 6M, si:
M 20 45 80 12 48 27 1 2 4/ = + − − + − e o = G a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 6. Reduzca la expresión: . 2 4 4 3 2 4 a) 0,1 b) 0,25 c) 0,5 d) 0,75 e) 0,83 7. Simplifique la expresión: x x x x x ; x > 0 a) 6 x5 b) 8 x7 c) 9 x8 d) 5 x3 e) 6 x31 8. En la ecuación: 3x + 3x–1+3x–2+3x–3+3x–4=363 Calcular el valor de 2x. a) 5 b) 8 c) 16 d) 2/5 e) 10 9. Calcular el valor de "x": x 1+ x 1+ 38 4 =8144 8 B . a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1 10. Si: 5x = m y 5z = n, halle: (0,04)–x+2z a) m2 × n–4 b) m1/2 × n–4 c) m2 × n–1/4 d) m–2 × n4 e) m2 × n4 11. Si al simplificar: .x8 7 x3. 5 x3m.3 x2m el exponente de "x" es 10. Hallar el valor de "m" a) 15 b) 11 c) 13 d) 9 e) 12
12. Al resolver la ecuación: 9x 1- +9x+9x 1+ +92 =30. Indica una característica del valor obtenido para "x". a) Es un número impar.
b) Es un número no negativo. c) Es un número fraccionario. d) Es un número primo. e) Hay dos correctas.
13. Calcular "x" en: 3x–7+3x–5=3x–6+7x–6
a) 24+1 b) 42 – 1 c) 32 – 1 d) 23 – 1 e) 43 – 1
14. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II) Si x es positivo, simplificar la expresión:
x x x x x ... x n 3n n 1n 5 4 4 3 3 2 2 1 2+ + a) x1/2 b) xn c) x2 d) x e) 1
15. (Ex Admisión UNMSM 2007 – I) Si: 7 7 7 7 7 n 4 3 15 n 81 -- =
-= G . Hallar la suma de cifras de "n". a) 3 b) 8 c) 1
d) 2 e) 9
16. (Ex Admisión UNMSM 2009 – I)
¿Qué valor debe tomar "m" para que se verifique la igualdad: ^0,1h-m. ^0,01h-2m. 0,001 =10? a) 8 11 b) – 15 11 c) 12 11 d) 11 12 e) – 12 11
Práctica
Tarea domiciliaria
1. Hallar el valor de "x" en la ecuación: 34x 3- =332 a) 112 b) 114 c) –112 d) –114 e) 132 2. Resolver: 23 x 1+ .4 2x 3+ =6 2 a) 4 11 b) – 7 11 c) 7 15 d) – 114 e) 132 3. Resolver: 5x+1+2.5x=35 a) 7 1 b) 7 2 c) 1 d) 537 e) 117 4. Hallar el valor de "x":2x 2x 2 ... 2x x 2 2 ... 2 32 veces "2x 4" veces + + + = # # # -14444244443 144424443. a) 9 b) 4 c) 3 d) 3 1 e) 2 1 5. Calcular el valor de "x": 316x=81. a) – 171 b) –21 c) 171 d) 3 2 e) 2 1 6. Resolver: 144 36 161 x 1 x 1 = -. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7. Hallar el valor de "x": 25-8-x2 1=25-8-31 - - -. a) 9 b) 4 c) 16 d) 3 1 e) 4 1 8. Resolver: 2 3x=3 232x. a) 3 1 b) 7 5 c) 3 2 d) 3 4 e) 8 3 9. Resolver: 8132x=2742x. a) 41 b) –1 c) –21 d) 21 e) 1 10. Resolver: 3225x 1- =25x 3+ . a) 21 b) 53 c) 23 d) 4 e) 25
11. Muestre el exponente final de "a", luego de transformar: a a . a 5x 3y 3x 3x y x 2x x 4y -+ -. a) 4 7 b) 6 13 c) 2 9 d) 6 11 e) 4 21
12. Hallar el valor de xx , al resolver: 22x 163- +42=17
a) 8 b) 2–1 c) 8 1 d) 4 e) 6 13. Calcular el valor de "x": 2 2 2 2 2 2x 56 2x 76 10 + + = a) 20 b) 36 c) 34 d) 23 e) 33 14. En la ecuación: 3x+3x 1- +3x 2- +3x 3- +3x 4- =363. Calcular el valor de 2x. a) 5 b) 8 c) 16 d) 5 2 e) 10 15. Si: x 3 ... 1 x 9 ... 2 y y2 = = . Calcular: yx8 a) 16 b) 64 c) 3 4 d) 4 2 e) 2
16. Si: xayb=10a...(1) ; xbya=10b...(2). Calcular: (xy)x/y.
a) 101010 b) 10 10 c) 1010 d) 10 e) 10–10 17. Hallar "x" de: xx2+2=4 a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 2 e) 22
18. Se sabe que: x=7 8 y xxn=( )nxx, entonces ¿cuál es el valor de n2?
a) 49 b) 64 c) 100 d) 121 e) 5
19. Resolver: 2x 4x 42- + =312 x 8x+ 2- . Dar como respuesta: 7 . x 511+ ; E a) 7 b) 6 77 c) 11 d) 56 e) 1514
20. Si: x= 6+ 6+ 6 ...+ . Entonces se cumple que: a) x=–3 b) x=3 c) x=–2 d) x=2 e) x=4
2
Polinomios
Ejercicios resueltos
1. Si la expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de
m+n+a+b.
Resolución
El dato expresa; que los términos del "polinomio" se reducen a un monomio; por lo tanto:
3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1.
son términos semejantes. & a – 2=5 / n=6; b+1=6 además: 3+m+b=10 a=7 m+b=7 `m+n+a+b=7+7+6=14 m+n+a+b=14
2. Halle el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente
con la suma de sus coeficientes es 12.
Resolución
Por propiedad: . coef
/
P(x)=P(1) / T. Independiente P(x)=P(0) luego, se establece; del dato:P(1)+P(0)=12 donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces: (2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=12 1 [+4+2h – 1[+2h=12 " 2 x 2h=8 ` h=2
3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del
polinomio f(x). Resolución Piden: T. Independiente f(x)+
/
coef.f(x) Por propiedad: f(0)+f(1) Del dato: P(P(0))+P(P(1)) P(0)=02 – 3=–3 P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6 P(1)=12 – 3= –2 P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1 y como: f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1)) ` f(0)+f(1)=6+1=71. Resolver los siguientes ejercicios:
* Sabiendo que: F(x)=x2+5x+4, halle F(6).
* Si: F(3x – 4)=x2 – 3x+2, halle F(11).
* Si: F(x)=x2+3x; G(2x+3)=x2–x, halle:
F(5)+G(17).
2. (Ex. Admisión UNMSM 2013–I) Si: f(x–3) = x2+1 y h(x+1) = 4x + 1 halle el valor de h (f(3) + h(–1))
a) 117 b) 145 c) 115 d) 107 e) 120
3. Con respecto al polinomio: P(x) = 3x+2, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. P(z) = 3x + 2 II. P(x+2) = 3x + 6 III. P(P(x)) = 3P(x) + 2
Dé como respuesta la secuencia correcta a) FFF b) VFF c) FFV d) VFV e) VVV 4. Se define: H(x+3) = 5x – 1 H(P(x)) = 5x + 4 Calcular: P(2) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12
5. Si la suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = (x2+3x+1)2–7x(x+1) es "a"; y el término independiente de Q(x) es "b". Halle: a + b2; si:
Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2
a) 243 b) 543 c) 267 d) 257 e) 357
6. Halle el coeficiente del monomio:
F(x;y;z)=(9a+ b) xa+3 y5 zb – 2, si sus grados relativos
son iguales.
a) 65 b) 16 c) 47 d) 88 e) 82 7. Indique el valor de n/m si se sabe que en el siguiente
polinomio se cumple que: GA(P)=8 y GR(y)=5 P(x; y) = 3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
8. Dado el polinomio homogéneo:
A(x; y; z)=xm+2+(m+n)yn – (m – n)zm+n – 4
Calcule: A3 ^- 2; 2;2h.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 7 9. Sea: P(x;y)=x12y5+axby8+bx11ya; un polinomio
homogéneo. Hallar la suma de coeficientes de P(x;y). a) 14 b) 16 c) 15 d) 17 e) 18
10. Si: F(x)=xa – 2+2xb – 3+3xc – 4+...+nxm+nm es un polinomio completo y ordenado de 15 términos.
Hallar: a b+ .c a) 2 b) 16 c) 15 d) 1 e) 8 11. Sea: P(x)=(2x+3)2 – 4x(x – 1) – 74 F(x)=a(x – 5) +b(x – 2) Hallar: a b, si: P(x) ≡ F(x). a) 55 b) 30 c) 84 d) 18 e) 72 12. Sea: A(x)=3x2 +bx2 – 5 – ax – 7x+c; un polinomio
idénticamente nulo. Hallar: E c a b = + . a) –2 b) 4 c) 8 d) 1 e) 6 13. Calcular: E ab c2 = +− si se cumple que: a(x – 3)2+b(x – 2)2+c(x – 1)2 ≡ 5x2 – 2x+3 a) –4 b) 4 c) 7 d) 9 e) 5 14. Sea el polinomio: f(x) = x(x+1), si para a≠b, se cumple
que: f(a)=1–b y f(b)=1–a, calcule el valor de a+b a) 1 b) 0 c) 2 d) –1 e) 1/2
15. Si g(x) es un polinomio que cumple g(x–1)=x2–x+1, entonces el equivalente de: g(x+1)–g(x–1), es: a) 4x+4 b) 4x+2
c) 2x2–4 d) 2x–2 e) 2x2+2x+4
16. (Ex Admisión UNMSM 2006 – II)
Si: f(x – 1)=2 f(x – 2) – 1; f(–3)=2. Hallar f(0). a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 12 17. (Ex Admisión UNMSM 2009 – II)
Si el polinomio:
P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+...
es ordenado y completo. Calcular: P(1) – P(–1) a) –15 b) –12 c) 12 d) 5 e) 15
18. (Ex Admisión UNMSM 2010 – I Hab. Matemática) P(x)+Q(x)=ax+b, P(x) – Q(x)=a+bx y P(5)=4 Calcular: P(Q(1)). a) 3 4 b) 3 1 c) 3 2 d) 35 e) –34
19. Dadas las expresiones: P(2x+1)=x2 ∧ Q(P(x+1))=x–1 Calcule el mayor valor de Q(4)
a) 1 b) 3 c) 0 d) –3 e) –5
1. Si el monomio: M(x)=(n2–1) x n 32 + es de grado tres, calcular el coeficiente. a) 46 b) 47 c) 48 d) 43 e) 49 2. Si: P(x)=x – 3 y P(f(x))=3x – 4. Calcular: f(3). a) 9 b) 6 c) 8 d) 0 e) 2 3. Si: P(3x – 1)=6x – 1. Determinar: R(x)=P(2x+4).
Señalar el término independiente de R(x).
a) 4 b) 13 c) 9 d) 3 e) 6 4. Si: f(x)=2x+8 y g(x)=2x+k. Además: f(g(x)) – g (f(x))=18. Calcular: k – 1. a) 4 b) 9 c) 18 d) 16 e) 25 5. Si se cumple que: h(x)=x+2 y f(x)=x+k. Calcular "k", si además: h(f(k+3))=5. a) 0 b) 173 c) 173 d) v0 −173 e) –173
6. Dado el polinomio mónico y a la vez cuadrático tal que: P(x)=(a – 8)xa – 10 +(a – 2b – 2)xa – 9+a+2b.
Determinar: P(x). a) x2 – 2x+12 b) x2 – 3x+15 c) x2+3x+13 d) x2+3x+19 e) x2+3x+11 7. Determinar "x" en la igualdad: h(g(x))+15=g(h(x)) – 2x Si se cumple que: h(x)=2x+5; g(x)=3x – 2. a) 3 2 b) 2 3 c) 3 4 d) – 3 2 e) – 2 3 8. Si se tiene el polinomio: P(x)=(1+x2)(1+x4)(1+x6)...
"2n" paréntesis. Determinar el grado de P(x). a) n2(n+1) b) (n2+1)n c) n(n+1)
d) n22 e) n n 1 2
2^ + h
9. Sea P(x) un polinomio lineal tal que: P(a+b)=a + P(a – b) / ab≠0
Determinar el coeficiente lineal de dicho polinomio a) a+b b) a – 2b c) 2ba d) 2a+b e) a – b 10. Sabiendo que: P(x+2)=6x+1; P(f(x))=12x. Resolver: f(f(x–1))=13. a) 0,53! b) 0,25 c) 0,75 d) 2 e) 4 11. Si: P(x)=7xn – 8xn+1 – xn+2; es completo en "x" ¿Cuál es el valor de P(2)? a) –14 b) –13 c) –15 a) –16 b) –17 12. Siendo: E(x;y)=xmm– 2+3xnmy17 – xm-3y28 – m un
polinomio homogéneo. Indicar: 2 m n 4^ - h mn+nm-1 a) 16 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 13. Si: P(x)=mxp – 1+nxm – 2+mnxn – 3+pxm; es un
po-linomio completo y ordenado ascendentemente, dar la suma de coeficientes
a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24 14. Si los polinomios: (x–a)(x–b)+(x–c)(x-b)+(x–c)(x–a),
y ax2+bx+cb+a son equivalentes. Indicar el valor
de: ca–1 – b
a) 19 b) 35 c) 3 25 d) 11 e) –5
15. Si: x4+4/^x ax a x2- + h^ 2+2x 2+ h. Calcular: "a" a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 16. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo:
P(x)=(a+3b – 10)x2+(5a+6b – 23)
Calcular el grado de:
Q(y)=(b – a – 2)ya+b – 1+2bxa+1
a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0 17. Si se cumple: AKx2+3xK+2BK≡(A+1)x2+Bx+3B,
el valor de: (A+B+K) es:
a) 6 b) 8 c) 9 d) 14 e) 7 18. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio
homogéneo: P(x;y) 3px= n 5 122- y +5 p q x y^ - h p q+^13q 4 x y+ h n 3n 142 -a) 324 b) 254 c) 756 d) 542 e) 432 19. De la siguiente identidad: (x+1)5 + (x–1)5 ≡ 2x5 + ax3 + 10x + b Calcule el valor de: (a–18)(b+3)
a) 4 b) 6 c) –4 d) 8 e) 0 20. Dados: P(3x2+2x)=(3x2+2x+2)2+3(3x2+2x+2)3. Hallar: E=P(2x – 2) – 4x2 a) 6x2 – 2x2 b) 6x3 c) 12x3 d) 24x3 e) 6x3+2x2
Tarea domiciliaria
3
Productos notables I
Ejercicios resueltos
1. Se sabe que x2+5x=4, entonces, ¿cuál es el valor de (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 79?
Resolución
Ordenando lo que se pide: 7 x 1 x 4 x 2 x 3 9 x2 5x 4 x2 5x 6 79 + + + + -= + + + + -^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h 14442444 13 44424443 Reemplazando el dato: 4 4 4 6 79 80 79 1 =^ + h^ + h- = - =
2. Simplifique la siguiente expresión: ^x 1 x 1 x+ h^ - h^ 2+1h+1 . x!R+.
Resolución
Aplicando diferencia de cuadrados:
x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x x 2 2 2 2 2 4 2 + - + + = - + + = - + = = ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h
3. Calcule el valor de x3+6x si se sabe que x=3 4-3 2
Resolución
Elevando al cubo el dato: x 4 2 x 4 2 3 4 . 2 4 2 x 2 6x x 6x 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 x 3 3 " ` = = = -+ = − ^ ^ h h 1 2 344 44 144424443
Práctica
1. Efectuar: (x+5)2 – (x+4)2 – (x – 3)2+(x – 4)2 a) 8 b) 16 c) 12 d) 20 e) 14 2. Efectuar: ^a b a b+ h^ - h+2ab 2b+ 2 a) a+b b) a – b c) ab d) 2ab e) 4ac3. Sabiendo que: p + q = 6; pq = 10. Calcular: p2+q2
a) 16 b) 26 c) 6 d) 36 e) 0 4. Si se cumple: n m mn 2 + = . Calcular: E n 2mn m 2mn 2 2 = -+ a) 3 b) 2 c) –3 d) –2 e) 0 5. Efectuar: x 1 x 3 x 6 x 2+ + + - - x2+4x x2+4x 9 -^ h^ h^ h^ h ^ h^ h a) 10 b) 5 c) 0 d) –10 e) –36 6. Si se cumple: x+x–1=6. Calcular: x3+x–3 a) 196 b) 198 c) 216 d) 144 e) 176
7. Sabiendo que: x2+1= 3 x. Calcular: x3+x–3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
8. Si: 32x + 32y = 27; 3x+y=11, calcule el valor de: K = (3x + 3y)3
a) 512 b) 216 c) 729 d) 125 e) 343
9. Calcular:
M=(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a+b)(a – b)+1
para: a= 16 2+ 5 ; b= 16 5 2- . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
10. Sabiendo que: x1+y1= x y4+ , encontrar el valor de: S x x y x y y y xx 4 3 3 2 3 2 = + + + + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Efectuar: (x–3)(x+3)(x2+3x+9)(x2 – 3x+9)–(x3–27)2+1458 a) 54x3 b) 27x3 c) 9x3 d) 54 e) 27 12. Efectuar:
(a+1)(a – 1)(a4+a2+1)(a6 – a3+1)(a6+a3+1)+1
a) a18 b) a27 c) 1 d) a4 e) a24 13. Si: x3=1, x ≠1. Halle: x 1 x x 1 6 4 4 + + ^ h a) –31 b) –41 c) –51 d) – 6 1 e) – 2 1
14. (Ex Admisión UNMSM 2007 – II) Si se cumple: x 8 ; x 2
y 1 ; y 1
3
3=-= !!
-)
Hallar el valor de: (x2+2x+3)(2y2 – 2y+5).
a) –3 b) 4 c) –5 d) 7 e) –6
15. Si: 25x+9x=2(15x), determine el valor de: . ( ) E 7 5 5 3 x x x 7 1 7 1 7 2 = − + −+ −− + a) 10 b) 2/5 c) 5 d) 8 e) 15
16. (Ex Admisión UNMSM 2010 – II)
Si a(b+c)=–bc y a+b+c=2, entonces el valor de: a2+b2 +c2 es: a) 4 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 4 2 17. Si se cumple que: y x x y + =66; x>y. Calcular: M x y xy 3 = -a) 2 1 b) xy 2 c) xy d) x y2- e) 31
18. Si: bx+by=3, x+y=0. Calcule: b2x+b2y.
a) 1 b) 7 c) 11 d) 8 e) 10
19. Si 1+aa2 = 2, calcula el valor de: F = a9 + a–9 a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 (0,5) e) 2 /3
1. Sabiendo que: xy+ 4yx = .2 Calcular: x 2y 3x 2y 3x 2y5x 2y ++ - + - . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Si: ^a b+ h2-^a b- h2 = +a b, a,b" ,1R+ Calcular: b a 2 b a b a b 3 3 3 2 2 + + + -` je o a) 2 b) b a c) a – b d) 4 e) 6
3. Mostrar el equivalente de:
x 12 x2 2x 1 x 12 x 2x 12
3 ^ + h ^ + - h-^ - h ^ - - h
a) 1 b) 2x c) x d) 2 e) x3
4. Halle el valor de:
2 a b 3 a b ; ab 0 7 7 14 14 ! + ^ ^ h h Si: b a a b 3 a b 2 2 - = ^ - h. a) 1 b) –3 c) 3 d) 2 e) –2 5. Sabiendo que: a b 40 ... 1 a b 4 ... 2 3+ 3= + = ^ ^ hh ) . Calcular: a2+b2 a) 12 b) 10 c) 16 d) 24 e) 20 6. Siendo a, b y c números pitagóricos tales que c>b>a
Determine el valor de:
a b a b c a b 2 2 2 2 2 2 4 4 4 + - -- -^ h ^ h a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 2 1
7. En un libro de Álgebra, se lee: I. x 1 x 1 x x 1 II. x x 1 x x 1 x x 1 3 3 4 2 2 2 - = - + + + + = + + - + ^ ^ ^ ^ h h h h
De estas expresiones son correctas: a) Ambas. b) La primera. c) La segunda. d) Ninguna. e) No se puede determinar. 8. Simplificar: E=10 ^m 1+ h3^m 1- h3^m 12- h5^m2+1h8^m 14- h2 a) m4+1 b) m4 – 1 c) m2+1 d) m2 – 1 e) (m – 1)4 9. Si: x+x–1=5. Calcular: x – x–1 a) 2 21 b) 5 21 c) –2 21 d) 4 21 e) 21
10. Reducir: M=(x+y)2+(x – y)2+2(x+y)(x – y) – 4x2
a) x+y b) x – y c) xy d) x2+y2 e) 0 11. Reducir: (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) – (m2+5m+5)2 a) –m b) –1 c) m+1 d) 1 e) 0 12. Si: y x x y 1 + = . Calcular: G x y x y x y 2 2 4 4 3 = ^ + h -^ - h a) 1 b) 2 c) 2 7 d) 4 e) 2 2
13. Calcular: E=3x2 – 5xy+3y2. Si: x= 2 +1; y= 2 –1
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 14. Calcular: E=^3 5+3 2h^3 4-3 10+3 25h+^3 3 1- h`3 9 1+ + 3j a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6 15. Efectuar: (m – 1)(m2+m+1) – (m+1)(m2 – m+1) a) 2m3 b) –2m3 c) 2 d) –2 e) 0
16. Si: x= 3 ; y=1. Calcular el valor de:
(x+y)9– (x – y)9 – 3(x2 – y2)3[(x+y)3 – (x – y)3]
a) 800 b) 8000 c) 1000 d) 125 e) 64
17. Si: (a – b)2=ab; (b – c) 2=3bc; (c – a)2=5ca; donde
abc≠0 Halle: c a b a b c b c a + + + + + a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 13 18. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II)
Si se satisfacen: x+y= 5 ; xy=2. Hallar: xy +yx
a) 2 1 b) 1 c) 3 1 d) 1 e) 3 2 19. Si: x3 = 125 ∧ x ≠ 5 Calcular: E=8x+ 25x +2B2 a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36 20. Si bx+b–x= 2 3 2 1 + . Calcule el valor de b4x+b–4x a) 2 b) –3 c) 1 d) 5 e) 4
Tarea domiciliaria
4
Productos notables II
Ejercicios resueltos
1. Calcule el valor de x2+y2+ si se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8z2
Resolución
Del dato se tiene que:
x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16 Se sabe que:
(x + y + z)2=x2+ y2+ z2+ 2(16)
Reemplazando los datos: (8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32
" x2 +y2 +z2 =32
x2 y2 z2 32 4 2 ` + + = =
2. Calcule el valor de: J
x y z x y z xyz xy yz zx 2 2 2 3 3 3 = + + + + + + = G; E, si se sabe que: x= 5- 2, y= 2- 3 , z= 3- 5 Resolución
Sumando los datos se obtiene:
x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a: J 2 xy yz zx3xyz xy yz zxxyz J 2 3 2 3 = - + + + + = - =-^ h ; ; 8 E E B
Por identidad condicionales:
Si: x+y+z=0
x3+y3+z3=3xyz
x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)
3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.
Resolución Ordenando el dato: x 6x 9 y 2y 1 0 x 3 y 1 0 2 2 2 2 - + + + + = - + + = ^ h ^ h 1 2 344 44 1 2 344 44
Por el teorema x2+ y2=0 " x=y=0 6" ,x;y 1R se tiene:
(x - 3)2=0 / (y - 1)2=0
" x=3 / y= -1 ` (x - y)2=16
1. Siendo:{a,b} R1 , tales que: a22+b2+ = + , 1 a b indicar el valor de: M
a b a b 2 3 3 2 = + + a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2. Dados: {a,b,c} R1 tales que:
a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) =4 y a+b+c=6. Indicar el valor de: a2+b2+c2
a) 28 b) 32 c) 36 d) 40 e) 44 3. Siendo a un valor de x que verifica la siguiente
condición: x2+2x+4=0, indicar el valor de:
P=ca23 2m +ca43 4m
a) 25 b) 27 c) 29 d) 32 e) 36 4. Se tiene las siguientes condiciones: a+b+c=4,
ab+bc+ca=3 y abc=2. Determine el valor de: (a+b)(b+c)(c+a)
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 5. Siendo "a" el valor de x que verifica la ecuación:
x+1=3 x. Calcular el valor de: N= ^a+1h^a a+ -2h a) 5 b) 3 6 c) 2 6 d) 7 5 e) 6 3
6. Dados "a" y "b" números reales tales que: a2 b ab2 a b a b 0
4 + - + + - 2 2= . Indicar el valor de:
F a b a b 2 2 = + + a) 2 b) 3 3 c) 5 5 d) 7 7 e) 6 6
7. Si: a+b=–c, calcule el valor de: ab ac bca b c bca acb abc 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ; ;E E a) –3 b) –6 c) 9 d) –9 e) 12 8. Dados: x; y R! tales que: x2 – xy+y2=2(x+y – 2)=4
Indicar el valor de: M= x3+5xy y+ 3.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. Sabiendo que: a + b + c = 0 ab + bc + ac = –7 y abc = –6 Calcule: a–2 + b–2 + c–2 a) 1/2 b) 49/36 c) 26/36 a) 7/36 b) 7/6
10. Siendo: {x; y; z} R1 . Indicar el valor de:
M x y z x xy z y xz z 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + ^ ^ ^ h h h, si (x–y)2=(z–y)(x–z). a) 0,1 b) 1 c) 0,2 d) 2 e) 0,3
11. Calcula el valor numérico de:
V ab a b a b c bc b c b c a ac a c a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + ^ + - h+ + ^ + - h+ + ^ + - h
Si: a+b+c=0 / abc≠0.
a) 43 b) 42 c) 32 d) 0 e) 38
12. Siendo: x+y+z=0 / xy+yz+zx≠0. Además: x2+y2+z2+2 x 1 y 1 z 1 + + c m=0
Indicar el valor de: x3+y3+z3+3xyz
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 13. Dadas las condiciones:
* x=a2+2bc * y=b2 – 2ac
* z=c2 – 2ab
x= 2 – 1 y=1– 23 . Además: z= 23 – 2 +4
Determine el valor de: (a – b – c)2
a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) –2 14. Sabiendo que: x+y=
x y 1 1+ 1 - - ; x≠y. Reducir: x y x y xy 6 6 6 3 + - -^ ^ h h . a) 3 b) 1 c) –1 d) –2 e) 2 15. Reducir: a b b c c a a b c 3abc 2 2 2 3 3 3 - + - + -+ + -^ h ^ h ^ h . Siendo: a+b+c=6 a) 3 b) 1 c) –1 d) –2 e) 2
16. Si: x3 +y3+z3=3xyz/x+y+z≠0; siendo {x;y;z}1R,
reducir: P x y z z x y y z x 3 3 3 3 3 3 =^ + h +^ + h +^ + h . a) 20 b) 16 c) 24 d) 12 e) 28 17. Si: a3+b3+c3=5 , y a b a c b c a ab b+ + + 2- + 2 a ac c2- + 2 b bc c2- + 2 =40 ^ h^ h^ h^ h^ h^ h
hallar el valor de: a9+b9+c9.
a) 15 b) 10 c) 5 d) 20 e) 25 18. Si: 4a2 + 4b2 = 4c (a+b) – 2c2; {a; b; c} ⊂ R
Halle: c b a 3 12 12 2 2+ 2 a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5
19. Si: ax + by + cz + abcxyz = 0, calcule el valor de:
( )( )( ) ( )( )( ) ax by cz ax by cz 1 1 1 1 1 1 − − − + + + a) –1 b) 5 c) –2 d) –5 e) 2
Práctica
1. Si: mn+ p + mn- p = p
Hallar el valor de: K= mn+ p- mn- p a) 1 b) 2 c) –2 d) –1 e) 0 2. Simplificar: M= ^ax+a-x 2h - +4 ^a ax- -x 2h +4 ; a^ x2a-xh a) 2ax b) 2a–x c) 0 d) ax e) –2ax 3. Si: (x – 1)2=x. Calcular: M x x2 5x 1 3 = + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Si se cumple que: a+b+c=0. Calcular:
ab bc ac a b 2c2 a c 2b2 b c 2a2 + + + + + + + + + + ^ h ^ h ^ h a) –2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 5. Calcular: F=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2, si se cumple:
a2+b2+c2=14 y a + b + c = 6
a) 30 b) 50 c) 40 d) 60 e) 70 6. Si se cumple: x+y+z=0. Calcular:
E= x3+xyzy3+z3+xy xz yzx2++y2++z2 a) 1 b) 2 c) –2 d) 4 e) 5 7. Si: m+n+p=–6. Calcular: E=^m 2+^m 2 n 3 p 1h+3+h^^n 3++ hh3^+^+p 1+h h3; (m+2)(n+3)(p+1) ≠ 0 a) 31 b) 3 c) –13 d) –3 e) –6 8. Si: p m m n m n p m + = + − − − . Calcular: m p n− ; {m; n; p} ⊂ R a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Dadas las relaciones: a+b+c=n; ab+ac+bc=2n2 y
abc=3n3; reducir: E bc a ac b ab c 2 2 2 = + + . a) 3 2 b) – 4 3 c) 3 5 d) – 3 5 e) 3 4
10. Si: p+q+r=2 y pq+pr=–qr, hallar el valor de: p2+q2+r2 a) 4 b) –4 c) 2 d) –2 e) 0 11. Reducir: E=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2)–(a+b+c)(ab+ac+bc) a) a+b+c b) 3abc c) a3+b3+c3 d) a2+b2+c2 e) a+b+c+abc
12. Si: a3+b3+c3=3abc; a+b+c≠0; {a, b, c} R1 . Hallar:
E a b c a b c n n n n n 1 = + + + + -^ h a) 1 b) 2 1 c) 3 1 d) 4 1 e) 6 1
13. Hallar el valor numérico de: a3 abc ab bc acb3 c3 a2 b2 c2
+ + + + + + ^ ^ ^ h h h si: a= 5+ 3- 2 ; b= 2+ 3 2 5 ; c- = 5 2 3 -a) –3 b) –4 c) –5 d) –6 e) –7 14. Si: z yx z-- + x y z yz2 1 + - = ^ h^ h . Hallar: J=`z xy- j2+`x y+z j+`z yx- j2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Si: a3+b3+c3=30; a+b+c=3; abc=4. Calcular:
a 1 b 1 c 1 + + a) 2 1 b) 3 1 c) 4 1 d) 1 e) 2
16. Si se cumple: a+b+c=0. Hallar:
E c ab b ac a bc a a bc b b ac c c ab 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 = - - -- + - + -^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h a) –3abc b) a2+b2+c2 c) a3+b3+c3 d) 9a2b2c e) 3abc 17. Si: b a ca cb 0 2 3 3 2 3 + + = . Hallar: L ca b c a b 5abc ca b c a abc b 5 5 5 5 2 2 2 = + - -+ + + ^ ^ ^ h h h a) –5 b) 1 c) 5 d) abc e) abc 3 18. Si: x+y+z=0, el equivalente de:
S=^3x y^+3x y 3y z 3z xh+3+h^^3y z++ hh3^+^3z x+ +h h3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5
Repaso
1. Siendo: n1+n=3. Calcular: E n= nn 2+ +3+1 a) 82 b) 27 c) 10 d) 28 e) 14 2. Simplificar: . . . 4 3 3 10 3 3 2 3 x x x x x 1 3 5 2 − − − + + + + a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 13. Si tenemos que: xnym=10n, xmyn=10m, entonces el valor de: (xy)y/x, será: (m,n > 0,m≠n).
a) 1010 b) 101 ( / )1 10 c m c) 101 10 c m d) 101 10/ e) 10 4. Si: x y xy 3 1 y x x x y 1 1 3 2 = − − +
*
4
Hallar la relación entre x e y.
a) x=3y b) y=3x c) x=2y d) y=2x e) 2y=3x
5. Si: F(x)=(3a)x+1; a > 0; F(x+1) = 729 F(x–1) Halle el valor de "a".
a) 91 b) 31 c) 3 d) 9 e)
271
6. Calcule la suma de cifras de "x", si se cumple que: 9x+1=27x–12
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
7. Resuelva la ecuación exponencial: 2x+2+2x+1+2x+2x−1+2x−2=248 Calcule: 2x+1+2x+2x−1 a) 100 b) 105 c) 112 d) 120 e) 131 8. Si: 7 7 7 7 7 n n 4 3 15 81 = − − − = G
Hallar la suma de las cifras de "n".
a) 3 b) 8 c) 1 d) 2 e) 3 9. Si: b, x, r ! R y se verifica: ( ) . b 4 9 2 3 4 2 2 0 b r r x x 4 10 2 2 1 = + − − + = Z [ \ ]] ]
Entonces se puede afirmar que:
a) x – b = 3 b) x + b = 3 c) |b| < |x| d) x < b e) x . b = 2 10. Si: 2x2+2x2−1+2x2−2+2x2−3+2x2−4=62 donde x > 0, hallar "x". a) 1 b) 2 c) 2 5 d) 2 e) 5
11. Si: 3x=2y, calcular el valor de: M 2 3 2 y x y 3 4 2 = + ++ + a) 8 29 b) 8 83 c) 8 81 d) 278 e) 858
12. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación: 4 257 4 64 x x 1− =− + a) 25 b) 20 c) 17 d) 10 e) 8
13. Reduzca: . . ... x x x x x x n n m m m m n mn 2 3 2 ; x>0 a) xn b) xm c) 1 d) 2 e) xn/m 14. Sabiendo que: ... x= 24 24 24 Si: M ! N; calcule: M=3 x+3 x+... a) 10 b) 7 c) 133 d) 3 e) 9
15. Si: 3252(x+1)=5x 255(x−1), hallar el valor de 3x+2 a) 14 b) 17 c) 8
d) 23 e) 2
16. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación: 6x-3(2x)-4(3x)+12=0
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17. Si xo es el valor que verifica la ecuación: . ( ) 2x+1+2x+2+2x+3+2x+4=120 8x−1 El valor de 4xo−1+1 es: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si: 34 x −4 3. ( 2 x)+ = y 1283 0 m=16−x+23; hallar el valor de m. a) 71 b) 61 c) 43 d) 25 e) 1 19. Si: x x 2 2 2 n n n n n 3 5 − − = ; calcular x a) 16 b) 4 c) 2 d) 1 e) 0 20. Si: K 3 80 n =
Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación: ... x x x x x n radicales K 2 3 2 3 2 3 2 3 = − 14444444244444443 a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 21. Si: 4x-4x-1=24. Halle: (2x)x/5 a) 5 b) 2,5 5 c) 25 d) 125 e) 5 5 22. Simplificar: x y x y x y x y 1 1 y x y x xy y x y x xy xy + + + + + + − − − − R T S S S S SS V X W W W W WW a) xy.yx b) xy c) xxyy d) x-yy-x e) (xy)x+y 23. Simplificar: 4 1 4 1 5 1 5 1 n n n n n n 2 2 2 3 3 3 + + + + + − − − − − − a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 24. Si se cumple: ... 4 5 45 45 4 2 5 2x
3 = ; hallar el valor de: 8x–3. a) –2 b) 1 c) –1 d) 1/2 e) 5 25. Si: aa12= 6 y bb3=3 Hallar el valor de a4b a) 2 b) 3 12 c) 3 18 d) 6 e) 2.3 3
Tarea domiciliaria
1. Siendo: a2+a=5. Calcular: F a= aa 3+ +10−1 Indicar la suma de cifras F.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 17 2. Simplificar: . . . . 4 3 3 270 3 81 3 18 3 x x x x x 1 1 − − − + + a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1 3. El valor de: 21/n. 2−1/2 1/mn 4 6 88 @ B B ; es: a) 24 −n m/ b) 22 −n m/ c) 2−n m/ d) 24 2− n m/ e) 22−n m/2
4. La suma de soluciones de: 92x–3 = 4(32x–1) – 243 es: a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6 5. Si: x2x+16=8xx, calcular: x+ x1 a) 2 b) 10/3 c) 5/2 d) 17/4 e) 3 6. Hallar "n", si: , , , , , , n 0 2 0 6 0 1 0 3 0 5 0 5 , , , , , , 0 4 0 8 0 2 0 4 0 6 0 2 # # # = # a) 5/18 b) 25/18 c) 125/18 d) 625/18 e) 175/18 7. Al resolver la ecuación: 3(22x)–5(2x)–152=0 el valor de (x–5)2 es: a) 0 b) 1 c) 4 d) 9 e) 16 8. Calcular: E 2 2 2 2 2 2 x x x x x x 3 2 1 1 2 3 = + + + + − − − + + + a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 22
9. Sabiendo que: x>0 / x ≠ 1. Simplifique:
E x x x x x x x x 1 xx x x x x x2x = + + − − − − −
>
H
a) x2 b) x c) 1 d) x–1 e) x 10. Al simplificar la expresión: 4 2 6 4 / m m m m 2 1 4 1 1 # + + + = G se obtiene: a) m/4 b) m 5 2 2 c) (m ) 4+1 d) 1/4 e) 411. Al resolver la ecuación: xx=2− −4 1, el valor de "x" es: a) 1/4 b) 1/8 c) 1/18 d) 1/16 e) 1/24
12. Hallar el valor de "x" en: 7 3 21 x x x 2 4 3 2 = + − + a) 3/5 b) 5/3 c) –1/3 d) 2/3 e) –5/3
13. Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:
. . 3 n 3n+4 n 92−n =9 a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 1 14. Si: x=2n+1. Halle: ( ) 2 4 2 2 4 n n n n 1 2 1 + + + + a) x/8 b) x c) x/4 d) 2x e) 4x
15. Resuelva e indique el valor de x2 en: xx5=5 2 2
a) 5 b) 5 2 c) 5 5 d) 5 e) 2
6
División algebraica I
Ejercicios resueltos
1. Efectúe: x ax b x a 1 x a b 1 x b a x 3 b 2 4 3 2 + ++^ + h +^ + - h ^ - h + - ; e indique la suma de los coeficientes del cociente.
Resolución
Aplicando el método de Horner: : 1 a b 1 1 a 1 a 1 1 a b 1 b a 1 1 b a b a 0 3 b b 3 # # -+ -+ + -+ -` El cociente Q(x) es: Q(x)=x2+x - 1
2. Dado el polinomio: (P x) x= 5+^3 2 2 x- h 3+2 2 1+ ; halle el valor de P 2 1^ - h
Resolución
P( 2 - 1) es el residuo de dividir
"divisor de primer grado"
P x^ h'^AxBBBBBB- 2 1+ Ch Luego por Ruffini:
P 2 1 4 ` ^ - h= x 2 1 0 x 2 1 1 1 0 2 1 2 1 3 2 2 3 2 2 2 1 0 1 1 0 2 1 2 1 2 2 1 3 2 2 4 - + = = - -+ -+ -Residuo * ^ 2 1- h2= 2 2 2 12- + 2= -3 2 2 * ^ 2 1- h^ 2 1- h= 2 12- 2= - =2 1 1
1. Halle el término lineal del cociente que se genera al dividir el polinomio: P(x)=10x4+6x3–37x2+36x–1 entre 5x2–7x+3 a) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x 2. Si la siguiente división: x 2x 3 12x 14x 15x 6x 4 2 4 3 2 + -+ + - + , genera un residuo R(x) tal que: R(x)=ax+b.
Indicar el valor que adopta a+b.
a) 36 b) 39 c) 11 d) 38 e) 103
3. Si la división 8x 2x5- 4+4x 3x3--ax2+2x 5+ , genera como cociente a Q(x) y un resto igual a 2, indicar el valor que adopta: Q(1)+a
a) 12 b) 7 c) 5 d) 10 e) 0
4. Calcular el resto de dividir: B xA x
^ ^ hh. Si: A(x)=x100 – 9x98+7x – 5x2 – 13 y B(x)=x – 3 a) -27 b) -35 c) -37 d) -51 e) -61 5. Si: P(x)=x3–2009x2+4015x–2010. Evaluar: P(2007) a) 4017 b) –3 c) –4017 d) 3 e) –2007 6. Al dividir: 3x x 2 1 6x4 x3 x2 x + -+α +β +γ +θ ^ h , se obtiene un
cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7, calcular
a–b+g–q
a) 23 b) 19 c) 12 d) 6 e) 13 7. ¿Cuál es el número que se le debe restar al polinomio:
P(x)=2x5–2x2–x3+1, para que sea dividido en forma exacta por (x–2)? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número.
a) 10 b) 19 c) 13 d) 16 e) 9
8. A partir de: G x^ h=^ 3 1 x 8x 10 2 3+ h 4- + - . Indicar el valor que adopta cuando x= 3 1- . a) 2(1+ 3 ) b) 2( 3 – 1) c) 2 3 d) 2( 3 – 2) e) 2( 3 +2)
9. Hallar el resto en:
( ) ( ) ( )( ) y y y y y y y 8 8 4 8 2 6 2 10 5 5 + + + + + + + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Si: x=3, es un cero del polinomio F(x), luego podemos afirmar: I. F(x)÷(x+3) es exacta. II. F(x)÷(x – 3) es exacta. III. F(0)=3 IV. F(3)=0 a) solo II b) solo IV c) I y II d) II y IV e) III y IV
11. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio, tal que al dividirlo entre: (x3 – 2x+1) deja cociente
(x2 – 8) y un residuo igual a (x+3).
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 8 12. Al dividir P(x) entre (x+2) el resto que se obtiene es
–1. Si la suma de coeficientes de P(x) es 5. Calcular el término independiente del residuo obtenido al dividir P(x) entre (x+2)(x – 1).
a) 8 b) 15 c) 12 d) 4 e) 3 13. Calcule el residuo, al dividir:
P(x)=4(x–2)120+7(x–3)51, entre x2–5x+6 a) 9x – 11 b) 9x+11 c) 11x – 9 d) 11x+9 e) 11x – 29
14. Hallar el término independiente de un polinomio tal que al dividirlo entre (x2+4) deja un cociente igual a
(x – 1) y un residuo igual a (3x+2).
a) 1 b) –2 c) 3 d) 4 e) 2 15. Hallar el valor de a.b–1, si en la división:
( ) ( ) ( ) x a b
a b xn a b x2 n 1 a b x3 n 2 − +
− + − − + − − ; b≠0 se obtiene como residuo 3bn+1
a) 1/2 b) 3 c) 1/3 d) 4 e) 2 16. Al dividir un polinomio P(x) entre (x–3) se obtuvo
un cociente Q(x) y un resto igual a –2; al dividir Q(x) entre (x+2) se obtiene un resto igual a 2.
Calcular el término independiente del residuo al dividir P(x) entre (x–3)(x+2)
a) 8 b) –8 c) 9 d) –9 e) 10
17. Hallar el resto en:
x 1 2 x 1 5 2 12 + + + + ^ ^ h h a) 69 b) 54 c) 28 d) 36 e) 42 18. Al dividir F(x) entre (x–1)(x–2) (x – 3)(x – 4) (x – 5), se
obtiene como residuo (x3 – 3x + 1). Hallar el residuo
de dividir F(x) entre (x – 1)(x – 2)
a) 8x+2 b) 6x+2 c) 4x+2 d) 8x – 1 e) 4x – 5
1. Hallar m – n, si el residuo de dividir: x x 4 4x 3x mx n 2 4 3 + -+ + + es 2x – 5. a) 96 b) 366 c) 27 d) 12 e) 126
2. ¿Qué valor debe tomar m, para que el polinomio: x3 – mx2+mx – 1 sea divisible por: x2 – x+1?
a) 0 b) 2 c) –1 d) 3 e) 4 3. Si la división: x ax c x 2a b x a c d x ac 2 3 2 2 + + +^ + h +^ + + h + es exacta, calcule: J ab bc 2d bc = + -a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Calcular ab, si: 10x5+x4 – 9x3+16x2+ax+b es
divi-sible por 2x2+x – 3.
a) 81 b) –9 c) 9 d) 27 e) –18
5. Hallar "a" para que el residuo de la división:
x a 2 x ax ax a3 2 2 -- - - , sea: 3a+2. a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3 6. En la división: x 2 2x4 3 2 x 12x3 2 3 2 x 2 -+ - + - , indique el residuo. a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 6 2 e) 0
7. Calcular el resto de la siguiente división:
x 3 2 2 x5 2x4 2 3 x 3 6 x3 2 6 3 x 12 - + + + - + + a) –12 b) 12 c) 6 2 d) 3 3 e) 6 6 8. Calcular: ab a2+b2. Si la división: a b x b a a b x2 2 3 2b a b x2 4abx b 2b a + + -- + - + + -^ ^ ^ ^ ^ h h h h h deja de residuo ab a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Hallar el resto en:
x a x a5 x5 a5 + + - + ^ h a) 0 b) –a5 c) –2a5 a) 2a5 b) 8
10. Hallar el resto en:
x 1 x x 1 2 8 4 -+ + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 11. Hallar la diferencia "m–n", si la división de:
3x2+mxy+4y2+5y+ny; entre x+y es exacta a) 2 b) –2 c) 12 d) –12 e) 5 12. Al dividir: x 6 3 x4 8 x3 12 1 x2 6 x m -- -^ - h - + , se obtuvo como resto 3m – 4. Calcule: m
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Determinar el resto de:
x x 2 x x 1 x x 10 2 2 10 2 + + + + + + + ^ h a) 10 b) 12 c) 9 d) 8 e) 11 14. Calcular el resto: x 1 x 2x 3x 4x 5 3 12 9 6 3 + + + + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Hallar el resto de:
x 5x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 5 2+ + + + + + + ^ h^ h^ h^ h a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
16. Hallar el resto en:
x 2 x 1 x 23 x 32 - -- + ^ ^ ^ ^ h h h h a) 16x+32 b) 16x – 32 c) 16x – 3 d) 16 e) x+4 17. En la división: x 8 x 7 x 89 x 78 - -- + -^ ^ ^ ^ h h h h . Hallar el residuo. a) 2x+5 b) 2x – 15 c) 2x+3 d) 2x – 3 e) Ninguna
18. Al dividir P(x) entre (x+1) (x–3) se halla por resto 5x–2 ¿qué resto se encontrará sise divide P(x) entre x–3? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 19. Al dividir el polinomio F(x) entre los binomios
(x – 4) y (x – 2) se obtiene como residuos 9 y 5 respectivamente. Calcular el residuo de dividir F(x) entre (x – 4) (x – 2)
a) 2x b) 1 c) 2x+1 d) 4x e) 4x+1
20. Determinar el residuo de la división: ( ) x x x x x x x 2 2 1 6 2 3 3 2 4 2 3 2 7 6 4 3 + + + + + + + + a) 2 2 x2 b) –2 2 x2 c) 2x2 d) – 2 x2 e) 2 x2
Tarea domiciliaria
7
División algebraica II
1. Dado un polinomio cúbico P(x), cuyo coeficiente principal es 3 y además la suma de sus coeficientes es 18. Determinar el resto de dividir P(x) entre (x–4), si al ser dividido dicho polinomio P(x) entre (x2–5x+6) su residuo es (5x+1).
a) 21 b) 32 c) 41 d) 51 e) 61
2. Hallar el producto de los coeficientes del resto que resulta al dividir el polinomio.
P(x) = (x–7)12 + (x–8)5 , por Q(x) = x2 – 15x + 56 a) –48 b) –30 c) –27 d) –32 e) –45
3. Hallar: 2K+17, si: x3+Kx+3, es divisible por: x2–3x+1
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 4. Al dividir un polinomio P(x) entre (x2–1) se obtiene
(–2x+4) de residuo y al dividirlo entre (x2–x–2) se tiene(8x+14) de residuo. Determinar residuo que se obtiene al dividir P(x) entre (x3–2x2–x+2)
a) 10x2–2x–6 b) 10x2+2x+6 c) –10x2–2x+6 d) –10x2+6x–2x e) 10x2+6x–2x
5. Dado P(x) un polinomio mónico cúbico, divisible entre x2–5x+6; además al dividir P(x) entre x2–x–2 se obtiene como residuo (8x–16). Determinar el resto al dividir P(x) entre (x2–2x+3)
a) 3x–2 b) 2x–3 c) x–1 d) –2x+6 e) 6
6. Sea P(x) un polinomio de tercer grado. Si P(x) es divisible entre (x–1) y también entre (x+3); además, al dividir P(x) entre x2–4 el resto es R(x) = x+23, halle P(–1).
a) –28 b) –27 c) 16 d) 26 e) 28
7. Si un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente por (x–4), (x–3) y (x+2); además la suma de sus coeficientes y su término independiente son iguales a 72, hallar el residuo de dividir P(x) por (x2–x–5) a) –1 b) 2 c) –5 d) 7 e) 0 8. Se tiene un polinomio cúbico que se anula para x=1;
x=2 y es divisible por x–3. Si su coeficiente principal es 8. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre (x+1). a) 190 b) –190 c) 196 d) –196 e) –192
9. Hallar la suma de los coeficientes del residuo que se obtiene al dividir P(x)=x70+x69+1 por d(x)=x2+x+1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16 10. Calcule el valor de: K
a c a c 5 = + − , si se sabe que la − división: x x x ax c 1 2 21 − + − + , es exacta. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Para que valor de "n" la división:
x y xn y n 2 1 3 4 − − + −
, genera un cociente notable.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. Hallar el tercer término del cociente al dividir:
a b a b 15 6 75 30 − − a) a12b30 b) a30b6 c) a30b12 d) –a30b6 e) –a30b12
13. Hallar el término de lugar 6 luego de desarrollar el cociente de: x y x y 2 128 4 28 7 + + a) 32x2y5 b) 32x5y4 c) –32x4y5 d) –32x5y4 e) x5y4
14. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: ( ; ) M x y x y x y 9 4 180 80 = − − a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
15. En el desarrollo del cociente notable x y x y 3 3 − − β β α α el quinto término es x36y16. Hallar el número de términos del cociente notable.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12 16. Simplificar la expresión: ... ... P x x x x x x 1 1 90 72 54 102 96 90 = + + + + + + + + a) x6+x3+1 b) x3+x2+1 c) x6–x3+1 d) x12+x6+1 e) x12–x+1
Tarea domiciliaria
1. Hallar el residuo de la división de: Q(x)=x3–3x2–2x–a, entre (x–4), sabiendo que "a" es el término independiente del cociente de la división:
x x x 3 4 1 2 − − + a) 4 b) 3 c) 1/7 d) 9 e) 18 2. Hallar el valor de "m" para que el polinomio
Q(x)=x3+x2–3mx+5, al dividirlo entre (x–1), dé como respuesta el doble del resto de dividir dicho polinomio entre (x–2).
a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 3. Hallar "m+n" si la siguiente división es exacta:
(m+1)x28–(n+2)x22+mx15–nx8+(2m–2)x7+1 entre (x7+1)
a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) –1 4. Al dividir un polinomio P(y) entre (y–3) se obtuvo un
cociente Q(y) y un resto igual a –2; al dividir Q(y) entre (y+2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(y) entre (y–3)(y+2)
a) 8 b) –8 c) 9 d) –9 e) 13 5. Un polinomio P(x) de tercer grado tiene siempre el
mismo valor numérico igual a uno para x=–2, –3 y –4. Sabiendo que al dividirlo entre (x–1) el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x–2).
a) 122 b) 119 c) 239 d) 241 e) 242
6. Si al dividir P(x) = mx3–nx2+x+2, por d(x)=x2–a+1, se obtiene como resto r(x)=2x–4. Hallar: m2+n2 a) 8 b) 13 c) 26 d) 25 e) 17 7. Hallar el resto de la división:
( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x 2 3 1 2 2 4 10 2 12 2 7 2 2 + + + + − − − − − a) 2x+34 b) x+2 c) 2x–2 d) 4x+3 e) x–3
8. Si los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto grado son números enteros consecutivos y al dividir P(x) por x–1 el resto es 35. Hallar el coeficiente del término cuadrático de P(x).
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. En el polinomio P(x)=ax4–5x2+3x+b, uno de sus
factores es: 2x–4 y la suma de sus coeficientes es –3, hallar a2+b2.
a) 28 b) 35 c) 13 d) 10 e) 5 10. Hallar el número de términos en el desarrollo del
siguiente C.N.: x y x y 7 4 56 32 + − a) 3 b) 2 c) 8 d) 5 e) 7
11. Halla el valor de "n" del siguiente cociente notable:
x y x y n n 7 112 + + a) 31 b) 20 c) 26 d) 14 e) 28 12. Hallar el término de lugar 14, del desarrollo de:
m n m31 n31 + + a) –m13n17 b) –m15n16 c) –m14n16 a) –m15n15 b) –m17n13
13. Hallar el número de términos del cociente notable:
x y x y p p 3 507 − − a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18 14. Hallar el cociente de:
... ... a a a a a a 1 1 10 8 2 22 20 2 + + + + + + + + a) a12–1 b) a12+1 c) 1–a12 a) a6–1 b) a6+1 15. Luego de dividir: ... .... x x x x x x x x 1 1 80 60 20 95 90 85 80 5 + + + + − + − + + −
Se obtiene como cociente: a) x15–x10+1
b) x15+x10+x5+1 c) x15–x10+x5–1 d) x20+x15+x10+x5+1 e) x20–x15+x10–x5+1
16. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.
a b an b n 2 9 5 18 − − −
e indicar su grado absoluto.
a) 32 b) 34 c) 36 d) 40 e) 48 17. ¿Cuántos términos tiene el C.N.
x y x m y n 2 4 5 + − si t 5, es de grado 32 a) 8 b) 7 c) 12 d) 6 e) 19 18. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo en el cociente
notable: x y x y 2 40 20 + −
el término que tiene grado absoluto igual a 34. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 12 19. Hallar (m+n) si el término 25 del desarrollo de:
x a x a m n m n 3 2 129 86 − − es x270a288 a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
8
Factorización
Ejercicios resueltos
1. Factorizar: a3b4c5+a3b3c5y+a2b4c5x+a2b3c5xy. Dar como respuesta el número de factores primos.
Resolución
Extraemos el factor común: a2b3c5
E = a2b3c5[ab+ay+bx+xy]
E = a2b3c5[a(b+y)+x(b+y)]
E = a2b3c5(b+y)(a+x)
Los factores primos son:
a; b; c; (b+y); (a+x) & En total son cinco
2. Factorizar: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z). Dar como respuesta la suma de factores primos.
Resolución Efectuando: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z) Agrupando convenientemente: P(x; y)=(x2+y2+xy+yx)+(xz+yz) P(x; y)=(x2+y2+2xy)+(xz+yz) P(x; y)=(x+y)2+z(x+y)
Factor común: (x+y) P(x;y)=(x+y)(x+y+z) Los factores primos son:
(x+y); (x+y+z)
La suma de factores primos es: x+y+x+y+z=2x+2y+z
3. Factorizar: R=(x – 3)3+125. Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.
Resolución A potencia 3: R=(x – 3)3+53 ... suma de cubos. R=[(x –3)+5][(x – 3)2 – (x – 3)(5)+52] Desarrollando y reduciendo: R=(x+2)(x2 – 6x+9 – 5x+15+25) R=(x+2)(x2 – 11x+49) Factores primos: (x 2) (x 11x 49)
primer grado segundo grado 2
/
+ - +
144424443 S
Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado es: 1 – 11+49=39
4. Hallar la suma de los factores primos de: M=2x5+5x4 – 26x3 – 65x2+72x+180.
Resolución
Agrupando de 2 en 2:
M=(2x5+5x4) – (26x3+65x2)+(72x+180)
Factorizando cada paréntesis: M=x4 ^2x +5h S – 13x2 S^2x +5h + 36 2S^ x +5h Factor común: 2x+5 M=(2x+5)[x4 – 13x2+36] "Aspa simple" Luego factorizando el polinomio de cuarto grado: x x 4 9 4x 9x 13x 2 2 2 2 2 " " -suman: Luego: M=(2x+5)(x2 – 4)(x2 – 9) " M=(2x+5) x 2 x 3^ 2- 2h^ 2- 2h M=(2x+5)(x+2)(x – 2)(x+3)(x – 3) Donde la suma de sus factores primos será:
(2x+5)+(x+2)+(x – 2)+(x+3)+(x – 3)=6x+5
5. Factorizar: P(x)=4x4 – 101x2+25
Resolución
P(x)=4x4 – 101x2+25 Aplicamos aspa simple:
4x x 1 25 x 100x 101x 2 2 2 2 2 " " -suman: Luego: P(x)=(4x2 – 1)(x2 – 25)
Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados: P(x)=[(2x)2 – 12][x2 – 52]
Finalmente:
1. Factorizar: a) P(x) = x6 + 2x3 – 5x4 b) Q(x) = 2x (x–8) + 4m (x–8) c) R(x; y) = 3x3 y2 – 6xy3 2. Factorizar: a) P(x; y) = xy + 2x + ay + 2a b) Q(x; z) = xz – z2 – x2z2 + x3z c) R(x; y) = x3 – 3x2 + 2x – 6 3. Factorizar: a) P(x) = 4x2 – 12x + 9 b) R( x; y) = 25x2 – 9y2 c) Q(x; y; z) = 9x2 + 6xy + y2 – 4z2 4. Factorizar: a) P(x) = x3 – 8 b) Q(x; y) = 27x3 + y3 c) R(x; z) = (x–1)3 + z3 5. Factorizar: a) P(x) = x2 – 8x + 12 b) Q(x) = 3x2 – 11x + 10 c) R(x; y) = x4 – 13x2y2 + 36y4
6. Luego de factorizar: M(a;b)=6ab+5b+2(3a+1)+3. Indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 b) 5 c) 9 d) 11 e) 14 7. Al factorizar: P(x)=(3x+1)2 – 4x2; un factor primo es
de la forma: mx+1 (m≠1). Hallar:"m". a) 6 b) 5 c) 4 a) 3 b) 2
8. Factorizar: P(x)=(x2 – 3)2+7x(x2 – 3)+10x2.
Indique la suma de factores primos lineales. a) 2x+1 b) 2x+2 c) 2x+3 d) 2x+4 e) 2x+5
9. Factorizar: F(x;y)=6x2+16xy+8y2+13x+14y+6
Señalar un factor primo:
a) 2x+3y+4 b) 2x+4y+3 c) 2x – 3y+4 d) 2x – 4y+3 e) 2x+3y+3
10. Dado el polinomio: P(x) = x5 (x2 + 1)(x2 – 9) Se afirma:
a) Un factor primo es x. b) Posee 4 factores primos.
c) El factor primo de mayor multiplicidad es x. d) El factor primo de mayor grado es x2+1. e) Toda son correctas.
11. Factorizar: F(x)=x4+6x3+16x2+22x+15
Indicar la suma de términos independientes de sus factores primos.
a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6
12. Factorizar: F(x)=x8+6x6+13x4+12x2 – 5
La suma de coeficientes de un factor primo es: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13. Factorizar: P(x)=12x3+8x2–13x+3, e indique la
suma de sus factores primos.
a) 7x+1 b) 7x+2 c) 7x+3 d) 7x+4 e) 7x–1
14. Factorizar: Q(x)=2x5+x4–10x3–5x2+8x+4 e indique la suma de sus factores primos lineales. a) 5x–1 b) 5x c) 5x+1 d) 5x–2 e) 5x+2
15. Factorizar:
P(x) = x5–x4+(b2–a2)x3+(a2–b2)x2–a2b2x+(ab)2 e indique un factor primo.
a) 7+2a b) x–b c) x+b d) x2+b e) x2+b2
16. Factorizar:
P(x)=6x7+7x6–5x5+42x2+49x–35 e indique un factor primo no lineal.
a) x5+5 b) x5+7 c) x5+3 d) x5–7 e) x5–5
17. Al factorizar el polinomio
P(x)=(x–3)(x–5)(x+2)(x+4)–x2+x–70
en Z[x], hallar el resto que se obtiene al dividir el factor primo de mayor grado de P(x) por (x+5) a) 5 b) –1 c) 28 d) –10 e) 9
18. Factorizar: P(x)=x6 – x5 – 6x4 – 5x2 – 1; e indicar
el producto de los términos de uno de los factores primos de:
a) 2x4 b) 3x5 c) 6x5
d) –4x4 e) 8x5
19. Factorizar: F(x)=x8+x6+x4+x2+1. Señalar uno de
los factores primos obtenidos al factorizar la suma de los factores primos de F(x).
a) x2+x – 1 b) x2 – x – 1 c) x2+x+1 d) x4+x2 e) x4 – x3+x2 – x+1 20. Factorizar: F(x)= x3+(x2+1)2 – (x+1)(x – 1) e indicar un factor primo. a) x2+x+1 b) x2+x+2 c) x2+2x+2 d) x2 – x+2 e) x2+2x – 1
Práctica
1. Factorizar: x2 – ax+bx – ab. a) (x – a)(x+b) b) (x+a)(x – b) c) (x – a)(x – b) d) (x+a)(x+b) e) (x – a – b)2 2. Factorizar: x5 – ax4+bx4 – abx3. a) x(a+a+b+1) b) x3(x – a)(x+b) c) x3(x+a)(x+b) d) x3(x – a)(x – b) e) x(x+a3)
3. Indicar la suma de factores primos de: (2x2+7x)(x+5)+(6x+15)(x+5)
a) 4x+13 b) 3x+8 c) 4x+8 d) 3x+13 e) 5x+4
4. Indicar la suma de factores primos de: x2(x+7)+6x(x+7)+9x+63
a) 2x+11 b) 2x+10 c) 3x+13 d) 2x+13 e) 3x+12
5. Uno de los factores primos de: x2 – 4x+4 – 25y2 es:
a) x – 5y b) x – 5y+2 c) x – y+2 d) x – 5y – 2 e) x+5y
6. Factorizar: x14 – (x2+6x+9) e indicar uno de sus
factores primos.
a) x7–x+9 b) x7 – x – 9 c) x7+x+3
d) x7 – x+3 e) x7+x – 3
7. ¿Cuántos factores lineales tiene: 2x4 – 3x2 – 20?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 8. Señalar uno de los factores primos de:
5x9y – 39x6y – 8x3y
a) 2x+1 b) x+2 c) x – 2 d) x+4 e) x+1
9. Factorizar: 25x4 – 109x2y2+36y4.
Indicar un factor primo.
a) 5x+3y b) 25x2+9y2 c) x2+4
d) x+2 e) a y d
10. Factorizar: P(x)=abx2+(2a + 3b) x+6.
Indicar un factor primo.
a) ax+3 b) bx2+24 c) ax – 3
d) bx – 2 e) ax – 1
11. Factorizar: x7y3 – 2x6y4+x5y5
E indicar el número de factores de primer grado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Señalar un factor primo de:
x2+(2a+7)x+a2+7a+10
a) x+a+5 b) x – a – 5 c) x+a – 2 d) x+a+7 e) x+a
13. Indicar la suma de factores primos de: (6x2 – 2x)(x – 4)+(4 – x)(3x+4)
a) 6x+9 b) 5x+1 c) 6x+1 d) 6x – 7 e) 6x+5
14. Señalar uno de los factores primos de: x(y2+z2)+y(z2+x 2)
a) x – y b) x+2y c) x d) x – 2y e) x+y
15. Al factorizar: P(x)=x3+x2 – 10x+8. Indique el factor
primo de menor término independiente. a) x + 2 b) x + 1 c) x – 2 d) x+ 4 e) x + 3
16. Indicar la suma de factores primos de: 6x3+7x2 – 1
a) 6x + 1 b) 6x – 1 c) 5x + 1 d) 5x – 1 e) 6x + 3
17. Indicar la suma de factores primos de: 4x3+8x2 – 11x+3
a) 3x – 2 b) 2x – 3 c) 2x – 1 d) 3x + 2 e) 3x + 1
18. Factorizar e indicar el factor que más se repite: x6 – x2+2x(x4 – 1)+x4 – 1
a) x – 1 b) x + 1 c) x2 + 1
d) x + 2 e) x4 – 1
19. Señale un factor primo de: M(x)=(x – 3)5+x – 2.
a) x2 + 5x – 1 b) x2 – 5x – 1
c) x2 – 5x + 7 d) x2 + 5x + 1
e) x2 + 1
20. ¿Qué término hay que sumarle a:
P(x;k) = n(n + 5k) + 3(kn + 7k2) para que sea
fac-torizable?
a) 3nk b) 6nk c) 5nk d) 8nk e) 2nk
9
MCD - MCM - Fracciones
algebraicas
Ejercicios resueltos
1. Hallar el MCD y el MCM de: P(x)=(x – 1)3(x+2) y Q(x)=(x – 1)2(x+2)2(x – 3).
Resolución
MCD: los factores comunes son (x – 1) y (x+2) como debemos escoger los de menor exponente el MCD de (P(x) y Q(x)=(x – 1)2 . (x+2)
MCM: Los factores comunes de mayor exponente son (x – 1) y (x+2) y el no común (x - 3), el MCM de P(x) y Q(x)=(x – 1)3(x+2)2 (x – 3).
R=[(x – 3)+5][(x – 3)2 - (x – 3)(5)+52]
2. Descomponer en factores y calcular el MCD y el MCM de los polinomios: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6 y Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18
Resolución
Los polinomios factorizados son:
P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6=(x+1)2(x – 2)(x+3) Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18=3 . (x – 2)(x+1)(x – 3); Por tanto: MCD=(x – 2)(x+1) ⇒ MCM=3 . (x+1)2(x – 2)(x+3)(x – 3) 3. Si la fracción: a 3 x 3x 5y 32a 5b 3 y 5b 2 -+ - + - + +
-^ h ^ h adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor
de la constante.
Resolución
Si es independiente de las variables se cumplirá:
3 a 3
5 2a 5b 3
3
5b 2 k (valor constante) - = -- + = - =
1 2
De(1): a – 3=5b – 2 ⇒ a=5b+1 ...(a) De(2): 3(2a – 5b+3)=–5(5b – 2)
6a – 15b+9=–25b+10 10b+6a=1 .... (b) De(a) y(b): 10b+6a=a – 5b
∴ 15b+5a=0 ∴ a=–3b en (1): –3b=5b+1 ⇒ b=–81 Entonces: K 3 5 81 2 3 8 21 = - -= -c m K 8 7 `
=-Práctica
1. Calcular el valor de "x" en función de "n" para que el MCD de:
P(x)=x2+(2n+3)x+6n, Q(x)=x2+2(n+1)x+4n ∧
R(x)=x2+(2n+1)x+2n.
Elevado al cuadrado resulta ser igual a Q(x). a) n b) –2n c) –n d) 2n e) n+1
2. Hallar el MCD de: P(x)=x3–x2–x+1 y Q(x)=x3–3x2+3x–1
a) (x – 1)2 b) (x – 1) c) (x+1)
d) (x+2) e) (x+1)2
3. (Ex. de Admisión UNMSM 2006 – II)
Determine el MCD de los siguientes polinomios: P(x;y)=x3+x2y+xy2+y3, Q(x;y)=x3 – xy2+x2y – y2
y R(x;y)=x4 – 2x2y2+y4. a) x(x –y) b) (x+y)y c) x+y d) x – y e) (x+y)(x –y) 4. Sean: P(x)=mx2+6x–n; y Q(x)=mx2 – 10x+n Si: (x–1) es el MCD de P(x) y Q(x). Hallar "m . n" a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
5. El producto del MCD y MCM de los polinomios P(x) y Q(x) es:(x – 2)2 . (x+1)3 . (x – 1). Hallar P(x).
Si: Q(x)=(x –1) (x2 – x – 2).
a) (x – 2)(x – 1) b) (x – 1)(x+1)2
c) (x – 2)(x+1)2 d) (x – 2)2(x+1)
e) (x – 2)(x+1)(x – 1)
6. P(x) es uno de 10 polinomios, donde:
3x4–2x3+3x2+ax+b, es el MCM de dichos
polinomios. Hallar: "a+b". Si: P(x)=x2 – 2x+1.
a) –4 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5 7. Al efectuar la operación: E xy 1 x y yx 1 x y x y1 1 1 1 = + + + + + + -+ - -c m , se obtiene: a) x b) x – y c) x+y d) 1 e) 0 8. Si: x 2A- + +x 1B = x x 27x 12- -+ . Hallar: "A+2B". a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 9. Simplificar: P a b a b a b a b a b a b a b a b = − + −− +− + + +− a) 1 b) ab c) ab a b 2 2+ 2 d) a/b e) a2+b2
10. Al simplificar la siguiente expresión:
x y y xx yy x xy y xy 1 3 8 4 54 128 27 64 1 9 12 16 24 3 3 3 3 2 2 + + + + − − − c me o , se obtiene a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 1/2
11. Si la fracción F(x; y) es constante, para cualquier valor de x e y, calcule "A . B".
( ; ) F x y x By Ax y 3 2 6 2 2 2 2 = + + + + a) 0 b) 4 c) 1/2 d) 1 e) 2 12. (Examen UNMSM 2006-I)
Dado: R(x) =xx−+ ; Q(x) =11 x x 1 1 2 2 − + Calcular: R (Q(R(x))) a) xx−+11 b) x+1 c) 11 x x+ 2 − ` j a) x – 1 b) ( ) x x 1 12 + −
13. (Examen UNMSM 2006-I) Si: x = xx+− ; 11 x = xx+−11 Calcular: x a) x b) x+1 c) x–1 a) x2 b) x2–1 14. Si: G(x) = xx−+ ; n ∈ N 11 Reducir: ( ( ... ( ) ...))G G G G x "2n+1"veces 14444244443 a) x b) x x 1 1 − + c) x x 1 1 + − d) x x 1 1 n n − + e) xn 15. Al simplificar: a c b ac a b c ab 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + − + ; se obtiene un
numerador y denominador, cuya suma es: a) 2c b) 2b c) 2a d) a–b e) 2(a+b+c) 16. Reducir: R x x x x x x 1 1 1 1 2 2 = + + + − − + − a) x 1 2 4+ b) x42−1 c) x4+x22+1 d) x x 1 2 4− 2+ e) x4+x12+1
Tarea domiciliaria
1. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x)=(x+2)2(x–3)4(x+1), y Q(x)=(x+2)5(x – 3)5(x+6) a) (x+2)5 (x – 3)5 (x+1)(x+6) b) (x+2)4 (x – 3)4 (x – 2) c) (x+1)6 (x – 1)6 d) (x+2)2 (x – 3)4 e) (x+1) (x – 2)
2. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x)=(x+3)4 (x2+1)6 (x – 2)2 (x+7)6 Q(x)=(x+7)2 (x2+1)3 (x – 2)4 (x+5)6 R(x)=(x+5)4 (x2+1)2 (x – 2)3 (x+3)3 a) (x2+1)(x – 2) b) (x2+1)2 (x – 2)2 c) (x+1)(x+3) d) (x2+1)4(x – 2)3 e) N.A 3. Simplificar: F(x) x 6x 11x 6 x 9 x 1 3 2 2 = - + -- -^ h^ h a) x 3 x 2 + + b) x 2 x 3 -+ c) x 3x 2+ -d) x 1x 1+- e) N.A 4. Reducir: x 25 2x 10x x 6x 5 x 16x 15 2 2 2 2 -- + + + + + a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A. 5. Reducir: x 2x 3 x x 2 x 6x 9 x 7x 12 2 2 2 2 + -+ - + + + + + e o e o a) x 3 x 5 -+ b) x 1x 2+- c) x 3x -d) x e) 2
6. Indicar el MCD de los polinomios:
A(a,b)=a2+ab – 6b2; B(a,b)=a2 – ab – 2b2 , y
C(a,b)=a2 – 4ab+4b2.
a) a + b b) a – b c) a – 2b d) a + 2b e) ab
7. Si: A(x,y)=12xn – 1 ym+1 ,y B(x,y)=16xn+1 ym – 1.
Cumplen: MCM=axay4 ; MCD=bx5yb. Calcular: R= a mb n + + -α β a) 1 b) –1 c) 5 3 d) – 5 3 e) 0 8. Simplificar: S 2 1 x yx x yx x y 2xy 2 2 = - + + + -= G. a) x y2 + b) x y1+ c) x yx -d) 1 e) x y+x 9. Reducir: M 3x 31 2x 21 x 121 x 1 = + + - + - -c m^ h. a) x 3 2x 1 -+ b) 6 x 15x 7^ ++ h c) 6 x 15x 1^ +- h d) x 2 x 1 -+ e) x 10. Si: x= an2+bn. Calcular: E 2na 2nx a n a b b n n n n n = - - ^ - h. a) n b) n 1 c) 2n d) 3n e) n + 1
11. Si la fracción: F(x;y)= mx 12y4x 6y-- , es independiente de “x” e ”y”. Calcular "m".
a) 12 b) 8 c) –8 d) –6 e) –12
12. Hallar el MCD de los polinomios: P(x)=x5+x+1, Q(x)=x5+x4+1, y R(x)=x4+x3+2x2+x+1 a) x2 – x+1 b) x2+x+1 c) x2+1 d) x2 – 1 e) x3+x+1 13. Si el MCM de los polinomios: A(x)=x2+x – 2, B(x)=x2 – x – 2, y C(x)= x4+5x2+4; es equivalente a: x8+Ax6+Bx4+Cx2+D. Calcular: (A+B+C+D). a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0 14. Reducir: E a b a b 2a a b a b 2b 3 3 3 3 3 3 = + + - -+ - - -^ ^ ^ ^ h h h h . a) a b a b -+ b) b a c) a b d) 1 e) –1
15. Sabiendo que: a2+b2+c2= 3 , y ab+bc+ac= 0.
Calcular: S a a b c a bc b b a c b ac c c a b c ab 4 2 4 2 4 2 = ^ -- -^ hh+ ^ -- -^ hh+ ^ -- -^ h .h a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
16. Si: x2≠1 y b≠1, simplificar la siguiente fracción:
E 1 bx b x 1 b 2 2 2 = + - + -^ h ^ h a) 1 x 1 2 + b) 1 x 1 2 - c) 1 x 1 -d) 1 x1 + e) x 1x 1+
