Mecánica 2 - Ortega Giron

Lecciones de Física

Mecánica 2

Manuel R. Ortega Girón

Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.

Novena edición: enero 2006

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Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor.

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Editor: Manuel R. Ortega Girón

CL Santa Cruz, 10 14.012 Córdoba. España. Tfnos.: +34-957 280 051 (particular) +34-957 218 483 (departamento) Fax: +34-957 218 483 e-mail: [email protected] http://www.uco.es/~fa1orgim

Impresión: Reprografía Don Folio

Córdoba. España.

I.S.B.N. 84-398-9218-7

Depósito legal: CO. 1400-1988

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia.

RENÉDESCARTES(1596-1650)

El Discurso del Método.

Prólogo del autor

Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media.

A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos, ... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia.

Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor parte de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Sin embargo, pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando el alumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas. Fruto de esta convicción es el presente libro, que será completado con otros tomos, preparados en colaboración con colegas de otras Universidades españolas, hasta cubrir los

contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas.

No debería considerarse esta obra como un libro más de Física General, en la acepción que tradicionalmente tiene esta denominación, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a la asignatura de Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros.

Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria.

No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro han colaborado en la preparación de este libro, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo

Vidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y útiles intercambios de

puntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compañeros en las tareas docentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Baró (UAB), S. Bordas (UAB),

A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. González (U. Granada), F. Fernández (UAB), A. Hernández (U. Valladolid), J.I. Jiménez (U. Granada), E. Martín (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jaén), L.F. Sanz (U. Valladolid), S. Suriñach (UAB) y M.A. Villamañán (U. Valladolid), por la buena acogida que

han dispensado a estas Lecciones de Física y por sus útiles comentarios y sugerencias.

Lecciones de Física

Mecánica 2

I. 1. Álgebra vectorial.

2. Vectores deslizantes.

3. Análisis vectorial.

4. Cinemática de la partícula.

5. Cinemática del sólido rígido.

6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia.

7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la

cantidad de movimiento.

8. Las fuerzas de la Naturaleza.

9. Sistemas de referencia en rotación.

10. Trabajo y energía.

11. Conservación de la energía.

12. Momento angular. Fuerzas centrales.

II. 13. Movimiento armónico simple.

14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas.

15. Superposición de movimientos armónicos simples.

16. Geometría de masas.

17. Sistemas de partículas.

18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.

19. Colisiones.

20. Estática del sólido rígido.

21. Dinámica del sólido rígido.

22. Trabajo y energía en el movimiento general del sól. ríg.

23. Ecuaciones de Euler.

24. Dinámica impulsiva del sólido rígido.

III. 25. La ley de la Gravitación Universal.

26. El campo gravitatorio.

27. Elementos de elasticidad.

28. Elastostática.

29. Estática de los fluidos.

30. Tensión superficial.

31. Cinemática de los fluidos.

32. Dinámica de los fluidos ideales.

33. Dinámica de los fluidos reales.

34. Flujo viscoso.

IV. 35. Ondas progresivas.

36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados.

37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados.

38. Ondas estacionarias.

39. Acústica física.

40. Acústica musical y arquitectónica.

Índice de materias

CÁP. IV.- OSCILACIONES.

13.- Movimiento armónico simple. . . 363

§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones (363); §13.2. Cinemática del movimiento armónico simple (364); §13.3. Representación de Fresnel del m.a.s (368); §13.4. Dinámica del movimiento armónico simple (370); §13.5. Energía en el m.a.s. (371); §13.6. Energías cinética y potencial medias (373); §13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio (375); §13.8. Sistema masa-muelle (380); §13.9. Péndulo simple (385); §13.10. Solución exacta del problema del péndulo (388); §13.11. Péndulo cicloidal (391); Problemas (392)

14.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas. . . 397

§14.1. Rozamiento (398); §14.2. Oscilador armónico amortiguado (399); §14.3. Amortiguamiento débil (400); §14.4. Disipación de energía (402); §14.5. Factor de calidad (404); §14.6. Amortiguamiento crítico (405); §14.7. Sobreamortiguamiento (406); §14.8. Oscilaciones forzadas (407); §14.9. Absorción de potencia. Resonancia (412); §14.10. Impedancia de un oscilador (420); Problemas (424)

15.- Superposición de movimientos armónicos simples. . . 429

§15.1. Principio de superposición (429); §15.2. Teorema de Fourier (432); §15.3. Convergencia de las series de Fourier (436); §15.4. Fuerzas impulsoras pe-riódicas (436); §15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión (439); §15.6. Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares (444); Problemas (452)

CÁP. V.- DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS.

16.- Geometría de masas. . . 457

§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458); §16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470); §16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia (473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474); §16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera (479); Problemas (485)

17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación. . . 489

§17.1. El problema de los N-Cuerpos (490); §17.2. Cantidad de movimiento (492); §17.3. Conservación de la cantidad de movimiento (493); §17.4. Movimiento del centro de masa (495); §17.5. Sistema de referencia del centro de masa (497); §17.6. Momento angular (498); §17.7. Conservación del momento angular (503); §17.8. Momentos angulares orbital e interno (505); §17.9. Energía cinética (508); §17.10. Energía potencial (510); §17.11. Conservación de la energía (512); Problemas (515)

18.- Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. . . 519

§18.1. Sistemas de masa variable (519); §18.2. Fundamentos de la propulsión de los cohetes (522); §18.3. El problema de dos cuerpos (525); §18.4. Masa reducida (528); §18.5. Momento angular y energía cinética (529); §18.6. Oscilaciones de dos cuerpos (531); §18.7. Movimiento en el Sistema Solar (534); Problemas (536)

19.- Colisiones. . . 541

§19.1. Colisiones (541); §19.2. Dinámica impulsiva de la partícula (543); §19.3. Colisiones frontales. Coeficiente de restitución (545); §19.4. Colisiones oblicuas (549); §19.5. Descripción de la colisión en el referencial del centro de masa (551); §19.6. Transformación de ángulos (557); §19.7. Balance energético en las colisiones. Definición del Q (560); §19.8. Estudio de las colisiones en función del Q (566); §19.9. Algo más acerca de las colisiones elásticas (568); §19.10. Reacciones (573); §19.11. Umbral de reacción (575); §19.12. Ecuación del Q (576); Problemas (577)

CÁP. VI.- DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO.

20.- Estática del sólido rígido. . . 587

§20.1. Estática (587); §20.2. Equilibrio del sólido rígido (588); §20.3. Fuerzas aplicadas a un sólido rígido (589); §20.4. Ecuaciones cardinales de la estática (590); §20.5. Centro de gravedad (592); §20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad (594); §20.7. Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras (596); §20.8. Diagrama del cuerpo libre (600); §20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos (602); §20.10. Concepto de desplazamiento virtual (604); §20.11. Principio de los trabajos virtuales (605); Problemas (611)

21.- Dinámica del sólido rígido. . . 619

§21.1. Movimiento de traslación del sólido rígido (620); §21.2. Momento angular del sólido rígido. Coeficientes de inercia (621); §21.3. Tensor de inercia (623); §21.4. Momentos angulares orbital e intrínseco (625); §21.5. Ejes principales de inercia (626); §21.6. Movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo (630); §21.7. Péndulo físico. Teorema de Huygens (632); §21.8. Conservación del momento angular (636); §21.9. Movimiento giroscópico. El trompo (640); §21.10. El giroscopio (643); §21.11. Aplicaciones del movimiento giroscópico (645); Problemas (648)

22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. . . 655

§22.1. Energía cinética del sólido rígido (655); §22.2. Energía cinética de rotación (657); §22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (660); §22.4. Rodadura (661); §22.5. Resistencia a la rodadura (663); §22.6. Expresión del trabajo (666); §22.7. Teorema de la energía cinética (667); §22.8. Conservación de la energía (668); Problemas (673)

23.- Ecuaciones de Euler. . . 679

§23.1. Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario (679); §23.2. Ecuaciones de Euler (683); §23.3. Movimiento libre del sólido rígido (685); §23.4. Peonza esférica (686); §23.5. Peonza simétrica (686); §23.6. Precesión del eje de rotación de la Tierra (690); §23.7. Estabilidad de la rotación (691); Problemas (694)

24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido. . . 697

§24.1. Dinámica impulsiva del sólido rígido (697); §24.2. Percusión y percusión angular (697); §24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva (698); §24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusión (700); §24.5. Percusiones sobre un sólido ligado (702); §24.6. Percusiones sobre un sólido con un punto fijo (703); §24.7. Percusiones sobre un sólido con un eje fijo (705); §24.8. Colisiones.

Índice de materias xi

Coeficiente de restitución (707); §24.9. Ecuación simbólica de la dinámica impulsiva (712); §24.10. Teorema de Carnot (712); Problemas (715)

APÉNDICES.

A.- Resultados de los problemas. . . 721 B.- Índice alfabético. . . 737

Capítulo IV.

Oscilaciones.

13.- Movimiento armónico simple.

363

14.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas.

397

15.- Superposición de

movimientos armónicos simples.

429

13.-

Movimiento armónico simple.

§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones (363); §13.2. Cinemática del movimiento armónico simple (364); §13.3. Representación de Fresnel del m.a.s (368); §13.4. Dinámica del movimiento armónico simple (370); §13.5. Energía en el m.a.s. (371); §13.6. Energías cinética y potencial medias (373); §13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio (375); §13.8. Sistema masa-muelle (380); §13.9. Péndulo simple (385); §13.10. Solución exacta del problema del péndulo (388); §13.11. Péndulo cicloidal (391); Problemas (392)

§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones.- Llamamos movimiento periódico a cualquier movimiento que se repita a intervalos iguales de tiempo. El

tiempo que debe transcurrir para que se produzca la repetición del movimiento recibe el nombre de periodo y lo designaremos por T. Como veremos en §15.2, el desplazamiento de una partícula que realiza un movimiento periódico general puede expresarse siempre mediante una combinación apropiada de funciones sinusoidales y cosinusoidales. Como tales funciones reciben el calificativo de armónicas, el movimiento periódico suele recibir, también, el nombre de movimiento armónico. En la Física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, encontramos abundantes ejemplos de movimientos periódicos. Así, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, el movimiento de la Tierra en el sistema solar, el movimiento de un péndulo o del balancín de un reloj, las vibraciones de los átomos en una molécula, ... son ejemplos de movimientos periódicos1_.

Cuando una partícula que realiza un movimiento periódico se mueve alternativa-mente en un sentido y en otro sobre una misma trayectoria (movimiento de vaivén), su movimiento recibe el nombre de oscilatorio o vibratorio; esta última denomina-ción suele reservarse para cuando el periodo es muy pequeño. Así, hablaremos de las

oscilaciones de una masa sujeta a un muelle o del péndulo de un reloj, pero

preferiremos referirnos a las vibraciones de los átomos en la red cristalina de un sólido. En general, las oscilaciones o vibraciones predominantes en los objetos de gran tamaño suelen ser lentas (oscilaciones), en tanto que las de los objetos pequeños

1_{La definición del movimiento periódico presupone una duración infinita del movimiento, sin}

principio ni fin. En los procesos reales, los movimientos periódicos están definidos solamente durante un cierto intervalo finito de tiempo en el que se verifican las condiciones de periodicidad.

suelen ser rápidas (vibraciones). Cuando no estemos interesados en hacer la matización anterior, nos referiremos sencillamente a las oscilaciones.

El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple

(m.a.s.), debido a que, además de ser el más fácil de describir matemáticamente,

constituye un modelo exacto o aproximado para muchos sistemas físicos, mecánicos y no mecánicos. En este capítulo, concentraremos preferentemente nuestra atención sobre esta clase de movimiento. Comenzaremos, en esta lección, con una breve descripción puramente cinemática del m.a.s., para analizar después algunas de sus propiedades dinámicas que nos permitirán considerar el m.a.s. como un problema físico real, y no sólo como un interesante problema matemático.

§13.2. Cinemática del movimiento armónico simple.- Decimos que una

Figura 13.1

partícula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armónico simple, centrado en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento x con respecto al origen viene expresado en función del tiempo en la forma:

[13.1]

x A sen(ωt ψ)

donde A,ω y ψ son constantes. La distancia

x que separa la partícula del origen O recibe

el nombre de elongación. Puesto que la función seno puede tomar todos los valores comprendidos entre -1 y +1, los valores de la elongación estarán comprendidos entre -A y +A. La cantidad positiva A, que corresponde al valor absoluto de la elongación máxima, se denomina amplitud del movimiento armónico simple. La cantidadωt + ψ recibe el nombre de fase del movimiento y, por ello, la constante ψ es la constante

de fase o fase inicial; i.e., el valor de la fase correspondiente al instante inicial (t=0).

Puesto que la función seno repite sus valores cuando el ángulo aumenta en 2π, la partícula repetirá su elongación (y también su velocidad, como veremos) cuando la fase del movimiento aumenta en 2π desde su valor en un instante t. Durante el intervalo tiempo en que la fase aumenta en 2π la partícula completa una oscilación

o ciclo de su movimiento. Podemos determinar el periodo T del movimiento teniendo

en cuenta que la fase en el instante t+T debe superar en 2π a la fase en el instante

t; esto es,

[13.2]

[ω ( t T ) ψ ] [ωt ψ ] ωT 2π

de modo que _T 2π [13.3]

ω

La frecuencia ν del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos que se completan en la unidad de tiempo. Su valor es, obviamente, el recíproco del periodo:

[13.4]

ν 1

§13.2.- Cinemática del movimiento armónico simple. 365 y se mide en ciclos por segundo o hercios (Hz), en honor de H. R. HERTZ2.

Obsérvese que tanto la frecuencia como el periodo del m.a.s. son independientes de la amplitud de las oscilaciones; esta propiedad se suele enunciar diciendo que las

oscilaciones armónicas simples son isócronas, y constituye una característica

importante del m.a.s..

El parámetro ω recibe el nombre de frecuencia angular y, también, el de

pulsación, aunque preferiremos el primero. La frecuencia angular se mide en radianes

por segundo (rad/s), o sea, en las mismas unidades que la velocidad angular. Entre la frecuencia angular (ω) y la frecuencia (ν) existe la relación siguiente3_:

[13.5]

ω 2πν

El valor de la constante de fase ψ depende de la elección que hagamos del instante inicial. Si escogemos t=0 en el instante en que x=0, la constante de faseψ valdrá cero o π, según que la partícula se dirija en ese instante inicial hacia las x positivas o negativas. Entonces, el m.a.s. vendrá descrito por una u otra de las expresiones siguientes:

[13.6]

x A senωt x A sen (ω t π) A senω t

En cambio, si escogemos el instante t=0 cuando x=A, la constante de faseψ tomará el valorπ/2 y la ecuación del m.a.s. será

[13.7]

x A sen (ω t π

2 ) A cosω t

En general, cuando la constante de faseψ tiene un valor arbitrario cualquiera, en el instante t=0 la partícula se encontraba en la posición

[13.8]

x₀ A senψ ⇒ ψ arcsen x0

A

Es fácil comprender que aunque hemos escogido la función seno para describir el m.a.s., igualmente hubiéramos podido escoger la función coseno. Ambas funciones armónicas tiene la misma forma; pero la función coseno está adelantada enπ/2 rad respecto a la función seno. Así, el m.a.s. puede describirse también por una ecuación de la forma

[13.9] x A cos (ω t φ )

2_{Heinrich Rudolph H}

ERTZ(1857-94), físico alemán. Realizó importantes estudios teóricos y experimentales en el campo de la Electrodinámica. Sus investigaciones confirmaron experimen-talmente la existencia de las ondas electromagnéticas y la identidad de la naturaleza de éstas con la luz, como habían predicho FARADAYy MAXWELL.

3_{Muchos autores utilizamos la denominación común de frecuencia para referirnos tanto a la}

frecuencia (ν) propiamente dicha como a la frecuencia angular (ω). Obviamente, el contexto y las unidades en que se expresan siempre permiten resolver la ambigüedad.

donde A yω son las mismas constantes definidas anteriormente. La constante de fase φ deberá calcularse ahora de modo que las expresiones[13.1]y[13.9]sean idénticas. Recordemos que para un ánguloθ cualquiera es válida la relación

[13.10]

cosθ sen (θ π 2) de modo que la identidad

[13.11] A sen (ω t ψ) A cos (ω t φ)

exige que sen (ω t ψ) sen (ω t φ π [13.12]

2)

Los senos de dos ángulos son iguales si estos son iguales o difieren en un múltiplo entero de 2π. Tomando la posibilidad más sencilla, tenemos

[13.13]

ψ φ π

2 ⇒ φ ψ π2

La equivalencia entre las expresiones[13.1]y[13.9]nos permiten describir un m.a.s. bien en función del seno o del coseno. Nosotros hemos adoptado la primera posibilidad, aunque en alguna ocasión también haremos uso de la segunda.

En las gráficas de laFigura 13.2ahemos representado la función Asen(ωt+ψ) para dos valores distintos de la constante de faseψ. Obsérvese que una constante de fase positiva indica un adelanto de la forma sinusoidal y que una constante de fase negativa representa un retraso.

La velocidad de la partícula que realiza un m.a.s. es

[13.14]

v dx

dt ω A cos (ω t ψ) ω A sen (ω t ψ π2 )

de modo que la velocidad varía también según una ley sinusoidal, pero está adelantada π/2 respecto a la elongación. En la Figura 13.2b hemos representado gráficamente la función v(t). Obsérvese que la velocidad de la partícula se anula cuando su elongación es máxima y que tiene su valor máximo (vmáx=ωA) cuando la

partícula pasa por la posición de equilibrio (x=0).

Para un valor cualquiera de la constante de faseψ, la velocidad de la partícula en el instante inicial (t=0) es

[13.15] v₀ ω A cosψ

Las relaciones [13.8] y [13.15] nos permiten expresar A y ψ en función de las condiciones iniciales del movimiento; es decir, en función de la elongación (x₀) y de la velocidad (v₀) de la partícula en el instante inicial (t=0). Tenemos

[13.16] A x02 v₀2 ω2 ψ arctg ω x₀ v₀

donde ω es un parámetro cuyo valor es independiente de las condiciones iniciales, que se determinará, como veremos más adelante, por otro procedimiento.

§13.2.- Cinemática del movimiento armónico simple. 367

Podemos calcular ahora la aceleración de la partícula; tenemos

Figura 13.2

[13.17]

a dv

dt ω

2_{A sen (ω t ψ)}

de modo que la aceleración también varía en el transcurso del tiempo según una ley sinusoidal, pero presenta una diferencia de fase de π rad respecto a la elongación;

i.e., la elongación y la aceleración de la partícula están en oposición de fase (contrafase). En la Figura 13.2c se representa gráficamente la función a(t). La aceleración de la partícula se anula cuando ésta pasa por el origen (x=0) y es máxima ( a_máx =ω2_{A) cuando también es máxima a la elongación.}

La expresión[13.17]de la aceleración puede escribirse también en la forma

[13.18]

a ω2_x

de modo que

en un movimiento armónico simple, la aceleración es proporcional en todo instante a la elongación y de sentido contrario a ésta.

Este resultado es importante dado que al ser la aceleración de una partícula el cociente entre la fuerza resultante que actúa sobre ella y la masa de la partícula (a=F/m), la fuerza que deberá actuar sobre una partícula para originar un m.a.s. deberá ser también proporcional a la elongación de la partícula y de signo contrario a ésta; esto es,

[13.19]

F ma mω2_{x k x}

con k=mω2_{. Volveremos a tratar este asunto más adelante.}

§13.3. Representación de Fresnel del m.a.s.-Las ecuaciones que describen el m.a.s. son susceptibles de una interpretación geométrica sencilla, por la cuál se puede considerar un m.a.s. sobre una recta como la proyección sobre la misma de un movimiento circular uniforme. Esta representación resulta útil para describir muchas características del m.a.s. y, en particular, para dar un significado geométrico sencillo a la frecuencia angularω y a la constante de fase ψ. Haremos uso intensivo de esta representación4 _{en la última lección de este capítulo, en la que analizaremos el}

resultado de superponer dos o más m.a.s..

Podemos imaginar un m.a.s. como la proyección geométrica de un movimiento circular uniforme sobre uno de los diámetros de la circunferencia. Consideremos la

Figura 13.3, en la que el punto Q se mueve sobre una trayectoria circular, de radio A, con una velocidad angular ω constante. El punto P es la proyección ortogonal del punto Q sobre el diámetro vertical de la circunferencia. Llamaremos punto de

referencia a Q y circunferencia de referencia o matriz a aquella sobre la que se

mueve el punto Q. La posición del punto Q vendrá determinada en cada instante por el extremo del segmento rectilíneo OQ, de longitud A. Conforme el punto Q se mueve sobre la circunferencia, con velocidad angularω constante, dicho segmento gira con esa misma velocidad angular. El segmento rectilíneo OQ que gira recibe los nombres de vector rotatorio, rotor o fasor, aunque en todo rigor no es una magnitud vectorial, sino más bien una magnitud compleja5_{. Esto es, aunque se le haya}

asignado un sentido en la Figura 13.3, no se ha especificado su dirección en el

espacio6_.

Cuando el fasor OQ gira en el sentido indicado en las Figura 13.3, el punto de referencia Q se mueve sobre la circunferencia de radio A y el punto P lo hace sobre el diámetro vertical (x) con un movimiento de vaivén cuya amplitud es A (i.e., -A≤

x ≤ A). El movimiento del punto P es periódico. El tiempo que emplea el punto Q

para completar una vuelta es el mismo que emplea el punto P en completar una oscilación; i.e., el periodo T de las oscilaciones es igual a 2π/ω. La frecuencia de las

4_{En general, esta representación será válida e interesante para cualquier magnitud física cuyo}

valor varíe en el transcurso del tiempo conforme a una función sinusoidal "simple". Este es el caso, por ejemplo, de la representación fasorial de la corriente alterna.

5_{Admite un tratamiento mediante el Álgebra de los Números Complejos.} 6

El término que se utiliza en alemán es Zeiger, lo que significa índice, en el sentido de manecilla de un reloj.

§13.3.- Representación de Fresnel del m.a.s. 369

oscilaciones del punto P coincide con el número de vueltas que completa el punto

Figura 13.3

Q en la unidad de tiempo; esto es, ν=ω/2π=1/T. Por último, la frecuencia angular de las oscilaciones de P coincide con la velocidad angular del punto Q de referencia. Hagamos que en el instante inicial (t=0) el fasor OQ forme un ángulo ψ con el diámetro horizontal de la circunferencia de referencia. Al cabo de un tiempo t dicho ángulo valdrá ωt+ψ y la elongación del punto P será, en ese instante

[13.20]

x A sen (ω t ψ)

de modo que el movimiento

Figura 13.4

del punto P es un movimiento

armónico simple. En esta

representación, la faseωt+ψ es el ángulo que forma el fasor OQ con el diámetro de refe-rencia (horizontal) en un ins-tante dado.

El alumno demostrará fácilmente que la velocidad y la aceleración del punto P pueden obtenerse también

como las proyecciones respectivas de la velocidad y de la aceleración del punto Q de referencia sobre el diámetro vertical de la circunferencia matriz, como se indica en la Figura 13.4.

En definitiva, la elongación de una partícula

Figura 13.5

que realiza un m.a.s. puede considerarse como la componente sobre el eje x (vertical) de un vector rotante o fasor x, cuyo módulo es igual a la amplitud A del m.a.s. y que gira en el sentido antihorario con una velocidad angular constante ω que se corresponde con la

frecuen-cia angular del m.a.s, de modo que forma en

cada instante un ángulo ωt+ψ con el eje hori-zontal de referencia, representando dicho ángulo

la fase del m.a.s.. La velocidad y la aceleración de la partícula pueden representarse también por sendos vectores rotantes o fasores, v y a, cuyos módulos sonωA y ω2_A,

respectivamente, de modo que sus componentes sobre el eje x (vertical) dan la veloci-dad y la aceleración de la partícula que ejecuta el m.a.s.. En laFigura 13.5se ilustran los fasores x, v y a en un instante dado; en ella puede apreciarse que v y a presentan un adelanto de fase deπ/2 y π rad, respectivamente, en relación al fasor x.

§13.4. Dinámica del movimiento armónico simple.- La expr. [13.18]de la aceleración de una partícula que ejecuta un movimiento armónico simple nos permitió calcular la fuerza que debe actuar sobre dicha partícula, de masa m, para que tenga lugar ese movimiento. Ya hemos visto que dicha fuerza debe ser directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella; esto es,

[13.21]

F m a mω2_{x k x}

donde hemos definido una nueva constante, k, esencialmente positiva, llamada

constante de fuerza, mediante la expresión

[13.22]

k mω2 _{o bien} ω k

m

En consecuencia, la fuerza F está dirigida en todo instante hacia el origen, que corresponde al punto O (de abscisa x=0), siendo nula cuando la partícula pasa por dicho punto; el punto O es la posición de equilibrio. La fuerza F es una fuerza

atractiva, siendo O el centro de atracción.

La fuerza expresada por [13.21] es el tipo de fuerza que aparece cuando se

deforma un cuerpo elástico, tal como un muelle, y la ley de fuerza que la expresa recibe el nombre de ley de Hooke, en honor de Robert HOOKE (1635-1703) que enunció las leyes de las deformaciones elásticas de los cuerpos. Por esa razón la constante k suele recibir el nombre de constante elástica. Dicha constante representa la fuerza que debemos aplicar para mantener desplazada la partícula una unidad de distancia a partir de su posición de equilibrio; sus unidades son newton por metro (N/m) en el sistema internacional (S.I.).

Debemos señalar que en la ec. [13.22] la constante ω (frecuencia angular del m.a.s.) queda determinada en función de los valores que posean la masa (m) de la partícula y la constante de fuerza (k) del sistema oscilante (un muelle, por ejemplo). Esas son las dos características esenciales que intervienen en el establecimiento de un movimiento oscilatorio:

1. Una componente inercial, con la que estará asociada la energía cinética

del sistema oscilante.

2. Una componente elástica, capaz de almacenar energía potencial (elástica).

Recuérdese que las otras dos constantes que aparecen en la ec.[13.1]que describe el m.a.s., esto es la amplitud (A) y la constante de fase (ψ), deben determinarse a partir de las condiciones iniciales del sistema (x₀,v₀) y que, por tanto, no dependen de las características intrínsecas o esenciales del mismo.

§13.4.- Dinámica del movimiento armónico simple. 371 La relación [13.22]nos permite expresar el periodo (T) y la frecuencia (ν) de un movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella; tenemos

[13.23] T 2π m k ⇒ ν 1 2π k m

Hemos comenzado esta lección definiendo el movimiento armónico simple mediante sus propiedades cinemáticas expresadas por la ex. [13.1] y sus derivadas respecto al tiempo. A partir de esas propiedades cinemáticas hemos sido capaces de encontrar el tipo de fuerza que debe aplicarse a la partícula para que su movimiento sea armónico simple [13.21]. Sin embargo, es interesante que abordemos también el problema inverso; esto es, dada una fuerza del tipo F=-kx, encontrar la clase de movimiento que esa fuerza origina.

Supongamos que sobre una partícula de masa m actúa una fuerza dada por F=-kx. La segunda ley del movimiento nos permite escribir

[13.24]

F kx m¨x

ec. dif. de segundo orden que podemos escribir en la forma

[13.25]

m¨x kx 0 ⇒ ¨x ω2_{x 0}

con ω2_{=k/m. La ec. dif. [13.25] requiere que x(t) sea alguna función cuya segunda}

derivada sea el valor negativo de la función misma, salvo en un factor constanteω2. Sabemos que las funciones armónicas (seno y coseno) tiene esa propiedad. Por lo tanto, la solución de la ec. dif.[13.25]debe ser de la forma

[13.26]

x A sen (ωt ψ)

solución que podemos verificar sustituyéndola directamente en la ec. dif. de partida. Las dos constantes A yψ son las correspondientes a las dos etapas de integración de la ec. diferencial. En definitiva, la función[13.26]es la solución general de la ec. dif. del movimiento[13.25], de modo que podemos asegurar que una fuerza de atracción proporcional a la elongación origina siempre un movimiento armónico simple.

§13.5. Energía en el m.a.s..-Resulta interesante e instructivo analizar el m.a.s. bajo el punto de vista energético. Teniendo en cuenta que la aceleración de la partícula puede expresarse en la forma

[13.27]

¨x a v dv

dx

la ecuación diferencial[13.25a]del movimiento producido por una fuerza del tipo F= -kx puede reescribirse como

[13.28]

mv dv kx dx 0

[13.29] 1 2 m v 2 1 2k x 2 _{cte. E}

El primer término de esta expresión es la energía cinética de la partícula; el segundo término corresponde a la energía potencial. En consecuencia, la constante del segundo miembro es la energía total E; esto es,

[13.30]

E E_k E_p

Por lo tanto, la energía total de la partícula es una constante del movimiento, como cabía esperar para un sistema conservativo.

El significado de la relación anterior se pone de manifiesto mediante la gráfica de la Figura 13.6, en la que se ha representado la energía (potencial) en ordenadas y la elongación en abscisas. Comenzamos por dibujar la curva de la energía potencial

Ep=kx2/2, que es una parábola de eje vertical y con su vértice en el origen. A

continuación trazamos una recta horizontal, que corresponde al valor constante de la energía total E. Entonces se comprueba que el movimiento de la partícula queda restringido al intervalo -A≤x≤A, ya que los puntos x=-A y x=+A son puntos de

retroceso. Fuera del intervalo anteriormente citado la energía potencial superaría a

la energía total, de modo que la energía cinética sería negativa, cosa imposible pues implicaría una velocidad imaginaria. Así pues, el movimiento tiene lugar en un pozo

de potencial, cuyo fondo corresponde a la posición de equilibrio estable.

Si trazamos una recta vertical para cualquier x, tal que (-A≤x≤A), la longitud del

Figura 13.6

segmento de dicha recta comprendido entre el eje de abscisas y la parábola representa la energía potencial correspondiente a ese valor de la elongación; y la longitud del segmento comprendido entre la parábola y la recta horizontal E=cte corresponde a la energía cinética. Conforme la partícula se mueve entre los límites -A y +A, hay una conversión continua de energía cinética a potencial y viceversa. Cuando la partícula se aleja de la posición de equilibrio (x=0) aumenta la energía potencial a expensas de la energía cinética; ocurre lo contrario cuando la partícula se aproxima a la posición de equilibrio. En los puntos de retroceso toda la energía es potencial; en la posición de equilibrio toda la energía es cinética. La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio toma su valor máximo; esto es,

[13.31] E 1 2mv 2 máx ⇒ vmáx 2E m

En los extremos de la trayectoria, la elongación presenta su valor máximo x_máx =A y es

§13.5.- Energía en el m.a.s.. 373 [13.32] E 1 2kA 2 _{⇒ A} 2E k

La velocidad de la partícula cuando pasa por un punto de elongación genérica

x se puede obtener a partir de [13.29]. Se tiene

[13.33] v 2E kx 2 m kA2 _kx2 m k m A 2 _x2 ω A2 _x2

conω2_{=k/m, como anteriormente. Ahora podemos obtener la elongación en función}

del tiempo, x(t), sustituyendo v por dx/dt en la ecuación anterior e integrando

[13.34] ⌡ ⌠x x0 dx A2 _x2 ω ⌡⌠ t 0 dt

que nos conduce a _arcsen x [13.35]

A arcsen x₀

A ωt

de modo que, haciendo

[13.36]

ψ arcsen x0

A ⇒ senψ

x₀ A

se tiene finalmente _{x A sen (ω t ψ)} [13.37]

que es, como ya sabemos, la ecuación cinemática que describe un movimiento armónico simple.

§13.6. Energías cinética y potencial medias.- Las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple son funciones del tiempo y vienen dadas por

[13.38] ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ E_k 1 2m˙x 2 1 2 mω 2_A2_cos2_{(ω t ψ)} E_p 1 2kx 2 1 2kA 2_sen2(ω t ψ)

donde hemos empleado las expresiones[13.1]y[13.14]que nos dan la elongación y la velocidad de la partícula en función del tiempo. En laFigura 13.9hemos representado gráficamente las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple en función del tiempo (con ψ=0). Obsérvese que ambas funciones son periódicas, de periodo T/2, y que su suma, esto es, la energía total E, permanece constante en el transcurso del tiempo, siendo su valor

[13.39] E E_k E_p 1 2mω 2_A2 1 2kA 2

374 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN RESPECTO AL TIEMPO

Sea F(t) una función del tiempo. Se llama valor medio de la función F(t) en el intervalo de tiempoΔt=t2-t1al valor Figura 13.7 F(t) 1 t₂ t₁⌡⌠ t2 t1 F(t) dt

Geométricamente, puesto que la integral representa el área limitada por la curva F(t), el eje de tiempos (abscisas) y las ordenadas extremas t=t1 y t=t2, el

valor medio 〈F(t)〉 puede interpretarse como la altura de un rectángulo cuya base esΔt=t2-t1y cuya

área es igual a la anteriormente citada.

Cuando la función F(t) sea periódica, de periodo T, estaremos interesados normalmente en el valor medio de la función en un intervalo de tiempo que corresponda a un periodo. Entonces podemos escribir

〈F(t)〉 1

T ⌡⌠

T

0

F(t) dt Calcularemos ahora el valor medio de la función sen2_ωt:

〈sen2ωt〉 1 T ⌡⌠ T 0 sen2ωt dt 1 T ⌡⌠ T 0 1 cos 2ωt 2 dt 1 T ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ t 2 sen 2ωt 4ω 2π ω 0 1 2 y análogamente se encuentra que

C M Y CM MY CY CMY K Figura 13.8 〈cos2_ωt〉 1 2

Llegaremos al mismo resultado de una forma más sencilla, sin necesidad de resolver integral alguna, si partimos de la identidad trigonométrica:

sen2_{ωt cos}2_{ωt 1}

Entonces, al tomar valores medios en un intervalo de tiempo T=2π/ω, tenemos

〈sen2_{ωt〉 〈cos}2_ωt〉

1

y puesto que la única diferencia que existe entre las funciones seno y coseno es la referente a una constante de fase deπ/2 rad, deberá ser

〈sen2ωt〉 〈cos2ωt〉 1

2

Dejamos el cuidado del alumno demostrar las relaciones siguientes, con m≠n:

§13.6.- Energías cinética y potencial medias. 375

〈sen mωt sen nωt〉 0 〈sen mωt cos nωt〉 0 〈cos mωt cos nωt〉 0

〈sen2_nωt〉 1

2 〈cos

2_nωt〉 1

2

de modo que:

la energía total de un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones.

Calcularemos ahora los valores medios temporales de las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple:

[13.40] ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 〈Ek〉 1 2mω 2_A2〈cos2₍ω t ψ)〉 1 4mω 2_A2 〈E_p〉 1 2kA 2〈sen2₍ω t ψ)〉 1 4kA 2

Vemos claramente7_{que los valores medios}

Figura 13.9

de las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple son iguales:

[13.41]

〈E_k〉 〈E_p〉 1 2E

Obsérvese que <E>=E, ya que la energía total es una constante del movimiento8_{. La igualdad}

entre los valores medios de las energías cinéticas y potencial es una propiedad especial

del oscilador armónico simple, propiedad que no se mantiene, en general, para los osciladores anarmónicos.

§13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio.-Hemos visto que el movimiento armónico simple es generado por una fuerza del tipo F=-kx, asociada a una energía potencial E_p=kx2_{/2, midiéndose x a partir de la posición de equilibrio,}

que hemos supuesto en x=0. Supongamos ahora que la posición de equilibrio se encuentra en un punto de abscisas x₀, en lugar de en el origen; será:

[13.42] E_p 1 2k (x x0) 2 7_{Recordemos que k = mω}2 (expr. [13.22]). 8

El lector llegará fácilmente al mismo resultado [13.41] por aplicación directa del teorema del virial para una partícula en un campo conservativo, como se explicó en §10.9.

La representación gráfica de esta energía potencial, en función de x, es una

Figura 13.10

parábola de eje vertical con su vértice en el punto x₀. Si la energía total del oscilador es E>0, como se indica en la Figura 13.10, la recta E=cte interseca a la curva de energía potencial E_p(x) en dos puntos, P₁y P₂, cuyas abscisas x₁y x₂, colocadas simé-tricamente respecto a x₀, constituyen los límites de oscilación (puntos de retroceso). La fuerza que actúa sobre la partícula es

[13.43]

F dEp

dx k (x x0)

siendo nula en el punto x₀, que corres-ponde a la posición de equilibrio esta-ble, ya que en el presenta su valor mínimo la energía potencial. Calcule-mos la segunda deriva de E_p(x) con respecto a x:

[13.44]

d2_E p

dx2 k >0

lo que nos permite escribir para la frecuencia angular de las oscilaciones armónicas simples [13.45] ω k m 1 m d2_E p dx2

Consideremos ahora un movimiento unidimensional de una partícula, de masa

Figura 13.11

m, bajo la acción de una fuerza conservativa arbitraria. Limitándonos, de momento,

a movimientos a lo largo del eje x, dicha fuerza será función de la abscisa x de la partícula, esto es, F=F(x), y estará dirigida a lo largo de dicho eje. En estas condiciones, la energía potencial de la partícula será una función de la coordenada

x (i.e., E_p(x)) y podrá representarse gráficamente como en laFigura 13.11, por ejemplo.

Supongamos que sea E la energía total de la partícula, como se muestra en la

Figura 13.11. Ya sabemos (§10.3) que, entonces, el movimiento de la partícula estará

limitado a la región x₁ ≤ x ≤ x₂; i.e., la partícula se mueve (movimiento periódico) en un pozo de potencial cuyo fondo se encuentra en la posición de

equilibrio estable.

Puesto que el sistema es conservati-vo, podemos escribir

[13.46]

1 2 m˙x

2 _E

§13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio. 377 y la velocidad de la partícula puede expresarse en función de la abscisa x en la forma

[13.47]

˙x dx

dt

2

m[E Ep(x)]

El periodo del movimiento en un pozo de potencial puede obtenerse por integración de la ecuación anterior:

[13.48] T ⌡ ⌠T 0 dt m 2 dx E E_p(x)

donde la integración se extenderá a un ciclo completo del movimiento. Puesto que el movimiento es simétrico (se emplea el mismo tiempo en recorrer la anchura del pozo de izquierda a derecha que de derecha a izquierda), el periodo T será igual al doble del tiempo de tránsito entre los puntos x=x₁y x=x₂; esto es9_,

[13.49] T _{2m ⌡⌠} x2 x1 dx E E_p(x)

donde los puntos de retorno, x₁y x₂, se obtendrán resolviendo la ecuación E_p(x)=E.

Dejamos al cuidado del alumno demostrar que, para el caso de una energía potencial de la forma Ep=k(x-x0)

2

/2, el periodo del movimiento, calculado a partir de[13.49]es

[13.50] T 2π m

k

es decir, el mismo que corresponde a un m.a.s. y que resulta ser independiente del valor de la energía total E, lo que equivale a decir que es independiente de la amplitud de las oscilaciones (isocronismo).

En el caso general, en el que la energía potencial sea una función arbitraria de la posición x de la partícula, el movimiento en el interior del pozo de potencial será periódico, pero no será armónico simple, y el periodo T será una función de la energía total E de la partícula y, por ende, de la "amplitud" de las oscilaciones, no siendo simétrico el movimiento con respecto a la posición de equilibrio. Esta es una situación que encontraremos frecuentemente en los sistemas físicos reales y da como resultado un movimiento oscilatorio anarmónico. En todo caso, la frecuencia, o el periodo, de las oscilaciones podrá calcularse, al menos en principio, a partir de la expresión [13.49].

Si la energía total de la partícula es tan sólo ligeramente superior que la energía potencial correspondiente a la posición de equilibrio, las oscilaciones alrededor de dicha posición de equilibrio pueden considerarse como armónicas simples. Veamos que, en efecto, es así.

9

Obsérvese que en [13.49] tenemos una integral impropia (el integrando se hace infinito en los límites de integración, x1y x2); sin embargo, en el terreno físico la integral debe existir para una

Recordemos que dada una función arbitraria f(x), el teorema de Taylor nos permite desarrollarla como una serie de potencias:

[13.51] f(x) f(x₀) ⎛_⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ df dx ₀(x x0) 1 2! ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d2 f dx2 0 (x x₀)2 1 3! ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d3 f dx3 0 (x x₀)3 _...

donde el subíndice "0" (cero) significa que las derivadas se avalúan en el punto x₀. Aplicando el teorema de Taylor a la función energía potencial E_p(x), y teniendo en cuenta que (dE_p/dx)₀=0, por corresponder el punto x=x₀ a un mínimo de la energía potencial, tenemos E_p(x) E_p(x₀) 1 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d2_E p dx2 0 (x x₀)2 1 6 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d3_E p dx3 0 (x x₀)3 _... [13.52] E_p(x₀) 1 2k (x x0) 2 1 6k3(x x0) 3 _...

donde hemos puesto, para abreviar,

[13.53] k ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d2_E p dx2 0 k₃ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d3_E p dx3 0 ...

El primer término, E_p(x₀), en el desarrollo en serie de potencias de la energía potencial E_p(x), es constante y representa simplemente una elección arbitraria en el cero de energía potencial; podemos prescindir de este término sin que ello afecte a los resultados físicos. El segundo término es justamente el término cuadrático que corresponde a un oscilador armónico simple, con k definido como en [13.53]. Los términos restantes son los responsables de la anarmonicidad, y reciben el nombre de

términos anarmónicos.

Si la energía total E de la partícula es tan sólo ligeramente superior a E_p(x₀), la amplitud de las oscilaciones será pequeña. Así, si nos limitamos a considerar pequeños desplazamientos respecto a la posición de equilibrio estable x=x₀, podremos despreciar los términos de [13.52], que contienen (x-x0)

3

, (x-x0) 4

, ... y potencias superiores de (x-x0). Retendremos, entonces, solamente los dos primeros términos de

[13.52], en el supuesto de que sea k≠0, y escribiremos

[13.54] E_p(x) ≈ E_p(x₀) 1

2 k (x x0)

2

En consecuencia, para pequeñas oscilaciones en torno a cualquier mínimo de energía potencialFigura 13.12, salvo para el caso excepcional k=0, el movimiento es el de un oscilador armónico simple, cuya frecuencia angular es

[13.55] ω k m 1 m ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d2_E p dx2 0

§13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio. 379 La aproximación anterior es

acep-Figura 13.12

table en muchas situaciones reales, y en ella radica la gran importancia del oscilador armónico simple. La mayoría de los problemas en los que intervienen sistemas oscilantes se reducen al del oscilador armónico simple cuando son suficientemente pequeñas las amplitu-des de oscilación. Para amplituamplitu-des mayores, la aproximación no es acepta-ble, y el valor de la frecuencia angular calculado mediante [13.55] discrepará

notablemente, en general, del valor real; en este caso, la aproximación armónica simple al problema no es adecuada, y deberá tomarse en cuenta el efecto de los términos anarmónicos.

Consideremos ahora la fuerza correspondiente a la energía potencial E_p(x) dada por[13.52]; tenemos [13.56] F(x) dEp dx k (x x0) 1 2k2(x x0) 2 _...

Si nos limitamos a considerar pequeños desplazamientos de la partícula respecto a la posición de equilibrio x=x₀, podemos escribir la relación aproximada

[13.57]

F k (x x₀)

conocida como ley de Hooke, que no es sino un caso especial de una relación más general [13.56]en el fenómeno de la deformación de los cuerpos elásticos.

La ley de Hooke implica una relación lineal entre la deformación y la fuerza recuperadora (o

Figura 13.13

deformadora). Los muelles y otros sistemas elásticos, así como los sólidos en general, obedecen esta "ley" con tal que las deformaciones no sean demasiado grandes. Si se deforma un sólido más allá de un cierto grado, llamado límite elástico, no recuperará su forma y tamaño originales cuando deje de actuar la fuerza aplicada. Cuando se sobrepasa el límite elástico y comienza el flujo plástico, la fuerza depende de un modo complicado de factores muy diversos, incluyendo la velocidad de deformación y la historia previa del sistema deformable (histéresis), y no puede especificarse mediante una energía potencial. Estudiaremos con más profundidad estas cuestiones en una lección posterior.

Resumiendo, podemos afirmar que siempre que una partícula, o un sistema defor-mable, en general, se separa de su posición o configuración de equilibrio estable, se originarán oscilaciones armónicas simples si los desplazamientos son suficientemente pequeños, pues entonces puede considerarse lineal la relación existente entre la elongación y la fuerza recuperadora. En laFigura 13.13

hemos representado gráficamente la fuerza correspondiente a la función de energía potencial representada en la Figura 13.12. Los puntos de abscisa x₀y x₁corresponden a las posiciones de equilibrio estable e inestable, respectivamente; en ambas posi-ciones es nula la fuerza. Hemos ampliado el entorno del punto x₀para poder apreciar que existe una relación lineal aproximada entre F y (x-x₀), tal como se expresa en la ley de Hooke, si el entorno de x₀es suficientemente pequeño.

§13.8. Sistema masa-muelle.-El sistema masa-muelle constituye el paradigma

Figura 13.14

de las oscilaciones de los sistemas mecánicos. Consideremos el sistema constituido por un muelle con uno de sus extremos fijo y con el otro unido a un cuerpo, de masa

m, que puede resbalar sobre una superficie horizontal lisa (Figura 13.14). La posición

de equilibrio de la masa es O, y corresponde a la ausencia de tensión (tensora o compresora) en el muelle; tomaremos dicha posición como origen de abscisas. Supongamos que desplazamos la masa de su posición de equilibrio y que después la abandonamos; el sistema comenzará a oscilar. En el instante en que la masa tenga una elongación x, la fuerza que actúa sobre ella es

[13.58]

F kx

ya que la fuerza es proporcional a la elongación (=deformación del muelle) y está dirigida hacia la posición de equilibrio (fuerza recuperadora). La constante k es la llamada constante elástica o recuperadora, y se mide en newtons por metro (N/m) en el S.I.. El valor recíproco de la constante elástica, 1/k, recibe el nombre de sensibilidad del muelle, y se mide en metros por newton (m/N). Podemos clasificar los muelles en blandos (muy sensibles) y duros (poco sensibles).

La segunda ley de Newton, aplicada a la masa m, nos permite escribir

[13.59]

F kx m¨x

o sea _{m¨x kx 0} [13.60]

que es la ec. dif. del m.a.s., con una pulsación o frecuencia angular dada por

[13.61]

ω k

m

El movimiento del sistema es armónico simple. Debemos destacar que la frecuencia de las oscilaciones del sistema masa-muelle queda definida en todos los casos por los valores de m (característica inercial) y k (característica elástica). Sin embargo, las otras dos constantes (A,ψ) que intervienen en la ecuación del m.a.s. x=A sen(ωt+ψ) deberán calcularse, en cada caso, a partir de las condiciones iniciales (x₀,v₀).

§13.8.- Sistema masa-muelle. 381

Ejemplo I.- Muelle suspendido verticalmente.- Analizar las oscilaciones de un sistema masa-muelle

suspendido verticalmente de un punto fijo.

Consideremos un muelle de masa despreciable suspendido verticalmente de un punto fijo. Sea L su longitud natural y tomemos como origen del eje de abscisas (vertical y hacia abajo) el punto O. Cuando colgamos un cuerpo de masa m del extremo libre del muelle, éste se alarga una cierta distancia x0. Cuando se restablece el equilibrio tenemos

Figura 13.15 [13.62] mg kx₀ 0 de modo que [13.63] x₀ mg k

que corresponde a la posición de equilibrio del sistema masa-muelle. Supongamos que desplazamos el cuerpo verticalmente de su posi-ción de equilibrio y que, después, lo abandonamos; el sistema comienza a oscilar. La ec. del movimiento del cuerpo es

[13.64]

mg kx m¨x ⇒ m¨x kx mg

que difiere de la ec. [13.25] en que contiene el término de fuerza constante mg; pero, teniendo en cuenta [13.62], o sea que mg=kx0, se escribirá como

[13.65] m¨x kx kx₀ ⇒ m¨x k(x x₀) 0

que ya no contiene dicho término constante. Para proceder a la integración de esta ec. dif. conviene hacer el siguiente cambio de variable:

[13.66] x′ x x₀ ˙x′ ˙x ¨x′ ¨x

lo que equivale a trasladar el origen de abscisas a la posición x0 de equilibrio del sistema

masa-muelle. Entonces, la ec. dif. [13.65] se convierte en

[13.67] m¨x′ kx′ 0

cuya solución general es _{x′ A sen (ωt ψ)} [13.68]

o sea _x mg [13.69]

k A sen (ωt ψ)

con ω2_{=k/m. Así pues, el cuerpo oscila con m.a.s. alrededor de la posición de equilibrio}

correspondiente al sistema masa-muelle. Obsérvese que la frecuencia de las oscilaciones es la misma que corresponde al caso del sistema masa-muelle horizontal; el único cambio ha sido un desplazamiento de centro del m.a.s.. En vista de estos resultados, en el análisis del problema puede ignorarse el campo gravitatorio uniforme, al menos cuando tan sólo estemos interesados en la frecuencia de las oscilaciones.

382 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.

Ejemplo II.- Sistema con dos muelles.- En el sistema que se representa en la Figura 13.16, los

C M Y CM MY CY CMY K Figura 13.16

muelles tienen constantes elásticas y longitudes naturales (k1,l1) y (k2,l2) y están conectados, cada

uno por un lado, a un bloque de masa m, de tal modo que ambos están tensados (i.e., L1+L2>l1+l2).

Determinar la constante elástica equivalente del sistema y la frecuencia angular de sus oscilaciones.

Método de Newton:

Comenzaremos estableciendo la condición de equilibrio (figura superior); i.e., la igualdad de las tensiones en los dos muelles:

[13.70] k₁(L₁ l₁) k₂(L₂ l₂) 0

Imaginamos el sistema en oscilación y escribimos la ec. del movimiento para el bloque cuando presenta una elongación x (figura inferior):

[13.71] k₁(L₁ x l₁) k₂(L₂ x l₂) m¨x

que una vez ordenada y teniendo en cuenta la condición [13.70] queda en la forma [13.72] m ¨x (k₁ k₂) x 0 de modo que k_eq k₁ k₂ ω keq [13.73] m k₁ k₂ m Método de la energía:

Método de la energía potencial.- Si solamente estamos interesados en determinar el valor de

la constante elástica del sistema, expresamos la energía potencial del sistema en función de la elongación x; i.e., [13.74] E_p 1 2k1(L1 x l1) 2 1 2k2(L2 x l2) 2

En la posición de equilibrio (x=0), la energía potencial presentará un mínimo; i.e.,

[13.75] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ dE_p dx _{x 0} k1(L1 x l1) k2(L2 x l2) _{x 0} k1(L1 l1) k2(L2 l2) 0

que es la misma relación [13.70]. La expr. [13.44] nos permite calcular la constante elástica del sistema a partir de la expr.[13.75]; i.e.,

[13.76]

d2_E p

dx2 k1 k2 keq

Método de la energía total.- Para determinar la ec. dif. del movimiento, expresaremos la

energía total del sistema en un instante genérico, cuando es x la elongación; i.e.,

[13.77] E 1 2m˙x 2 1 2k1(L1 x l1) 2 1 2k2(L2 x l2) 2 _cte.

§13.8.- Sistema masa-muelle. 383

[13.78]

dE

dt m ˙x ¨x k1(L1 x l1) ˙x k2(L2 x l2) ˙x 0 ordenando y teniendo en cuenta la condición [13.75] tenemos

[13.79] ˙x [ m¨x (k₁ k₂) x ] 0

y, puesto que ˙x no es siempre nulo, deberá ser

[13.80] m¨x (k₁ k₂) x 0

que es la misma ec. dif. del movimiento [13.72] obtenida por el método anterior, que nos conduce al mismo resultado [13.73] que antes.

Obsérvese que la frecuencia de las oscilaciones del sistema no depende ni de las longitudes naturales de los muelles (l1, l2), ni de sus tensiones en el equilibrio (definidas por L1y L2), por lo

que pudiéramos haber ignorado dichos parámetros (considerarlos nulos), al menos si tratamos con muelles extensores-compresores.

Ejemplo III.- Pequeñas oscilaciones.- Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones

Figura 13.17

transversales del sistema representado en la Figura 13.17. Los dos muelles son idénticos, de constante elástica k y longitud natural l0cada uno de ellos y están sometidos

a una tensión F0en la posición de equilibrio.

Resultará conveniente expresar la longitud L en función de la tensión de equilibrio; esto es

k (L l₀) F₀ → L l₀ F0 k

Escribiremos la expresión de la energía potencial (elástica) correspondiente a una elongación transversal x; i.e.,

E_p k L2 _x2 _l 0

2

y la derivaremos dos veces sucesivas respecto de la elongación ... dE_p dx 2k L 2 _x2 _l 0 x L2 x2 2kx 2kl0x L2 x2 d2 E_p dx2 2k 2 k l0 L2 _x2 x 2 L2 _x2 L2 _x2 2k 2 k l0 L2 ( L2 _x2₎3/2 2k ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 l0L 2 (L2 _x2₎3/2

de modo que, de acuerdo con la expr. [13.53a], será

k_eq ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d2 E_p dx2 0 2k ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 l0 L 2k L l₀ L

o bien, en función de la tensión F0, k_eq

2 F₀ L

de modo que la frecuencia de las oscilaciones transversales de la masa m será

ω keq

m

2 F₀ mL

En los análisis anteriores del sistema masa-muelle hemos considerado los muelles como si no presentasen inercia (masa) y actuasen solamente como un "almacén" de energía potencial. Las características inerciales y elásticas, esenciales para que se produzcan las oscilaciones, estaban asociadas a elementos bien diferenciados. Esto puede se una buena aproximación en muchos casos, pero en otros la masa del muelle puede jugar un papel importante.

Ejemplo IV.- Muelle que tiene masa no despreciable.- Consideremos un cuerpo de masa m unido

a un muelle de masa M, como en la Figura 13.18. Sea k la constante elástica del muelle. ¿En qué diferirá el periodo de las oscilaciones de este sistema del que se tendría si el muelle no tuviese masa?

Intuitivamente podemos predecir que el periodo de las oscilaciones será tanto mayor cuanto mayor sea la masa del muelle. Pudiéramos estar tentados a sustituir en [13.61] m por m+M, al efecto de calcular la frecuencia angular del sistema. Pero el problema no es tan simple, dado que no todas las secciones del muelle oscilan con la misma amplitud. La amplitud del extremos fijo es nula, en tanto que la del extremo unido a la masa m es igual a la de ésta.

Podemos abordar el problema de un modo sencillo y razonable suponiendo que las diferentes secciones del muelle experimentan desplazamientos proporcionales a su distancia al extremo fijo, como se indica en la Figura 13.18. De este modo podremos calcular la energía cinética total del muelle cuando su extremo móvil presente una elongación x.

Sea L la longitud natural del muelle

Figura 13.18

y consideremos un elemento infinitesimal del mismo, de longitud dl, situado a una distancia l del extremo fijo (O≤ l ≤ L). La masa de ese elemento infinitesimal es

[13.81]

dM M

L dl

y su elongaciónξ, cuando es x la elonga-ción del extremo móvil, es la fracelonga-ción l/L de x, i.e., ξ x .

Ll l Lx

La velocidad del elemento infinitesimal dM, en cada instante, puede expresarse en función de su distancia l al extremo fijo y de la velocidad v y que tenga en ese instante el extremo móvil del muelle: [13.82] v_l dξ dt d dt ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ l Lx l L dx dt l Lv