Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1
MATRICES
Definición de matriz: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en renglones y columnas encerrados entre paréntesis. Una matriz mxn es de la siguiente forma, donde cada a es un número real ij
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
A
L M O M M
L L
2 1
2 22
21
1 12
11
Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos con minúsculas con dos subíndices a , que indican respectivamente el renglón y la columna en que se sitúa el elemento. ij
mxn se lee “m por n” y nos dice el tamaño de la matriz. La letra m representa los renglones de la matriz, y la letra n las columnas. Así el elemento a32está en el renglón 3 y la columna 2.
Ejemplo 1: Matrices mxn
3 4 1 5 3
9 5 7
4 1 0
1 2 3
x
− − − −
3 3 0 2 1
3 8 4
7 5 2
x
− − −
1 3 0
2 5
x
−
(
2 −3 4 −6 2)
1x5TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
• Se denomina matriz renglón a aquella matriz que consta de un único renglón.
R =
(
a11 a12 a13 L a1n)
• Se denomina matriz columna a aquella que consta de una única columna.
C =
1 21 11
m
a a a
M
• Si m = n, la matriz se denomina matriz cuadrada de orden n
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
A
L M O M M
L L
2 1
2 22
21
1 12
11
• Se denomina matriz identidad de orden n a aquella matriz cuyos elementos de la diagonal son todos uno, y los demás elementos ceros. Es decir,
=
1 0
0
0 1
0
0 0
1
L M O M M
L L
n
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 2
OPERACIONES CON MATRICES
Analizaremos algunas de las propiedades de las matrices, las cuales son muy importantes en campos avanzados de las matemáticas y en aplicaciones.
Definición de suma de matrices: Sean A=
( )
aij , B=( )
bij y C=( )
cij matrices mxn.1) C=A+B si y sólo si ccij =aij+bijpara todo
i
y jSe debe tener en cuenta que para sumar dos matrices deben tener el mismo tamaño.
Ejemplo 2: Suma de matrices
•
− − =
+ − − + −
+
+ −
+ − + =
− −
− +
− −
2 0 5
10 5 5 4 6 ) 8 ( 8 ) 2 ( 7
5 5 ) 2 ( 3 3 2 4
8 2
5 2 3 6 8 7
5 3 2
•
− − − =
+
− − −
2 8 8
7 6 5
1 5 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 8 8
7 6 5
1 5 3
Propiedades
1) Asociativa: ∀A,B,C∈Rmxn ⇒(A+B)+C=A+(B+C). 2) Conmutativa: ∀A,B∈Rmxn ⇒A+B=B+A.
3) Elemento neutro:
La matriz 0 es aquella que tiene todos sus elementos nulos. 4) Elemento opuesto: mxn
R A∈
∀ existe una matriz mxn
R A∈
− tal queA+(−A)=A−A=0.
El inverso aditivo
( )
−A de la matriz A=( )
aij es la matriz( )
−aij obtenida al cambiar el signo de cada elemento de A diferente de ceroLa sustracción o resta de dos matrices mxn está definida por )
( B A B
A− = + − . ) ( ) ( ) ( )
(aij − bij = aij + −bij =(aij −bij)
Así, para restar dos matrices, sustraemos los elementos de las posiciones correspondientes.
•
( )
( )
( )
− − − =
− − − − −
−
− −
− − − =
− −
− −
− −
10 16 9
0 1 1 4
6 8 8 2 7
5 5 2 3 3 2 4
8 2
5 2 3 6 8 7
5 3 2
Definición del producto de un número real y una matriz: El producto de un número real c y una matriz )
(aij
A= de mxn es cA=(caij)
A A A
R A
Rmxn ∀ ∈ mxn ⇒ + = + =
∈ : 0 0
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 3 Ejemplo 3: Producto de un número real y una matriz
•
− − =
− −
=
− −
24 32
28
20 12 8
) 6 ( * 4 8 * 4 7 * 4
5 * 4 ) 3 ( * 4 2 * 4
6 8 7
5 3 2 4
Propiedades
1) Asociativa: ∀cyd∈R⋅y⋅∀A∈Rmxn ⇒(cd)A=c(dA)
2) Distributivas:
+ = + ⇒ ∈
∀ ⋅ ⋅ ∈ ∀
+ = + ⇒ ∈
∀ ⋅ ⋅ ∈ ∀
cB cA B A c R
A y R cyd
dA cA A d c R
A y R cyd
mxn mxn
) (
) (
3) Elemento neutro: ∀A∈Rmxn⇒1⋅A=A
Definición del producto de matrices: Sea A=(aij) una matriz mxn y sea B=(bij) una matriz nxp. El
producto ABes la matriz C=(cij) mxp tal que
nj in j
i j i
ij a b a b a b
c = + +L+
2 2 1 1
para i=1,2,3L,m y j=1,2,3L,n
Para saber el tamaño de la nueva matriz basta utilizar el siguiente diagrama
Tamaño de
A
Tamaño de Bmxn nxp
Igual
El tamaño de ABes mxp
Ejemplo 4: Encuentre el producto de AB si:
− − =
7 5 0
5 3 2
A y
− −
− =
2 7 4 0 2
1 3 4 8 5
4 0 1 2 3
B
SOLUCIÓN
La matriz A es
2x
3
y la matriz Bes3x
5
; entonces la matriz ABserá de2x
5
Renglón de A Columna de B Elemento de AB
1
F C1 ab11 =2⋅3+(−3)⋅(−5)+5⋅(−2)=11
1
F C2 ab12 =2⋅(−2)+(−3)⋅8+5⋅0=−28
1
F C3 ab13 =2⋅1+(−3)⋅4+5⋅4=10
1
F C4 ab14 =2⋅0+(−3)⋅3+5⋅7=26
1
F C5 ab1=2⋅4+(−3)⋅1+5⋅2=15
2
F C1 ab21 =0⋅3+(−5)⋅(−5)+7⋅(−2)=11
2
F C2 ab22 =0⋅(−2)+(−5)⋅8+7⋅0=−40
2
F C3 ab23 =0⋅1+(−5)⋅4+7⋅4=8
2
F C4 ab24 =0⋅0+(−5)⋅3+7⋅7=34
2
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 4 Los elementos se ubican en la casilla correspondiente.
Entonces:
− − =
− −
−
− −
9 34 8 40 11
15 26 10 28 11
2 7 4 0 2
1 3 4 8 5
4 0 1 2 3
7 5 0
5 3 2 AB
Ejemplo 5: Productos con matrices fila y columna
−
− =
− ⋅
− − •
19 2
4 3 2
8 5 1
4 2 6
B
A
(
)
− − = − ⋅
− •
12 24
15 30 3
6 4
5 B A
(
)
( )
81 6 4
2 = −
= ⋅ − =
•A B
(
)
(
5 6 40)
7 0 1
4 2 3 4
3 = − −
− − = ⋅ − =
•A B
Propiedades
1) Asociativa. A∈RmxnB∈RnxpyC∈Rpxq ⇒(AB)C = A(BC).
2) Distributiva. A∈RmxnB,C∈Rnxp ⇒ A(B+C)= AB+AC. 3) No conmutativa: en general AB ≠ BA.
4) No cancelativa.
AB
=
AC
⇒
/
B
=
C
Ejemplo 6: La multiplicación de matrices no es conmutativa
Si
−
=
1 4
2 3
A y
− =
2 6
1 3
B , Demuestre que AB ≠ BA
SOLUCIÓN
− =
−
−
=
2 18
7 3 2
6 1 3 1 4
2 3 AB
− − =
−
− =
14 10
5 13
1 4
2 3
2 6
1 3
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 5 Ejemplo 7: La multiplicación de matrices no es cancelativa
Si
=
1 1
1 1
A
− −
=
2 3
2 3
B y
−
− =
1 2
1 2 C
=
− −
=
0 0
0 0
2 3
2 3
1 1
1 1 AB
=
−
−
=
0 0
0 0
1 2
1 2
1 1
1 1
AC Por lo tanto
AB
=
AC
⇔
B
≠
C
Definición de matriz transpuesta: Sea A=(aij) una matriz mxn . La matriz B=(bij) de orden nxm se
obtiene al intercambiar los renglones y las columnas de A, es decir, la
i
−
ésima
columna de A es el i−ésimo renglón de B para todo i. Se denota por A tEjemplo 8: transpuesta de matrices:
− − =
7 5 0
5 3 2
A
− − =
7 5
5 3
0 2
t
A
=
d c
b a
B
=
d b
c a Bt
Propiedades 1) (At)t =A
2) (A+B)t =At +Bt
3) (AB)t =BtAt
Ejercicios de la sección
1) Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz
=
1
2
0
1
A
para que resulte la matriz
=
3
6
2
5
B
2) Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
a) Representar esta información en dos matrices.
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 6 3) Dadas las matrices
− =
1 1 0
2 1 3
A
=
0 1 2
4 3 1
B
− − =
1 1 0
2 1 1 C
Calcular:
a) A+B−C 4
3
b) 2A−B
c) calcula X para que A+X +B=C
4) Dadas las matrices
− − =
3 0 1
4 1 2
A
− −
− −
=
7 6 3
5 3 3
B
− − − =
5 7 6
8 6 4 C
Calcular: a) A+B
b) A−B 7 2
c) 4A+7B−8C d) 5At +Bt −3Ct
e) Una matriz D tal que A+2B−C+3D=0
5)Dadas las matrices
− =
7 2
5 3
2 1
A
− −
− −
=
2 4 6
4 0 1
B C =
−
0 2
5 3
Calcular si es posible: a) AB
b) BA c) BtAt d) C(A+B)
e) C(At +B)
f) (A Bt)C 3
4 +
6)Dadas las matrices
A =
−
5 1
2 3
B =
−
7 5
4 6
C =
−3 0 6 5
Calcular: a) ABC b) (A−B)C
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 7 7)Dadas las matrices
− = 5 3 2 1
A
− = 5 4 2 2 3 1 B − − = 7 8 6 4 2 3 C Calcular:
a)BC b) (A+AT)+B×C 2
1
8) Dadas las matrices
− − − − = 2 1 8 7 4 3 1 6 2 A − − − = 3 2 7 8 9 6 4 2 5 B Calcular:
a) BA b) AB c) 3A4B
d) AAt e)
B A 5 3 3 2
9) Dadas las matrices
− − = 7 8 9 7 5 4 3 6 5 A − − = 4 3 2 3 0 1 7 5 6 B − − − = 1 2 1 3 0 4 2 1 3 4 5 2 C
Calcular si es posible:
a) BAC b) ABC c) CAB
d) 2A2B2C e)
C B A 3 2 5 3 3 2
10) Dadas las matrices
− − = 7 4 5 4 2 3 A − − = 2 3 1 4 6 2 B − − − = 3 1 4 2 0 4 1 0 4 6 2 1 4 5 3 C − − − − = 0 2 4 2 0 1 5 6 2 54 6 3 5 1 2 D
Calcular si es posible:
a) AB b) CD c) ABC
d) ACD e) ABCD
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 8 12) El profesor que administro las tres pruebas a cinco estudiantes está preparando los promedios del curso. Ha decidido ponderar los dos primeros exámenes a 30% cada uno y el tercero a 40%. Desea calcular los promedios finales de los cinco alumnos mediante la multiplicación de matrices. La matriz de las calificaciones es
E Estudiante
D Estudiante
C Estudiante
B Estudiante
A Estudiante
C
=
0 . 2 5 . 2 1 . 4
5 . 1 5 . 1 2 . 4
0 . 2 6 . 4 2 . 3
0 . 5 3 . 1 5 . 4
8 . 3 5 . 2 2 . 3
Plantee la matriz de porcentajes y determinar la nota final de cada estudiante,
13) Una empresa fotográfica de la ciudad con sucursales en Bello y Envigado saco en promoción un tipo de cámara nueva, en tres modelos diferentes: automática, semiautomática y manual (a,s-a,m). Adicional a la cámara se venden unas unidades de flash para cada cámara. Los costos de cada cámara y las unidades de flash están dadas en miles de pesos en la siguiente matriz.
Flash Cámara A
m a s a
=
−
15 48 55
185 350 420
El número de unidades disponibles (cámara y unidad de flash) en cada tienda, Medellín, Bello y Envigado (M,B,E), está representada en la matriz B
Manual tica Semiautomá
Automática
B
E B M
=
150 100 200
85 50 110
45 30 70
a) Cuál es el valor total de las cámaras en Medellín?
b) Cuál es el valor total de las unidades de flash en Envigado?
c) Cuánto invirtió en total la empresa para tener todas las unidades disponibles en las tres tiendas
14) Un almacén de repuestos para motos tiene en existencia varios estilos de cascos. Cada uno de 5 diferentes colores: sencillo con un precio de $18000 cada uno; económico a $24000 y de lujo a $53000 cada uno. El inventario actual del almacén es el siguiente:
Tipo de casco
Colores
Blanco Verde Azul Rojo Negro
Sencillo 480 550 370 280 310
Económico 370 600 200 130 170
De lujo 180 230 100 75 110
a) Organizar estos datos en una matriz de inventario A y una matriz de precio B, de modo que el producto
AB
C
=
esté definido15) Un contratista tiene pedidos para cuatro unidades de una alcoba. Diez unidades de dos alcobas y seis de tres alcobas. Los costos de mano de obra y materiales (en miles de pesos) son:
1 alcoba 2 alcobas 3 alcobas
Mano de obra 34 40 43
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 9 a) Organizar estos datos en una matriz de pedidos A y una matriz de costos B, de modo que el producto
AB
C
=
esté definidob) Encuentre C e interprete el significado de cada elemento
16) Un estudio sobre el potencial electoral y preferencias por tres candidatos A, B y C para la alcaldía de Medellín, ha sido realizado por una empresa encuestadora en seis comunas de la ciudad C1, C2, C3, C4, C5 y C6. En la siguiente tabla aparecen los porcentajes del total de electores potenciales de cada sector por cada candidato y además el total de electores por comuna.
A B C Total de electores C1 0.4 0.29 0.31 37000 C2 0.12 0.53 0.35 17500 C3 0.3 0.4 0.3 85000 C4 0.21 0.35 0.44 18750 C5 0.16 0.12 0.72 23000 C6 0.45 0.27 0.28 42000
a) Determinar el total de votos esperado por cada candidato.
b) Hallar el número de votos que espera el candidato B en la comuna dos
17) Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de
administración.
a) Representar la información en dos matrices
b) Hallar la matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
18) Un proyecto de investigación realizado por la Universidad, tiene como objeto de estudio determinar la preferencia de adultos y niños (A,N) de ambos sexos por tres gaseosas que se venden en la ciudad. La composición de los participantes está dada por la matriz
Mujeres Hombres A
Niños Adultos
=
150 90
230 120
El número de gaseosas que consume semanalmente cada niño y adulto está dada por la matriz.
Niños Adultos B
Kola gas
Con gas
Sin
=
130 110
45
89 50
24
