Unidad 12: Contrastes de Hipótesis

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(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. UNIDAD 12 CONTRASTES DE HIPÓTESIS 1. INTRODUCCIÓN En la unidad anterior se han estimado valores desconocidos de algunos parámetros de la población a partir del estudio realizado en una muestra. La estimación puntual y por intervalos ha permitido acercarnos al verdadero valor de estos parámetros poblacionales a partir de los datos muestrales. Sin embargo, también es usual comprobar hipótesis realizadas sobre el valor de algún parámetro poblacional a partir de los datos de una muestra. La hipótesis se formula siempre sobre la población, mientras que la validez de ésta se basa en la información proporcionada por la muestra. Esta información permitirá decidir si se debe aceptar o bien rechazar la hipótesis formulada. Ejemplo 1: Una empresa farmacéutica asegura que cada sobre de cierto medicamento contiene 25 microgramos de principio activo, ¿cómo se puede decidir si esta afirmación es cierta? Ejemplo 2: Una compañía aérea afirma que el 91% de sus vuelos llega puntualmente, ¿hasta qué punto esta afirmación es verdadera? Ejemplo 3: Una empresa de alimentación que comercializa miel asegura que cada tarro contiene, al menos, 9 gramos de jalea real, ¿podemos confiar en la empresa? En cada uno de estos ejemplos debemos obtener una muestra de cada población, es decir, medimos la cantidad de principio activo de un número determinado de sobres, observamos el instante de llegada de “algunos” aviones de la compañía aérea o analizamos la cantidad de jalea real de un número determinado de tarros de miel. Pero, ¿cómo extraemos conclusiones? A este tipo de situaciones se les llama problemas de contraste de hipótesis. Se debe elegir la verdadera entre dos hipótesis, utilizando la información proporcionada por una muestra. El contraste de hipótesis nos va a proporcionar un método para decidir si la hipótesis formulada sobre una población es cierta o falsa. Se trata pues, de extraer conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente formulada, sobre el valor de un parámetro desconocido de la población. Cuando la distribución de la población es conocida, a falta de uno o varios parámetros, el contraste recibe el nombre de paramétrico; en caso contrario, el contraste es no paramétrico y conlleva un gran número de situaciones como contrastes de bondad de ajuste, de independencia entre poblaciones, de homogeneidad de poblaciones y de aleatoriedad. En esta unidad se va a desarrollar solo contraste paramétrico.. 2. HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Hipótesis estadística: Afirmación sobre el valor de algún parámetro de la población. Contraste de hipótesis: Consiste en plantear una hipótesis estadística sobre el valor de algún parámetro poblacional y comprobar si es verdadera. Al procedimiento que se utiliza para solucionar un problema de contraste de hipótesis se le llama test de hipótesis (usualmente identificaremos el test o procedimiento del contraste con el propio contraste). En esta unidad formularemos hipótesis estadísticas sobre la media poblacional μ y sobre la proporción poblacional p y las contrastaremos a partir de los resultados de una muestra. Hipótesis nula H0: Hipótesis que, en principio, se considera verdadera y cuya validez se quiere confirmar. Afirma que las diferencias entre las muestras son debidas al azar. Hipótesis alternativa H1: Hipótesis contraria a la nula. Cuando la hipótesis nula no es cierta deberá serlo la hipótesis alternativa. Observaciones: 1. H 0 y H1 son contrarias, complementarias y mutuamente excluyentes. 2. H1 es la negación de H 0 . 3. La aceptación de H 0 implica el rechazo de H1 y viceversa. 4. En un problema de contraste de hipótesis siempre debe formularse H 0 y su alternativa H 1 . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 1. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Estadístico de contraste: Estadístico cuyo valor nos permitirá aceptar o rechazar la hipótesis nula (parámetro de la muestra que será la media o la proporción muestral). Tipos de contrastes: Cuando se formula la hipótesis nula H0 relacionamos el parámetro poblacional θ (en la práctica θ será μ o bien p , es decir, la media o la proporción poblacional) con un valor. Según la relación que establecemos entre ambos resultan: Contrastes de hipótesis bilaterales también llamados de dos colas. Surgen al definir la hipótesis nula H0 en términos de “igualdad =”.. H 0 :θ = θ0 ⎫ ⎬ ← Problema de contraste de hipótesis bilateral H1 :θ ≠ θ 0 ⎭. Contrastes de hipótesis unilaterales también llamados de una cola. Surgen al definir la hipótesis nula H0 en términos de “desigualdad <, ≤, >, ≥ ”.. H 0 :θ > θ0 ⎫ ⎬; H1 : θ ≤ θ 0 ⎭. H 0 :θ ≥ θ0 ⎫ ⎬; H1 : θ < θ 0 ⎭. H 0 :θ < θ0 ⎫ ⎬; H1 : θ ≥ θ 0 ⎭. H 0 : θ ≤ θ 0 ⎫ Problemas de constraste ⎬← H1 : θ > θ 0 ⎭ de hipótesis unilaterales. Ejemplo 1: En el ejemplo anterior de la empresa farmacéutica tenemos que la hipótesis que se formula como cierta es: H 0 : μ = 25 (Hipótesis nula) Como hipótesis alternativa tomamos la contraria a esta: H 1 : μ ≠ 25 (Hipótesis alternativa) En este caso la hipótesis nula dará lugar a un contraste de hipótesis bilateral:. H 0 : μ = 25⎫ ⎬ H 1 : μ ≠ 25 ⎭ Ejemplo 2: En el ejemplo de la compañía aérea las hipótesis nula y alternativa son respectivamente H 0 : p = 0.91; H 1 : p ≠ 0.91 . De nuevo la hipótesis nula da lugar al contraste bilateral. H 0 : p = 0.91⎫ ⎬ H 1 : p ≠ 0.91⎭. Ejemplo 3: En el caso de la empresa de alimentación que comercializa miel tenemos que. H 0 : μ ≥ 9;. H1 : μ < 9. En este caso la hipótesis nula da lugar a un contraste unilateral. H 0 : μ ≥ 9⎫ ⎬ H1 : μ < 9 ⎭ Nota: A H0 se le llama hipótesis nula porque parte del supuesto que la diferencia entre el verdadero valor del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia.. 3. TIPOS DE ERRORES QUE PUEDE LLEVAR ASOCIADOS UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS Se pueden cometer dos tipos de errores: Error de tipo I: Rechazar H 0 cuando es cierta. Error de tipo II: Aceptar H 0 cuando es falsa.. H 0 CIERTA. H 0 FALSA ( H 1 cierta). Decisión correcta. Error de tipo II. Error de tipo I. Decisión correcta. ACEPTAMOS H 0 RECHAZAMOS H 0 (Aceptamos H 1 ) Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Ejemplo 1: En el ejemplo de la empresa farmacéutica. Error de tipo I → Se produce al decidir que la media de gramos de principio activo por sobre no es 25 microgramos cuando esa afirmación es correcta. Rechazo H 0 siendo cierta. Error de tipo II → Se produce al decidir que la media de gramos de principio activo por sobre es 25 microgramos cuando esa afirmación es falsa. Acepto H 0 siendo falsa. Ejemplo 2: En el ejemplo de la compañía aérea. Error de tipo I → Se produce al decidir que la proporción de vuelos que llegan puntualmente no es el 91% cuando esa afirmación es correcta. Rechazo H 0 siendo cierta. Error de tipo II → Se produce al decidir que la proporción de que llegan puntualmente es del 91% cuando esa afirmación es falsa. Acepto H 0 siendo falsa. Ejemplo 3: En el caso de la empresa de alimentación. Error de tipo I → Se produce al decidir que la media de gramos de jalea real por tarro de miel es inferior a 9 gramos cuando esa afirmación es correcta. Rechazo H 0 siendo cierta. Error de tipo II → Se produce al decidir que la media de gramos de jalea real por tarro de miel es mayor o igual a 9 gramos cuando esa afirmación es falsa. Acepto H 0 siendo falsa. Objetivo: obtener un test para solucionar el problema de contraste de hipótesis que minimice los riesgos, es decir, que minimice el error de tipo I y el error de tipo II. Sin embargo, minimizar los errores no es una cuestión sencilla. Es muy difícil en la práctica minimizar a la vez la probabilidad de cometer un error de tipo I y un error de tipo II. El intento de disminuir uno de ellos suele inducir el aumento del otro. La forma de disminuir ambos errores a la vez consiste en aumentar el tamaño de la muestra Solución que se toma: la hipótesis nula H0 se formula pensando que es cierta y esto hace que nos inclinemos a aceptarla en contra de rechazarla salvo que los datos nos convenzan de lo contrario. Esto implica que cometer un error de tipo I suele ser más grave que cometer un error de tipo II. Por tanto, el error que se va a controlar es el error de tipo I. Para ello se fija previamente una cota superior para la probabilidad de cometer este tipo de error. Fijada esa cota se trata de obtener un test de hipótesis para ese contraste que minimice la probabilidad de cometer un error de tipo II. Nivel de significación α : es la probabilidad α de rechazar H 0 cuando es cierta, es decir, la probabilidad de cometer un error de tipo I.. α = P(Error tipo I ) = P(Re chazar H 0 / H 0 es cierta ) Fíjate: 1 − α es, por tanto, la probabilidad de aceptar H 0 cuando es cierta. Se le llama nivel de confianza.. 1 − α = P( Aceptar H 0 / H 0 es cierta ). Del mismo modo se definen:. β = P(Error tipo II ) = P( Aceptar H 0 / H 0 es falsa ) 1 − β = P(Re chazar H 0 / H 0 es falsa ) A 1 − β se le denomina potencia del contraste. El contraste de hipótesis será más fiable conforme lo sea su potencia. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Ejemplo: En una cadena de grandes almacenes se utilizan lámparas de bajo consumo cuya esperanza de vida es de 2500 horas. Otro proveedor ofrece lámparas más caras, pero afirma que su vida media es mayor. El departamento de estadística de la cadena decide plantear un contraste de hipótesis sobre la vida media de las nuevas lámparas para decidir las que van a usar. El error más grave consiste en elegir las lámparas nuevas que además son más caras y que su duración sea menor. Por tanto se debe tomar este error como Error de tipo I, ya que podemos fijar su probabilidad de ocurrencia α tan pequeña como se quiera. Por ello el contraste debe ser:. H 0 : μ ≤ 2500⎫ ⎬ H 1 : μ > 2500 ⎭. 4. CONTRASTES DE HIPÓTESIS Una vez formulada la hipótesis nula y alternativa de un contraste, tomada la muestra y estimado el parámetro que se está analizando, necesitamos un criterio que nos permita tomar una decisión. ¿Con cuál de las dos hipótesis nos quedamos? Tenemos dos decisiones posibles: Aceptar H0 (lo que implica rechazar la alternativa), o bien, Rechazar H0 (lo que implica la aceptación automática de la alternativa). Debemos, pues, construir una regla que nos permita decidir sobre la conveniencia o no de aceptar la hipótesis nula a partir de la información proporcionada por la muestra. Esta regla consiste en determinar un intervalo dentro del cual es normal que haya pequeños cambios en el parámetro poblacional debidos al azar y que llamaremos región o zona de aceptación. El resto de posibles valores del parámetro (seguramente no atribuidos al azar) formarán la región o zona de rechazo o región crítica. Por tanto: La región de aceptación estará formada por los valores del parámetro para los cuales se acepta la hipótesis nula H 0 . La región de rechazo o región crítica por los valores del parámetro para los que se rechaza H 0 . El valor crítico limita ambas zonas.. 4.1. Contraste de hipótesis para la media de una población normal con varianza poblacional conocida. Se trata de contrastar una hipótesis acerca del valor de la media poblacional μ de una distribución normal a partir de la media obtenida en una muestra. Para ello recordemos que la distribución de las medias muestrales viene dada por:. ⎛ σ ⎞ X n ~ N ⎜ μ, ⎟ n⎠ ⎝ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. La elección de la hipótesis nula puede dar lugar a tres tipos de contrastes cuyas regiones de aceptación, rechazo y valores críticos son: CONTRASTE BILATERAL. CONTRASTE UNILATERAL IZQUIERDO. CONTRASTE UNILATERAL DERECHO. H 0 : μ = μ0 ⎫ ⎬ H1 : μ ≠ μ0 ⎭. H 0 : μ ≥ μ0 ⎫ ⎬ H1 : μ < μ0 ⎭. H 0 : μ ≤ μ0 ⎫ ⎬ H1 : μ > μ0 ⎭. Región de aceptación:. Región de aceptación:. Región de aceptación:. σ σ ⎞ ⎛ ⎜ μ0 − zα ⋅ , μ0 + zα ⋅ ⎟ 2 2 n n⎠ ⎝. σ ⎛ ⎞ , + ∞⎟ ⎜ μ 0 − zα ⋅ n ⎝ ⎠. σ ⎞ ⎛ ⎜ − ∞ , μ 0 + zα ⋅ ⎟ n⎠ ⎝. Valores críticos:. Valor crítico:. Valor crítico:. zα. zα. Región crítica o de rechazo:. Región crítica o de rechazo:. Región crítica o de rechazo:. σ ⎞ ⎛ ⎜ − ∞ , μ 0 − zα ⋅ ⎟U 2 n⎠ ⎝ σ ⎛ ⎞ , + ∞⎟ U ⎜ μ 0 + zα ⋅ 2 n ⎠ ⎝. σ ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, μ 0 − z α ⋅ ⎟ n⎠ ⎝. σ ⎛ ⎞ , + ∞⎟ ⎜ μ 0 + zα ⋅ n ⎝ ⎠. − zα y zα 2. 2. 4.2. Contraste de hipótesis para la proporción de individuos de una población. Se trata de contrastar una hipótesis acerca del valor de la proporción poblacional p a partir de la proporción obtenida en una muestra. Para ello recordemos que la distribución de las proporciones muestrales P̂n (si n ≥ 30) viene dada por:. ⎛ P̂n ~ N ⎜⎜ p, ⎝. p⋅q ⎞ ⎟ n ⎟⎠. (Recuerda: q = 1 − p ). De nuevo, la elección de la hipótesis nula puede dar lugar a tres tipos de contrastes cuyas regiones de aceptación, rechazo y valores críticos son: CONTRASTE BILATERAL. CONTRASTE UNILATERAL IZQUIERDO. CONTRASTE UNILATERAL DERECHO. H 0 : p = p0 ⎫ ⎬ H 1 : p ≠ p0 ⎭. H 0 : p ≥ p0 ⎫ ⎬ H 1 : p < p0 ⎭. H 0 : p ≤ p0 ⎫ ⎬ H 1 : p > p0 ⎭. Región de aceptación:. Región de aceptación:. Región de aceptación:. ⎛ p ⋅q p ⋅q ⎞ ⎜ p0 − zα ⋅ 0 0 , p0 + zα ⋅ 0 0 ⎟ ⎜ 2 2 n n ⎟⎠ ⎝. ⎛ ⎜ p 0 − zα ⋅ ⎜ ⎝. ⎞ p0 ⋅ q0 , + ∞ ⎟⎟ n ⎠. ⎛ ⎜ − ∞ , p 0 + zα ⋅ ⎜ ⎝. p0 ⋅ q 0 n. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Valores críticos:. Valor crítico:. Valor crítico:. − zα y zα. zα. zα. Región crítica o de rechazo:. Región crítica o de rechazo:. 2. 2. Región crítica o de rechazo:. ⎛ p0 ⋅ q 0 ⎞ ⎜ − ∞ , p 0 − zα ⋅ ⎟U ⎜ ⎟ 2 n ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ p0 ⋅ q0 , + ∞ ⎟⎟ U ⎜⎜ p0 + zα ⋅ 2 n ⎝ ⎠ Ten en cuenta que q0 = 1 − p0 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. ⎛ ⎜ − ∞, p 0 − z α ⋅ ⎜ ⎝. 5. p0 ⋅ q 0 n. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. ⎛ ⎜ p 0 + zα ⋅ ⎜ ⎝. ⎞ p0 ⋅ q 0 , + ∞ ⎟⎟ n ⎠. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 5. ETAPAS PARA REALIZAR UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS Para realizar un contraste de hipótesis se siguen los siguientes pasos: 1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1. Una vez enunciadas sabremos si estamos en presencia de un contraste unilateral o bilateral. 2. Fijar el nivel de significación α (o el nivel de confianza 1 - α ) y obtener el valor crítico zα si el contraste es bilateral, o bien zα si es unilateral. 2. 3. Calcular la distribución de probabilidad del estadístico de contraste (parámetro muestral que será la media muestral o la proporción muestral) y construir la región de aceptación (la región de rechazo será su complementaria). 4. Comprobar si el estadístico de contraste (parámetro de la muestra que será la media muestral o la proporción muestral) pertenece a la región de aceptación o a la de rechazo. 5. Decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis nula H0.. 6. APLICACIONES Ejemplo1: La altura en cm. de las cañas producidas por una variedad de carrizo en cada cosecha es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica σ = 16cm. Para contrastar si la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170 cm, se ha tomado una muestra aleatoria de 64 de estas cañas y se han medido sus longitudes, resultando como media muestral x = 166cm. ¿Son suficientes estos datos para rechazar que la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170cm, a un nivel de significación α = 0,05 ? Solución:. σ = 16cm μ 0 = 170cm. ⎫ X →VA que mide la altura en cm de las cañas producidas por ⎪ esa variedad de carrizo en cada cosecha. ⎪ ⎬ X ~ N (μ , 16 ) n = 64; x = 166cm ⎪ α = 0.05 ⇒ α / 2 = 0.025⎪⎭ H 0 : μ = 170⎫ ⎬ Contraste de hipótesis bilateral (dos colas) para la media μ. H1 : μ ≠ 170 ⎭. zα = 1.96 (Calcúlalo) 2. 16 ⎞ ⎛ n = 64 ⇒ X 64 ~ N ⎜170, ⎟ ⇒ X 64 ~ N (170, 2 ) 64 ⎠ ⎝ Cálculo de la región de aceptación:. σ σ ⎞ ⎛ 16 16 ⎞ ⎛ R A = ⎜⎜ μ 0 − zα ⋅ , μ 0 + zα ⋅ , 170 + 1.96 ⋅ ⎟⎟ = ⎜⎜170 − 1.96 ⋅ ⎟⎟ = 2 2 n n⎠ ⎝ 64 64 ⎠ ⎝ = (170 − 3.92, 170 + 3.92 ) = (166.08, 173.92 ) ⇒ R A = (166.08, 173.92 ) Como el estadístico de contraste x = 166 ∉ R A = (166.08, 173.92 ) ⇒ Se rechaza H 0 y se acepta H 1 ⇒ Estos datos son suficientes para rechazar, a este nivel de significación α = 0.05 , que la altura media de las cañas de esta cosecha sea de 170cm. Fíjate: Región crítica o de rechazo: R R = (− ∞, 166.08) ∪ (173.92, + ∞ ) Error de tipo I: Consiste en rechazar que la altura de las cañas es 170cm siendo cierto. Error de tipo II: Consiste en aceptar que la altura de las cañas es 170 cm siendo falso. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Ejemplo2: Una de las entradas a cierta ciudad andaluza sufría constantemente retenciones de tráfico, de forma que el tiempo de espera en la cola formada por el semáforo allí Para decidir qué tipo instalado seguía una distribución Normal de media 10 minutos y desviación típica 4 de contraste unilateral minutos. Con el fin de descongestionar ese punto y bajar la media de tiempo de espera, se debemos formular se habilitó una vía de acceso auxiliar. Transcurrida una semana se hizo un estudio sobre 36 suele tener en cuenta: vehículos y se obtuvo que el tiempo medio de espera en el citado semáforo fue de 8.5 Si x > μ 0, planteamos: minutos. Las autoridades Municipales mostraron su satisfacción y dijeron que la medida H 0 : μ ≤ μ0 ⎫ había funcionado, pero la opinión pública, sin embargo, defiende que la situación sigue ⎬ igual. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: H1 : μ > μ0 ⎭ a) Plantee un test para contrastar la hipótesis defendida por la opinión pública Si x < μ 0, planteamos: frente a la de los responsables municipales. Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, ¿cómo se llama el error cometido? H 0 : μ ≥ μ0 ⎫ ⎬ b) ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%? H1 : μ < μ0 ⎭ c) ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 1%? Solución: σ = 4 min ⎫ X →VA que mide el tiempo de espera en la cola formada por ⎪ el semáforo instalado en una de las entradas a una cierta μ 0 = 10 min ⎬ ciudad andaluza. n = 36; x = 8.5 min ⎪⎭ X ~ N (10, 4 ) a). H 0 : μ ≥ 10⎫ ⎬ Contraste de hipótesis unilateral izquierdo (una cola) para la media μ. H1 : μ < 10 ⎭. Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, estamos aceptando H1, y por tanto rechazando H0 siendo cierta. El error cometido es de tipo I. b). α = 0.05⇒ P(Z > zα ) = 0.05⇒ P(Z ≤ zα ) = 0.95⇒ zα = 1.645. 4 ⎞ ⎛ n = 36 ⇒ X 36 ~ N ⎜10, ⎟ ⇒ X 36 ~ N (10, 0.67 ) 36 ⎠ ⎝ Cálculo de la región de aceptación:. σ 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ R A = ⎜⎜ μ 0 − zα ⋅ , + ∞ ⎟⎟ = ⎜⎜10 − 1.645 ⋅ , + ∞ ⎟⎟ ≈ (10 − 1.0967, + ∞ ) = n 36 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = (8.9033, + ∞ ) ⇒ R A ≈ (8.9033, + ∞ ) Como el e.c. x = 8.5 ∉ R A ≈ (8.9033, + ∞ ) ⇒ Se rechaza H 0 y se acepta H 1 ⇒ Estos. datos son suficientes para afirmar, a este nivel de significación α = 0.05 , que el tiempo medio de espera en dicho semáforo es ahora menor de 10 minutos. Entonces, la hipótesis mantenida por las autoridades municipales es correcta, y la medida de habilitar una vía de acceso auxiliar ha descongestionado el tráfico en la entrada de dicha ciudad. Fíjate: Región crítica o de rechazo: R R ≈ (− ∞, 8.9033) c). α = 0.01⇒ P(Z > zα ) = 0.01⇒ P(Z ≤ zα ) = 0.99⇒ zα = 2.325. Cálculo de la región de aceptación:. σ 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ R A = ⎜⎜ μ 0 − zα ⋅ , + ∞ ⎟⎟ = ⎜⎜10 − 2.325 ⋅ , + ∞ ⎟⎟ ≈ (10 − 1.55, + ∞ ) = (8.45, + ∞ ) n 36 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ R A ≈ (8.45, + ∞ ) Como el estadístico de contraste x = 8.5 ∈ R A ≈ (8.45, + ∞ ) ⇒ Se acepta H 0 y se rechaza H 1 ⇒ Por tanto, a este nivel de significación α = 0.01 , no se puede rechazar la hipótesis nula, y el tiempo medio de espera en el semáforo no ha bajado de 10 minutos. Fíjate: Región crítica o de rechazo: R R ≈ (− ∞, 8.45) Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Ejemplo3: En un hospital se observó que los pacientes abusaban del servicio de urgencias, de forma que un 30% de las consultas podían perfectamente haber esperado a concertar una cita Para decidir qué tipo con el médico de cabecera, porque no eran realmente urgencias. Puesto que esta de contraste unilateral situación ralentizaba el servicio, se realizó una campaña intensiva de concienciación. debemos formular se Transcurridos unos meses se ha recogido información de 120 consultas al servicio, de las suele tener en cuenta: cuales sólo 30 no eran realmente de urgencias: Si pˆ > p planteamos: 0,. H 0 : p ≤ p0 ⎫ ⎬ H 1 : p > p0 ⎭ Si pˆ < p 0, planteamos:. H 0 : p ≥ p0 ⎫ ⎬ H 1 : p < p0 ⎭. a) Hay personal del hospital que defiende que la campaña no ha mejorado la situación. Plantee un test para contrastar esta hipótesis frente a que sí la mejoró. Si se concluye que la situación no ha mejorado y realmente sí lo hizo, ¿cómo se llama el error cometido? b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1%? Solución:. p0 = 0.3 ⇒ q0 = 0.7. ⎫ p → Proporción de pacientes del hospital que abusan del ⎪ ⎬ 30 servicio de urgencias. = 0.25⎪ n = 120; pˆ = 120 ⎭ H 0 : p ≥ 0.3⎫ a) ⎬ Contraste de hipótesis unilateral izquierdo (una cola) para la proporción p. H1 : p < 0.3 ⎭ Si se concluye que la situación no ha mejorado y realmente sí lo hizo, estamos aceptando H0, y por tanto rechazando H1 siendo cierta. El error cometido es de tipo II. b). α = 0.01⇒ P(Z > zα ) = 0.01⇒ P(Z ≤ zα ) = 0.99⇒ zα = 2.325. ⎛ 0 .3 ⋅ 0 . 7 ⎞ ⎟ ⇒ Pˆ120 ~ N (0.3, 0.042 ) n = 120 ⇒ P̂120 ~ N ⎜ 0.3, ⎜ ⎟ 120 ⎝ ⎠ Cálculo de la región de aceptación:. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p0 ⋅ q0 0.3 ⋅ 0.7 , + ∞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 0.3 − 2.325 ⋅ , + ∞ ⎟⎟ ≈ (0.3 − 0.0973, + ∞ ) = R A = ⎜⎜ p0 − zα ⋅ 120 n ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = (0.2027, + ∞ ) ⇒ R A ≈ (0.2027, + ∞ ) Como el estadístico de contraste pˆ = 0.25 ∈ R A ≈ (0.2027, + ∞ ) ⇒ Se acepta H 0 y se rechaza H 1 ⇒ Estos datos son suficientes para concluir, a este nivel de significación α = 0.01 , que la campaña de concienciación no ha reducido el porcentaje de pacientes (30%), que abusan del servicio de urgencias del hospital. Fíjate: Región crítica o de rechazo: R R ≈ (− ∞, 0.2027 ). 7. APÉNDICE Es muy conocida la siguiente analogía en la que a un contraste o test se le asigna el papel de un juez. Imaginemos un proceso judicial, en el que se juzga la inocencia o culpabilidad de cierto acusado. La decisión más delicada sería la de condenar a un inocente: sería preferible absolver a un culpable. De ahí que establezcamos, como hipótesis nula, que el acusado es inocente; evidentemente, la alternativa será su culpabilidad. Las pruebas aportadas en el juicio deben inclinarnos a tomar una u otra decisión. El error de tipo I consistiría, pues, en condenar al acusado siendo inocente; el de tipo II, absolverlo siendo culpable. Continuando con la analogía del proceso judicial, es el juez el que valora la sustancialidad de la prueba, estableciendo él mismo su nivel de significación, esto es, la probabilidad de condenarlo siendo inocente. Por ello, si el juez no está muy seguro de la culpabilidad, optará por absolver. En toda esta discusión, se aprecia la mayor gravedad del error de tipo I, por lo que es preferible fijarlo de antemano, dentro de unos límites “razonables”, e intentar que, fijado éste, el error de tipo II sea lo más pequeño posible. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 8. Bloque III: Probabilidad y Estadística Unidad 12: Contrastes de Hipótesis.

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