TEMA 2
Aproximaci´ on de funciones. F´ ormula de Taylor.
Hemos visto que la recta tangente a una funci´on en un punto (x0, f (x0)) es la recta que mejor aproxima a la curva y = f (x) en un entorno del punto x0. Su ecuaci´on viene dada por y = f (x0) + f0(x0)(x − x0) que es la ecuaci´on de un polinomio de primer grado.
Los polinomios figuran entre las funciones m´as sencillas que se encuentran en An´alisis Matem´atico. Son adecuados para trabajar porque sus valores se pueden obtener efectuando un n´umero finito de multiplicaciones y adiciones.
Dada una funci´on f , derivable n veces, el prop´osito de este tema es aproximarla en un entorno de x0 por un polinomio de grado menor o igual que n de modo que coincidan en x0 el valor de la funci´on y de sus n primeras derivadas con los del polinomio.
1. El polinomio de Taylor
Comenzamos haciendo el estudio en un entorno del punto x = 0 para despu´es extenderlo a un entorno de un punto cualquiera x0. Supongamos que f tiene derivadas hasta el orden n en el 0, que denotaremos por f(n)(0). Intentamos encontrar un polinomio P que coincida con f y sus n primeras derivadas en 0.
Teorema 1 Sea f una funci´on derivable n veces en el punto x = 0. Existe un polinomio P y s´olo uno de grado menor o igual que n que satisface las condiciones siguientes:
P (0) = f (0), P0(0) = f0(0), · · · P(n)(0) = f(n)(0).
Tal polinomio viene dado por la expresi´on:
P (x) = Xn k=0
f(k)(0) k! xk.
Demostraci´on
Sea el polinomio de grado n P (x) = C0+ C1x + C2x2+ · · · + Cnxn donde C0, C1, . . . , Cn son constantes a determinar. Apliquemos las condiciones de la hip´otesis del teorema:
De la condici´on P (0) = f (0), tenemos C0 = f (0).
Derivando P (x) obtenemos P0(x) = C1+ 2 C2x + · · · + n Cnxn−1. De P0(0) = f0(0) se deduce que C1 = f0(0).
An´alogamente P00(x) = 2 C2+ 6 C3x + · · · + n(n − 1)Cnxn−2.
De P00(0) = f00(0) tenemos que 2 C2= f00(0) = 2! C2, por tanto C2 = f002!(0).
Tras derivar k veces encontramos:
P(k)(0) = k! Ck o sea f(k)(0) = k! Ck de donde Ck= f(k)(0)
k! , k = 0, 1, 2, · · · , n.
que han de ser los coeficientes de P (x).
Adem´as, dicho polinomio es ´unico pues los coeficientes quedan determinados un´ıvocamente por las condiciones mencionadas.
Se puede comprobar f´acilmente que el polinomio de grado menor o igual que n cuyos coefi- cientes son
Ck= f(k)(0)
k! , k = 0, 1, 2, · · · , n.
verifica las n + 1 condiciones del enunciado (se deja como ejercicio).
Haciendo el mismo estudio con x = x0 tenemos,
Teorema 2 Sea f una funci´on derivable n veces en el punto x0. Existe un polinomio P y uno s´olo de grado menor o igual que n que satisface las n+1 condiciones:
P (x0) = f (x0), P0(x0) = f0(x0), · · · , P(n)(x0) = f(n)(x0).
Tal polinomio viene dado por la expresi´on:
P (x) = Xn k=0
f(k)(x0)
k! (x − x0)k.
Definici´on 3 (Polinomio de Taylor) El polinomio anterior se denota por Tf,x0,n y se conoce con el nombre de polinomio de Taylor de grado n generado por f en el punto x0. Cuan- do x0 = 0 se conoce como polinomio de McLaurin de grado n.
Ejemplo
Hallar el polinomio de Taylor de grado 4 en π de f (x) = sen x.
Tf,π,4(x) = X4 k=0
f(k)(π)
k! (x − π)k
= sen π +cos π
1 (x − π) − sen π
2 (x − π)2−cos π
6 (x − π)3+ sen π
24 (x − π)4
= −(x − π) +(x − π)3
6 .
Veamos algunas propiedades que verifican los polinomios de Taylor que nos permitir´an ob- tener polinomios de Taylor a partir de otros dados:
2. F´ ormula de Taylor. T´ ermino complementario. Estimaci´ on del error. F´ ormula de McLaurin
Definici´on 4 (Resto de Taylor) Sea f derivable n veces en E(x0). Definimos resto de Taylor, y lo denotamos por Rf,x0,n ( o por Rn,x0),
Rn,x0(x) = f (x) − Tf,x0,n(x), ∀x ∈ E(x0).
El valor absoluto del resto, |Rn,x0|, es el error cometido al aproximar f mediante su polinomio de Taylor.
Como consecuencia de esta definici´on tenemos que:
f (x) = Tf,x0,n(x) + Rn,x0(x) =
= f (x0) + f0(x0)(x − x0) +f00(x0)
2! (x − x0)2+ · · · +f(n)(x0)
n! (x − x0)n + Rn,x0(x).
A esta expresi´on se le conoce con el nombre de F´ormula de Taylor. Si x = 0 se le conoce con el nombre de F´ormula de MacLaurin.
Estimaci´on del error
Corolario 5 En las condiciones del teorema de Taylor se verifica:
x→xl´ım0
Rn,x0(x) (x − x0)n = 0
Es decir, Rn,x0(x) es un infinit´esimo en x0 de mayor orden al infinit´esimo (x − x0)n.
La importancia de este resultado radica en el hecho de que al aumentar el grado del poli- nomio, ´este aproxima mejor a la funci´on en un entorno de x0.
Veamos una forma (existen otras) de expresar dicho resto de manera que nos permita hacer una estimaci´on del error cometido al aproximar f por Tf,x0,n.
Corolario 6 Si se verifican las condiciones del teorema de Taylor entonces, ∀x ∈ E(x0) ⊂ I se cumple:
Si k = n + 1, Rn,x0(x) = f(n+1)(n+1)!(t)(x − x0)n+1 para alg´un t ∈ (x0, x) ´o t ∈ (x, x0) (Resto de Lagrange).
Con el siguiente resultado podemos conocer la magnitud de Rn,x0(x) y tendremos una esti- maci´on del error en la f´ormula de Taylor, donde usaremos el resto de Lagrange.
Corolario 7 Si la derivada (n+1)-´esima de f satisface las desigualdades m ≤ f(n+1)(t) ≤ M
m(x−x(n+1)!0)(n+1) ≤ Rn,x0(x) ≤ M (x−x(n+1)!0)(n+1) si x > x0 m(x0(n+1)!−x)(n+1) ≤ (−1)(n+1)Rn,x0(x) ≤ M (x0(n+1)!−x)(n+1) si x0 > x Desarrollo de las funciones elementales
Veamos las f´ormulas de McLaurin de algunas funciones elementales:
ex = 1 + x +x2!2 +x3!3 + · · · +xn!n + Rn sen x = x − x3!3 +x5!5 −x7!7 + · · · + Rn cos x = 1 − x2!2 +x4!4 −x6!6 + · · · + Rn ln (1 + x) = x − x22 + x33 − x44 + · · · + Rn
La funci´on f (x) = 2+x2 posee derivadas de cualquier orden en un entorno de x0= 0, siendo
f0(x) = − 2
(2 + x)2, f00(x) = 4
(2 + x)3, f000(x) = − 12
(2 + x)3, f(4)(x) = 24
(2 + x)4, · · · por tanto el desarrollo de McLaurin de orden n es
f (x) = 1 +−1/2
1 x +1/2
2 x2+−3/4
6 x3+12/8
24 x4+ · · ·
= 1 −x 2 +x2
4 −x3 8 +x4
16 + · · · + (−1)nxn 2n + Rn
3. Aplicaciones de la F´ ormula de Taylor
C´alculo de valores aproximados Calcular una aproximaci´on de e.
Sustituyendo x = 1 en la f´ormula de McLaurin de ex nos queda e1 = 1 + 1 + 1
2!+ 1
3! + · · · + 1
n! + Rn,0(1), para cada n ∈ IN
Por el corolario 6, sabemos que existe t ∈ (0, 1) tal que Rn,0(1) = (n+1)!et . Tenemos que et
(n + 1)! < e
(n + 1)! < 3 (n + 1)!
Por ejemplo, para n = 8, R8,0(1) < 9!3 = 3628803 < 0000001, obteni´endose e1 ' 1 + 1 + 2!1 + 3!1 +
· · · + 8!1 = 2071828 asegurando con esta aproximaci´on un error menor que 10−5.
Aplicaci´on al c´alculo de l´ımites
Si f (x) es infinit´esimo en x0 y es derivable hasta orden n en x0, debe ocurrir que f (x0) = 0 y f (x) ser´a suma de infinit´esimos para x0 pues es de la forma
f (x) = Xn k=0
f(k)(x0)
k! (x − x0)k+ Rn,x0(x)
Por tanto, f (x) ser´a equivalente al infinit´esimo de menor orden que aparece (el primer sumando no id´enticamente nulo).
Ejemplos
1. sen x es un infinit´esimo de orden 1 pues sen x = x − x3!3 +x5!5 −x7!7 + · · ·
2. ln (1 + x) − x +x22 = x33 −x44 + · · · . Por tanto ln (1 + x) − x + x22 es un infinit´esimo de orden 3.
3. l´ım
x→0
1 − cos x x sen 2x = l´ım
x→0 x2
2! −x4!4 + · · ·
x(2x −(2x)3!3 + · · · ) = 1 4.
Aplicaci´on al c´alculo de extremos relativos
Proposici´on 8 Supongamos una funci´on derivable n veces en un punto x = x0 y tal que sus k-primeras derivadas se anulan en dicho punto, con k ≤ n. Entonces se verifica que, si el orden de la primera derivada distinta de cero es par la funci´on posee un extremo relativo en dicho punto (siendo ´este un m´aximo relativo si dicha derivada es negativa, y un m´ınimo relativo si es positiva), y, si el orden de la primera derivada distinta de cero es impar la funci´on tendr´a un punto de inflexi´on.
Ejemplo
La funci´on f (x) = x4 presenta un m´ınimo en x = 0 pues f0(0) = f00(0) = f000(0) = 0 y f(4)= 24 6= 0 y k = 4 es par.
