LAS RECTAS
Ecuación de la Recta:
Es una expresión matemática que sólo se verifica o satisface para los puntos de la recta.
De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la ecuación punto-pendiente y la ecuación general.
Ecuación Punto Pendiente
a, b y c:
Ec. General: ax + by + c = 0
constantes
Recta que pasa por el origen de coordenadas
Sea la ecuación: Y = - X
Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada al origen, es decir: b = 0. La recta pasa por el origen 0
b = 0 m = tg =
cos
sen = 1u u 1
Rectas paralelas
Dadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones:
y1 = m1 x + b1
y2 = m2 x + b2
Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2
Ej.: gráfico – numérico
y1 = 2x + 7 y2 = 2x + 3
m1 = m2 = 2
Rectas perpendiculares
Dadas dos rectas y1 , y2 que responden a las siguientes ecuaciones:
(0,b)
(a,0) 0
b mx y :
L
º L
x y
y1 = m1 x + b1
Y2 = m2 x + b2
Si: m1 =
m2
1
las rectas serán perpendiculares.
Ej. gráfico – numérico
y1 = 3x + 6 y2 = -
3 1 x + 3
Casos particulares:
Si: m = 0
resulta y = b = constante
será una recta paralela al eje x.
Ej.: y = 4
Un caso similar se presenta si: x = a = constante
Su representación será una recta paralela al eje Y.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es posible encontrar la ecuación de la recta que determine.
Dados Po (xo ; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos cualesquiera, representamos ambos en el plano:
sen = hip.
. op .
cat =
o 1 1 o
P P
y y
cos = hip.
. ady .
cat =
o 1 1 o
P P
y y
tg =
cos
sen =
1 o 1 o
o 1 o 1
P P
x x P P
y y
= o 1
1 o
p p
y y
= 1 o
1 o
x x
y
y
= my = b b
x y
y = a
a
x y
-x x
-y 3 6
y
3 u
1 u 3 u 1 u
Tomando un punto cualquiera entre Po y P1, en nuestro caso M (x,y), la tangente de la recta en ese punto es: m = tg
o sea m =
o o
y x
y y
pero como = resulta tg = tg
(por correspondiente);
de donde; y – yo =
o 1 1 o
x y
y y
(x – xo)Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos
Ej.: numérico:
Dados Po (4,3) y P1 (2, -1), reemplazando en la fórmula se tendrá:
y – yo =
1 o o 1
y x
y y
(x – xo)y – 3 =
4 2
3 ) 1 (
(x – 4)
y = 2x – 8 + 3 = 2x – 5
y = 2x – 5
1. Qué inclinación tienen las siguientes rectas:
Si es paralela al eje X Si es paralela al eje Y
Si es paralela a la bisectriz del primer cuadrante
Si es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante
2. Qué pendiente tienen las siguientes rectas:
Si es paralela al eje X Si es paralela al eje Y
Si es paralela a la bisectriz del primer cuadrante
Si es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante
3. Hallar la pendiente de los segmentos determinados por los siguientes puntos.
A(3;4) , B(-1;2) C(7;8) , D(-1;-5) E(4;5) , F(-2;5) G(5;-3) , H(5;7)
4. Haciendo uso de pendientes diga si son colineales los puntos:
A(-3;-2) , B(-1;-2) y C(0;4) M(10;0) , N(9;2) , P(6;8) R(-2;-3) , S(2;-1) y T(10;3)
5. Determinar la inclinación de las rectas cuya pendiente es:
3 3 1 -1
3
6. Calcular la pendiente de la recta. S
a)
4 3
b) 2
c)
2 1
d) 2 e) 1
7. Calcular la ecuación de la recta punto pendiente:
a) y = x-1 b) y = x+1 c) y
= 2x+1
d) y = 1-x e) x – 3
8. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento. Si: A (-3,2) y B (1,6)
x y
3 3 3
(0,1) (-1,0)
y L
x
a) y = x+3 b) y = 2x+3 c) y
= -x+3
d) y = -2x+3 e) y = x-3
9. Una recta pasa por el punto P(1;6) la suma de las coordenadas en el origen es 2. ¿Cuál es la ecuación general de la recta?
10. Una recta tiene pendiente m = 4;
además la suma de los cuadrados de sus coordenadas en el origen es 17. ¿Cuál es su ecuación?
11. El punto Q(-3;1) divide al segmento de recta interceptado por los ejes según la razón:
QA QB = -
2 1
Hallar la ecuación de la recta
12. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la ecuación de la recta que pasa por Q, perpendicular al segmento PQ
13. Determinar para que valor de a la recta:
(a + 2)x + (a2 – 9)y + 3a2 – 8a + 5 = 0
a) es paralela al eje de abscisas;
b) es paralela al eje de ordenadas;
c) pasa por el origen de coordenadas
14. Determinar para qué valores de a y b las dos rectas
ax – 2y – 1 = 0 , 6x – 4y – b = 0 a) tienen un punto común;
b) son paralelas c) son perpendiculares
15. Determinar para qué valores de m y n las dos rectas:
a) son paralelas b) coinciden
c) son perpendiculares d) concurrentes
1. Hallar el área del triángulo formado por las rectas
L
1
: y = 3x – 5L
2
: y =2 x
L
3
: y = 4a) 6 2 b) 13 c)
7,5
d) 15 e) 30
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el 1er., 2do. y 4to. cuadrante. El punto (3,2) pertenece a ellas y los interceptos son iguales.
a) y = x+5 b) y = -x+5 c) y
= x-5
d) y = 2x+5 e) y = x-3
3. Dado el triángulo ABC, se tiene que A(2,3), B(3,6) y C(5,4). Calcule la ecuación de la recta que pasa por la altura, relativa al lado AC ,
a) y = 3x+10 b) y = 3x+20 c) y=
2x+30
d) y = x+12 e) y = 3x+15
4. Calcular la ecuación de la recta L (0,b)
(3,2) A
(b,0)
x y
60º
60º 60º
(0,4)
(0,0)
10
L B
A
C
x y
L
a) y = 3 x-4 d) y = 5 3 x-4
b) y =
5 4 3
5 x+4 e) y=
5 4 ) 3 5
(
x-4c) y = 5 - 4
5. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-2,2) y (3-4)
a) y = x + 5 d) y =
2 5
x-
36 5
b) y =
5 2
x -26 5
e) y=
2 5 x
+ 30c) y =
5 2
x +26 5
6. Calcular el valor de “k”; para que la recta kx + 3y – 9 = 0, determine en el eje “x”, un segmento igual a – 4.
a) -
4 9
b) -3 4
c)8 9
d) 2 e) 1
7. Determine el área de la región sombreada:
Si:
L
1: y = x + 2
L
2
: Y = -2x + 5a) 11 b) 11,5 c) 22
d) 21 e) 23
8. Calcular el área de la región poligonal ABCD
a) 42 b) 82 c)
164
d) 41 e) 52
9. El área de un triángulo es 8 u2; dos de sus vértices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el tercer vértice C está en la recta
2x + y – 2 = 0
Determinar las coordenadas del vértice C.
x
y (7,8)
(3,4) (-2,2)
L2
L1
y
x L1
L2
x y
(-4,0)
L : kx + 3y – 9 = 0
x y
(12,1) (12,12) (6,12)
(2,3)
10. Dados los vértices de un triángulo A(1;-1), B(-2;1) y C(3;5), hallar la ecuación de la recta perpendicular trazada desde el vértice A a la mediana trazada desde el vértice B.
11. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo ABC conociendo uno de sus vértices C(4;-1) y las ecuaciones de una de las alturas 2x-3y + 12 = 0 y la mediana.
12. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas:
2x – 3y – 5 = 0 y x + 2y – 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta.
13. Determinar los valores de k1 y k2 para que las dos ecuaciones:
k1x – 7y + 18 = 0 y 8x – k2y + 9k1 = 0 Representan la misma recta
14. Una recta L1, de pendiente negativa cuya ordenada en el origen es 5, forma con el eje de ordenadas y con la recta L2 : 7x – y – 19 = 0, un triángulo de área 36 u2. Determinar la ecuación general de la recta L1.
15. Hallar la ecuación de una recta L de pendiente positiva que intercepta al eje X en un punto A y a la recta L1 : x = 6 es un punto B de ordenada 8, si se sabe además que L, L1 y el eje X determinan un triángulo de área igual a 48 u2.
