Matrices y sistema de ecuaciones lineales
En este vídeo hablaremos brevemente de las matrices
y de los sistemas de ecuaciones lineales.
Veremos que las matrices,
aunque son conceptualmente una estructura muy sencilla,
son realmente una herramienta muy poderosa en matemáticas
y, de forma más precisa, en el álgebra lineal.
En general, una matriz A es una tabla compuesta
por m por n elementos
distribuidos en m filas y n columnas.
En el caso general,
tenemos una matriz como esta.
En esta matriz, podemos ver cuál es su primera fila,
o Fila 1.
Y cuál es la segunda columna,
o Columna 2.
Una forma usual de decir que la matriz A
tiene m filas y n columnas
es decir que la dimensión o tamaño de A es m por n.
Por ejemplo, esta matriz
tendrá dos filas y tres columnas.
La primera fila: 3,-1, 2.
Y la segunda fila: 4, 2, -5.
Lo mismo para sus tres columnas.
Las imágenes que podéis encontrar en las páginas de internet
y las fotos que hacéis con vuestro teléfono móvil
son ejemplos de imágenes digitales.
Es posible representar ese tipo de imágenes mediante matrices.
Por ejemplo, esta imagen del Gato Félix en blanco y negro
se puede representar con una matriz de dimensión 35x35,
cuyos elementos son
los números 0 y 1,
donde 0 representa el color negro
y 1 representa el color blanco.
Encontramos otras aplicaciones de las matrices
en el ámbito
de las redes de telecomunicaciones.
A su modo, la teoría de matrices sirve como fundamento
a la teoría de detección y corrección de errores:
control de paridad, códigos lineales, etc.
Finalmente,
también se utilizan matrices
en teoría de grafos o criptografía.
En relación
a las operaciones con matrices,
vamos a considerar dos operaciones:
la suma y el producto.
Para poder sumar dos matrices,
será necesario que ambas tengan la misma dimensión.
En efecto, si consideramos estas dos matrices,
vemos que ambas tienen el mismo número de filas
y el mismo número de columnas.
La suma de las matrices A y B se realiza entonces
sumando término a término.
1 más 1, 2 menos 1,
tres más 1, cuatro menos 1,
5 más 1 y 6 menos 1.
Para el producto de matrices, consideremos primero el producto
de una matriz fila, o vector fila,
por una matriz columna, o vector columna,
con el mismo número de elementos.
En el fondo,
este producto que acabamos de hacer,
es el producto escalar de dos vectores,
donde multiplicamos
componente a componente.
El 1 por el 2, las dos primeras,
sumamos el 2 más el 1 y, finalmente, el 3 con el 2.
Para multiplicar dos matrices, A por B,
es necesario
que el número de columnas de A
coincida con el número de filas de B.
El resultado será una nueva matriz C
con tantas filas como A y tantas columnas como B.
Observemos cómo la matriz A tiene dos filas y tres columnas
y cómo la matriz B
tiene tres filas y dos columnas.
Efectivamente,
el número de columnas de A
coincide con el número de filas de B.
El resultado será una matriz
que tendrá tantas filas como tenía A
y tantas columnas como tenía B.
En este caso, el primer elemento de la matriz, de la Fila 1-Columna 1,
es el producto escalar de la primera fila de A
por la primera columna de B.
Después tenemos el elemento
de la primera fila y la segunda columna,
que es el producto escalar de la primera fila de A
por la segunda columna de B.
El elemento
de la segunda fila-primera columna,
es el producto escalar en la segunda fila de A
por la primera columna de B.
Finalmente, la segunda fila de A por la segunda columna de B.
En este caso, estamos obteniendo una matriz cuadrada
de dimensión dos.
Dos filas, dos columnas.
Toda matriz cuadrada A de orden n
tiene asociado un número concreto,
al cual llamaremos determinante de A
y que se suele denotar por det(A)
o la A
entre estas dos barras verticales.
Cuando n es igual a 1,
si consideramos, por ejemplo, la matriz cuyo único elemento
es el elemento a11,
entonces, el determinante, en este caso,
es simplemente el mismo valor:
a11.
Cuando consideramos
una matriz cuadrada de orden dos,
por ejemplo, en el caos genérico,
la matriz formada por los elementos a11, a12, a21 y a22,
el determinante, en este caso,
resulta de multiplicar
los elementos de la diagonal,
a11 por a22,
y restarle el producto
de los elementos de la antidiagonal,
a12 por a21.
Cuando consideramos n igual a 3,
es decir, nuestra matriz es una matriz cuadrada
de tres filas y tres columnas,
el determinante se calcula
utilizando la llamada regla de Sarrus,
que es un buen recurso nemotécnico.
La regla de Sarrus consistirá en considerar las diagonales,
las antidiagonales
y el producto de sus elementos.
Es decir, consideramos el producto de esta diagonal,
luego el producto de estos dos elementos
por el del otro extremo
y la suma de estos dos elementos por este.
Siempre se hará una suma del producto de tres elementos,
a lo que habrá que restar
el producto de estos tres elementos de la antidiagonal,
de estos otros tres elementos y de estos otros tres elementos.
Si lo escribimos de forma detallada,
tenemos a11 por a22 por a33
más a21 por a32 por a13
más a12 por a23 por a31
menos a31 por a22 por a13 menos a11 por a23 por a32
menos a21 por a12 por a33.
Desde un punto de vista geométrico,
el determinante es un valor escalar que se puede calcular
a partir de los elementos de una matriz cuadrada
y codifica ciertas propiedades de la transformación lineal
descrita por la matriz.
El determinante también puede verse como el volumen consigno
del paralelepípedo
en adimensional generado
por los vectores columna o fila de la matriz.
Dada una matriz,
se llama menor de orden h
a todo determinante que se obtenga
al seleccionar h filas
y h columnas en la matriz A.
En este sentido, se puede definir el rango de una matriz no nula
como el orden
del mayor menor no nulo
que se puede obtener a partir de ella.
Por ejemplo,
si consideramos esta matriz
y queremos analizar o estudiar su rango,
lo que consideraremos será menores de orden 1,
por ejemplo, este -8,
e iremos orlando,
obteniendo menores de orden superior,
como este
que estamos recuadrando en rojo,
y así hasta demostrar si existe o no algún menor
o cuál es el orden
del mayor menor no nulo.
En este caso, podemos ver que el rango de esta matriz
es igual o mayor que 1
porque hemos encontrado un menor de orden 1
que es no nulo.
El rango es mayor o igual a 2
porque, orlando el menor anterior,
podemos encontrar
un menor no nulo de orden 2
del mismo modo.
Finalmente, el rango no será 3
y, por lo tanto, el rango será 2,
porque los dos menores de orden 3 que obtenemos
al orlar el menor de orden 2 no nulo
son nulos.
El problema central del álgebra lineal
es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Ese tipo de problemas aparecen, por ejemplo, en la geometría
cuando buscamos la posible intersección
y una recta.
Los sistemas de ecuaciones lineales desempeñan un papel destacado
en ingeniería, física, química, informática y economía.
Como aplicaciones muy sencillas, podemos considerar, en matemáticas,
la descomposición en fracciones simples
o la interpolación polinómica pura.
En química,
el equilibrio de reacciones.
O incluso aplicaciones en la manufactura:
transferencia de calor,
temperatura en estado estacionario...
Nótese que el sistema anterior puede expresarse en forma matricial
como 1,1,1;
2,3,4;
5,8,9.
Esto es lo que llamamos la matriz del sistema.
Un vector columna que contiene las incógnitas x y z.
Y todo esto igualado a un vector columna
de términos independientes 1,0,0.
Esta matriz A es la matriz del sistema.
Y este es el vector b
de términos independientes.
Por lo tanto,
una forma compacta de representar
este sistema de ecuaciones es mediante una única matriz,
que se llama matriz ampliada,
que incluye la matriz A del sistema,
y el vector columna
de los términos independientes.
La notación matricial también puede ser útil
para la representación
de diagramas de flujo como este,
donde tenemos dos entradas, x1 y x2
que, tras obtener las ganancias que se observan,
conforman el flujo de salida
Puede ver cómo y1 es la suma de a11 por x1
y a12 por x2.
Del mismo modo, el flujo y2 es la suma de los flujos
a21 por x1 más a22 por x2.
En forma matricial, eso se expresa
como el vector columna con las salidas
igualado a la matriz con las ganancias,
que multiplica al vector columna con los flujos de entrada.
Si lo que podemos medir son los flujos de salida
y lo que queremos saber son los flujos de entrada,
hemos de resolver
el sistema de ecuaciones.
Antes de resolver
un sistema de ecuaciones,
el teorema de Rouché-Frobenius nos permite categorizar
los sistemas de ecuaciones según sus soluciones
a través del concepto de rango.
Consideremos un sistema de ecuaciones donde la matriz del sistema es A
y el vector
de términos independientes es b.
Recordemos
que Ab es la matriz ampliada.
En este caso, el teorema de Rouché-Frobenius dice que:
1) Si el rango de la matriz A y el rango de la matriz ampliada
son iguales,
el sistema es compatible.
Tenemos dos casos.
1) Que el rango de la matriz sea igual al número de incógnitas.
Entonces, el sistema es compatible determinado
y existe una única solución.
2) Que el rango de la matriz sea menor que el número de incógnitas.
Entonces, el sistema es compatible indeterminado
y existen infinitas soluciones.
el rango de la matriz A
es distinto del rango de la matriz ampliada,
el sistema es incompatible.
Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
Para el caso de sistemas compatibles,
la solución se puede encontrar mediante el método de Gauss.
Resolvamos, entonces, este problema geométrico.
Recordemos la ecuación del plano:
x más y más z igual a 1.
Y la ecuación de la recta:
2x más 3y más 4z igual a 0.
Y 5x más 8y más 9z igual a 0.
Si expresamos el sistema en forma matricial,
esta es la matriz del sistema
multiplicada por el vector de las incógnitas (x, y, z)
igualado al vector
de los términos independientes
o, lo que es lo mismo,
en forma de matriz ampliada.
1, 1, 1 es la primera columna.
2, 3, 4, 0 es la segunda.
Y 5, 8, 9, 0 es la tercera fila.
En primer lugar, se puede demostrar que el rango de la matriz
es igual al rango
de la matriz ampliada, que es 3.
Y que coincide
con el número de incógnitas.
Por lo tanto, el sistema será compatible determinado
y tendrá una única solución.
En términos geométricos,
eso quiere decir que el plano y la recta
se cortan en un único punto.
Después de la resolución del sistema, veremos qué quiere decir,
desde un punto de vista geométrico,
que el sistema sea
compatible indeterminado
o incompatible.
significa que,
mediante transformaciones de fila,
vamos a conseguir ceros debajo de la diagonal principal.
De este modo, nos quedará
un sistema de ecuaciones triangular superior.
Veamos los pasos.
En primer lugar, conseguimos ceros debajo del 1 de la primera columna
al transformar la fila 2 y la fila 3 como fila 2 menos 2 veces fila 1
y fila 3 igual a la fila 3 menos 5 veces la fila 1.
El segundo paso consiste en hacer el 3 de la tercera fila que sea un 0
a través de la resta de la fila 3 menos 3 veces la fila 2.
Una vez que el sistema ya es triangular,
consideramos
la última de las ecuaciones,
que es -2z igual a 1,
y vamos resolviendo para atrás.
Obtenemos que z es menos un medio.
Ahora, con la segunda fila,
transformada en ecuación y más 2z igual a -2,
aislamos la y,
sustituimos por el valor de z
y obtenemos que la y es igual a -1.
Finalmente, considerando la primera ecuación,
x más y más z igual a 1, aislamos la x
obteniendo 1 menos y menos z,
sustituimos los valores de y y de z
para finalmente encontrar que x es igual a cinco medios.
Por lo tanto, el plano y la recta
intersecan en un punto de coordenadas x,y,z
igual a cinco medios menos 1 menos un medio.
¿Qué querría decir que el rango de la matriz
fuera 2?
En este caso, la recta
estaría contenida en el plano,
cuya intersección sería la propia recta.
Tendríamos, por lo tanto, infinitas soluciones,
que serían todos los puntos de la recta.
¿Y qué querría decir que el rango de la matriz
fuera distinto al rango de la matriz ampliada?
Que la recta sería paralela al plano sin estar contenida.
En este caso, no habría intersección,
por lo que el sistema sería incompatible,
es decir, no habría solución.
