Matrices y sistema de ecuaciones lineales

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Matrices y sistema de ecuaciones lineales

En este vídeo hablaremos brevemente de las matrices

y de los sistemas de ecuaciones lineales.

Veremos que las matrices,

aunque son conceptualmente una estructura muy sencilla,

son realmente una herramienta muy poderosa en matemáticas

y, de forma más precisa, en el álgebra lineal.

En general, una matriz A es una tabla compuesta

por m por n elementos

distribuidos en m filas y n columnas.

En el caso general,

tenemos una matriz como esta.

En esta matriz, podemos ver cuál es su primera fila,

o Fila 1.

Y cuál es la segunda columna,

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o Columna 2.

Una forma usual de decir que la matriz A

tiene m filas y n columnas

es decir que la dimensión o tamaño de A es m por n.

Por ejemplo, esta matriz

tendrá dos filas y tres columnas.

La primera fila: 3,-1, 2.

Y la segunda fila: 4, 2, -5.

Lo mismo para sus tres columnas.

Las imágenes que podéis encontrar en las páginas de internet

y las fotos que hacéis con vuestro teléfono móvil

son ejemplos de imágenes digitales.

Es posible representar ese tipo de imágenes mediante matrices.

Por ejemplo, esta imagen del Gato Félix en blanco y negro

se puede representar con una matriz de dimensión 35x35,

cuyos elementos son

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los números 0 y 1,

donde 0 representa el color negro

y 1 representa el color blanco.

Encontramos otras aplicaciones de las matrices

en el ámbito

de las redes de telecomunicaciones.

A su modo, la teoría de matrices sirve como fundamento

a la teoría de detección y corrección de errores:

control de paridad, códigos lineales, etc.

Finalmente,

también se utilizan matrices

en teoría de grafos o criptografía.

En relación

a las operaciones con matrices,

vamos a considerar dos operaciones:

la suma y el producto.

Para poder sumar dos matrices,

será necesario que ambas tengan la misma dimensión.

En efecto, si consideramos estas dos matrices,

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vemos que ambas tienen el mismo número de filas

y el mismo número de columnas.

La suma de las matrices A y B se realiza entonces

sumando término a término.

1 más 1, 2 menos 1,

tres más 1, cuatro menos 1,

5 más 1 y 6 menos 1.

Para el producto de matrices, consideremos primero el producto

de una matriz fila, o vector fila,

por una matriz columna, o vector columna,

con el mismo número de elementos.

En el fondo,

este producto que acabamos de hacer,

es el producto escalar de dos vectores,

donde multiplicamos

componente a componente.

El 1 por el 2, las dos primeras,

sumamos el 2 más el 1 y, finalmente, el 3 con el 2.

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Para multiplicar dos matrices, A por B,

es necesario

que el número de columnas de A

coincida con el número de filas de B.

El resultado será una nueva matriz C

con tantas filas como A y tantas columnas como B.

Observemos cómo la matriz A tiene dos filas y tres columnas

y cómo la matriz B

tiene tres filas y dos columnas.

Efectivamente,

el número de columnas de A

coincide con el número de filas de B.

El resultado será una matriz

que tendrá tantas filas como tenía A

y tantas columnas como tenía B.

En este caso, el primer elemento de la matriz, de la Fila 1-Columna 1,

es el producto escalar de la primera fila de A

por la primera columna de B.

Después tenemos el elemento

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de la primera fila y la segunda columna,

que es el producto escalar de la primera fila de A

por la segunda columna de B.

El elemento

de la segunda fila-primera columna,

es el producto escalar en la segunda fila de A

por la primera columna de B.

Finalmente, la segunda fila de A por la segunda columna de B.

En este caso, estamos obteniendo una matriz cuadrada

de dimensión dos.

Dos filas, dos columnas.

Toda matriz cuadrada A de orden n

tiene asociado un número concreto,

al cual llamaremos determinante de A

y que se suele denotar por det(A)

o la A

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entre estas dos barras verticales.

Cuando n es igual a 1,

si consideramos, por ejemplo, la matriz cuyo único elemento

es el elemento a11,

entonces, el determinante, en este caso,

es simplemente el mismo valor:

a11.

Cuando consideramos

una matriz cuadrada de orden dos,

por ejemplo, en el caos genérico,

la matriz formada por los elementos a11, a12, a21 y a22,

el determinante, en este caso,

resulta de multiplicar

los elementos de la diagonal,

a11 por a22,

y restarle el producto

de los elementos de la antidiagonal,

a12 por a21.

Cuando consideramos n igual a 3,

es decir, nuestra matriz es una matriz cuadrada

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de tres filas y tres columnas,

el determinante se calcula

utilizando la llamada regla de Sarrus,

que es un buen recurso nemotécnico.

La regla de Sarrus consistirá en considerar las diagonales,

las antidiagonales

y el producto de sus elementos.

Es decir, consideramos el producto de esta diagonal,

luego el producto de estos dos elementos

por el del otro extremo

y la suma de estos dos elementos por este.

Siempre se hará una suma del producto de tres elementos,

a lo que habrá que restar

el producto de estos tres elementos de la antidiagonal,

de estos otros tres elementos y de estos otros tres elementos.

Si lo escribimos de forma detallada,

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tenemos a11 por a22 por a33

más a21 por a32 por a13

más a12 por a23 por a31

menos a31 por a22 por a13 menos a11 por a23 por a32

menos a21 por a12 por a33.

Desde un punto de vista geométrico,

el determinante es un valor escalar que se puede calcular

a partir de los elementos de una matriz cuadrada

y codifica ciertas propiedades de la transformación lineal

descrita por la matriz.

El determinante también puede verse como el volumen consigno

del paralelepípedo

en adimensional generado

por los vectores columna o fila de la matriz.

Dada una matriz,

se llama menor de orden h

a todo determinante que se obtenga

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al seleccionar h filas

y h columnas en la matriz A.

En este sentido, se puede definir el rango de una matriz no nula

como el orden

del mayor menor no nulo

que se puede obtener a partir de ella.

Por ejemplo,

si consideramos esta matriz

y queremos analizar o estudiar su rango,

lo que consideraremos será menores de orden 1,

por ejemplo, este -8,

e iremos orlando,

obteniendo menores de orden superior,

como este

que estamos recuadrando en rojo,

y así hasta demostrar si existe o no algún menor

o cuál es el orden

del mayor menor no nulo.

En este caso, podemos ver que el rango de esta matriz

es igual o mayor que 1

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porque hemos encontrado un menor de orden 1

que es no nulo.

El rango es mayor o igual a 2

porque, orlando el menor anterior,

podemos encontrar

un menor no nulo de orden 2

del mismo modo.

Finalmente, el rango no será 3

y, por lo tanto, el rango será 2,

porque los dos menores de orden 3 que obtenemos

al orlar el menor de orden 2 no nulo

son nulos.

El problema central del álgebra lineal

es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ese tipo de problemas aparecen, por ejemplo, en la geometría

cuando buscamos la posible intersección

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y una recta.

Los sistemas de ecuaciones lineales desempeñan un papel destacado

en ingeniería, física, química, informática y economía.

Como aplicaciones muy sencillas, podemos considerar, en matemáticas,

la descomposición en fracciones simples

o la interpolación polinómica pura.

En química,

el equilibrio de reacciones.

O incluso aplicaciones en la manufactura:

transferencia de calor,

temperatura en estado estacionario...

Nótese que el sistema anterior puede expresarse en forma matricial

como 1,1,1;

2,3,4;

5,8,9.

Esto es lo que llamamos la matriz del sistema.

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Un vector columna que contiene las incógnitas x y z.

Y todo esto igualado a un vector columna

de términos independientes 1,0,0.

Esta matriz A es la matriz del sistema.

Y este es el vector b

de términos independientes.

Por lo tanto,

una forma compacta de representar

este sistema de ecuaciones es mediante una única matriz,

que se llama matriz ampliada,

que incluye la matriz A del sistema,

y el vector columna

de los términos independientes.

La notación matricial también puede ser útil

para la representación

de diagramas de flujo como este,

donde tenemos dos entradas, x1 y x2

que, tras obtener las ganancias que se observan,

conforman el flujo de salida

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Puede ver cómo y1 es la suma de a11 por x1

y a12 por x2.

Del mismo modo, el flujo y2 es la suma de los flujos

a21 por x1 más a22 por x2.

En forma matricial, eso se expresa

como el vector columna con las salidas

igualado a la matriz con las ganancias,

que multiplica al vector columna con los flujos de entrada.

Si lo que podemos medir son los flujos de salida

y lo que queremos saber son los flujos de entrada,

hemos de resolver

el sistema de ecuaciones.

Antes de resolver

un sistema de ecuaciones,

el teorema de Rouché-Frobenius nos permite categorizar

los sistemas de ecuaciones según sus soluciones

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a través del concepto de rango.

Consideremos un sistema de ecuaciones donde la matriz del sistema es A

y el vector

de términos independientes es b.

Recordemos

que Ab es la matriz ampliada.

En este caso, el teorema de Rouché-Frobenius dice que:

1) Si el rango de la matriz A y el rango de la matriz ampliada

son iguales,

el sistema es compatible.

Tenemos dos casos.

1) Que el rango de la matriz sea igual al número de incógnitas.

Entonces, el sistema es compatible determinado

y existe una única solución.

2) Que el rango de la matriz sea menor que el número de incógnitas.

Entonces, el sistema es compatible indeterminado

y existen infinitas soluciones.

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el rango de la matriz A

es distinto del rango de la matriz ampliada,

el sistema es incompatible.

Por lo tanto, el sistema no tiene solución.

Para el caso de sistemas compatibles,

la solución se puede encontrar mediante el método de Gauss.

Resolvamos, entonces, este problema geométrico.

Recordemos la ecuación del plano:

x más y más z igual a 1.

Y la ecuación de la recta:

2x más 3y más 4z igual a 0.

Y 5x más 8y más 9z igual a 0.

Si expresamos el sistema en forma matricial,

esta es la matriz del sistema

multiplicada por el vector de las incógnitas (x, y, z)

igualado al vector

de los términos independientes

o, lo que es lo mismo,

en forma de matriz ampliada.

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1, 1, 1 es la primera columna.

2, 3, 4, 0 es la segunda.

Y 5, 8, 9, 0 es la tercera fila.

En primer lugar, se puede demostrar que el rango de la matriz

es igual al rango

de la matriz ampliada, que es 3.

Y que coincide

con el número de incógnitas.

Por lo tanto, el sistema será compatible determinado

y tendrá una única solución.

En términos geométricos,

eso quiere decir que el plano y la recta

se cortan en un único punto.

Después de la resolución del sistema, veremos qué quiere decir,

desde un punto de vista geométrico,

que el sistema sea

compatible indeterminado

o incompatible.

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significa que,

mediante transformaciones de fila,

vamos a conseguir ceros debajo de la diagonal principal.

De este modo, nos quedará

un sistema de ecuaciones triangular superior.

Veamos los pasos.

En primer lugar, conseguimos ceros debajo del 1 de la primera columna

al transformar la fila 2 y la fila 3 como fila 2 menos 2 veces fila 1

y fila 3 igual a la fila 3 menos 5 veces la fila 1.

El segundo paso consiste en hacer el 3 de la tercera fila que sea un 0

a través de la resta de la fila 3 menos 3 veces la fila 2.

Una vez que el sistema ya es triangular,

consideramos

la última de las ecuaciones,

que es -2z igual a 1,

y vamos resolviendo para atrás.

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Obtenemos que z es menos un medio.

Ahora, con la segunda fila,

transformada en ecuación y más 2z igual a -2,

aislamos la y,

sustituimos por el valor de z

y obtenemos que la y es igual a -1.

Finalmente, considerando la primera ecuación,

x más y más z igual a 1, aislamos la x

obteniendo 1 menos y menos z,

sustituimos los valores de y y de z

para finalmente encontrar que x es igual a cinco medios.

Por lo tanto, el plano y la recta

intersecan en un punto de coordenadas x,y,z

igual a cinco medios menos 1 menos un medio.

¿Qué querría decir que el rango de la matriz

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fuera 2?

En este caso, la recta

estaría contenida en el plano,

cuya intersección sería la propia recta.

Tendríamos, por lo tanto, infinitas soluciones,

que serían todos los puntos de la recta.

¿Y qué querría decir que el rango de la matriz

fuera distinto al rango de la matriz ampliada?

Que la recta sería paralela al plano sin estar contenida.

En este caso, no habría intersección,

por lo que el sistema sería incompatible,

es decir, no habría solución.

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