1 UNIDAD 3: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO – 2020 --
EJERCITACIÓN N°3:
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Ejercicio Nº 1
Dada la recta que pasa por los puntos: P1
1;2;3
P2
0;1;2
a) Encontrar la ecuación de la recta:
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
W V
U
z z
z z y y
y y x x
x x
1 2
1 1
2 1 1
2 1
3 2
3 2
1 2 1
1
y z
x
1 3 1
2 1
1
y z
x
1 1
1 1 1
1 v w
u
b) Encontrar la ecuación de una recta paralela que pase por: P
3;2;1
Condición de paralelismo entre rectas
2 1 2 1 2 1
w w v v u
u
Adopto valores para u2,v2,w2 que sean proporcionales a u1,v1,w1 2
2
2 2 2
2 v w
u
2 3 2
2 2
1
w z z v
y y u
x
x
2 1 2
2 2
3
y z
x Ecuación de una recta paralela que pasa por: P
3;2;1
c) Encontrar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por: P
1;5; 3
2 UNIDAD 3: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO – 2020 --
Condición de perpendicularidad entre rectas 0
w w v v u
u1 2 1 2 1 2
En esta ecuación hay tres incógnitas, si adoptamos valores para u2 y v2, podemos calcular w2. Adoptando u2 1 v2 1; w2 ?
2 0
1 2 1 2
1u vv ww
u
1.1 1.11.w2 00 .
1 1
1 2
w
2 0
. 1
2 2 2
w w
2 3 1
5 1
1
y z
x
Ejercicio Nº 2:
Dada la recta que pasa por los puntos: P1
3;2;1
P2
0;4;1
a) Encontrar la ecuación de la recta.
b) Encontrar la recta paralela que pase por: P
3;5;4
c) Encontrar la recta perpendicular que pase por: P
2;4;5
Ejercicio Nº 3
Dada la siguiente ecuación del plano 6x4y3z120 Obtener:
a) Gráfica aproximada.
Ecuación general del plano
0
By Cz D Ax
3 UNIDAD 3: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO – 2020 --
3 4 y
y 12
2 6 x
x 12
4 3 z
z 12
x y z 0 0 4 P1 2 0 0 P2 0 3 0 P3
b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: P1
2;1; 3
Plano que pasa por un punto P1
x1;y1;z1
1
1
1
1
1
01 xx B yy C zz
A
Condición de paralelismo entre planos
1 1
1 C
C B
B A
A
4
3
06 xx1 yy1 zz1
2
4 1
3 3
0 6 x y z c) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: P2
3;2;1
Plano que pasa por un punto P2
x2;y2;z2
2
2
2
2
2
02 xx B yy C zz
A
Condición de Perpendicularidad entre planos
2 0
2
2 BB CC
A A
En esta ecuación hay 3 incógnitas, dando valores, por ejemplo a A2 y B2, se puede calcular C . 2 Adoptando A2 1 ; B2 1
P2
P1
P3
x
y z
o
4 UNIDAD 3: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO – 2020 --
2 0
2
2 BB CC
A A
6 . 1 + 4 . 1 + 3 . C = 0 2
6 + 4 + 3 . C = 0 2 C =2 3
10
1
03 2 10
3
y z
x
Ejercicio Nº 4:
Dada la ecuación del plano: x2y5z100 a) Graficar aproximadamente
b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: P1
2;4;1
c) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: P2
3;2;1
Ejercicio Nº 5:
Encontrar la ecuación de una recta paralela al plano 3x-2y+z-1=0 que pase por el puntoP
1 ; 2;4
Ejercicio Nº 6:
Encontrar la ecuación de un plano perpendicular a la recta
2 1 3
1 4
2
y z
x que pase por el
puntoP
2;1;3
Ejercicio N° 7:
Posiciones particulares del plano.
a) Escriba la ecuación del plano xy b) Escriba la ecuación del plano xz c) Escriba la ecuación del plano yz
d) Escriba las ecuaciones de tres planos paralelos a los coordenados que pasen por el punto P(2,1,-3) e) Escriba la ecuación de un plano paralelo eje x
f) Escriba la ecuación de un plano paralelo eje y g) Escriba la ecuación de un plano paralelo eje z
h) Escriba la ecuación de un plano que contenga al eje x i) Escriba la ecuación de un plano que contenga al eje y j) Escriba la ecuación de un plano que contenga al eje z
5 UNIDAD 3: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO – 2020 --
SUPERFICIES CUÁDRICAS Y CILINDRICAS Ejercicio Nº8
Analizar las siguientes superficies cuádricas realizando cortes con planos paralelos a los coordenados.
Graficar aproximadamente:
1. x2 y2 z2 9
2. 1
25 9 16
2 2 2
y z x
3. 1
25 16 4
2 2
2 y z
x
4. 1
9 16 4
2 2 2
x y z
5. 0
25 16 9
2 2
2 y z
x
6. 6y
8 z 3 x2 2
7. 4x2 3y2 z
EJERCICIO N°9
Graficar en forma aproximada las siguientes superficies trasladadas.
1.
16 1 ) 4 z ( 9
) 1 y ( 4
2
x 2 2 2
2.
z 9 4
) 2 y ( 4
4
x 2 2
3.
0 ) 4 9 (
) 1 ( 25
2 2
2 2
y z x
EJERCICIO N° 10
Analizar las siguientes superficies cilíndricas.
1. x2 8y
2. 4
9 y 4
x2 2
3. y2 4z
4. 1
9 16
2 2
z x
5. x2 y2 9
