8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA

Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

ANÁLISIS DINÁMICO DE LA MAQUINA PARA EL PAPEL HIGIÉNICO

Majewski T., Sudhakar K.V.

Universidad de las Américas-Puebla, México Sta. Catarina Mártir, Cholula, AP 258

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RESUMEN

El reporte presenta la dinámica de una máquina que produce el papel higiénico. En el sistema de transporte de la cinta se generan las vibraciones como resultado de la excentricidad de la bobina. Para una velocidad existe la resonancia que genera grandes cambios en tensión de la cinta del papel y causa la ruptura en esta. La velocidad crítica depende del radio del desbobinador, su inercia y también otros elementos que controlan la trayectoria del movimiento de la cinta. El artículo presenta el modelo físico y matemático (las ecuaciones diferenciales, condiciones de frontera), análisis numérico y características que presentan relación entre la amplitud de oscilación, la tensión de la cinta y su velocidad. Las oscilaciones de la tensión de la cinta se analizan sin control automático.

PALABRAS CLAVE:Dinámica, vibraciones, papel higiénico

Código 441

INTRODUCCIÓN

El papel sanitario, las toallas, servilletas y demás productos hechos con papel higiénico deben tener ciertas propiedades deseadas tales como; suavidad, textura, debe ser atractiva al tacto, no áspera y abrasiva. Para las toallas, el papel sanitario, el papel filtro deben tener alta capacidad de absorción a los fluidos. Algunas propiedades deseadas son contrarias. El papel sanitario se fabrica con papel reciclado o pasta química. Tiene una, dos o más capas. Las propiedades de papel tales como, resistencia a la tensión, su color y brillo, rigidez, resistencia a doblado dependen de las fibras de celulosa, los componentes que juntan las fibras (enlaces entre las fibras), humedad y el método de fabricación. Las fibras de celulosa son higroscópicas y pueden absorber la humedad del ambiente [1].

La máquina que produce el papel sanitario tiene dos desbobinadores (superior e inferior) y gofrador para crear una sola hoja de papel doble – Fig. 1. Entre ellos se tienen algunos rollos que dirigen el movimiento de la hoja. Ambos rollos deberán ser desbobinados a una velocidad y tensión constante. Antes de llegar al gofrador, el sistema aplica una pequeña cantidad de pegamento a la parte inferior de la hoja y el gofrador juntas las dos hojas. Los rodillos imprimen también una imagen. Después del gofrador la cinta se dirige hacia el rebobinador y para luego ser cortada en segmentos.

Cuando se empieza la producción del papel sanitario la bobina es muy grande y tiene una masa de 2000 kg y un diámetro 2 m. La hoja de papel tiene 2.68 m de ancho y un grosor de 0.15 mm con una tolerancia de 0.05 mm, masa base 10.2 – 10.4 g/m². Para el rango de deformación hasta 6 % de la relación entre deformación y la tensión, la hoja es lineal. La ruptura de guía del papel tiene lugar cuando la tensión de la hoja tiene un valor de 290 N – se prueba estáticamente. Las cintas son muy delgadas y muchas veces se rompen. La ruptura del papel hace los paros y el tiempo perdido. La máquina tiene los sensores ópticos para monitorear la ruptura del papel.

El radio del desbobinador no es constante y se cambia con el ángulo de rotación del rodillo. Esto provoca cambios en la tensión de la cinta y la manera en que vibra. Para compensar las vibraciones de la cinta y su tensión la máquina tiene un balancín que compensa la tensión. El desplazamiento del balancín se puede usar como la entrada al sistema de control de torque del motor del desbobinador que regula la velocidad angular del mismo. El movimiento del desbobinador se controla por medio de un motor de 30 HP DC.

Fig. 1. Los desbobinadores y la trayectoria de las hojas de papel.

La celda de carga tiene un rodillo “idler” que rota debido a la fricción de la hoja de papel – Fig.2. Esta celda monitorea la tensión por medio de su desplazamiento y controla el par del motor sobre el eje del desbobinador.

El tiempo muerto por ruptura de hoja del desbobinador externo e interno es más grande. Los resultados de observación de la maquina presentan que la mayor cantidad de minutos perdidos están en los desbobinadores. Por esto razón es necesario estudiar el movimiento de la cinta y los elementos de maquina entre esta parte.

Fig.2. Balancín para el control de la tensión

MODELO DINÁMICO

La bobina tiene su excentricidad e y gira con velocidad angular ω. El otro lado de la hoja es jalada por el gofrador con una velocidad constante v. La hoja como elemento elástico cambia su longitud cuando el desbobinador gira. Para obtener una pequeña excentricidad (e/r<<1) el radio del desbobinador (Fig.3) se cambia de la siguiente manera:

t e

R ω

ρ≅ + cos . (1)

Esto provoca que tanto la aceleración angular del desbobinador como también la tensión de la cinta cambien de manera periódica. La tensión de la cinta depende de rigidez de ella.

l Ebh L EA

k= / = / , (2)

donde E significa modulo de Young,

A = b ⋅ h

R M

S_o = _o/ . (3)

Para las condiciones dinámicas, la elongación de la hoja de papel se expresa como:

) cos

(R e t

vt r vt

l= −ω = −ω + ω

∆ . (4)

Por esto la tensión de la cinta aumenta o disminuye al respecto de la tensión inicial S0 del papel. Su nueva tensión es S

S

S = ₀+∆ donde:

)) cos (

(vt R e t

l l EA k

S= ⋅∆ = −ω + ω

∆ . (5)

Cuando la tensión S es muy grande puede romper la cinta y cuando se encuentra bajo cero genera impactos en el sistema y también puede generar fuerzas muy grandes. Por esto es necesario analizar la dinámica de la máquina, entender el proceso y buscar los métodos para disminuir las oscilaciones de la cinta y en efecto disminuir los paros de maquina. Para disminuir las variaciones de la tensión el sistema usa un balancín como se presenta en Fig.2 En un modelo simple podemos tomar la bobina (con el papel) como muy pesada y la cinta elástica como se presenta en Fig. 3.La velocidad de la bobina no es constante y la variación el desplazamiento angular se define como η(t). La energía cinética de la bobina T=0.5I(ω+η&₁)² y la energía potencial de la cinta V =0.5(∆l₀+η₁)². Las ecuaciones de Lagrange nos da la Ec.(6) que define el comportamiento de la bobina y la cinta [2 - 3].

Fig.3. Modelo con un grado de libertad

t e S t kR

Iη&&₁+ ²(1+2εcosω)η₁= ₀ cosω , (6) donde I es el momento de inercia de la bobina con el papel, ε=e/R la excentricidad relativa de la bobina, ω=v/R presenta la velocidad angular promedio de la bobina.

La Ec. (3) presenta las vibraciones del desbobinador con la excitación harmónica y la rigidez que cambia con respecto al tiempo. Por esto pueden aparecer dos tipos de resonancia; normal y paramétrica. La frecuencia natural de la bobina toma el valor ω_o =R k/I . El momento de inercia de la bobina se pude calcular I≅0.5MR². Para R=1 m y m=2000 kg obtenemos ω_o =1.98rad/s. Cuando la velocidad angular de la bobina es igual a la frecuencia natural ωo entonces existe la primera resonancia y la amplitud de vibraciones es muy grande. La resonancia paramétrica aparece cuando la frecuencia de cambio de la rigidez de la cinta es dos veces más grande que su frecuencia natural y esto nos da la velocidad critica de la cinta [4 - 6] vcr=2ωoR =3.96 m/s. Las vibraciones angulares del desbobinador y los cambios de tensión en la cinta para una resonancia paramétrica se presentan en los diagramas Fig.4. La amplitud de resonancia esta en función de la excentricidad y amortiguamiento del sistema.

Time

x [min]

0 50 100 150 200

-100 -50 0 50 100

dS [N]

1 dS 2 z2

0 50 100 150 200

-100 -50 0 50 100

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2

Fig. 4. Vibraciones de la bobina x=η(ωt) y el cambio de tensión de la cinta

El siguiente modelo que es más cercano al sistema real tiene el balancín que compensa las oscilaciones y también puede dar la señal para el sistema de control de tensión – Fig.5. El balancín oscila con respecto a su posición de reposo que define la tensión So y la rigidez k3 del resorte del balancín. Las oscilaciones del balancín tienen dos componentes; lineal η2(t) y angular η3(t). Ahora la cinta del papel se presenta como dos resortes con rigidez

1 1 EA/ L

k = y k₂=EA/ L₂. El sistema tiene tres grados de libertad.

S

M R e

r

vt

ω η

k

Fig. 5. Diagrama de desbobinador con sistema de control de tensión

Para el análisis del sistema se introducen los desplazamientos para el desbobinador (η1) y el balancín (translación η2

y angular η3). El desplazamiento angular de la bobina respecto al movimiento con velocidad constante ω, η2

significa el desplazamiento lineal del balancín con respecto a la posición de equilibrio para la fuerza S0, η3 es un desplazamiento angular del balancín respecto al movimiento con velocidad angular constante ω2=v/rb del balancín.

La energía potencial esta en función de las deformaciones de la cinta ) (

5 .

0 k₁ L²₁ k₂ L²₂ k₃ L²₃

V = ∆ + ∆ + ∆ (7)

donde ∆L₁=∆L₀₁−(R+ecosωt)η₁+η₂+r_bη₃,

3 2 02

2 L η r_bη

L =∆ + −

∆ ,

2 03 3 =∆ −η

∆L L .

La energía cinética del sistema

) ) (

) ( ( 5 .

0 ₁ ω+η&_{1 1}²+ ₂η&₂²+ ₃ ω +η&₃ ²

= m m I _b

T . (8)

Con las ecuaciones de Lagrange’a se establecen las ecuaciones de movimiento del sistema

t R S t rR

k t + R -k t +

R k

I₁η&&₁+ ₁ ²(1 2εcosω )η_{1 1} (1 cosω )η₂+ ₁ (1+εcosω)η₃= ₀₁ εcosω , (9) 0

) ( ) cos 1 ( )

( _{1 2 3 2 1 1 1 2 3}

2

2 +k + k + k - k R + t +r k - k =

mη&& η ω η _b η , (10)

- k k +r t + R k -r + k k +

I₃η&&₃ ( _{1 2})η_{3 b 1} (1 cosω)η_{1 b}( _{1 2})η₂=0 . (11)

El sistema real posee también amortiguamiento. Las ecuaciones diferenciales contienen también los coeficientes variables en el tiempo que provocan las vibraciones paramétricas. Las simulaciones se hacen con los siguientes parámetros: k1= 45.8 kN/m, k2= 4.3 kN/m, k3= 10 kN/m, I3=0.07 kgm², rb=60 mm, m2=20 kg.

Las ecuaciones (8-10) con amortiguamiento se pueden presentar en forma matricial

{ }

{ }

{ }

{

}

[M] && + & + = . (12)

η

η

r

ωt+η

S

, S

, k

∆L

∆L

ρ

v=const e

M R

k

∆L

Las frecuencias naturales del sistema se determinan con el determinante característico

[ ] [ ]

= k Mω

Dh . (13)

La inercia del desbobinador es muy grande con respecto del balancín y la primera frecuencia natural es casi la misma que el sistema con un grado de libertad. La resonancia paramétrica para la velocidad de la cinta vcr=2Rω=1.2 m/s.

Cuando la bobina gira y su radio cambia entonces la velocidad crítica también cambia. Cuando el radio de la bobina de papel disminuye entonces el momento inercial también disminuye que afecta en aumento la frecuencia natural y disminuyendo la velocidad critica vcr- Fig.6.

Tendencia de Vel. Crítica al Cambio de R

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

0.25 0.5 0.75 1

Radio [m]

Vel. Crítica [m/s]

Fig.6. El comportamiento de la velocidad critica con respecto al cambio de radio

El análisis de las ecuaciones diferenciales (8 -11) nos dan las amplitudes de vibración para cada elemento y la fuerza de tensión en la cinta para diferentes velocidades. El comportamiento de los elementos del sistema para dos velocidades de la cinta se presenta en Fig.7 y 8. Las amplitudes de vibración se estabilizan dependientes del amortiguamiento del sistema. Cerca de la velocidad crítica (Fig.7 - v=0.9 m/s) las amplitudes de vibración y los cambios en la tensión de la cinta se aumenta y disminuyen. Cuando la velocidad de la cinta aumenta y esta es igual a la velocidad critica entonces las amplitudes son muy grandes – Fig.8. Esto lleva a grandes aumentos en la tensión de la cinta o puede causar que la cinta del papel pierda su tensión (S1=0 o S2=0) y en el segundo momento existe el impacto que es también un peligro y puede causar la ruptura de la hoja de papel.

Fig.7. Diagramas de variables ∆S1, ∆S2, η1(x), η2(y) y η3(z) para el amortiguamiento c1=0.5; c2=0.2; c3=0.2 y e=4 cm para velocidad 0.9 m/s

Fig.8. Diagramas de variables ∆S1, ∆S2, η1(x), η2(y) y η3(z) para el amortiguamiento c1=0.5; c2=0.2; c3=0.2 y e=4 cm para la velocidad 1.2 m/s

Cuando el radio de la bobina disminuye entonces la velocidad critica también disminuye y para esta velocidad existe una nueva amplitud de vibración de la bobina – Fig.9. Los cambios en tensión de cinta se presentan en los diagramas Fig.9 y 10.

Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina

-50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Velocidad [m/s]

η1 [min] R=1m

R=0.75m R=0.5 R=0.25m

Fig.9. El comportamiento de la amplitud de oscilación de η1 a distintos radios

Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina

-50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

Velocidad [m/s]

S1 [N] R=1m

R=0.75m R=0.5 R=0.25m

Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina

-50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Velocidad [m/s]

S2 [N] R=1m

R=0.75m R=0.5 R=0.25m

Fig. 10. El comportamiento de la amplitud de oscilaciones de la tensión

∆ S

∆ S

CONCLUSIONES

Los análisis del comportamiento del sistema nos permite definir las situaciones de peligro para la máquina cuando las oscilaciones de la cinta son grandes y causan la ruptura de la misma. Las velocidades peligrosas son ωoR y 2ωoR.

Las oscilaciones de la cinta causan cambios de tensión en la cinta. Por esto la tensión puede obtener un valor grande y la cinta se puede romper o puede bajar a cero y entonces existen los impactos que también son peligrosos. Cuando se cambia la velocidad de operación de la máquina es necesario pasar dos velocidades críticas de manera rápida.

Cuando la máquina tiene el sistema de control automático de tensión y los parámetros de control son correctos, entonces las oscilaciones de tensión disminuyen pero no es posible eliminarlos. Cuando no son correctos entonces el sistema de control puede aumentar las oscilaciones.

REFERENCES

1. Kenneth W. Britt., Handbook of Pulp and Paper Technology. USA 1970 2. S.K.Graham, Fundamentals of Mechanical Vibrations. MacGraw Hill, 2000 3. S.R.Singiresu, Mechanical Vibration. Addison Weseley, 1995

4. J.P.Den Hartog, Mechanical Vibrations, Dover Publications. Inc. New York. 1985

5. Majewski T. Audio signal modulation caused by self-excited vibrations of magnetic tape. Journal of Sound and Vibration, 105(1), 1986

6. T.Majewski, R.Sokolowska, Laboratory of Vibrations. Warsaw University of Technology, 2004