Probabilidad y Estadística

(1)

Probabilidad y Estad´ıstica

Variables aleatorias y Funci ´on de distribuci ´on

Federico De Olivera

Cerp del Sur-Semi Presencial

curso 2015

Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estad´ıstica curso 2015 1 / 117

(2)

Variables aleatorias.

Supongamos que se tira un dado no cargadon veces, y se quiere hallar (bajo el espacio cl ´asico de probabilidades) la probabilidad de obtener exactamente k veces el seis (suceso A),donde 0 ≤ k ≤ n.

Representando losn lugares disponibles, podemos pensar, en principio, que losk seis, salen en los primeros k lanzamiento,es decir:

−6− · · ·⁶ −⁶

| {z }

klanzamientos

,6−^,6− · · ·^,6−

| {z }

n−klanzamientos

(3)

Para esta situaci ´on, llam ´emosle sucesoB, tenemos

P(B)= P(1^o= 6) · · · P(k^o= 6)

| {z }

k´exitos

P((k+ 1)^o, 6) · · · P(n^o, 6)

| {z }

n−kfracasos

=1 6

^k 1 −1

6

^n−k

Por último, nos sirve que en los primerosk lanzamientos obtengamos los 6’s,o tambi én en los últimos k o tambi én en cualquier ubicaci ón en la que podamos ubicar a losk 6’s en los n lugares,en total Cⁿ_kposibilidades.

Cada ubicaci ´on nos da lugar a un suceso disjunto de otro, pero igualmente tiene probabilidad(1/6)^k(1 − 1/6)^n−k,por lo tanto

P(A)= Cⁿ_k1 6

^k 1 −1

6

^n−k

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Sobre el mismo esquema, supongamos que ahora queremos la probabilidad de obtener exactamentek veces el 6 o 4,

¿cu ´al es la probabilidad de obtener exactamentek ´exitos?

En general, si nuestro suceso consta de obtenerk ´exitos y n − k fracasos,donde los experimentos se hacen de forma independientey la probabilidad de ´exito, en cada experimento, esp: tenemos

P(obtener exactamente k ´exitos)= Cⁿ_kp^k 1 − pn−k

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En el ejemplo anterior se hicieron algunos supuestos:

a. Se repitenn experimentos independiente.

b. La probabilidad de “ ´exito” en cada experimento es constante e igual ap.

Bajo estas hip ´otesis, la probabilidad de tener exactamentek ´exitos k= 0, . . . , n es

Cⁿ_kp^k 1 − pn−k

Una primera aproximaci ´on al concepto de variable aleatoria puede ser formulado a partir de esta idea,

tratamos de construir modelos, de modo que al verificarse ciertas hip ´otesis, tengamos el c ´alculo de probabilidades ya resuelto.

Sin lugar a duda, el concepto de variable aleatoria es mucho m ´as

“profundo”,pero esta idea sirve al estudiante para ir incorporando el concepto.

(6)

Retomemos el ejemplo de la tirada del dado pero ahora en un caso m ´as sencillo,

el dado se tira4 veces, de forma independiente y se quiere hallar la probabilidad de obtener exactamente2 veces el seis.

La probabilidad de tal evento la podemos calcular como antes,pero ahora nuestro estudio ser ´a dirigido en otro sentido,

veamos primero qui ´en es nuestro espacio muestral:

Ω = {(x1, x2, x3, x4) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}⁴}

Es decir,x1 representa lo que sale en la primer tirada del dado,x2en la segunda y as´ı sucesivamente.

Por lo tanto, algunos elementos deΩ son (1, 4, 5, 2) o (5, 2, 6, 6).

(7)

Podemos determinar una funci ´on que, para cada elemento deΩ, nos d ´e la cantidad de seis,es decir

X :Ω → R tal que X(ω) = “cantidad de seis en ω⁰⁰

Por ejemploX

(1, 4, 5, 2) = 0, X

(5, 2, 6, 6) = 2.

De ´esta forma, nos interesan todos losω ∈ Ω tal que X(ω) = 2, es decirX⁻¹({2}).

(8)

Refrescando memoria:

Recordemos que si tenemos una funci ´on f : A → B, y un subconjunto del codominioY ⊂ B, entonces

f⁻¹(Y)= {x ∈ A : f (x) ∈ Y}

Es com ´un que estudiantes principiantes se confundan con la funci ´on inversa, pero aqu´ı nada se habla de funci ´on inversa,

de hecho, anotamos f⁻¹(Y) para indicar conjunto contra imagen de Y por la funci ´on f ,

de donde el sentido que le damos aqu´ı a f⁻¹es como una funci ´on aplicada a conjuntos

f⁻¹: P(B) → P(A) tal que f⁻¹(Y)= {x ∈ A : f (x) ∈ Y}

(9)

Refrescando memoria:

Algunas propiedades que nos son muy ´utiles y que el lector deber ´a probar son:

1 f⁻¹(B)= A.

2 f⁻¹(Y ∪ Z)= f⁻¹(Y) ∪ f⁻¹(Z),en general f⁻¹S_+∞

n=1Yn = S^+∞n=1 f⁻¹(Yn).

3 f⁻¹(Y^c)= ( f⁻¹(Y))^c.

4 SiY ⊂ Z ⇒ f⁻¹(Y) ⊂ f⁻¹(Z).

5 f⁻¹(Y ∩ Z)= f⁻¹(Y) ∩ f⁻¹(Z).

Ahora sigamos con lo nuestro...

(10)

Recordemos que est ´abamos buscando losω ∈ Ω tal que X(ω) = 2, es decir X⁻¹({2}).

Sin duda que, pensando m ´as en general, debemos exigir queX⁻¹({2}) sea un suceso, para poderle calcular su probabilidad,

dicha probabilidad es la probabilidad de obtener exactamente2 seis.

De querer calcular la probabilidad de obtener al menos un seis, podr´ıamos pensarlo comoP(X⁻¹({1, 2, 3, 4})),

de dondeX⁻¹({1, 2, 3, 4}) tambi´en deber´ıa ser un suceso.

(11)

M ´as en generalX⁻¹ (−1, 3)

deber´ıa ser un suceso y tambi ´enX⁻¹

(−∞, −2] el cual es el suceso vac´ıo en este ejemplo.

En nuestro ejemplo para cualquier conjuntoB ⊂ R siempre se verifica que X⁻¹(B),pues laσ-´algebra es P(Ω),

X⁻¹(B) ∈ P(Ω) ∀ B ⊂ R ya queX :Ω → R es funci´on.

Pero es una propiedad que no se cumple para toda funci ´on y deseamos exigirla para la “variable aleatoria”, funci ´onX :Ω → R.

(12)

Notemos que el codominio de la funci ´onX es el conjunto de los n ´umeros reales,de dondeX⁻¹(B) tiene algunos “problemas” si B es cualquier subconjunto de R

por lo tanto, deseamos exigirle a la funci ´onX que X⁻¹(B) sea un suceso, para todoB ∈ B¹,de donde llegamos a la siguiente definici ´on:

Definici ´on 1.1 (Variable Aleatoria)

Dado un espacio probabilizable(Ω, A), una variable aleatoria es una funci ´on

X :Ω → R tal que X⁻¹(B) ∈ A para todo B ∈ B

Observaci ón: Si laσ-álgebra es A = P(Ω), entonces toda función X :Ω → R es una variable aleatoria ya que X⁻¹(B) ∈ P(Ω) para todo B.

1Laσ-´algebra de Borel en R

(13)

Ejemplo 1

1 Si tiramos un dado no cargadon veces y definimos la funci ´on X :Ω → R tal que

X(ω) =“cantidad de seis obtenidos”,

trabajando sobre el espacio cl ´asico,X es una variable aleatoria por ser A= P(Ω).

2 Supongamos ahora queΩ = {a, b} y A = {∅, Ω}, definamosX :Ω → R tal que X(a) = 1 yX(b) = 2,

luego {1} es un boreliano, pero sin embargo X⁻¹({1})= {a} < A y por lo tantoX no es una variable aleatoria sobre el espacio (Ω, A).

(14)

Veamos ahora que a trav ´es de una variable aleatoria, podemos transformar un espacio de probabilidades cualquiera, en un espacio de probabilidades donde el espacio de resultados posibles es R y la σ-´algebra es B.

Proposici ´on 1.1

Dado un espacio de probabilidades(Ω, A, P) y una variable aleatoria X,entonces

(R, B, PX) es un espacio de probabilidades dondeP_X(B)= P

X⁻¹(B)

para todoB ∈ B.

(15)

Prueba:Ya hemos probado que B es una σ- ´algebra sobre R.

Por lo tanto, debemos probar quePXes una probabilidad sobre el espacio probabilizable(R, B).

i. PX(B)= P(X⁻¹(B)

| {z }

∈A

) ≥ 0 por ser P una probabilidad sobre (Ω, A).

ii. PX(R) = P(X⁻¹(R)

| {z }

Ω

)= P(Ω) = 1.

iii. SeanB1, . . . , Bn, . . . ∈ B disjuntos, entonces

PX





 [+∞

n=1

Bn







= P





 X⁻¹





 [+∞

n=1

Bn













= P





 [+∞

n=1

X⁻¹(Bn)







X⁻¹(Bi)∩X⁻¹(Bj)=∅

=

= X+∞

n=1

P

X⁻¹(Bn) =X^+∞

n=1

PX(Bn)

(16)

Observaci ón: A partir de esta proposici ón, si tenemos una variable aleatoria,podemos siempre trabajar sobre éste nuevo espacio de probabilidades.

Observemos que las probabilidades en este nuevo espacio siguen siendo definidas a trav ´es de las probabilidades originales.

Notaci ´on: Dado un espacio de probabilidad(Ω, A, P) y una variable aleatoria X :Ω → R, tenemos queP

X⁻¹(B) = P{ω : X(ω) ∈ B} para todo B ∈ B,por tanto se suele anotar a tal probabilidad simplemente comoP(X ∈ B).

SiendoB= {x} P({ω : X(ω) = x})^nt= P(X = x) SiendoB= (a, b] P({ω : X(ω) ∈ (a, b]})^nt= P(a < X ≤ b) SiendoB= (−∞, b] P({ω : X(ω) ∈ (∞, b]})^nt= P(X ≤ b)

An ´alogamente para cualquier intervalo.

(17)

El estudiante nunca debe olvidar queP(X= x) es simplemente una notaci ´on, pues formalmente s ´olo podemos calcular probabilidades a

los sucesos yX= x no es un suceso.

Es una notaci ´on para simplificar la escritura pero no tiene nada conceptual nuevo.

(18)

Funci ´on de distribuci ´on

Dado un espacio de probabilidades(Ω, A, P) y una variable aleatoria X, tenemos que para todox ∈ R los intervalos (−∞, x] son borelianos y por tantoX⁻¹

(−∞, x]

∈ A, de aqu´ı que para todo real x est ´a definida la probabilidadP(X ≤ x),

recordemos queP(X ≤ x)= P({ω : X(ω) ≤ x}), lo que nos hace v´alida la siguiente definici ´on:

Definici ón 1.2 (Funci ón de distribuci ón acumulada)

Dado un espacio de probabilidades(Ω, A, P) y una variable aleatoria X, llamamos Funci ón de distribuci ón (acumulada) de la variable aleatoriaX a la funci ón:

FX: R → R tal que FX(x)= P(X ≤ x)

(19)

¿Por qu ´e no mejor definirF(x)= P(X = x)?

La idea de trabajar conF la vimos en estad´ıstica descriptiva (F^∗), la distribuci ´on acumulada cumpl´ıa que era no decreciente y que siempre terminaba en uno.

Aqu´ı laP(X= x) juega el papel que jugaba la frecuencia relativa hi, y comoF^∗_i = Pj≤ih_iresulta apropiado definirF(x)= P(X ≤ x).

¿Ser ´a posible tener una v.a. tal queP(X= x) = 0 para todo x ∈ R?

S´ı, la respuesta la veremos en breve.

(20)

Ejemplo 2

Si tiramos un dado no cargado4 veces y definimos como antes X :Ω → R tal que

X(ω) =“cantidad de seis obtenidos”, entoncesP(X= k) = C⁴_k₁

6

k

1 −¹₆4−k

dondek= 0, . . . , 4

Por lo tanto, la funci ´on de distribuci ´on de la v.a. esFX: R → R tal que

FX(x)=











0 six< 0

P(X= 0) si0 ≤ x< 1

P(X= 0) + P(X = 1) si1 ≤ x< 2

P(X= 0) + P(X = 1) + P(X = 2) si2 ≤ x< 3 P(X= 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) si 3 ≤ x < 4

1 six ≥ 4

(21)

Como dijimos antes, puede observarse queF_X va acumulando probabilidades.

(22)

Es interesante recordar de estad´ıstica descriptiva queF^∗cumpe:

1 est ´a entre cero y uno,

2 es no decreciente,

3 l´ımx→−∞FX(x)= 0 y l´ımx→+∞FX(x)= 1,

4 es continua por derecha, es decirl´ımx→a⁺FX(x)= FX(a)

entre otras propiedades.

Las propiedades que acabamos de nombrar son tambi én propiedades de cualquier funci ón de distribuci ón.

(23)

Proposici ón 1.2 (Propiedades de la Funci ón de distribuci ón)

Dado un espacio de probabilidades(Ω, A, P) y una variable aleatoria X, la funci ´on de distribuci ´on de X, F, posee las siguientes

propiedades:

i. F(x) ∈ [0, 1] para todo x ∈ R.

ii. Sia< b entonces P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

iii. F es no decreciente.

iv. l´ım_x→−∞F(x)= 0 y l´ım_x→+∞F(x)= 1.

v. F es continua por derecha.

Ejercicio 1.1

Trabajemos en la prueba

(24)

Observaci ´on: Es importante mencionar que toda funci ´on que satisfaga las propiedades:

iii. no decreciente,

iv. continua por derecha y

v. l´ım_x→−∞F(x)= 0 y l´ımx→+∞F(x)= 1,

es la funci ´on de distribuci ´on de alguna variable aleatoria.

la prueba es de medida.

Como vimos en los ejemplos al comenzar el cap´ıtulo, distintas

variables aleatorias pueden tener la misma distribuci ´on, basta que las probabilidadesP(X ≤ x) y P(Y ≤ x) sean iguales para todo x ∈ R.

(25)

Ejemplo 3

Consideremos la funci ´onF : R → R tal que F(x)=

Z x

−∞

√1

2π· e⁻^t2² dt

Ejercicio 1.2

Probar que efectivamente se trata de una Funci ´on de distribuci ´on

(26)

Observaci ón: SiendoF una funci ón mon ótona, del curso de An álisis I sabemos que no admite discontinuidades de segunda especie, por lo tanto, de tener discontinuidades s ólo pueden ser saltos.

Tambi ´en de la monoton´ıa, sabemos que admite a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades.

De ahora en m ´as omitiremos declarar que se trabaja sobre un espacio de probabilidad dado,el lector nunca debe olvidar que es necesario tener un espacio de probabilidad al momento de definir una variable aleatoria y su

funci ´on de distribuci ´on.

(27)

Proposici ´on 1.3

SeaF la funci ´on de distribuci ´on de la v.a. X, entonces P(X= a) = F(a) − F(a⁻)

Prueba: por serF mon ´otona, F(a⁻)= l´ımn→+∞F(a − 1/n).

P(X= a) = P({ω : X(ω) = a}) = P







\+∞

n=1

&{ω:X(ω)=a}

z }| { {ω : a − 1/n < X(ω) ≤ a}







cont=.de la prob. n→+∞l´ım P(a − 1/n < X ≤ a) = l´ım

n→+∞F(a) − F(a − 1/n) = F(a) − F(a−)

Ejercicio 1.3

Probar queF es continua en a si y s ´olo si P(X= a) = 0.

(28)

Ejercicio 1.4

Si el recorrido deX es numerable, digamos X(Ω) = S_n{x_n}, probar que

1 P

nP(X= xn)= 1.

2 F no es continua.

En el caso particular de que el espacio muestralΩ , sea numerable, sabemos que el recorrido deX tambi ´en es numerable y de ah´ı que F no es continua.

(29)

Probabilidad y Estad´ıstica

Tipos de Variables Aleatorias

Federico De Olivera

curso 2015

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Tipos de Variables Aleatorias

En este secci ´on indagaremos sobre los tipos de variables aleatorias que podemos encontrar.

Si bien hay una gran cantidad de variables aleatorias con comportamientos distintos, b ´asicamente podemos extraer tres tipos esenciales,los cuales dan lugar a cualquier tipo de variable aleatoria.

Dichos tipos de variables ser ´an:

1 las variables aleatorias discretas,

2 las variables aleatorias absolutamente continuas y

3 las variables aleatorias singulares.

En nuestro curso estudiaremos los dos primeros casos y eventualmente su mezcla.

(31)

¿C ´omo definir´ıa v.a. discreta?

Una primer respuesta seguramente sea que s ´olo tome valores en un conjunto discreto,pero esta definici ´on deja afuera algunas v.a. que tienen similar comportamiento.

Definici ´on 1.3 (Variable aleatoria Discreta)

Diremos que una variable aleatoriaX es discreta si el recorrido de su funci ´on de distribuci ´onF_Xes numerable.

Observaci ón: Es sencillo probar queX es una v.a. discreta seg ún la definici ón 1.3, si y s ólo si existe un conjunto numerableB tal que

P(X ∈ B)= 1.

Ejercicio 1.5

Probar que siX tiene recorrido numerable entonces es discreta.

(32)

Observaci ´on: SiX es discreta, el recorrido de FXes numerable y por tanto existenx_n∈ R tal que P(X = xn)> 0, adem´as

1= P(Ω) = P([

n

{X= xn})=X

n

P(X= xn)

lo que da lugar a la siguiente definici ´on.

Definici ´on 1.4 (funci ´on de cuant´ıa)

Dada una variable aleatoria discreta, llamamos funci ´on de cuant´ıa de X a la funci ´on p_X: R → R tal que

pX(x)=( P(X= x) si x ∈ Rec(X) 0 six < Rec(X)

(33)

Ejemplo 4

Se repite independientemente un experimento,n veces y con una misma probabilidad de ´exitop.

Entonces la variable aleatoriaX :Ω → R tal que X(ω) =“cantidad de ´exitos obtenidos enω” es una variable aleatoria cuyo recorrido es

Rec(X)= {0, 1, 2, . . . , n}, finito y por tanto numerable.

De aqu´ı que su funci ´on de cuant´ıa esp : R → R tal que

p(k)=

( Cⁿ_kp^k(1 − p)^n−k sik ∈ {0, 1, 2, . . . , n}

0 en otro caso

como ya probamos al comienzo del cap´ıtulo.

(34)

SeaX una variable aleatoria discreta, con recorrido Rec(X)= ∪k{x_k} y cuant´ıapX: R → R entonces, su funci ´on de distribuci ´on F : R → R

es tal que F(x)= X

k:x_k≤x

p_X(x_k)

De aqu´ı y recordando queP(X= a) = F(a) − F(a⁻), siendo X una v.a.

discreta, tenemos que a partir de la funci ón de distribuci ón obtenemos la funci ón de cuant´ıa y viceversa.

Observemos tambi én, que siX es una v.a. discreta, entonces su funci ón de distribuci ónF es una funci ón en escalera, es decir, admite saltos pero en los tramos donde es continua,F es constante.

(35)

Por ejemplo

(36)

Definici ´on 1.5 (V. a. Absolutamente continua y densidad)

Una variable aleatoriaX se dice absolutamente continua si existe una funci ´on f : R → R no negativa tal que

F(x)= Z x

−∞

f (t) dt

A la funci ´on f en tal caso la llamamos densidad de la v.a. X.

Observaci ´on:

Recordemos que f no tiene por qu ´e ser continua,es m ´as, de existir f no negativa tal queF(x)=Rx

−∞f (t) dt, podemos cambiarle a f muchos de sus valores funcionales y seguimos teniendo queF(x)=Rx

−∞ f^∗(t) dt, por lo tanto, de existir una tal funci ´on f , no es ´unica.

A los efectos pr ´acticos, dada una v.a. absolutamente continua,

consideraremos a su funci ´on de densidad como aquella que no posee discontinuidades evitables.

(37)

Por ejemplo

−4 −2 0 2 4

0.00.40.8

fX

−4 −2 0 2 4

0.00.40.8

FX

(38)

Ejercicio 1.6

Se elige al azar un punto del intervalo[0, 1], definimos X : [0, 1] → R tal queX(ω) = ω. Es inmediato verificar que X es una variable aleatoria sobre el espacio([0, 1], B_[0,1]). Luego, siendo

P(A)= m(A) ∀ A ∈ B[0,1], hallar la funci ´on de distribuci ´on y de densidad y graficarlas.

Diremos que una variable aleatoria con esta funci ´on de distribuci ´on es una variable aleatoria uniforme en el intervalo[0, 1].

Ejercicio 1.7

Determinar el soporte deX, el cual se define como S= {x ∈ R : f (x) > 0}

(39)

Ejercicio 1.8

SeaF : R → R tal que F(x) =Rx

−∞

√1

2π· e⁻^t2² dt. Mostrar que es una v.a.

absolutamente continua hallando su densidad. Hallar tambi ´en el soporte.

Observaci ón: una funci ón f : R → R, integrable, tal que f (x) ≥ 0, es una funci ón de densidad si y s ólo siR_+∞

−∞ f (t) dt= 1 ya que en este casoF : R → R tal que F(x) =Rx

−∞f (t) dt es no decreciente,

continua,

l´ımx→−∞F(x)= 0 y l´ımx→+∞F(x)= 1 y por tanto es una funci ´on de distribuci ´on.

(40)

Trabajando con v.a. absolutamente continua:

notemos que en los puntosa donde f es continua, por el Teorema fundamental del c ´alculo integral,F es derivable y F⁰(a)= f (a).

Por tanto, siF es continua y derivable por tramos, F tiene una densidad f . Pero podr´ıan haber casos m ´as raros...

Por otro lados, podemos construir una funci ´on de distribuci ´on que no sea discreta ni absolutamente continua.

(41)

En efecto, basta que tenga alg ´un tramo creciente continuo y alguna discontinuidad para que no sea ni discreta ni absolutamente continua.

Este tipo de variable aleatoria es al que llamaremos mixta.

Ejercicio 1.9 (v.a. mixta)

Consideremos la funci ´onF : R → R tal que F(x) =











0 six< 0 x si0 ≤ x< 1/2 1 six ≥ 1/2

1 Probar queF es una Funci ´on de distribuci ´on.

2 Probar queF no es ni discreta ni absolutamente continua.

A continuaci ´on veremos que tambi ´en existen otros tipos de variables aleatorias, las cuales no son una tal mixtura.

(42)

la previa, el conjunto de Cantor

C₀ C₁ C₂ C₃

Continuando sucesivamente con este proceso, llamamos conjunto de Cantor al conjuntoC=

\+∞

n=0

C_n

¿Cu ´al es la medida deC?

(43)

Asociada al conjunto, est á la funci ón de Cantor, la construcci ón es basada en la construcci ón del conjunto.

Primero definamosF : R → R tal que F(x) = 0 si x < 0, F(x) = 1 si x > 1 y en[0, 1] hagamos la siguiente construcci´on... mejor verla

gr ´aficamente

(44)

Figura :Construcci ´on de la funci ´on de Cantor: paso0

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

En cada etapa del conjunto de cantor, cuando sacamos el tercio central, definimos aF(x) como el promedio de los valores vecinos.

Continuamos este proceso infinitamente.

Notemos que la funci ´on l´ımite queda definida salvo en el conjunto de Cantor, ah´ı la podemos definir de modo que sea continua ¿por?.

(50)

En la construcci ´on obtuvimos que

1 F es no decreciente,

2 continua,

3 l´ımx→−∞F(x)= 0 y l´ımx→+∞F(x)= 1

y por lo tanto se trata de una funci ´on de distribuci ´on.

Sea ahoraX una variable aleatoria con funci ´on de distribuci ´on F.

Luego:

1 X no es discreta ni mixta por ser F continua.

2 TampocoX es absolutamente continua pues Z x

−∞

F⁰(x)

|{z}

=0salvo en C

dx= 0 ∀ x ∈ R

(51)

Definici ´on 1.6 (Variable aleatoria Singular)

Decimos que una variable aleatoria es singular si su funci ´on de distribuci ´onF es continua pero F⁰(x)= 0 salvo en un conjunto con medida de Lebesgue nula.

Para no alarmar:

Insisto que no trabajaremos con este tipo de v.a.

Para cerrar la idea de tipos de variables aleatorias...

(52)

Descomposici ´on de v.a.

SeaX una variable aleatoria cualquiera con funci ´on de distribuci ´on F.

Lebesgue demostr ´o que se puede descomponer en su parte discretaFden su parte absolutamente continuaFacy lo que queda es una componente singularFs.

De lo anterior tenemos queF= Fd+ Fac+ Fsy por ende, cualquier v.a. es suma de su parte discreta, su parte absolutamente continua y su parte

singular.

(53)

Bonus track

En el Libro “Fundamentos de Estad´ıstica” de los autores J.M. Dur á y J.M. L ópez encontramos en la p ágina 158 la siguiente definici ón:

SiX es una variable aleatoria continua, su funci ´on de distribuci ´on FXes continua y derivable, con derivada continua, salvo en un conjunto de

medida nula. Siendo

S= {x ∈ R/F⁰_Xo no existe o no es continua}

podemos definir una funci ´on fX: R → R de la siguiente forma:

fX(x)=

( 0 six ∈ S F⁰_X six < S

Por definici ´on, fXes continua salvo en el conjuntoS que es de medida nula.

Esta funci ´on recibe el nombre de FUNCI ´ON DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD de la variable aleatoriaX.

(54)

En la p ´agina 159 encontramos la siguiente propiedad:

Propiedad 1 Puesto que f_X(x)= F⁰_X(x) es continua salvo en S, conjunto de medida nula, entonces fXes integrable Riemman, y la primitiva de f_Xes la funci ´on de distribuci ´onF_X.

As´ı, comoP(X ≤ x)= FX(x)= FX(x) − F_x(−∞) y puesto que, por ser f_Xintegrable con primitivaF_X:

Z x

−∞

fX(t)dt= FX(x) − FX(−∞)

...

Para la funci ón de Cantor ¿a qu é es igual f_Xseg ún la definci ón de Dur á y L ópez?, ¿qu é puede decir da la Propiedad 1 en el contexto de Dur á y L ópez?

(55)

Probabilidad y Estad´ıstica

Modelos de variables aleatorias Discretas

Federico De Olivera

curso 2015

(56)

Algunos modelos importantes de v.a. discretas

La idea de esta semana es construir algunos modelos para v.a.

Trabajaremos con los principales, pero sin lugar a duda que existen much´ısimos m ´as.

Pero a lo que la tarea docente de educaci ´on media se refiere, cubriremos junto con el pr ´actico todos los casos necesarios.

Para arrancar introducimos una notaci ´on para una funci ´on “partida”

particular, la que llamamos funci ´on indicatriz

(57)

Si tenemos queA es un subconjunto deΩ, definimos I : Ω → R de la siguiente forma:

IA(x)=( 1 six ∈ A 0 six < A

En particular, siX es una v.a. y B un boreliano, anotamos

IB(X(ω)) =( 1 siX(ω) ∈ B 0 siX(ω) < B

por ejemplo I{X≤a}es uno si la variable aleatoriaX toma un valor menor o igual quea y cero en otro caso.

(58)

A continuaci ´on siempre admitiremos dado un espacio de probabilidad (Ω, A, P):

¿Las funciones constantes son variables aleatorias?

¿C ´omo definir´ıa una v.a. de modo que represente una constante?

Ejercicio 1.10 (v.a. degenerada)

Una v.a. degenerada es una v.a. tal que acumula toda la probabilidad en un ´unico real, es decir,

existea ∈ R tal que P(X = a) = 1.

Hallar la funci ´on de distribuci ´on y graficarla.

(59)

Supongamos que tiramos un dado no cargado y queremos definir una v.a. que nos devuelva el cuadrado del n ´umero obtenido,

¿C ´omo definir´ıa completamente esta variable aleatoria?

Ejercicio 1.11 (v.a. uniforme discreta enA)

SeaA un conjunto finito de reales, digamos A= {x1, x2, . . . , xn}.

Decimos que la variable aleatoriaX tiene distribuci ´on uniforme en A si P(X= xk)= 1/n donde k = 1, 2, . . . , n.

Hallar la funci ´on de distribuci ´on deX y graficarla suponiendo A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

En este caso, la uniformidad es interpretada como indiferencia entre los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria.

(60)

Suponga que para una encuesta electoral, hay quienes votan a favor de un cierto candidato y quienes no lo votan.

Se elige un individuo al azar, ¿c ´omo definir´ıa la v.a. que indica si vota o no vota a ese candidato?

Ejercicio 1.12 (v.a Bernoulli de par ´ametrop)

Consideremos un sucesoE al que llamaremos de “los ´exitos”.

SeaX tal que X= IE(ω) =

( 1 siω ∈ E 0 siω < E .

SiendoP(E)= p, hallar la funci´on de cuant´ıa y de distribuci´on de X.

En este caso decimos queX tiene distribuci ´on de Bernoulli con par ´ametro p, lo que anotamos X ∼ Ber(p)

(61)

Suponga que en un sal ´on hay40 personas:

¿cu ´al es la probabilidad de que tres personas cumplan a ˜nos el mismo d´ıa que usted ?

Que es lo importante para observar:

Tenemos una cantidad finita de exito y/o fracaso

La probabilidad de ´exito permanece incambiada para los distintos experimentos (preguntarle a la persona si cumple o no mi d´ıa de

cumplea ˜nos.)

As´ı que el problema puede ser generalizado...

(62)

Ejercicio 1.13 (v.a Binomial de par ´ametrosn, p)

Se realiza un experimenton veces en condiciones independiente, con probabilidad de ´exito en cada unop.

DefinimosX :Ω → R tal que X(ω) =“ cantidad de ´exitos en ω”,

1 Hallar el recorrido deX.

2 Hallar la funci ´on de cuant´ıa deX .

Diremos aqu´ı queX tiene distribuci ´on Binomial de par ´ametros n, p y anotamosX ∼ Bin(n, p).

(63)

¿Cu ´ando usar la v.a. binomial?

Siempre que podamos detectar que se repitenn veces un mismo

experimento, independiente, todas las veces con igual probabilidad de éxito, ... y adem ás nos interese la cantidad de éxitos

Ejemplo 5

Vamos a un Hipermercado conocido a comprar tres televisores de oferta, el vendedor nos dice que de su experiencia,2 de cada 100 tienen alguna falla, por lo que necesitan del service.

¿Cu ´al es la probabilidad de que compremos al menos un tv que tenga falla?

(64)

SeaX=“cantidad de televisores con falla”.

De los datos del problema podemos suponer la independencia y la probabilidad que cada televisor tenga falla es2/100.

Por endeX ∼ Bin(3, 2/100).

Lo que buscamos esP(X ≥ 1)= 1 − P(X = 0) = · · · les dejo hacer las cuentas.

(65)

Observaci ón: En la repetici ón den experimentos iguales, podemos representar a los elementos deΩ por n-úplas.

SiE es el suceso formado por los ´exitos en cada ensayo yω = (ω1, . . . , ωn), entonces

X(ω) = Xn

i=0

IE(ωi)

siendo IE una variable aleatoria de Bernoulli,

Concluimos que una v.a. binomial(n, p) es la suma de n variables aleatorias de Bernoulli, “independientes” y todas con igual probabilidad de ´exitop.

Este resultado que ahora obtenemos informalmente ser á probado con rigurosidad m ás adelante, pero es bueno ir visualiz ándolo.

(66)

La v.a. de Poisson

Hagamos la construcci ´on a partir de un ejemplo.

Consideremos la cantidad de llamadas telef ´onicas que llegan a una central telef ´onica en un per´ıodo de tiempot ≥ 0.

Un resultado posible es que se tenga una llamada al tiempot₁, la segunda llamada al tiempot₂y as´ı sucesivamente,

gr áficamente, una posible realizaci ón, es decir, un posibleω ∈ Ω es dada por el gr áfico

(67)

Consideremos el evento

A^k_(s,s+t]= “llegan exactamente k llamadas en el intervalo (s, s + t]”

dondes, t ≥ 0; k ∈ N.

A continuaci ´on hagamos algunas hip ´otesis:

H i. Incrementos estacionarios. La probabilidad de que lleguen exactamentek llamadas en el intervalo (s, s + t] depende s ´olamente det y no de s.

H ii. Incrementos independientes. El n ´umero de llamadas sobre intervalos disjuntos de tiempos son independientes.

H iii. Las llamadas llegan solas y no simultaneas.Para ello pediremos que la probabilidad de llegar al menos dos llamadas en(0, t] dado que lleg´o al menos una llamada en (0, t] tiende a cero cuandot → 0.

(68)

Observaci ón: Estas hip ótesis son las únicas requeridas (ver anexo 2.5 en las notas), pero para simplificar agregamos una hip ótesis adicional:

H ad: Supongamos que la probabilidad de que llegue exactamente una llamada en el intervalo(s, s + t], cuando t → 0, es equivalente a λt, dondeλ es una constante positiva.

Esta hip ótesis es interpretada de la siguiente forma: la probabilidad de que llegue exactamente una llamada en un intervalo es aproximadamente lineal en la longitud del intervalo. Adem ás, por la hip ótesisi. λ no depende de s.

(69)

Ahora, estamos interesados en la probabilidad de la cantidad de llamadas que llegan en el intervalo(s, s + t], pero por la hip´otesis i. coincide si consideramos el intervalo(0, t].

Dividamos el intervalo(0, t] en n sub intervalos de longitud _n^t, donden sea lo suficientemente grande para que la hip ´otesis adicional se verifique en cada sub intervalo.

De aqu´ı tenemos:

0, t

#

= 0, t n

#

∪ t n,2t

n

#

∪ · · · (n − 1)t n , t

#

(70)

Sean ahora los sucesos:

B₁ = “ llega exactamente una llamada en el intervalo(0, t/n]”.

B₂ = “ llega exactamente una llamada en el intervalo(t/n, 2t/n]”.

...

B_n = “ llega exactamente una llamada en el intervalo((n − 1)t, t]”.

Por la hip ´otesisii. los sucesos B1, B2, . . . , Bnson independientes y por la hip ´otesis adicional tenemos que

P(B_i)= λt n

Observemos que la cantidad de llamadas recibidas en(0, t] puede descomponerse en una suma den variables aleatorias de Bernoulli, IBi

independientes y todas con igual probabilidad de ´exitoP(Bi)= λ_n^t.

(71)

Claro est ´a que por los supuestos realizados contamos a lo sumo una llamada por cada sub intervalo,

de donde tenemos que la cantidad de llamadas se distribuye aproximadamente igual a una v.a.X_n∼ Bin(n, λ_n^t)

Luego, la probabilidad deP_k(t)=“llegan exactamente k llamadas en el intervalo(0, t]”

podemos calcularla como l´ımite cuando subdividimos en cada vez m ´as intervalos, es decir:

(72)

P_k(t) = l´ım

n→+∞P(X_n= k) = l´ım

n→+∞Cⁿ_k

λt n

k 1 −λt

n

n−k

= l´ım

n→+∞

n!

(n − k)!k!

λt n

k 1 −λt

n

n−k

= l´ım

n→+∞

n(n − 1) · · · (n − k+ 1) n^k

| {z }

→1

(λt)^k k!

1 −λt

n

n−k

| {z }

→e⁻^λt

= (λt)^ke⁻^λt k!

(73)

Sea ahora la v.a.X que cuenta la cantidad de llamadas que llegan a la central en una unidad de tiempot= 1,

entoncesRec(X)= {0, 1, 2, . . . , n, . . .} y su funci´on de cuant´ıa es p : R → R tal que

p_X(k)= ( _(λ)k

k! e⁻^λ sik ∈ N 0 en otro caso

el lector puede verificar inmediatamente de la identidade^x= P^+∞_k₌₀ ^x_n!ⁿ, queP_+∞

k=0p_X(k)= 1.

En este caso, decimos queX se distribuye Poisson de par ´ametroλ y anotamosX ∼ Poiss(λ).

(74)

Si bien a ´un no tenemos conocimientos para interpretar el par ´ametro λ, adelantemos que puede ser obtenido del promedio de muchas observaciones.

Ejercicio 1.14

En el peaje Pando, seg ´un datos estad´ısticos (ficticios), entre las 18:00 y las 19:00 hs pasan en promedio 500 autos.

1 Revise intuitivamente si en horario pico, son aplicables los supuestos de Poisson.

2 Suponiendo que la cantidad de autos que pasan por el peaje Pando en ese horario, todos los d´ıas es una v.a. Poisson, ¿cu ´al es la probabilidad de que entre las 18:00 y las 18:15 pasen m ´as

de 100 autos? (s ´olo plantear)

(75)

Probabilidad y Estad´ıstica

Modelos de variables aleatorias Absolutamente Continuas

Federico De Olivera

curso 2015

(76)

Algunos modelos importantes de v.a. abs. cont.

No es tan sencillo de construir intuitivamente modelos de variables aleatorias absolutamente continuas, sin embargo veremos algunos ejemplos y su posible aplicaci ´on.

v.a. uniforme en un intervalo

Elegimos un punto al “azar” del intervalo[a, b], como en el ejemplo de comienzo del cap´ıtulo.

SiendoΩ = [a, b], B[a,b]= {B ∩ [a, b] : B ∈ B} y P : B[a,b]→ R tal que P(B)= m(B)

m([a, b]) = m(B) b − a

tenemos que(Ω, B[a,b], P) es un espacio de probabilidad sobre el que definimos la variable aleatoriaX :Ω → R tal que X(ω) = ω,

(77)

Ejercicio 1.15

1 HallarFX(x)= P(X ≤ x) para x ∈ (−∞, a), x ∈ [a, b] y x ∈ (b, +∞).

2 Probar que existe una densidad y hallarla.

La Funci ´on de distribuci ´on y de densidad debr´ıan quedar:

(78)

En este caso decimos queX se distribuye uniforme en el intervalo [a, b] y anotamos X ∼ U[a, b].

El lector podr ´a verificar inmediatamente que nada cambia si el punto se elige del intervalo(a, b), (a, b] o [a, b) pues P(X = a) = P(X = b) = 0

En general usamos la v.a. uniforme cuando queremos indicar nuestra total ignorancia al respecto de los valores que puede tomar una v.a.

sobre un intervalo acotado.

(79)

v.a. exponencial

Recordemos la construcci ´on del proceso de Poisson,

ah´ı ten´ıamos que la cantidad de llamadas que llegaban a una central telef ´onica en una unidad de tiempo, bajo ciertas hip ´otesis,

era una variable aleatoria con distribuci ´on de Poisson de par ´ametro λ > 0.

SeaT₁el tiempo que demora en llegar la primer llamada, es claro que el tiempoT1 es continuo y mayor o igual que cero,

adem ´as podr´ıa tomar cualquier valor en[0, +∞).

(80)

Observemos que, siendot ≥ 0, consideremos el suceso:

{T₁ ≤ t}= “el tiempo que demora en llegar la primer llamada es menor o igual quet”.

SiendoA⁰_(0,t]el suceso: “no llegan llamadas en[0, t]”, tenemos que

{T₁≤ t}=n A⁰_(0,t]oc

y por tantoP(T₁≤ t)= 1 − P(A⁰_(0,t])= 1 − e⁻^λt (ver v.a. de Poisson).

(81)

Luego, la funci ´on de distribuci ´on deT₁es pensarlo... ...

F : R → R tal que

F(t)= P(T1 ≤ t)=( 0 sit< 0 1 − e⁻^λt sit ≥ 0

y la densidad es ... ...

f : R → R tal que f (t) =( 0 sit< 0 λ · e⁻^λt sit ≥ 0

(82)

Para el casoλ = 1 tenemos los siguientes gr´aficos:

En este caso decimos queT₁ se distribuye exponencial de par ´ametro λ, lo que anotamos T1∼ exp(λ).

(83)

M ´as en general, puede probarse (ver notas) que la distribuci ´on del tiempoT entre una llamada y la siguiente

se distribuye exponencial de par ´ametroλ, donde el par´ametro es el mismo que en la v.a. Poisson.

La v.a. exponencial generalmente es usada para representar el tiempo de vida ´util de componentes electr ´onicos ya que tiene la propiedad de falta de

memoria cosa que ver ´an en el pr ´actico.

Evidentemente tambi ´en es usada en otros casos, por ejemplo si podemos asociarla al tiempo entre dos ocurrencias de Poisson.

(84)

Como generalizaci ´on de la exponencial tenemos la v.a. Gamma:

Definici ´on 1.7

Decimos que la variable aleatoriaG tiene distribuci ´on gamma de par ´ametrosλ, α, donde λ, α > 0, si su densidad es

f (t)=











0 sit< 0

λ^α

Γ(α)· t^α−1e⁻^λt sit ≥ 0 AnotamosG ∼ Gamma(λ, α)

(85)

Algunas posibles representaciones:

Observaci ón: En el caso particularα = 1 obtenemos la distribución exponencial de par ámetroλ.

Otra caso muy utilizado en estad´ıstica es cuandoλ = 1/2 y α = n/2, en este caso la distribuci ´on es llamadaχ²conn grados de libertad, pero nos dedicaremos a su estudio en temas de estad´ıstica.

(86)

v.a. Normal

La variable aleatoria Normal es de gran importancia tanto en temas de probabilidad como de estad´ıstica,

sin embargo, es “casi imposible” construir su distribuci ´on a partir de alg ´un caso cotidiano con las herramientas que tenemos a estas alturas del curso.

No obstante ello, daremos alguna idea intuitiva que nos permita llegar informalmente a su densidad.

En1718 de Moivre propuso que, siendoξ una v.a. Binomial (n, p), entonces

n→l´ım+∞P





a< ξ − np pnp(1 − p) ≤ b





= Z b

a

e^−t²^/2

√2πdt