El interior del conjunto en un espacio m´etrico

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El interior del conjunto en un espacio m´ etrico

Sea (X, d) un espacio m´etrico. Denotamos por τd a la topolog´ıa inducida por d.

1 Proposici´on. Sea A ⊆ X y sea a ∈ A. Entonces a ∈ intd(A) si y solo si existe V en τd tal que a ∈ V y V ⊆ A.

Demostraci´on. 1. Supongamos que a ∈ intd(A). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ A.

Pongamos V := B(a, r). Entonces a ∈ V y V ∈ τd.

2. Supongamos que existe V en τd tal que a ∈ V y V ⊆ A. Como V ∈ τd y a ∈ V , existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ V . Luego B(a, r) ⊆ A. Esto implica que a ∈ intd(A).

En lo que sigue, en vez de intd(A) escribimos simplemente int(A). Ya sabemos que int(A) ⊆ A.

2 Proposici´on. Sea A ⊆ X. Entonces int(int(A)) = int(A), as´ı que int(A) ∈ τd.

Demostraci´on. Ya sabemos que para cualquier conjunto B ⊆ X se tiene la contenci´on int(B) ⊆ B. Por lo tanto, int(int(A)) ⊆ int(A). Mostremos que int(A) ⊆ int(int(A)).

Sea a ∈ int(A). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ A. Para cada x en B(a, r) pongamos s := r − d(a, x) y obtenemos B(x, s) ⊆ B(a, r) ⊆ A, as´ı que x ∈ int(A). Luego B(a, r) ⊆ int(A). Hemos mostrado que a ∈ int(int(A)). Luego int(int(A)) = int(A), por lo cual int(A) ∈ τd.

3 Proposici´on. Sean A1, A2 ⊆ X. Entonces

int(A1∩ A2) = int(A1) ∩ int(A2).

Demostraci´on. 1. Sea a ∈ int(A1∩ A2). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ A1∩ A2. Luego B(a, r) ⊆ A1 y B(a, r) ⊆ A2, as´ı que a ∈ int(A1) y a ∈ int(A2).

2. Sea a ∈ int(A1) ∩ int(A2). Entonces existe r1 > 0 tal que B(a, r1) ⊆ A1, y existe r2 > 0 tal que B(a, r2) ⊆ A2. Pongamos r3 := m´ın{r1, r2}. Entonces B(a, r3) = B(a, r1) ∩ B(a, r2) ⊆ A1∩ A2, as´ı que a ∈ int(A1∩ A2).

4 Proposici´on. Sean Y, Z ⊆ X tales que Y ⊆ Z. Entonces int(Y ) ⊆ int(Z).

Demostraci´on. Sea a ∈ int(Y ). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ Y . Luego B(a, r) ⊆ Z y a ∈ int(Z).

El interior del conjunto en un espacio m´etrico, p´agina 1 de 2

(2)

5 Proposici´on. Sea A ⊆ X y sea V ∈ τd tal que V ⊆ A. Entonces V ⊆ int(A).

Demostraci´on. Sea a ∈ V . Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ V . Luego B(a, r) ⊆ A y a ∈ int(A).

6 Proposici´on. Sea A ⊆ X. Entonces int(A) es el m´as grande entre todos los subcon- juntos abiertos contenidos en A.

Demostraci´on. Por la Proposici´on2, int(A) es un conjunto abierto. Por la Proposici´on5, int(A) es el m´as grande entre todos los conjuntos abiertos contenidos en A.

7 Proposici´on. Sea A ⊆ X. Entonces

int(A) = ∪V, donde V = {B ∈ τd: B ⊆ A}.

Demostraci´on. Por un lado, int(A) ∈ V, por lo cual int(A) ⊆ ∪V. Por otro lado, si x ∈ ∪V, entonces existe B ∈ V tal que x ∈ B. Sabemos que B ⊆ int(A), por lo tanto x ∈ int(A).

El interior del conjunto en un espacio m´etrico, p´agina 2 de 2

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