El interior del conjunto en un espacio m´etrico

El interior del conjunto en un espacio m´ etrico

Sea (X, d) un espacio m´etrico. Denotamos por τ_d a la topolog´ıa inducida por d.

1 Proposici´on. Sea A ⊆ X y sea a ∈ A. Entonces a ∈ int_d(A) si y solo si existe V en τ_d tal que a ∈ V y V ⊆ A.

Demostraci´on. 1. Supongamos que a ∈ int_d(A). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ A.

Pongamos V := B(a, r). Entonces a ∈ V y V ∈ τ_d.

2. Supongamos que existe V en τ_d tal que a ∈ V y V ⊆ A. Como V ∈ τ_d y a ∈ V , existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ V . Luego B(a, r) ⊆ A. Esto implica que a ∈ int_d(A).

En lo que sigue, en vez de int_d(A) escribimos simplemente int(A). Ya sabemos que int(A) ⊆ A.

2 Proposici´on. Sea A ⊆ X. Entonces int(int(A)) = int(A), as´ı que int(A) ∈ τd.

Demostraci´on. Ya sabemos que para cualquier conjunto B ⊆ X se tiene la contenci´on int(B) ⊆ B. Por lo tanto, int(int(A)) ⊆ int(A). Mostremos que int(A) ⊆ int(int(A)).

Sea a ∈ int(A). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ A. Para cada x en B(a, r) pongamos s := r − d(a, x) y obtenemos B(x, s) ⊆ B(a, r) ⊆ A, as´ı que x ∈ int(A). Luego B(a, r) ⊆ int(A). Hemos mostrado que a ∈ int(int(A)). Luego int(int(A)) = int(A), por lo cual int(A) ∈ τ_d.

3 Proposici´on. Sean A₁, A₂ ⊆ X. Entonces

int(A₁∩ A₂) = int(A₁) ∩ int(A₂).

Demostraci´on. 1. Sea a ∈ int(A₁∩ A₂). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ A₁∩ A₂. Luego B(a, r) ⊆ A₁ y B(a, r) ⊆ A₂, as´ı que a ∈ int(A₁) y a ∈ int(A₂).

2. Sea a ∈ int(A₁) ∩ int(A₂). Entonces existe r₁ > 0 tal que B(a, r₁) ⊆ A₁, y existe r₂ > 0 tal que B(a, r₂) ⊆ A₂. Pongamos r₃ := m´ın{r1, r₂}. Entonces B(a, r₃) = B(a, r₁) ∩ B(a, r₂) ⊆ A₁∩ A₂, as´ı que a ∈ int(A₁∩ A₂).

4 Proposici´on. Sean Y, Z ⊆ X tales que Y ⊆ Z. Entonces int(Y ) ⊆ int(Z).

Demostraci´on. Sea a ∈ int(Y ). Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ Y . Luego B(a, r) ⊆ Z y a ∈ int(Z).

El interior del conjunto en un espacio m´etrico, p´agina 1 de 2

5 Proposici´on. Sea A ⊆ X y sea V ∈ τ_d tal que V ⊆ A. Entonces V ⊆ int(A).

Demostraci´on. Sea a ∈ V . Entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊆ V . Luego B(a, r) ⊆ A y a ∈ int(A).

6 Proposici´on. Sea A ⊆ X. Entonces int(A) es el m´as grande entre todos los subcon- juntos abiertos contenidos en A.

Demostraci´on. Por la Proposici´on2, int(A) es un conjunto abierto. Por la Proposici´on5, int(A) es el m´as grande entre todos los conjuntos abiertos contenidos en A.

7 Proposici´on. Sea A ⊆ X. Entonces

int(A) = ∪V, donde V = {B ∈ τ_d: B ⊆ A}.

Demostraci´on. Por un lado, int(A) ∈ V, por lo cual int(A) ⊆ ∪V. Por otro lado, si x ∈ ∪V, entonces existe B ∈ V tal que x ∈ B. Sabemos que B ⊆ int(A), por lo tanto x ∈ int(A).

El interior del conjunto en un espacio m´etrico, p´agina 2 de 2