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Combinaciones lineales

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Academic year: 2022

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(1)

Primer conocimiento de las combinaciones lineales y dependencias lineales

Ejercicios

Objetivos. Conocer ejemplos de combinaciones lineales, vectores linealmente dependien- tes y linealmente independientes en Rn.

Requisitos. Operaciones lineales en Rn.

Combinaciones lineales

1. Ejemplo. Consideramos tres vectores en R2: a1 =

 3

−4



, a2 = −1 2



, a3 =

 3

−2

 . I. Calcule su combinaci´on lineal 3a1− 2a2+ a3:

3a1− 2a2+ a3 =

 9

− 12

+

 2

− 4

+

=

.

II. Calcule otra combinaci´on lineal 0a1+1

3a2+√

7a3 de los mismos vectores:

0a1+1

3a2+√ 7a3 =

+

+

=

.

III. Y otra m´as:

a1− 5a2+ 2a3 =

+

+

=

.

Comparando los resultados de los incisos I y III observamos una situaci´on interesante:

dos combinaciones lineales son

| {z }

?

, aunque sus coeficientes son

| {z }

?

.

Primer conocimiento de las comb. lineales y dep. lineales, ejercicios, p´agina 1 de 4

(2)

2. Consideramos tres vectores en R3:

a =

 3 2

−2

, b =

 1

−1 0

, c =

 0

−5 2

Muestre que el vector c es una combinaci´on lineal de los vectores a y b (adivine los coeficientes):

| {z }

?

 3 2

− 2

 +

| {z }

?

 1

− 1 0

=

 +

=

 0

− 5 2

 ,

esto es,

| {z }

?

a +

| {z }

?

b = c.

3. Consideramos tres vectores en R3:

a =

 2 0 5

, b =

−1 0 4

, c =

 1

−4 7

.

Demuestre que el vector c no es combinaci´on lineal de los vectores a y b. En otras palabras, hay que mostrar que para cualesquiera coeficientes reales λ y µ el vector λa + µb no es igual al vector c.

Este ejercicio es muy simple, no es necesario calcular o escribir mucho. Hay que observar bien los vectores a, b y c y encontrar una raz´on por la cual ninguna de las combinaciones lineales de a y b puede ser igual al vector c.

Primer conocimiento de las comb. lineales y dep. lineales, ejercicios, p´agina 2 de 4

(3)

Dependencia lineal

4. Consideremos los siguientes tres vectores en R3:

a1 =

 4

−1

−1

, a2 =

 1 2 5

, a3 =

−2 2 4

.

Muestre que 2a1− 2a2 + 3a3 = 03:

2

 4

− 1

− 1

− 2

 1 2 5

 + 3

− 2 2 4

=

 +

 +

=

 .

En esta situaci´on se dice que a1, a2, a3 son linealmente dependientes.

5. Consideremos los siguientes vectores en R3:

a1 =

 3 2 0

, a2 =

 2 1 3

, a3 =

 1 0 6

.

Demuestre que los vectores a1, a2, a3 son linealmente dependientes, es decir, encuentre algunos n´umeros reales λ1, λ2, λ3no todos iguales a cero y tales que λ1a12a23a3 = 03. En este ejercicio los n´umeros λ1, λ2, λ3 se pueden adivinar f´acilmente.

| {z }

?

 3 2 0

 +

| {z }

?

 2 1 3

 +

| {z }

?

 1 0 6

=

 +

 +

=

 0 0 0

 .

Primer conocimiento de las comb. lineales y dep. lineales, ejercicios, p´agina 3 de 4

(4)

Dependencia lineal y combinaciones lineales

Hay varias relaciones entre los conceptos de combinaci´on lineal y dependencia lineal. En los siguientes ejercicios los vectores no est´an dados expl´ıcitamente. Hay que usar las hip´otesis y deducir lo que se pide.

6. Sean a, b dos vectores en Rn tales que

b = 7a.

Demuestre que a y b son linealmente dependientes, es decir, encuentre algunos coeficientes λ1 y λ2 no todos iguales a cero y tales que

λ1a + λ2b = 0n.

7. Sean a y b algunos vectores en Rn. Denotemos por c la combinaci´on lineal de a y b con coeficientes 4 y −5, respectivamente:

c = 4a − 5b.

Demuestre que los vectores a, b, c son linealmente dependientes:

| {z }

?

a +

| {z }

?

b +

| {z }

?

c = 0n.

8. Sean a, b, c algunos vectores en Rn tales que

5a + 2b − 8c = 0n. Demuestre que b es una combinaci´on lineal de a y c.

Primer conocimiento de las comb. lineales y dep. lineales, ejercicios, p´agina 4 de 4

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