PROBLEMAS DE INTERÉS BANCARIO INTERÉS COMPUESTO

(1)

Actividades resueltas: Función exponencial y logarítmica

 Marta Martín Sierra ¹

PROBLEMAS DE INTERÉS BANCARIO INTERÉS COMPUESTO

Generalmente, cuando se ingresa un capital en el banco, no se retiran los intereses que producen en un año, sino que se van acumulando al capital al finalizar cada periodo estipulado (periodos de capitalización) y el capital inicial se va incrementando con los intereses producidos en los periodos anteriores de tiempo

Mensuales (n = 12), trimestrales (n = 4), semestrales (n = 2), anuales (n = 1) Si siguiésemos así, durante "t" años, podríamos generalizar la siguiente expresión:

C

f

= C

i

t n

n r  ^⋅



 



1+

Siendo Cf el capital final que se obtiene a partir de un capital inicial (Ci) puesto durante un tiempo de “t” años con un rédito “r” (expresado en tanto por uno) y donde los intereses se abonan con “n” periodos anuales. Se utilizan logaritmos cuando queremos conocer el tiempo que ha de transcurrir para que un cierto capital se transforme en otro.

Cf = Ci

t n

n r ^⋅



 



1+

Si los intereses se van acumulando en cada instante de tiempo se habla de interés continuo, que sigue la expresión:

C

f

= C

i

· e

^r·t

ACTIVIDAD 1

Halla el tiempo que ha tardado un capital de 100 000 euros en convertirse en 1 525 000 euros si ha estado depositado al 11% anual de interés compuesto, con los intereses abonados anualmente.

C

f

= C

i

t n

n r  ^⋅



 



1+

Ci = 100 000 Cf =1 525 000 r = 0.11 n = 1

Cf = Ci · (1 + r)^t Propuesta de resolución

Aplicando propiedades de logaritmos.

log Cf = log [Ci · (1 + r)^t ] log Cf = log Ci + t·log (1 + r) log Cf – log Ci = t · log (1 + r)

t = log( r) C log C

log _i _f

+

− 1

t = log( ' )

. log .

. log

11 0 1

000 100 000

525 1

+

−

Análisis crítico de los resultados

¡Más vale tarde que

nunca!

(2)

© Marta Martín Sierra 2

Tardará 26.10750386 años → 26 años, 1 mes, 8 días, 16 horas, 48 minutos.

ACTIVIDAD 5

(a) Encuentre la cantidad de dinero que se obtienen después de 3 años si se invierte 3000 euros a una tasa de interés del 0.15 % de interés compuesto en pagos mensuales.

(b) Al cabo de cuánto tiempo se genera un capital de 4000 euros en las condiciones propuestas

Propuesta de resolución apartado (a)

C

f

= C

i

t n

n r  ^⋅



 



1+

Ci = 3 000 Cf = r = 0.0015 t = 3 años Cf = 3 000

3 12

12 0015 1 0

⋅



 



 + .

Cf = 3 000

36

12 0015

1 0 



 



 + .

Después de 3 años la cantidad de dinero será aproximadamente de 3013.52 euros Propuesta de resolución apartado (b)

(b) Al cabo de cuánto tiempo se genera un capital de 4000 euros en las condiciones propuestas Cf = Ci (1 + r)^t

4000 = 3000 (1 + 0.0015)^t 4000/3000 = (1 + 0.0015)^t

4/3 = (1 + 0.0015)^t ln 4/3 = ln (1 + 0.0015)^t

ln 4/3 = t · ln (1.0015) 0015

1 3 4 . ln

) / (

ln = t

t = 191.93 meses

Se generan en casi 16 años

(3)

 Marta Martín Sierra ³

DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

Algunos átomos pesados son inestables, se desintegran espontáneamente, emiten radiaciones y se transforman en otros más ligeros que a su vez pueden ser radiactivos; este proceso se repite hasta que se transforma en un átomo estable.

El Dióxido de carbono que está en la atmósfera contiene el isótopo radiactivo C¹⁴ y el isótopo estable C¹². Las plantas, al absorber el dióxido de carbono del aire lo tendrán en igual proporción que éste. Lo que ocurre es que al morir la planta el C¹⁴ se va desintegrando, variando esta proporción según la expresión en función de la ley de decaimiento exponencial:

C(t) = C

0

· e

^{– k·t}

Siendo C0 la cantidad inicial del elemento radiactivo, C(t) la cantidad que hay al cabo de un tiempo “t” y “k” una constante determinada por la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo. En la práctica, de esta forma y analizando esta expresión, puede determinarse la edad de un fósil.

ACTIVIDAD 4

Calcula el valor de la constante K del Co60 sabiendo su periodo de semidesintegración es de 5’271 años.

Propuesta de resolución

C(t) = C₀·e–k · t 50 = 100·e–k·5’271

2

1 = e–k·5’271

ln 2

1 = ln e–k·5’271

ln 1 – ln 2 = – K· 5’271 · ln e K· 5’271 · ln e = ln 2 – ln 1

k = 5271 1 2

' ln ln −

El valor de la constante k en el Co60 se aproxima a 0.1315020263 ACTIVIDAD 5

Calcula el valor de la constante K del U238 sabiendo su periodo de semidesintegración es de 4510 millones de años

Propuesta de resolución

C(t) = C₀·e–k · t 50 = 100·e–k·4510·10⁶

(4)

2

1 = 1·e–k·4510·10⁶

ln 2

1 = ln e–k·4510·10⁶

ln 1 – ln 2 = – K· 4510 · 10⁶ · ln e K· 4510 · 10⁶ · ln e = ln 2 – ln 1

k = 4510 106

1 2

· ln ln −

El valor de la constante k en el Co60 se aproxima a 1.5369 · 10^-10