Álgebra lineal

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(1)Álgebra Lineal. Juan Núñez Olmedo Iván Sandoval Palis Escuela Politécnica Nacional.

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(3) Dedicamos este trabajo a los estudiantes de la Escuela Politécnica Nacional.

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(5) PRÓLOGO Esta obra está dirigida a los estudiantes que están iniciando sus estudios superiores en las diferentes carreras de ingeniería, así también como a los docentes y personas en general que necesitan una obra de consulta. El objetivo fundamental de esta obra es proporcionar una guía, para plantear, analizar y resolver problemas de los diferentes temas del álgebra Lineal. El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y, su enfoque más formal que son los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un espacio que tiene muchas conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como el cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales, la ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal se remonta a los años de 1843 cuando Willam Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creo los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro La teoría de la extensión. De manera formal el álgebra lineal estudia las estructuras matemáticas denominadas espacios vectoriales, las cuales constan de un conjunto de vectores definido en un campo, con una operación de suma de vectores, y, otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades. El lector debe aprender la parte teórica, las propiedades que se describen en cada capítulo de este libro, para analizar cómo se aplican en los ejercicios resueltos en clases y luego debe apropiarse de sus métodos de análisis y de solución, para resolver los ejercicios propuestos. La favorable acogida que se brinde a este texto, servirá para continuar trabajando a favor del proceso de enseñanza y aprendizaje. Las sugerencias que permitan mejorar este trabajo, serán de mucha ayuda para facilitar la comprensión y el estudio. Deseamos expresar nuestros sinceros agradecimientos a todas las personas que de una u otra manera contribuyeron a la elaboración del mismo. Loa Autores.

(6) ISBN: 978-9942-21-774-5. Primera Edición Septiembre 28 de 2015. Reservados todos los derechos Ni todo el Libro, ni parte de él, pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema, electrónico, mecánico de reproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso escrito de los autores.. Hecho en Quito – Ecuador – Sudámerica. COPIA LEGAL.

(7) I. CONTENIDO CAPÍTULO 1..............................................................................................................................................1 MATRICES ................................................................................................................................................1 DEFINICIÓN ..........................................................................................................................................1 OPERACIONES CON MATRICES........................................................................................................3 SUMA DE MATRICES........................................................................................................................3 DIFERENCIA DE MATRICES ...........................................................................................................3 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ...........................................................................................4 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES..................................................................................................6 MATRIZ TRANSPUESTA ...................................................................................................................10 TRAZA DE UNA MATRIZ ..................................................................................................................16 MATRIZ INVERTIBLE........................................................................................................................17 OPERACIONES ELEMENTALES ......................................................................................................23 OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS ..................................................................................23 MATRICES ELEMENTALES..............................................................................................................23 MATRICES EQUIVALENTES ............................................................................................................24 FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ......................................................................................27 MATRIZ ESCALONADA POR FILAS ..............................................................................................27 MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS..........................................................................27 1. ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A ....................................................................................30 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................31 CAPÍTULO 2............................................................................................................................................49 DETERMINANTES.................................................................................................................................49 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................49 DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES ..........................................................................50 PROPIEDADES ....................................................................................................................................51 DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES......................................................................57 INVERSA DE UNA MATRIZ ..............................................................................................................60 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................63 CAPÍTULO 3............................................................................................................................................81 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.........................................................................................81 SISTEMAS EQUIVALENTES .............................................................................................................83 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.................................................................................83 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN............................................................................................................84 MÉTODO DE GAUSS ......................................................................................................................85 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN ......................................................................................................85 MÉTODO DE CRAMER...................................................................................................................85 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................89 CAPÍTULO 4..........................................................................................................................................101 ESPACIOS VECTORIALES ................................................................................................................101 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................101 SUBESPACIOS VECTORIALES.......................................................................................................104 COMBINACIÓN LINEAL .................................................................................................................105 CONJUNTO GENERADOR...............................................................................................................106 CÁPSULA LINEAL............................................................................................................................106 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES .........................................................................107 BASE...................................................................................................................................................110 DIMENSIÓN.......................................................................................................................................114 CAMBIO DE BASE ............................................................................................................................123 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................127.

(8) II CAPÍTULO 5..........................................................................................................................................163 PRODUCTO INTERNO........................................................................................................................163 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................163 EJEMPLOS .........................................................................................................................................163 NORMA DE UN VECTOR .................................................................................................................164 VECTORES ORTOGONALES ..........................................................................................................167 PROYECCIÓN ORTOGONAL ..........................................................................................................167 CONJUNTO ORTOGONAL...............................................................................................................168 VECTOR UNITARIO .........................................................................................................................169 NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR ..............................................................................................169 CONJUNTO ORTONORMAL ...........................................................................................................169 BASE ORTONORMAL ......................................................................................................................169 3 PRODUCTO CRUZ EN R ...............................................................................................................171 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................173 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................174 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................175 CAPÍTULO 6..........................................................................................................................................189 TRANSFORMACIONES LINEALES .................................................................................................189 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................189 NÚCLEO .............................................................................................................................................190 IMAGEN .............................................................................................................................................191 INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD ........................................................194 CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V , W ) ............................................196 IGUALDAD ....................................................................................................................................196 OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES.............................................................197 SUMA..............................................................................................................................................197 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR .......................................................................................197 COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES ............................................................198 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES .....................................................................201 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ...................................................204 REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN ......................................................................................207 MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ..................................................208 SEMEJANZA DE MATRICES...........................................................................................................209 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................213 CAPÍTULO 7..........................................................................................................................................241 VALORES Y VECTORES PROPIOS .................................................................................................241 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................241 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES......................................................................242 POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ ....................................................................245 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ ......................................................................245 CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO ........................................................................246 MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA....................................................................................................246 MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA ...................................................................................................246 MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN......................................................................247 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS ....................................................................250 TEOREMA DE CALEY - HAMILTON..............................................................................................254 FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS ....................................................................................257 SECCIONES CÓNICAS..................................................................................................................260 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................265.

(9) 1 MATRICES. Capítulo 1 MATRICES. x. DEFINICIÓN. Una matriz A de m n es un ordenamiento rectangular de m por n números distribuidos en un orden definido de m filas y n columnas:  a11 a12   a21 a22  ... ... A  ai1 ai 2  ...   am1 am 2 . ... a1 j ... a2 j ... ... ... aij ... anj. a1n   ... a2n  ... ...   ... ain    ... amn  ....  aij es el elemento i,j-ésimo (pertenece a la fila i y a la columna j).  A por conveniencia se escribe A  aij  .  Las matrices se denotan con letras mayúsculas.  M mxn , es el conjunto de todas las matrices de orden m por n , definidas en el campo. K.  La i-ésima fila de A es: ai1.  La j-ésima columna de A es:. ai 2. ... aij. ... ain  y constituye la matriz fila de Ai.  a1 j     a2 j   .     a1 j   .    a   mj . y constituye la matriz columna A j.  A puede ser representada por matrices fila, así: A   A1 , A2 ,  , Ai ,  , Am . .  A puede ser representada por matrices columna, así: A  A , A 2 ,  , A j ,  , A n ÁLGEBRA LINEAL. 1. .

(10) 2 MATRICES. IGUALDAD Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn ,. A  B  aij  bij. Ejemplos 1.. Las siguientes matrices son iguales.  1 2  A     3 4.  1 2  B     3 4. 2.. Las siguientes matrices no son iguales.  1 2  A     3 4. 1 2  B   3 4. MATRIZ CUADRADA Sea A  aij mn .. A es matriz cuadrada si y sólo si m  n . El conjunto de matrices cuadradas se nota M nxn ó M n .. Ejemplos  1 5  A    2 7.  2 1 0   B   7 8 9 10  5 8   . MATRIZ NULA Sea O  aij mn . O es una matriz nula si y sólo si aij  0 , es decir, es una matriz cuyos elementos son. iguales a cero.. Ejemplos Las siguientes marices son nulas:. 0 0  O2   0 0. 0 0 0   O3   0 0 0  0 0 0  . ÁLGEBRA LINEAL. 0  0 O4   0  0 . 0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 .

(11) 3 MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn . La suma de A y B es la matriz A  B de m filas y n columnas, dada por:. a12  b12  a11  b11  a22  b22 a b A  B  aij  bij   21 21   a  b  m1 m1 am 2  bm 2. . .  a1n  b1n    a2n  b2n      amn  bmn . La suma de matrices está definida cuando ambas matrices tienen el mismo tamaño.. Ejemplo 3 1 2 3  3 4 0  4 6        5 0  1   1  1 0    6  1  1  2 3 4   1 1 6   3 4 10       . DIFERENCIA DE MATRICES Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn . La diferencia de A y B es la matriz A  B de m filas y n columnas, dada por:. A  B  A  ( B). Ejemplos. 1..  2  5   1 7   1  12          0 3  3 2 3 1      . 2.. 4  1 3 4   5  6 0   4 9       3    2  2  4  1 0  1    1 2 2 3 7   1 4 10   1  1  3    . ÁLGEBRA LINEAL.

(12) 4 MATRICES. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Si A  aij mn y  es un escalar, entonces A está dada por:  a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2 n  A  aij         a   a   a m2 mn   m1. Es decir,  A se obtiene multiplicando por  a cada componente de A .. Ejemplos. 1..  2  3   10  15      5   7 1   35 5 . 2..  0  8   0 16       2  10  4    20 8 . 3.. Dadas las matrices A y B , hallar 2 A  3B y 3 A  2 B.  2 3  A    1 0.  3  1  B   0 1 . Solución:. 5 9   2 A  3B     2  3  0 11   3 A  2 B     3  2. DEFINICIÓN. (1) A   A ÁLGEBRA LINEAL.

(13) 5 MATRICES. PROPIEDADES TEOREMAS.  ,   K , A, B, C  M mxn , se cumple que: 1.. A  ( B  C )  ( A  B)  C. 2.. A B  B A. 3.. AO  A. 4.. A  ( A)  O. 5..  A =  A. 6.. 1. A  A. 7..    A  A  A. 8..   A  B   A   B. 9.. 0. A  O. Se demostrarán los teoremas 1, 3 y 5 los restantes teoremas se dejan como ejercicio.. DEMOSTRACIONES. 1. A+(B+C)=A+(B+C). Axioma reflexivo.  (aij )  (bij  cij ). Cambio de notación.  (aij  bij  cij ). Definición de suma.  ((aij  bij )  cij ). Propiedad de campo. =(A+B)+C. 3. A+O=A+O. Axioma reflexivo.  (aij  0ij ). Notación.  (aij ). Propiedad de campo. =A ÁLGEBRA LINEAL.

(14) 6 MATRICES 5. ( ) A  ( ) A. Axioma reflexivo.  ( aij ). Notación.  ( ( aij )). Propiedad de campo.   ( A). MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.  mn y B   b jk np .. Sean las matrices A  aij. El producto de A y B es la matriz C   cik mp , donde n. cik   aij b jk . j 1. En forma desarrollada: cik  ai1b1k  ai 2b2 k    aij b jk    aip b pk .. Esto se muestra en la figura.  a11 a12  a1 p     a21 a22  a2 p   b11 b12  b1k        b21 b22  b2k   aip       ai1 ai 2         b p1 b p 2  b pk   am1 am 2  amp   .  b1n   c11 c12    b2n   c21 c22            b pn   cm1 cm 2.   cik . c1n       cmn . Observaciones 1.. El elemento i, k -ésimo de AB es el producto escalar de la i -ésima fila de A y la k -ésima columna de B .. 2.. Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. De otra manera el producto no estará definido.. ÁLGEBRA LINEAL.

(15) 7 MATRICES Ejemplo Una empresa fabrica en su planta 3 productos A, B y C. Los almacenes principales se encuentran en Quito, Guayaquil, Cuenca y Loja. Las ventas durante el año anterior en Quito se cifraron en 400,100 y 500 unidades de los productos A, B y C en orden; las del almacén de Guayaquil en 300, 150 y 400; las del almacén en Cuenca en 100, 100 y 200; y las del almacén de Loja en 200,150 y 300. Los precios de venta de los productos fueron 25, 50 y 80 USD para los productos A,B y C respectivamente. a). Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4x3.. b). Expresar mediante una matriz X de orden 3x1 el precio de cada producto.. c). ¿Qué es AX?. Solución: a). Las ventas en el año anterior se pueden representar en una matriz A de orden 4x3 de tal forma que en cada fila aparezcan las ventas realizadas por cada uno de los almacenes principales y en cada columna las proporcionadas a cada tipo de producto. Así:.  400   300 A 100   200  b). 100 150 100 150. 500   400  200   300 . Los precios unitarios de cada producto se pueden escribir en X de orden 3x1 en la forma  25    X   50   80   . c). Si se consideran las matrices A y X definidas en los apartados a) y b), se tiene que.  55.000     47.000  AX   23.500     36.500    AX es una matriz en la que se especifican los ingresos obtenidos en el año anterior por cada uno de los cuatro almacenes principales de la empresa.. ÁLGEBRA LINEAL.

(16) 8 MATRICES Ejemplo Comprobar que las siguientes identidades algebraicas.  A  B 2  A2  2 AB  B 2 ( A  B )( A  B )  A2  B 2 no son ciertas si A y B son matrices cuadradas de orden n , usando las marices.  1  1  A   0 2 . 1 0   B   1 2 . ¿Por qué las identidades dadas no son ciertas? Modificar el segundo miembro de ambas identidades de manera que el resultado sea válido para cualesquiera A y B matrices cuadradas. Solución:.  2  1  A  B   1 4   1  3  A2   0 4 .  0  1  A  B    -1 0  1 0  B 2   3 4.  0  2  AB   2 4   1  1  BA   1 3   Por lo tanto. 3  6 2  7   A2  2 AB  B 2     6 15   7 16 .  A  B 2  .  1  2  0  3   A2  B 2    ( A  B)( A  B)     4 1  3 0  Las expresiones que se indican en el enunciado para  A  B  y ( A  B)( A  B) son 2. verdaderas si A y B son escalares, pero no son válidas si A y B son matrices, ya que el producto de matrices no cumple la ley conmutativa a diferencia del producto de escalares. Las identidades algebraicas correctas para cualesquiera A, B  M mxn son.  A  B 2  A2  AB  BA  B 2 ( A  B)( A  B)  A2  AB  BA  B 2. ÁLGEBRA LINEAL.

(17) 9 MATRICES y como ordinariamente AB  BA. AB  BA  2 AB AB  BA  O. Por lo que.  A  B 2  A2  2 AB  B 2 ( A  B)( A  B)  A2  B 2 Observación No existe ley conmutativa para la multiplicación de matrices.. PROPIEDADES TEOREMAS.   K , A  M mxn ,B  M nxp 10. (A) B   ( AB) 11. ( A ) B   ( AB) 12. ( AB)  A( B ). A  M mxn,B, C  M nxp 13. A ( B  C )  AB  AC. A, B  M mxn ,C  M nxp 14. ( A  B)C  AC  BC. A  M mxn, , B  M nxp , C pxq 15. ( AB) C  A ( BC ). DEMOSTRACIONES. 10.. (A) B  (A) B. Axioma reflexivo.  (aij )(b jk ). Notación.  ( )(aij )(b jk ). Multiplicación escalar por matriz.   ( AB). Notación. ÁLGEBRA LINEAL.

(18) 10 MATRICES 13.. A( B  C )  A( B  C ). Axioma reflexivo.  (aij )(b jk  c jk ). Notación. n.   aij (b jk  c jk ) j 1 n.   (aij b jk  aij c jk ) j 1 n. n. j 1. j 1. Multiplicación de matrices. Propiedad de campo.   aij b jk   aij c jk Propiedad del sumatoria AB  AC. 15.. Notación. A( BC )  A( BC ). Axioma reflexivo.  p   (aij )  b jk c kl   k 1 . Notación. n  p    aij   b jk c kl  j 1  k 1 . Multiplicación de matrices. p  n      aij b jk  c kl k 1  j 1 . Propiedad del sumatoria.  n     aij b jk  (c kl )  j 1 . Multiplicación de matrices.  ( AB) C. Notación. MATRIZ TRANSPUESTA Sea la matriz A  aij mn . La transpuesta de A notada por A t , es la matriz nxm obtenida al intercambiar las filas y las columnas de A , es decir, A t  ( a ji ) nm .. Ejemplo.  1  2 3  A    0 1 5. ÁLGEBRA LINEAL.  1 0   At    2 1   3 5  .

(19) 11 MATRICES. PROPIEDADES TEOREMAS. A, B  M mxn , 16. ( A  B) t  A t  B t 17. ( A t ) t  A.   K , A  M mxn , 18. (A) t  A t. A  M mxn ,B  M nxp 19. ( AB) t  B t A t. DEMOSTRACIONES 16.. 18.. 19.. ( A  B) t  ( A  B) t. Axioma reflexivo.  (a ij  bij ) t. Notación.  (a ji  b ji ). Definición de transpuesta.  At  B t. Notación. (A) t  (A) t. Axioma reflexivo.  (aij ) t. Notación.  (a ji ). Definición de transpuesta.   (a ji ). Definición escalar por matriz.  A. Notación. aij  a ji   , numéricamente b jk  bkj . ( AB) t  (cik ) t  n     aij b jk   j 1 . ÁLGEBRA LINEAL. t. Producto de matrices.

(20) 12 MATRICES  n     a ji bkj   j 1 . Definición de transpuesta.  n     bkj a ji   j 1 . Propiedad de campo.  B t At. Notación. DEFINICIÓN Sea la matriz A  M nxn , se define. A. A  A 2 A. A A  An    n veces. MATRIZ SIMÉTRICA Sea la matriz A  aij mn . A es una matriz simétrica si y sólo si A  A t. Ejemplos. 1..  1  2  , A    2 3 .  1  2  , At    2 3 . 2.. 1  1 2   A   2 2  3 , 1  3 3   . 1  1 2   A   2 2  3  , A  A t  A es simétrica. 1  3 3   . A  A t  A es simétrica.. t. TEOREMA 20 Si A y B son matrices simétricas, A  B es matriz simétrica.. ÁLGEBRA LINEAL.

(21) 13 MATRICES DEMOSTRACIÓN. A  A t (1)   Hipótesis B  B t (2) Sumando (1) y (2). A  B  At  B t  ( A  B) t. (Teorema 16). MATRIZ ANTISIMÉTRICA Sea la matriz A  a ij n . A es antisimétrica si y sólo si A   A t .. Ejemplo 1  2 1  2 0  0 1 2  0      t  Si A    1 0 3  A  1 0  3     1 0 3   A  2 3 0   2 3  2 3 0  0      . A es matriz antisimétrica.. MATRICES CONMUTABLES Sean las matrices A, B  M nxn .. A y B son conmutables si y sólo si AB  BA.. DIAGONAL DE UNA MATRIZ La diagonal está definida para matrices cuadradas y forman parte de esta los elementos aij , tales que, i  j .. Ejemplo  a11 a12  a1n     a21 a22  a2n  A     a   m1 am 2  ann . ÁLGEBRA LINEAL.

(22) 14 MATRICES. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Sea la matriz A  a ij n . A es matriz triangular superior si y sólo si aij  0, i  j ..  a11   0 A    0 . a12  a1n   a 22  a 2 n    0  a mn . MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Sea la matriz A  a ij n . A es matriz triangular inferior si y sólo si aij  0, i  j ..  a11  a A   21   a  m1. 0 a 22 am2. 0   0     a mn   . MATRIZ DIAGONAL Sea la matriz A  aij n .. A es matriz diagonal si y sólo si aij  0, i  j y aij es escalar, i  j . Ejemplos 1.. 2 0   A    0  1. 2.. 1 0  I   0 1  . 3.. 1 0  0    0 3  0  D     0 0   2  . ÁLGEBRA LINEAL.

(23) 15 MATRICES. MATRIZ ESCALAR Sea la matriz A  a ij n .. A es matriz escalar si y sólo si aij  0, i  j y aij es constante, i  j .. 5 0  0   0 5  0 A     0 0  5  . MATRIZ IDENTIDAD Sea la matriz I  a ij n .. I es matriz identidad si y sólo si aij  0, i  j y aij  1, i  j .. Ejemplos. 1 0 , I 2   0 1. I 1  1,. 1 0 0   I 3   0 1 0 , 0 0 1  . 1 0  0   0 1  0 In       0 0  1  . MATRIZ NILPOTENTE Sea la matriz A  a ij n .. A es matriz nilpotente de orden k , si k es el menor entero positivo tal que A k  O .. Ejemplos. 1.. 0 2  A   0 0  . es matriz nilpotente de orden 2, pues, A2  O. 2.. 0 1 3    B  0 0  2 0 0 0   . es matriz nilpotente de orden 3, pues, B3  O. ÁLGEBRA LINEAL.

(24) 16 MATRICES. TRAZA DE UNA MATRIZ Sea A  M nxn . La traza de A es la suma de los elementos de la diagonal. Así:. n. Tr ( A)   aij . i 1. Ejemplos 1..  2 0  , entonces Tr ( A)  7 Si A     7 5. 2.. 0 4  1   Si A    2  2 1  , entonces Tr ( A)  5  3 4 6  . Propiedades 1.. Tr ( A)   .Tr ( A). 2.. Tr ( A  B)  Tr ( A)  Tr ( B). 3.. Tr ( AB)  Tr ( BA). TEOREMA 21 x. A  M m n , I  M nxn , tal que A.I  A. DEMOSTRACION Sean A  (aij ) mn. I  (b jk ) nn , donde b jk  0, j  k  b jk  1, j  k. n. cik   aij b jk j 1. cik  ai1b1k  ai 2 b2 k    aij b jk    ain bnk ÁLGEBRA LINEAL.

(25) 17 MATRICES si k=1. ci1  ai1b11  ai 2 b21    aij b j1    ain bn1 ci1  ai1. si k=2. ci 2  ai1b12  ai 2 b22    aij b j 2    ain bn 2 ci 2  a i 2. si k=j. cij  ai1b1 j  ai 2 b2 j    aij b jj    ain bnj cik  cij  aij n. cik   aij b jk  aij j 1. Por lo tanto A.I  A. TEOREMA 22. A  M mxn , I  M mxm , tal que. I . A  A. Corolario Sean las matrices A , I  M nxn. A.I  I . A  A. MATRIZ INVERTIBLE Sea la matriz A  M nxn .. A es matriz invertible si y sólo si existe una matriz B  M nxn , tal que A.B  B. A  I . ÁLGEBRA LINEAL.

(26) 18 MATRICES Notas 1. B es matriz inversa de A , B  A 1 , de la definición,. AA 1  A 1 A  I . 2. B es matriz invertible, A  B 1 , de la definición,. BB 1  B 1 B  I. TEOREMA 23 Sea A  M nxn , Si A es matriz invertible, entonces su inversa es única.. DEMOSTRACION Por contradicción: Se supone que la inversa de A no es única, es decir, existen matrices B1 y B2 , inversas de A , tales que B1  B2 . AB1  B1 A  I. AB 2  B2 A  I ( 2) B1  B1 I. (1). (1). (2). (. (3). Reemplazando (2) en (3) B1  B1 ( AB 2 ) B1  ( B1 A) B2. Reemplazando (1) en (4) B1  IB2 B1  B 2. Lo que contradice la suposición. Por lo tanto la inversa de A es única.. TEOREMA 24 Sea A  M nxn , matriz invertible, entonces A 1   A 1. ÁLGEBRA LINEAL.

(27) 19 MATRICES DEMOSTRACION. AA 1  A 1 A  I ,. (. (. A 1 es matriz invertible, por lo tanto cumple que: A 1 A 1   A 1  A 1  I ,,,,,,,,,, 1. 1. Igualando.  . A  A 1. 1. TEOREMA 25 Sean A, B  M nxn , matrices invertibles, entonces. AB también es invertible y cumple que:.  AB 1  B 1 A 1. DEMOSTRACION Si A y B son invertibles existen matrices A1 y B 1. P.D.. Existe una matriz D tal que:. ( AB ) D  D ( AB ) a). ( AB ) B 1 A 1  A( BB 1 ) A 1  A( I ) A 1.  AA 1. I b). (1). B 1 A 1 ( AB )  B 1 ( A 1 A) B  B 1 ( I ) B.  B 1 B. I. (2). Igualando (1) y (2) 1 1 1 1 ( AB)  B  A   B  A ( AB)  I D. D. Por lo tanto ( AB ) 1  B 1 A 1 ÁLGEBRA LINEAL.

(28) 20 MATRICES TEOREMA 26 Sean A1 , A2 ,, An  M nxn , matrices invertibles, entonces:.  A1 . A2  , An 1  An1  A21 . A11. MATRIZ ORTOGONAL Sea la matriz A  M nxn .. A es ortogonal si y sólo si A t  A 1 , es decir, A. At  At . A  I. Ejercicio Comprobar que la matriz dada es ortogonal. 1 3. 2  2 1     2 1  2 1 2 2  . TEOREMA 27 A  M mxn , O  M nxp , tal que A.O  O. DEMOSTRACION Sean las matrices A  (aij ) mn  O  (b jk ) np , donde, b jk  0 AO  (aij )(b jk ).  n     aij b jk   j 1   n     aij .0   j 1  O. ÁLGEBRA LINEAL.

(29) 21 MATRICES TEOREMA 28 A  M nxp , O  M mxn , tal que, O. A  O. DEMOSTRACION Se deja como ejercicio.. TEOREMA 29 A  M mxn , B  M nxp , se cumple que. Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B. DEMOSTRACION A=  A1 , A2 ,  , Ai ,  , Am . . B= B1 , B 2 ,, B i , B P. . . Fila i-ésima de AB= Ai B1 , Ai B 2 ,  Ai B i ,  , Ai B p. . = Ai. B =Fila i-ésima de A.B. TEOREMA 30 Sea ei la fila i-ésima de I  M nxn , entonces: Fila i-ésima de A  ei . A. DEMOSTRACION Fila i-ésima de I A  ei . A I . A  A , entonces. Fila i-ésima de A  ei . A ÁLGEBRA LINEAL. (Teorema 29).

(30) 22 MATRICES TEOREMA 31 Sean A  M mxn , B  M nxp Si A tiene fila de ceros, AB también tiene fila de ceros.. DEMOSTRACION Ai es la Fila i-ésima de A. Ai  (aij ) in , donde aij  0 B  (b jk ) np. Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B. (Teorema 29).  Ai .B. =O.B  O1 p. Por lo tanto. AB tiene fila de ceros.. TEOREMA 32 Sea A  M nxn Si A tiene fila de ceros, entonces A no es invertible.. DEMOSTRACION Por contradicción. Se supone que A es invertible, por lo tanto. AA 1  A 1 A  I AA 1 tiene fila de ceros. I. (Teorema 31). tiene fila de ceros. Lo que contradice la hipótesis, pues, la matriz identidad no tiene fila de ceros. Por lo tanto:. A no es invertible.. ÁLGEBRA LINEAL.

(31) 23 MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES Una operación elemental se representa por e y se la puede aplicar sobre matrices. Existen tres tipos de operaciones elementales:. 1. Intercambio de filas o columnas (e I ) Fi  F j , C i  C j. 2. Multiplicación de una fila o columna por un escalar   0 (e II ) Fi  Fi , C i  C i. 3. Sumar una fila o columna multiplicada por un escalar a otra fila o columna (e III ). Fi  F j , C i  C j ,. OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS Se expresan por e ' y son aquellas que cumplen que: 1) e I' e I  A  A 2) e II' e II  A  A ' 3) e III eIII  A  A. MATRICES ELEMENTALES Una matriz elemental se la representa por E , y se la puede obtener mediante la aplicación de una operación elemental sobre la matriz identidad.. TEOREMA 33. e ( A)  E. A , siendo e , una operación elemental que se aplica tanto en. A como en I .. ÁLGEBRA LINEAL.

(32) 24 MATRICES. MATRICES EQUIVALENTES A es equivalente por filas o columnas a B si y sólo si B se obtiene por medio de una aplicación sucesiva e infinita de operaciones elementales sobre A . A  B  B  e K e K 1  e 2 e1  A .. TEOREMA 34 Sea A  M mxn , A es equivalente a A , es decir, Toda matriz es equivalente a sí misma.. DEMOSTRACION B  eK eK 1  e2 e1  A. (1). eK, B   eK 1  e2 e1  A. .  . . e1, e2,  eK, B   A. (2). Sustituyendo (1) en (2).  . . e1, e2,  eK,  A  A. Cambiando la notación A es equivalente a A.. Corolario Sean A, B  M mxn . Si A es equivalente a B , B es equivalente a A .. TEOREMA 35 Sean A, B, C  M mxn . Si A es equivalente a B y B es equivalente a C , entonces A es equivalente a C .. ÁLGEBRA LINEAL.

(33) 25 MATRICES DEMOSTRACION Si A es equivalente a B, B  eK eK 1  e2 e1  A. (1). Si B es equivalente a C, C  e J e J 1  e2 e1 B . (2). Sustituyendo (1) en (2) C  eJ eJ 1  eK eK 1  e2 e1  A. Por lo tanto A es equivalente por filas a C .. TEOREMA 36 Toda matriz elemental es invertible y su matriz inversa es elemental.. DEMOSTRACION E matriz elemental E´ matriz inversa de A. . . I  e , eI   e e , I . e(A)=EA P.D. EE´=EÉ=I a). EE´=I.   eE   I. e e , I   I ,. EE´=I b). (Teorema 33) (1). E´É=I e , eI   I. e´(E)=I EE´=I Igualando (1) y (2) EE´=EÉ=I ÁLGEBRA LINEAL. (Teorema 33) (2).

(34) 26 MATRICES TEOREMA 37. A es equivalente por filas a B si y sólo si B es un producto de matrices elementales por A .. DEMOSTRACION a). “Si A es equivalente por filas a B , entonces B es un producto de matrices elementales por A ” Si A es equivalente por filas a B , B  eK eK 1  e2 e1  A , B  e K e K 1  e2 E1 A ,. (Teorema 33). B  e K e K 1  e3 E 2 E1 A ,.  Por lo tanto: B  E K E K 1  E 2 E1 A. b). “Si B es un producto de matrices elementales por A , entonces A es equivalente por filas a B ”. Si B es un producto de matrices elementales por A . B  E K E K 1  E 2 E1 A B  E K E K 1  E 2 ( E1 A) B  E K E K 1  E 2 e1  A. (Teorema 33).  B  eK eK 1  e2 e1  A ,. Por lo tanto: A es equivalente a B.. Corolario Sean A, B  M mxn .. A es equivalente a B si y sólo si B  PA , donde P es un producto de matrices elementales por A . ÁLGEBRA LINEAL.

(35) 27 MATRICES. FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ MATRIZ ESCALONADA POR FILAS Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de izquierda a derecha, fila a fila.. Ejemplos. 1  2 3    0 1 2.  2  3 4   0 0 0 0 0 0  . 1  2 3    0 0 2. 1  2 0    0 0 2.  4  2 1    0 1 3  0 0 5  .  0 0 3  2   0 0 0 5 .  1  3 2   1 0 0 0 0 0  . 1  0 0  0 . 0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1 . MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS Es una matriz escalonada cuyos primeros elementos son iguales a 1, y en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.. Ejemplos 1 0 0    0 1 0  0 0 0  . 1  0 0  0 . 0 1 0 0. 5 3 0 0. 1 0 0   0 0 1 0 0 0  . 0  0 0  0 . 1 0 0 5    0 0 1 2 ÁLGEBRA LINEAL. 1  0 0  0 . 0 1 0 0. 0 0 1 0. 1 0 3    0 1  2 0 0 0   . 0  0 0  1 .

(36) 28 MATRICES. TEOREMA 38 Sea A  M mxn . A es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas.. TEOREMA 39 Sea A  M mxn . A es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida por filas. .. TEOREMA 40 Sea A  M nxn . A es una matriz escalonada reducida por filas. Si A  I , entonces A tiene fila de ceros.. DEMOSTRACION “Si A no tiene fila de ceros, entonces A  I ” (Contra recíproca) Si A no tiene fila de ceros,. An. 0. 0 0  0 0 1. An 1. 0. 0 0  0 1 0. A2. 0. 1 0  0 0 0. A1. 1. 0 0  0 0 0 ,. . A  ( A1 , A2 ,  , An 1 , An ). A  I AA ÁLGEBRA LINEAL.

(37) 29 MATRICES TEOREMA 41 Sea A  M nxn .. A es invertible si y sólo si es equivalente por filas a I .. DEMOSTRACION. a). “Si A es invertible, entonces es equivalente por filas a I” Por Contradicción: Se supone que: A es equivalente por filas a B. B  I . A  E K E K 1  E 2 E1 B. Si B  I B tiene fila de ceros (Teorema 40) E K E K 1  E 2 E1 B. tiene fila de ceros. (Teorema 31). A tiene fila de ceros A no es invertible. (Teorema 32). Lo que contradice la suposición. Por lo tanto: A es equivalente por filas a I .. b). “Si A es equivalente por filas a I , entonces A es invertible” Si A es equivalente por filas a I , I es equivalente por filas a A. (Corolario, Teorema 34). A  E K E K 1  E 2 E1 I ,. (Teorema 37). A  E K E K 1  E 2 E1 ,. Por lo tanto: A es invertible.. Corolario. A es invertible si y sólo si es un producto de matrices elementales. ÁLGEBRA LINEAL. (Teorema 21) (Teoremas 25, 36).

(38) 30 MATRICES TEOREMA 42 Si A es invertible y reducible a la matriz identidad por sucesión de operaciones elementales, al aplicar a I esta sucesión, se obtiene A 1 .. DEMOSTRACION Si A es invertible, A es equivalente por filas a I,. (Teorema 41). I  E K E K 1  E 2 E1 A. (1). (Teorema 37). I  ( E K E K 1  E 2 E1 ) A. IA 1  ( E K E K 1  E 2 E1 ) AA 1 A 1  ( E K E K 1  E 2 E1 ) I A 1  e K e K 1  e2 e1 I  I  eK eK 1  e2 e1  A. (2). ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A 1 Sea la matriz de bloques ( A ‫ ׀‬B ) Al aplicar operaciones elementales eK eK 1  e2 e1  A I  , es decir,. e K e K 1  e2 e1  A ‫ ׀‬e K e K 1  e2 e1 I  ( I ‫ ׀‬A 1 ).. Ejemplo.  1 3  Hallar la inversa de la matriz A     2 2  1 3   2 2. 1 0 1 3  0 1   0 8. 1 0 1 3  2 1   0 1. 1  2  5  A1   2  2 1 . ÁLGEBRA LINEAL. 1 0 1 0    2 1 8 8 0 1. 2 8 2 8.  85   1  8 .

(39) 31 MATRICES. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.. Sean las matrices:.  1  2 3  A    2 1 0.  1 0   B   2 1  3 2  . 1 2   D    2  5. 0  2 1   E   1  2  3  4 3  1  . 1  3 1   C  1 1 1   0 1  2  . Calcular: a). C+E, AB, BA, 2C-3E, CB+D, AB+D 2 , 3(2A), 6A. ÁLGEBRA LINEAL.

(40) 32 MATRICES b). A(BD), (AB)D, A(C+E), AC+AE, 3A+2A, 5A. ÁLGEBRA LINEAL.

(41) 33 MATRICES c). A t , A t  , (AB) t , B t A t , (C+E) t , A(2B), 2(AB). ÁLGEBRA LINEAL. t.

(42) 34 MATRICES 2..  x 0  . Hallar A2 , A3 , A4 Sea A    z y. 3.. 1 0  . Determinar A tal Sean las matrices A del problema anterior y B    26 27  que A3  B .. ÁLGEBRA LINEAL.

(43) 35 MATRICES. 4.. 1 2 3   Comprobar que A   0 1 2  es raíz de F ( X )  X 3  4 X 2  5 X  2 I . 0 0 2  . 5.. Las matrices A y B son conmutables si AB  BA . Hallar todas las matrices A. a b   1 1  y B    . conmutables con B si A   c d   0 1. ÁLGEBRA LINEAL.

(44) 36 MATRICES. 6..  1 2 0  1 0 0     Sean las matrices A    2  1  3  e I 3   0 1 0  . Si   R , calcular  0 0 0 1 3  1     I 3  A. 7.. Calcular AB. 1 1  1 2 0 3 A 5 1 3 1  2 1 . ÁLGEBRA LINEAL. 2  3 1 5 2 1 4  3 2 0 1 4 6  3 5 0  3. 4. 1  2 B  1  0 3 . 2 3 0 1 3 2 5 4 2 1 3 0 0 4 6. 1   1 3  0 1 .

(45) 37 MATRICES 8.. Dadas las matrices.  1 x 3  A    x 1 2. 1  1 B 0  1 . 2 x  3 1 1 0  3  1.  1   2 C  x   1 . . . a). Encontrar el valor de x tal qué Tr AB t C  0 .. b). Calcular el rango (número de filas no nulas de la matriz escalonada equivalente) de CA sí x  0 .. 9.. 3  1 0  x .  . Escribir una matriz simétrica A  M 3 , A  aij tal que aij . i  1 j  1 , si i  i j. ÁLGEBRA LINEAL. j.

(46) 38 MATRICES 10.. Reducir las siguientes matrices a su forma escalonada y luego a su forma escalonada reducida por filas. a).  1   1  2   0 . b). 0 1  0 1 0  2  0 0 . ÁLGEBRA LINEAL. 2 3 0  1 1 0  1 0  1  1 2  1. 2 1 1 1. 3  0 3  0 .

(47) 39 MATRICES. c). 11..  1 0 1  3   1 2  3 0   2 1 0  1  . Determinar la matriz inversa de a).  1 2    1 3. b).   4  3   3  1  . ÁLGEBRA LINEAL.

(48) 40 MATRICES. c). 0 0   1    2  2 0    3  3  3  . d). 2  2 1   0  1 3  0  2 1  . e).   2 1  3    1 0  4  1 1  2  . ÁLGEBRA LINEAL.

(49) 41 MATRICES 12.. Dadas las matrices 1 1 1  1 0 0     P   2 0  1 y J   0 1 1  . Hallar 1 1 0  0 0 1    . a) P 1 y J n . b) A tal que A  PJP 1 . c) An  PJ n P 1 . Verificar que A0  I y A1  A .. ÁLGEBRA LINEAL.

(50) 42 MATRICES 13.  cos  Sea la matriz A     sen. sen   . Hallar A n cos  . Deducir la ley y demostrar por inducción.. 14.. x Sea la matriz A   0. ÁLGEBRA LINEAL. y  . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio. x.

(51) 43 MATRICES. 15..  x 1 0   Sea la matriz A   0 x 1  . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio. 0 0 x  . 16.. Si K nn es una matriz diagonal cuyos elementos, sobre la diagonal, son todos iguales a k, demostrar que K nn Ann  kAnn .. 17.. Demostrar que la suma de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior.. ÁLGEBRA LINEAL.

(52) 44 MATRICES 18.. Si A es una matriz simétrica probar que A t y A. 2. 19.. Sea A una matriz cuadrada sobre un campo K, ,   K , y B   . A   .I (I es. son simétricas.. la matriz identidad del mismo orden que A . Demostrar que A y B conmutan con el producto usual de matrices.. ÁLGEBRA LINEAL.

(53) 45 MATRICES 20. Dadas la matrices  1 2 0  A     1 1 4.  0 1 0  B    3  1 0. 2 1   C    3  2. Determinar la matriz X indicando su número de filas y columnas que cumple: a). 2A  X  B. b). At  2 X  C. c). CX  AB t  BB t. ÁLGEBRA LINEAL.

(54) 46 MATRICES 21.. Una matriz A es idempotente si y sólo si A2  A . Dadas las matrices identidad.  . de orden n , esto es, I n y la matriz B  M n , se define A  I n  B B t B. 1. Bt .. Demostrar que A es una matriz idempotente.. 22.. Una matriz A es idempotente si y sólo si A2  A . Probar que si A es idempotente, entonces B  I  A es idempotente y además AB  BA  O .. ÁLGEBRA LINEAL.

(55) 47 MATRICES 23.. Probar que si A satisface A2  A  I  O , existe una matriz inversa de A .. 24.. Demostrar que toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.. ÁLGEBRA LINEAL.

(56) 48 MATRICES.  mn se cumple que .A  O    0  A  O .. 25.. Demostrar que   R, A  aij. 26.. Considerando Amn X n1  Om1 y. Amn X n1  Bm1 , sistemas definidos sobre los. reales, demostrar que: a). Si H es solución de AX  O ,   R ,  H es solución de AX  O .. b). Si H y K son soluciones de AX  O , H  K es solución de AX  O .. c). Si H y K son soluciones de AX  B , H  K es solución de AX  O .. ÁLGEBRA LINEAL.

(57) 49 DETERMINANTES. Capítulo 2 DETERMINANTES. DEFINICIÓN El determinante es una función que establece una correspondencia entre el conjunto de matrices cuadradas y el campo real o complejo. Asi: f : M nxn  K. A  f (A)  det(A). NOTACIÓN Sea A  (aij ) n , el determinante de A se nota así: A  det( A). O también a11 a A  21  a n1. a12 a 22.  a1n  a2n. a n 2  a nn. DEFINICIÓN Sea A  M 2x 2. a Si A   11  a 21. a12   , entonces a 22  det( A)  a11 a 22  a 21 a12. ÁLGEBRA LINEAL.

(58) 50 DETERMINANTES. DEFINICIÓN Sea A  M 3x 3  a11  Si A   a 21 a  31. a32. a13   a 23  , entonces a33 . a 22 a32. a 23 a  a12 21 a33 a31. a12 a 22. det( A)  a11. a 23 a  a13 21 a33 a31. a 22 a32. DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES MENOR Sea la matriz A  (aij ) n y M ij la submatriz de A de orden (n  1) , obtenida por eliminación de la i-ésima fila y la j-ésima columna de A . El determinante M ij se denomina menor de aij . COFACTOR Sea la matriz A  (aij ) n . El cofactor Aij del elemento aij se define como: Aij  (1) i  j M ij. TEOREMA DE LA EXPANSIÓN DE LAPLACE Sea A  (aij ) n . n. det( A)   (1) i  j aij M ij , ó j 1 n. det( A)   aij Aij j 1. ÁLGEBRA LINEAL.

(59) 51 DETERMINANTES. PROPIEDADES. TEOREMAS Sea A  (aij ) n . 1. Si A tiene fila o columna de ceros, el det( A)  0 . 2. Si la i-ésima fila de A o la j-ésima columna de. A, se multiplica. por  (escalar) y se obtiene una matriz B, det( B)   det( A) . 3.   K , det(A)   n det( A) . 4. Si las matrices A, B, C , son idénticas, excepto en la j-ésima columna (fila) tal que la j-ésima columna (fila) de C es la suma de las j-ésimas columnas (filas) de A y B ,. det(C )  det( A)  det( B) 5. Si se intercambian dos filas (columnas ) de A , para obtener la matriz B , det( B)   det( A) . 6. Si la matriz A tiene dos filas (columnas) iguales, det( A)  0 . 7. Si una fila (columna) de A es un múltiplo de una fila (columna) de A , det( A)  0 . 8. Si un múltiplo de una fila (columna) de A , se suma a otra fila (columna) de A , el determinante no se altera. 9. det( A)  det( A t ) . 10. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.. DEMOSTRACIONES 1.. Sea A una matriz con una fila de ceros n. A   aij Aij , j 1. Sea i la fila de ceros n. A   0.Aij  0 j 1. ÁLGEBRA LINEAL.

(60) 52 DETERMINANTES n. 2.. det( B)   bij Bij j 1 n. det( B)   aij Bij j 1. n. det( B)    aij Aij j 1. det( B)   det( A). 3..  , det(A)   n det( A). Por inducción i). n 1 A1  ( a11 ). det(A1 )   1. det( A1 ). ii). det(AK )   K det( AK ). P.D. det(AK 1 )   K 1 det( AK 1 ) n. det(AK 1 )   (1) i  j  aij Aij j 1. K. n. det(AK 1 )    (1) i  j  K aij Aij j 1. n. det(AK 1 )   K 1  (1)i  j aij Aij j 1. det(AK 1 )   K 1 det( AK 1 ). 4.. P.D.. det( A1 ,  , Ai ,  , An )  det( A1 ,  , Bi ,  , An )  det( A1 ,  , Ai  Bi ,  , An ) n. det( A1 ,  , Ai  Bi ,  , An )   (1) i  j (aij  bij ) Aij. según la i-ésima fila. j 1. n. n. j 1. j 1.   (1)i  j aij Aij   (1)i  j bij Aij  det( A1 ,  , Ai ,  , An )  det( A1 ,  , Bi ,  , An ). ÁLGEBRA LINEAL.

(61) 53 DETERMINANTES 5. Sean.  a11     a A   i1  a11,1     a  n1 P.D.. a1n    ain   ai 1,n    a nn .    .  a11    a B   i 1,1  ai ,1     a  n1.    . a1n    ai 1,n   ai ,n    ann . det( A)   det( B) n. det( A)   aij Aij j 1 n. det( B)   bi 1, j Bi 1, j j 1.   (1) i 1 j aij N ( i 1)   (1)(1) i  j aij N ( i 1). . n. a j 1. ij. Aij.   det(A). 6.. Sea.  a11     a A   i1  a11,1     a  n1.    . a1n    ain   ai 1,n    a nn . tal que las filas i,i+1 son iguales Al intercambiar las filas i,i+1:. det( A)   det( B) det( A)   det( A) Ordenando la igualdad. ÁLGEBRA LINEAL. (Teorema 8).

(62) 54 DETERMINANTES. 2 det( A)  0 det( A)  0. 7.. Sea.  a11     a B   i1  a11,1     a  n1.    .    ain   ai 1, n    ann  a1n. det( B)   det( A) Pero, det( A)  0 , Por lo tanto det( B)  0. 8.. Sea.  a11     a A   i1  a11,1     a  n1.    . a1n    ain   ai 1,n    a nn . Se obtiene B al sumar: fila i+1 +  .fila i. a11      ai1 B  ai1  a11,1     a n1 .    . Al aplicar el Teorema 7. ÁLGEBRA LINEAL.     ain  ain  ai 1,n     a nn  a1n.

(63) 55 DETERMINANTES. a11. . a1n. a11.  det( B) . . a1n. . ain.  . ain. ai1 . ain. ai1. +. . ai1. ai 1,1 . ai 1,n. . a n1. . a nn. a n1. . . a nn.  det(A). 0. det(B)  det( A). 9.. Se demuestra por inducción i). Si n  2. a A   11  a 21. a12  , a 22 . a A t   11  a12. a 21   a 22 . det( A)  a11 a 22  a 21 a 22. (1). det( A t )  a11 a 22  a 21 a 22. (2). Igualando (1) y (2) det( A)  det( A t ). ii). Si n  k det( AK )  det( AKt ). si n  k  1 det( AK 1 )  det( AKt 1 ). Sean A  a ij K 1 B  bij K 1 bij  a ji. Desarrollando B según la fila 1: n. B   (1)1 j b1 j B1 j j 1. K. (1). Desarrollando A de acuerdo a la columna 1: K 1. A   (1) j 1 a j1 Ai1 j 1. ÁLGEBRA LINEAL. K. (2).

(64) 56 DETERMINANTES Pero, a j1  b1 j , es decir, B1 j  A j1 . t. B1 j  A j1 . t. B1 j  A j1. De (1) n. B   (1)1 j a j1 A j1 j 1. K. B  A. det( AK 1 )  det( AKt 1 ) , det( A)  det( A t ). 10.. Se demuestra por inducción i). Si n  2. a A   11  0. a12  , a 22 . A  a11 a 22 2. A   aii i 1. ii). Si n  k K. AK   aii. Hipótesis inductiva. i 1. AK 1 . K 1.  aii. Tesis inductiva. i 1. K 1. AK 1   (1) K 1 j a K 1, j AK 1, j. según la fila K  1. j 1.  0    ( 1) K 11 a K 1,1 AK 1,1.  (1) K 11 a K 1, K 1 AK 1, K 1 K.  (1)2 K  2 aK 1, K 1 aii i 1. ÁLGEBRA LINEAL. K. K.  0  0.

(65) 57 DETERMINANTES K.  aK 1, K 1 aii i 1. K.   aii i 1. DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES 1. E1 es una matriz elemental tipo I obtenida por intercambio de filas o columnas, entonces: E1   I  1 . 2. E 2 es una matriz elemental tipo II obtenida al multiplicar la i-ésima fila o columna por  (escalar), entonces: E 2   I   . 3. E 3 es una matriz elemental tipo III obtenida al sumar  veces la fila o columna j a la fila o columna i, entonces: E 3  I  1 . Observación E  0 .. TEOREMA 11 Si E es una matriz elemental, entonces: EA  E A , y AE  A E. DEMOSTRACION a). Intercambio de dos filas o columnas E  1. EA se obtiene intercambiando dos filas o columnas de A EA  A  (1) A. Por lo tanto: EA  E A. b). Se multiplica una fila o columna por  (escalar) E  I . ÁLGEBRA LINEAL.

(66) 58 DETERMINANTES EA   A EA  E A. c). Se reemplaza una fila o columna por la suma de una de ellas multiplicada por  E 1 EA  A  1 A EA  E A. De manera semejante se demuestra que AE  A E. Corolario Si A y B son equivalentes: B  E K E K 1  E 2 E1 A. TEOREMA 12 Sea A  M nxn. A es invertible si y sólo si A  0. DEMOSTRACION 1.. “Si A es invertible, entonces A  0 " Si A es invertible, A es producto de matrices elementales, A  E K E K 1  E 2 E1. A  E K E K 1  E 2 E1 A  0 , puesto que  E  0. 2.. “Si A  0 , entonces A es invertible”. Se demuestra la contrarrecíproca: Si A no es invertible, entonces A  0 Si A no es invertible, A es equivalente a una matriz B que tiene fila de ceros,. ÁLGEBRA LINEAL. (M, Teorema 41) (Teorema 11).

(67) 59 DETERMINANTES A  E K E K 1  E 2 E1 B es matriz con fila de ceros. A  E K E K 1  E 2 E1 B. (M, Teorema 31) (Teorema 11). A 0. TEOREMA 13 Sean las matrices A, B  M nxn AB  A B. DEMOSTRACION. 1.. A es invertible. Si A es invertible A  E K E K 1  E 2 E1. (1). A  E K E K 1  E 2 E1. (2). AB  E K E K 1  E 2 E1 B. A B  E K E K 1  E 2 E1 B. (3). Sustituyendo (2) en (3) AB  A B. 2.. A no es invertible. Si A no es invertible A 0. AB no es invertible AB  0 AB  0. B. Por lo tanto: AB  A B. ÁLGEBRA LINEAL. (Teorema (12) (M, Teoremas 31,32).

(68) 60 DETERMINANTES. INVERSA DE UNA MATRIZ. TEOREMA 14 Sea A  M nxn ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0 , si i  k. DEMOSTRACION Sea B es la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima fila de A por la i-ésima fila de A , así:  a11    a  i1 A  a  k1     a n1. a12. . a12. . ak 2  an2 . a1n    a an    a kn    a nn .  a11    a  i1 B  a  i1     an1. a12. . a12. . ai 2. . an 2 . a1n    aan    ain    ann . B es una matriz con dos filas iguales, es decir, B  0 Desarrollando B según la k-ésima fila de B por menores y cofactores: ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0. DEFINICIÓN Sea A  M nxn , se define como matriz adjunta de A a la transpuesta de la matriz de los cofactores de los elementos aij .. Ejemplo.  2  1  A   1 3 . ÁLGEBRA LINEAL.  3  1  Cof (A)   1 2 .  3 1  adjA    1 2.

(69) 61 DETERMINANTES. TEOREMA 15 Sea A  M nxn adjA. A  A.adjA  A I. DEMOSTRACION.  a11   a 21   A.adjA    a11    a  n1. a12. . a 22. . ai 2. . an2 . a1n   a2n    ain    a nn .  A11   A12     A  12. A21  A22. Ak1 .  Ak 2. A2 n  Akn. Ani   An 2     Ann . El elemento i, k -ésimo de la matriz A .adj A es: a i1 Ak 1  a i 2 Ak 2    a in Akn  A , si i  k. ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0 , si i  k. (Teorema 14). es decir,.     A.adjA       . . A. 0. 0. A .  0. 0. . 0. .  0. 0  0   0   A . adjA. A  A.adjA  A I. Corolario Sea A  M nxn y A  0 , entonces. A 1 . ÁLGEBRA LINEAL. 1 .adjA A.

(70) 62 DETERMINANTES Ejemplo Dada la matriz 1 2 4    A   3 8  2 2 0 4   . a). Calcular A .. b). Hallar la matriz Adj (A) .. c). Comprobar que A. Adj ( A)  Adj ( A). A  A .I. d). Calcular A1 .. Solución: 1 2. a). A  3 8 2 2 2 0. b). c). 4 4.  8   0  3 Adj ( A)     2  3   2. 2 4 2 4 8 0. 2. 4. 8 2. 4. 1 2 3 8. 2 4. 2. 0 4 1 4. 8 1  3 1. . 2 4 1 2  2 0. 3.  2(36)  4(2)  64. 4   2   32  8  36   4       16  4 14  2   16 4 2  2    8 . 0 0   1 2 4  32  8  36    64      A. Adj ( A)   3 8  2   16  4 14    0  64 0   2 0 4   16 4 2   0 0  64    0 0   32  8  36  1 2 4    64      Adj ( A). A    16  4 14  3 8  2    0  64 0    16 4 2  2 0 4   0 0  64  . d).  32  8  36   1 1  A  Adj ( A)    16  4 14  A  64  2    16 4 1. 9 / 16   1/ 2 1/ 8   A   1/ 4 1 / 16  7 / 32   1 / 4  1 / 16  1 / 32    1. ÁLGEBRA LINEAL.

(71) 63 DETERMINANTES. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.. Encontrar el valor de los siguientes determinantes 1. 1. a). 0. 1 2 3 2. 1. 1. 1  2 1. b). 1. 1. 0. 0  3 1. 1  2i 0. c). 1. 0. 2 1 i. 3. 0. ÁLGEBRA LINEAL. 1.

(72) 64 DETERMINANTES. d). 1 4 2 3. 2 3 1 4. e). 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a. f). 2 1 1 1. 0 9 9 9. ÁLGEBRA LINEAL. 3 2 4 1. 1 8 8 9. 4 1 3 2. x 4 , donde x es el último dígito del año actual. 7 0.

(73) 65 DETERMINANTES 2.. Determinar el valor de. 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 a). 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 b). 1 2 3 3 3 3 1 2 3 4 4 4 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 6. ÁLGEBRA LINEAL.

(74) 66 DETERMINANTES. c). a b c 1 b c a 1 c a b 1 1 1 1 1 i). abc  0. ii). abc 3. ÁLGEBRA LINEAL.

(75) 67 DETERMINANTES. d). 1  a1 a2 a3 a1 1  a2 a3 a1 a2 1  a3  a1 a2 a3. y2 y y3.   .  1  an. e). x2 x x3. f). sen 2 A cos 2 A cos 2 A sen 2 B cos 2 B cos 2 B sen 2 C cos 2 C cos 2C. ÁLGEBRA LINEAL. an an an. z2 z z3.

(76) 68 DETERMINANTES 3  7i. 0 4. 1. 7. 2  3i. 8. 1. 0. 5. 2. 8. 0. 6. 6. 1. 2. 6. 0. g). 1  10i 8  3 3i. 3.. 0. 1. Demostrar que:. 0 a a a. a 0 a a. a a 0 a. a a  3 a 4 a 0. ÁLGEBRA LINEAL.

(77) 69 DETERMINANTES 4.. Demostrar que el determinante nxn. a b b  b b b a b  b b b b a  b b . . . . .  a  b . b b b  a b b b b  b a. 5.. Hallar el valor de a1  b1 a2  b1  an  b1. a1  b2  a1  bn a2  b2  a2  bn an  b2  an  bn. ÁLGEBRA LINEAL. n 1. a  (n  1)b.

(78) 70 DETERMINANTES 6.. a). Demostrar que:. b 2  ac bc c2 A  ab ac bc  4a 2b 2 c 2 a2 ab b 2  ac b c 0 Verificar primero que: A  a 0 c 0 a b. b). Hallar el valor del determinante. b2  c2 ab ca. ÁLGEBRA LINEAL. ab c  a2 bc 2. ca bc 2 a  b2. 2.

(79) 71 DETERMINANTES 7.. Demostrar que 1 0 1 0. 8.. 0 a 1 b 0 c 1 d. a2 b2  a  c b  d a  b  c  d  c2 d2. ¿Para qué valores a, b  R , el siguiente determinante es diferente de cero? a2 ab ab b2. ab a2 b2 ab. ab b2 a2 ab. ÁLGEBRA LINEAL. b2 ab ab a2.

(80) 72 DETERMINANTES 9.. Probar que. b  c 2. 10.. b2. a2. a  c 2. a2. b2. c2 c2. a  b 2.  2abca  b  c . 3. Demostrar que 1 a1 2 a1 3 a1. 1 a2 2 a2 3 a2. 1 a3 2 a3 3 a3. 1 a4 2  a1  a 2 a1  a3 a1  a 4 a 2  a3 a 2  a 4 a3  a 4  a4 3 a4. ¿Cuál es la generalización de este resultado a determinantes de orden n ?. ÁLGEBRA LINEAL.

(81) 73 DETERMINANTES 11.. Aplicaciones a la Geometría Analítica a). Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la ecuación de la parábola y  Ax 2  Bx  C que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 puede escribirse de la forma:. y y1 y2 y3. 1 x 1 x1 1 x2 1 x3. x2 x12 =0 x 22 x32. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:. (1,5), (2,6), (2,2).. ÁLGEBRA LINEAL.

(82) 74 DETERMINANTES b). Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la ecuación del círculo que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 , puede escribirse: x2 x12 x 22 x32.    . y2 y12 y 22 y 32. x x1 x2 x3. y y1 y2 y3. 1 1 0 1 1. Hallar la ecuación del círculo que pasa por los puntos:. (1,5), (2,6), (2,2).. ÁLGEBRA LINEAL.

(83) 75 DETERMINANTES c). Si se conoce que: L1 : a11 x  a12 y  a13  0, L2 : a21 x  a22 y  a23  0, L3 : a31 x  a32 y  a33  0,. son tres rectas no paralelas, el área determinada por L1 , L2 , L3 es igual al valor absoluto de: A11 1 A21 A13 A23 A33 A31. A12. A13. A22. A23. A32. A33. Donde Aij es el cofactor de aij en A: a11. a12. a13. A  a 21. a 22. a 23. a31. a32. a33. Hallar la superficie del triángulo cuyos lados son las rectas:. 5 x  7 y  27  0, 9 x  2 y  15  0, 4 x  5 y  11  0.. ÁLGEBRA LINEAL.

(84) 76 DETERMINANTES d). El volumen de tetraedro determinado en el espacio por los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), P3 ( x3 , y 3 , z 3 ), P4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , está dado por el. valor absoluto de x1 x2 x3 x4. y1 y2 y3 y4. z1 z2 z3 z4. 1 D , siendo D el determinante de: 6. 1 1 1 1. (1,2,5), (0,4,6), (1,2,6), (0,3,0) .. ÁLGEBRA LINEAL.

(85) 77 DETERMINANTES 12.. Sea  1  2 a   A   1 a 1 0 1 a  . a). Determinar los valores de a para que para que A sea invertible.. b). Hallar la inversa de A cuando existe.. ÁLGEBRA LINEAL.

(86) 78 DETERMINANTES 13.. Sea 1 1 1   A   1   3 3 2  . a). Determinar el valor de  para que A sea invertible.. b). Calcular A1 con el valor de  para el cual A  2 .. ÁLGEBRA LINEAL.

(87) 79 DETERMINANTES 14.. Sea 1   3   A  2 3    3  1  2  . a). Determinar los valores de  para que para que A sea invertible.. b). Hallar la inversa de A cuando existe.. ÁLGEBRA LINEAL.

(88) 80 DETERMINANTES 15.. Dada la matriz. 1 a a 2    A  1 b b 2  1 c c 2    a) Hallar A . b) Encontrar Adj(A) . c) Calcular A1 .. ÁLGEBRA LINEAL.

(89) 81 SISTEMAS DE ECUACIONES. Capítulo 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. DEFINICIÓN Ecuación lineal, es una expresión del tipo: a1 x1  a 2 x 2    a n x n  b. (1). donde x1 = variable. x2 , x3 , xn ,  = variables libres a i = coeficientes de las variables b = término constante. a, b  K xi  K. El conjunto solución de la expresión (1) es:. CS  t1 , t 2 ,  , t n  : ti  K . Se consideran los siguientes casos:. I.. Si a1  0 x1 . a b a2  x2    n xn a1 a1 a1. se puede obtener x1 dependiendo de los valores x 2 , x3 ,  , x n II.. Si a1  a2    an  0  b  0 Reemplazando en (1) 0 x1  0 x 2    0 x n  b 0b. Para ningún valor se verifica la igualdad anterior. La ecuación (1) es inconsistente, por lo tanto, no tiene solución, o se dice que CS  Ø ÁLGEBRA LINEAL.

(90) 82 SISTEMAS DE ECUACIONES III.. Si a1  a2    an  0  b  0 De (1) 0 x1  0 x 2    0 x n  0 00. Se obtiene una identidad La ecuación (1) se cumple para todos los valores de xi .. DEFINICIÓN Los sistemas de ecuaciones lineales son expresiones del tipo: a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2   am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm. (1). El sistema (1) es de m ecuaciones y n variables (m.n) .. Observaciones. 1.. Si bi  0 , (1) se llama sistema no homogéneo.. 2.. Si bi  0 , (1) se llama sistema homogéneo.. 3.. Resolver el sistema (1) es hallar las n -úplas ordenadas que al reemplazar en el mismo dan identidades, es decir, satisfacen el sistema.. 4.. Si una de las ecuaciones de (1) es del tipo 0 x1  0 x 2    0 x n  b , el sistema es inconsistente, es decir, no tiene solución, o no existen n -úplas ordenadas que satisfacen el sistema (Teorema de Rouché-Fröbenius).. 5.. Si en una de las ecuaciones los coeficientes y el término constante son iguales a cero, se tiene un sistema de m  1 ecuaciones con n incógnitas.. En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los diferentes tipos de sistemas, así: ÁLGEBRA LINEAL.

(91) 83 SISTEMAS DE ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES. INCONSISTENTE. CONSISTENTE. NO HOMOGÉNEO. Solución única no-trivial. Infinitas soluciones. HOMOGÉNEO. Solución Infinitas única soluciones trivial + trivial. SISTEMAS EQUIVALENTES Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones.. Para obtener un sistema equivalente de uno dado, se pueden realizar las siguientes operaciones:. 1.. Intercambiar ecuaciones ( Ei  E j ) .. 2.. Multiplicar por un escalar diferente de cero a una de las ecuaciones ( Ei  Ei ) .. 3.. Reemplazar una ecuación por la suma de otra ecuación multiplicada por un escalar ( Ei  Ei  E j ) .. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Las operaciones definidas sobre matrices y sobre ecuaciones son idénticas, por lo tanto, es posible trabajar sobre un sistema representado en forma matricial. En este apartado se describirán métodos para hallar todas las soluciones (si las hay) de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. ÁLGEBRA LINEAL.