Panorama del curso M´etodos Num´ericos I

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Panorama del curso

M´

etodos Num´

ericos I

Egor Maximenko

ESFM del IPN

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Contenido

1 Prop´osito y programa del curso, software y literatura

2 Panorama del curso

Preliminares

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales Ra´ıces de ecuaciones no lineales

Interpolaci´on polinomial Temas no incluidos en el curso

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Contenido

2 Panorama del curso Preliminares

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Matem´aticas discretas

Comprender

Calcular

Matem´aticas continuas

M´etodos num´ericos

Comprender

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Matem´aticas discretas

Comprender

Calcular

Matem´aticas continuas

M´etodos num´ericos

Comprender

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Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics. Lloyd N. Trefethen

Prop´osito del curso:

Analizar algoritmos para obtener soluciones num´ericas de los problemas t´ıpicos de matem´atica continua,

incluso en las situaciones cuando la solución exacta no existe o es dif´ıcil de conseguir, minimizando el número de operaciones aritméticas y los errores.

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Programa del curso y sistema de calificaciones

Cuatro unidades: Preliminares.

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. Ra´ıces de ecuaciones no lineales.

Interpolaci´on polinomial.

Cada calificaci´on parcial consta de las siguientes partes: examen escrito (65 %),

tareas individuales (20 %),

programas escritos por los estudiantes (15 %), participaci´on (hasta 10 %),

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Programa del curso y sistema de calificaciones

Cuatro unidades: Preliminares.

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. Ra´ıces de ecuaciones no lineales.

Interpolaci´on polinomial.

Cada calificaci´on parcial consta de las siguientes partes: examen escrito (65 %),

tareas individuales (20 %),

programas escritos por los estudiantes (15 %), participaci´on (hasta 10 %),

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¿Qu´

e aprenden los estudiantes en este curso?

El curso de M´etodos Num´ericos I tiene los siguientes aspectos: 1 Algor´ıtmos: resolver en papel ejercicios t´ıpicos

para aprender bien las ideas de algoritmos de m´etodos num´ericos. 2 _Programaci´_{on: programar los algoritmos principales}

en alg´un lenguaje de programaci´on.

3 Teor´ıa: comprender c´omo deducir algunas de las f´ormulas,

cómo acotar los errores y cómo calcular el número de operaciones. 4 Aplicaciones: ver c´omo se aplican métodos numéricos

en otras ramas de matem´aticas y en otras ciencias.

En mi curso practicamos los algoritmos, conocemos algo de la teor´ıa y escribimos muchos programas, pero casi no estudiamos aplicaciones

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Software

Wolfram Mathematica. Comercial.

Es un sistema universal de ´algebra computacional.

Maxima. Libre.

Parece a Wolfram Mathematica, pero est´a menos desarrollado.

MATLAB. Comercial. C´alculos num´ericos orientados a matrices.

GNU Octave. Un an´alogo libre de MATLAB.

Python. Libre. Tiene una sintaxis muy natural.

La biblioteca NumPy permite programar casi como en MATLAB.

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Ejemplo de un programa sencillo

Escribamos un programa que crea una matriz con entradas aleatorias y aplica a esta matriz una operaci´on elemental por renglones.

En Wolfram Mathematica:

n = 10

A = RandomReal[{0, 1}, {n, n}] A[[2]] += 5 * A[[1]]

En Python con NumPy:

from numpy import * n = 10

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El mismo programa escrito en C

include <stdlib.h> int main() {

int n = 10, i, j;

double **A = (double**) malloc(n * sizeof(double*)); for (i = 0; i < n; i++)

A[i] = (double*) malloc(n * sizeof(double)); for (i = 0; i < n; i++)

for (j = 0; j < n; j++)

A[i][j] = random() * 1.0 / RAND MAX;

for (j = 0; j < n; j++) A[1][j] += 5 * A[0][j];

for (i = 0; i < n; i++) free(A[i]);

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Literatura

Burden, R. L. y Faires, J. D.,

Análisis Numérico, Séptima Edición.

Cengage Learning, M´exico. Smith, W. Allen,

An´alisis Num´erico.

Prentice Hall Hispanoamericana, Ed. M´exico, 608 p.

Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P.,

Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. 2nd Ed.

Cambridge University Press 1992, 994 p.

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Contenido

Preliminares

(15)

Contenido

Preliminares

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Preliminares

Representaci´on de n´umeros en la computadora

Representaci´on en base 2.

Escribir los n´umeros 45 y 10.75 en base 2.

Sumar y multiplicar los n´umeros binarios 10112 y 101012.

Sistemas num´ericos de punto flotante.

Representaci´on de n´umeros con punto flotante.

¿Qué número está representado en el formato “double” por la siguiente cadena de bits?

1 10000000101 0000000000000000000000000000000000000000000000011

Errores de redondeo. Propagaci´on de los errores. Errores absolutos y relativos.

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Preliminares

1 10000000101 0000000000000000000000000000000000000000000000011

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Preliminares

1 10000000101 0000000000000000000000000000000000000000000000011

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Preliminares

Aritm´etica con redondeo

En el aritm´etica con tres d´ıgitos decimales, restar y multiplicar los n´umeros

a = 1.02 · 102, b = 9.87 · 101,

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Preliminares

Repaso de algunas herramientas de C´alculo y de ´Algebra

L´ımite de una sucesi´on.

Funciones continuas, teorema del valor intermedio. Funciones derivables, teorema del valor medio. C´alculo de m´aximos y m´ınimos.

Multiplicaci´on de polinomios.

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Contenido

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales

Ra´ıces de ecuaciones no lineales Interpolaci´on polinomial

Temas no incluidos en el curso

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Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales surgen en todas las ´areas de matem´aticas, lo mismo que en otras ciencias, naturales y sociales.

Por ejemplo, Wassily Leóntief recibió el premio Nobel de Econom´ıa en 1973 por la descripción de relaciones intersectoriales en macroeconom´ıa a través de sistemas de ecuaciones lineales.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales vamos a usar el m´etodo de Gauss(eliminaci´on gaussiana) y sus modificaciones.

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M´

etodo de Gauss

Consideremos el m´etodo de eliminaci´on gaussiana con el siguiente ejemplo:

     2x1 + 3x2 − x3 = 1; 4x1 + 5x2 − 3x3 = −3; 3x1 − 2x2 + x3 = −4.

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, escriben la matriz aumentada del sistema:

   2 3 −1 1 4 5 −3 −3 3 −2 1 −4   

Luego se aplican transformaciones elementales por renglones para reducir la matriz del sistema a una matriz escalonada.

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M´

etodo de Gauss

     2x1 + 3x2 − x3 = 1; 4x1 + 5x2 − 3x3 = −3; 3x1 − 2x2 + x3 = −4.

on hacia atr´

as

Obtenemos una matriz triangular superior (escalonada). Escribimos el sistema de ecuaciones correspondiente:

   2 3 −1 1 0 −1 −1 −5 0 0 9 27         2x1 + 3x2 − x3 = 1; − x2 − x3 = −5; 9x3 = 27.

Ahora podemos hallar las incógnitas, empezando con la última ecuación:

x3 = 27 9 = 3; x2 = −5 + x₃ −1 = −2 −1 = 2; x = −1 − 3x2+ x3 = 2 = 1.

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Modificaciones del m´

etodo de Gauss

1 _{Estrategias de pivoteo.}

En el ejemplo considerado el elemento pivote siempre era eligido en la diagonal principal. Pero el elemento diagonal puede ser cero. Para evitar este caso y para disminuir errores de redondeo,

en calidad de pivote eligen el elemento m´as grandeen cierto sentido.

2 _M´_{etodo de Gauss–Jordan.}

Es posible aniquilar no s´olo los elementos abajo del pivote, sino tambi´en los elementos arriba del pivote.

3 Descomposici´on LU.

La matriz inicial se descompone en un producto de dos matrices triangulares: una triangular inferior y la otra triangular superior.

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Modificaciones del m´

etodo de Gauss

en calidad de pivote eligen el elemento m´as grandeen cierto sentido. 2 _M´_{etodo de Gauss–Jordan.}

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Modificaciones del m´

etodo de Gauss

en calidad de pivote eligen el elemento m´as grandeen cierto sentido. 2 _M´_{etodo de Gauss–Jordan.}

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Contenido

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales

Ra´ıces de ecuaciones no lineales

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M´

etodos para calcular ra´ıces de ecuaciones no lineales

Hay muchos m´etodos para calcular (aproximadamente) ra´ıces de ecuaciones no lineales.

Vamos a estudiar los siguientes m´etodos:

método de la iteración simple (= método de punto fijo) método de la bisección

m´etodos de la secante y de la posici´on falsa

método de Newton–Raphson (= método de la tangente) métodos especiales para ra´ıces de polinomios

(37)

M´

b5

(49)

M´

etodo de Newton–Raphson

Ejemplo

Calcular la ra´ız de la funci´on f (x ) = cos x + 0.4 con exactitud 0.1, usando la aproximaci´on inicial x0= 2.5.

En el n-´esimo paso trazamos la tangente en el punto (xn, f (xn))

y calculamos la intersecci´on de esta tangente con el eje de abscisas.

x

x0

x1

(50)

M´

etodo de Newton–Raphson

Ejemplo

x x0

x1

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M´

etodo de Newton–Raphson

Ejemplo

x x0 x1 x2 x0 = 2.5 f (x0) ≈ −0.4011 f0(x0) ≈ −0.5985 x1 ≈ 1.8297

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M´

etodo de Newton–Raphson

Ejemplo

x x0 x1 x2 x1 = 1.8297 f (x1) ≈ 0.1440 f0(x1) ≈ −0.9667 x ≈ 1.9786

(53)

Contenido

Interpolaci´on polinomial

(54)

Motivaci´

on

Una investigaci´on imaginaria:

Sintetizamos varias sustancias y medimos su T de superconductividad. Podemos cambiar el porcentaje de un solo elemento (Hg).

Experimentos nos dan los siguientes resultados:

% de Hg

T

11 12 15

Queremos predecir valores de T para otros valores de porcentaje.

Si no sabemos buen modelo te´orico para nuestro problema,

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Motivaci´

on

Una investigaci´on imaginaria:

Sintetizamos varias sustancias y medimos su T de superconductividad. Podemos cambiar el porcentaje de un solo elemento (Hg).

Experimentos nos dan los siguientes resultados:

% de Hg

T

11 12 15

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Problema de la interpolaci´

on polinomial

Dado un conjunto de n + 1 puntos:

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn),

donde x0 < x1< . . . < xn, construir un polinomio f de grado ≤ n

tal que f (xk) = yk (0 ≤ k ≤ n).

Teorema

El problema de la interpolación polinomial tiene una única solución.

La demostraci´on utiliza el determinante de Vandermonde. Consideremos dos representaciones del polinomio interpolante:

con la fórmula de Lagrange (muy importante para la teor´ıa); con la fórmula de Newton (más cómoda para la práctica).

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Problema de la interpolaci´

on polinomial

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn),

tal que f (xk) = yk (0 ≤ k ≤ n). Teorema

La demostraci´on utiliza el determinante de Vandermonde.

Consideremos dos representaciones del polinomio interpolante: con la fórmula de Lagrange (muy importante para la teor´ıa); con la fórmula de Newton (más cómoda para la práctica).

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Problema de la interpolaci´

on polinomial

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn),

tal que f (xk) = yk (0 ≤ k ≤ n). Teorema

La demostraci´on utiliza el determinante de Vandermonde. Consideremos dos representaciones del polinomio interpolante:

(59)

F´

ormula de Lagrange del polinomio interpolante

El polinomio de interpolaci´on en forma de Lagrange para tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), x0 < x1< x2,

se define mediante la siguiente f´ormula:

f (x ) = y0· (x − x1)(x − x2) (x0− x1)(x0− x2) + y1· (x − x0)(x − x2) (x1− x0)(x1− x2) + y2· (x − x0)(x − x1) (x2− x0)(x2− x1) .

Es f´acil ver que

f (x0) = y0· 1 + y1· 0 + y2· 0 = y0;

f (x1) = y0· 0 + y1· 1 + y2· 0 = y1;

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F´

ormula de Lagrange del polinomio interpolante

El polinomio de interpolaci´on en forma de Lagrange para tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), x0 < x1< x2,

se define mediante la siguiente f´ormula:

f (x ) = y0· (x − x1)(x − x2) (x0− x1)(x0− x2) + y1· (x − x0)(x − x2) (x1− x0)(x1− x2) + y2· (x − x0)(x − x1) (x2− x0)(x2− x1) .

Es f´acil ver que

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F´

ormula de Newton para del polinomio interpolante

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F´

ormula de Newton para del polinomio interpolante

f [x0] = y0 f [x1] = y1 f [x2] = y2 f [x0; x1] = f [x_x1₁]−f [x_−x₀0] f [x1; x2] = f [x_x2₂]−f [x_−x₁1] f [x0; x1; x2] = f [x1;x_x2₂]−f [x−x0 0;x1] f (x ) = f [x ] + f [x ; x ] (x − x ) + f [x ; x ; x ] (x − x )(x − x ).

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Contenido

Interpolaci´on polinomial

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Temas de M´

etodos Num´

ericos no incluidos en este curso

Integraci´on num´erica:

regla del trapecio, regla de Simpson, f´ormulas de Newton–Cotes.

Problemas de valor inicial para EDO:

m´etodo de Euler, m´etodos de Runge–Kutta. Problemas con valor en la frontera para EDO:

método del disparo, métodos de diferencias finitas. Soluciones numéricas de EDP:

métodos de diferencias finitas, método de elementos finitos. Descomposición QR de una matriz.

Descomposici´on de valores singulares de una matriz. Aproximaci´on de los valores propios de una matriz. . . .

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Temas de M´

etodos Num´

ericos no incluidos en este curso

regla del trapecio, regla de Simpson, f´ormulas de Newton–Cotes. Problemas de valor inicial para EDO:

m´etodo de Euler, m´etodos de Runge–Kutta.

Problemas con valor en la frontera para EDO:

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Temas de M´

etodos Num´

ericos no incluidos en este curso

m´etodo del disparo, m´etodos de diferencias finitas.

ericos no incluidos en este curso

Descomposici´on de valores singulares de una matriz. Aproximaci´on de los valores propios de una matriz.

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Contenido

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Tarea de casa

Conseguir e instalar Wolfram Mathematica u otro sistema de ´algebra computacional.

Usando la documentaci´on conocer algunas de sus posibilidades: dibujar una gr´afica, multiplicar dos matrices.

Otras opciones recomendadas: Python con NumPy, GNU Octave.

Conseguir el libro de Burden y Faires, An´alisis Num´erico,

u otro libro de Análisis Numérico. Repasar los siguientes temas de Cálculo:

l´ımite de una sucesi´on, continuidad de una funci´on en un punto,

teorema del valor intermedio, teorema del valor medio.

Repasar la representaci´on en base 2. Escribir en base 2 los n´umeros 45 y 10.75.

Deducir las f´ormulas para los coeficientes del producto de un polinomio por un binomio m´onico.

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Tarea de casa

Otras opciones recomendadas: Python con NumPy, GNU Octave. Conseguir el libro de Burden y Faires, An´alisis Num´erico,

u otro libro de An´alisis Num´erico.

Repasar los siguientes temas de C´alculo:

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Tarea de casa

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Tarea de casa

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