APLICACIONES DE LA DERIVADA: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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APLICACIONES DE LA DERIVADA:

REPRESENTACI ´ ON DE FUNCIONES

MATEM´ATICAS APLICADAS A LAS CCSS II

Jos´e Jaime Noguera Noguera

26 de enero de 2021

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Contenidos

1 Recta tg y normal

2 An´alisis de funciones

3 Gr´aficas

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Recta tangente y normal

Figura:Fuente: www.calculo.cc

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Recta tangente y normal

Recta tangente

Si f (x ) es derivable en x0, la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de y = f (x ) en x₀ es:

y = f (x₀) + f⁰(x₀)(x − x₀).

Recta normal

Si f (x ) es derivable en x₀, la ecuaci´on de la recta normal a la gr´afica de y = f (x ) en x0 es:

y = f (x0) − 1

f⁰(x0)(x − x0).

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Recta tangente y normal

EJEMPLO: halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a la funci´on f (x ) = 5x⁴− 3x en x₀ = −2.

f (x₀) = f (−2) = 5 · (−2)⁴− 3 · (−2) = 86

f⁰(x ) = 20x³− 3 → f⁰(x0) = f⁰(−2) = 20 · (−2)³− 3 = −163 Recta tangente y = f (x0) + f⁰(x0)(x − x0)

y = 86 − 163(x − (−2)) y = 86 − 163x − 326 y = −240 − 163x Recta normal y = f (x0) − _f0(x¹0)(x − x0)

y = 86 − 1

−163(x − (−2)) y = 86 + 1

163x + 2 163 y = 14020

163 + 1 163x

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Crecimiento-decrecimiento

Definici´on

Se dice que f es creciente en x₀ si existe un entorno del punto x₀, (x0− a, x₀+ a), tal que:

Si x₀− a < x < x₀ ⇒ f (x ) < f (x₀) Si x₀ < x < x₀+ a ⇒ f (x₀) < f (x )

Definici´on

Se dice que f es decreciente en x0 si existe un entorno del punto x₀, (x₀− a, x₀+ a), tal que:

Si x0− a < x < x₀ ⇒ f (x ) > f (x₀).

Si x0 < x < x0+ a ⇒ f (x0) > f (x ).

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Crecimiento-decrecimiento

Teorema (CRITERIO CRECIMIENTO-DECRECIMIENTO) f⁰(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0.

f⁰(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0.

EJEMPLO. Indica si las siguientes funciones son crecientes o de- crecientes en x = 2:

f (x ) = 3x²− 5.

Soluci´on: f⁰(x ) = 6x ⇒ f⁰(2) = 12 > 0 Por tanto f (x ) es creciente en x = 2.

f (x ) = 2x²− 1 x − 3

Soluci´on: f⁰(x ) = 4x (x − 3) − (2x²− 1)

(x − 3)² = 2x²− 12x + 1 (x − 3)² ⇒ f⁰(2) = 2 · 2²− 12 · 2 + 1

(2 − 3)² = −15 < 0.

Luego f (x ) es decreciente en x = 2.

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Crecimiendo-decrecimineto

Figura:Crecimiento-decrecimiento seg´un el signo de la derivada.

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Crecimiendo-decrecimineto

As´ı pues, si nos piden estudiar el crecimiento-decrecimiento de una funci´on (que es lo mismo que nos pidan estudiar la monoton´ıa) debemos hacer:

1 Hallar los puntos en los que la derivada de la funci´on se anula.

Esto se hace resolviendo la ecuaci´on f⁰(x ) = 0. Las soluciones de esa ecuaci´on ser´an x₀, x₁, x₂, . . .

2 Si hay discontinuidades, a˜nadimos dichos puntos a los anteriores.

3 Para el primer intervalo, tomar un punto interior, por ejemplo un a tal que −∞ < a < x0 y lo sustituimos en la derivada de la funci´on:

Si f⁰(a) > 0 ⇒ la funci´on f (x ) es creciente en (−∞, x0).

Si f⁰(a) < 0 ⇒ la funci´on f (x ) es decreciente en (−∞, x₀).

4 Repetir el paso anterior para el resto de intervalos.

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Crecimiento-decrecimiento

EJEMPLO: Estudia la monoton´ıa de f (x ) = 2x³+ 3x²− 12x PASO 1. Resolver f⁰(x ) = 0. Como f⁰(x ) = 6x²+ 6x − 12 debemos resolver:

6x²+ 6x − 12 = 0

Como es de grado 2, aplicamos la f´ormula y obtenemos:

x = −2, x = 1.

PASO 2. A˜nadir los puntos donde haya una discontinuidad. En este caso no hay.

PASO 3 y siguientes. Los puntos que hemos encontrado dividen a la recta real en los intervalos:

−2 1

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Crecimiento-decrecimiento

PASO 3 y siguientes (continuaci´on):

Debemos ahora coger un punto (el que quieras) del interior de cada intervalo (no vale -2 ni 1) y ver el signo de la derivada. Por ejemplo:

Si x = −3, f⁰(−3) = 6 · (−3)²+ 6 · (−3) − 12 = 24 > 0 Si x = 0, f⁰(0) = 6 · 0²+ 6 · 0 − 12 = −12 < 0

Si x = 2, f⁰(2) = 6 · 2²+ 6 · 2 − 12 = 24 > 0 Resumiendo nos queda:

−2 1

f⁰(x ) > 0 f⁰(x ) < 0 f⁰(x ) > 0

% & %

Es decir:

Intervalos de crecimiento: (−∞, −2) ∪ (1, +∞) Intervalos de decrecimiento: (−2, 1)

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M´ aximos y m´ınimos

Figura:M´aximo y m´ınimo.

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M´ aximos y m´ınimos relativos

Definici´on

Se dice que la función f tiene un máximo relativo en x₀ si existe un número , tal que si x ∈ (x0− , x₀+ ), entonces f (x ) < f (x0).

Definici´on

Se dice que la funci´on f tiene un m´ınimo relativo en x₀ si existe un n´umero , tal que si x ∈ (x₀− , x₀+ ), entonces f (x ) > f (x₀).

Teorema (Condición necesaria de máximo o m´ınimo relativo) Si f (x ) es derivable en x0 y tiene un máximo o m´ınimo relativo en x0, entonces f⁰(x0) = 0.

IMPORTANTE: el rec´ıproco del teorema NO ES CIERTO.

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M´ aximos y m´ınimos relativos

M´etodo 1 para hallar m´aximos y m´ınimos locales Si f⁰(x₀) = 0, entonces

Si la funci´on es creciente antes de x₀ y decreciente despu´es de x₀⇒ x₀ es un m´aximo relativo.

Si la funci´on es decreciente antes de x₀ y creciente despu´es de x0⇒ x₀ es un m´ınimo relativo.

M´etodo 2 para hallar m´aximos y m´ınimos locales Si f⁰(x0) = 0 y existe f⁰⁰(x ) 6= 0, entonces

Si f⁰⁰(x₀) < 0 ⇒ x₀ es un m´aximo relativo.

Si f⁰⁰(x₀) > 0 x₀ ⇒ x₀ es un m´ınimo relativo.

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M´ aximos y m´ınimos relativos

Por ejemplo, para f (x ) = 2x³ + 3x² − 12x ya vimos que f⁰(x ) = 6x²+ 6x − 12 y se anulaba en x = −2 y x = 1. Adem´as:

−2 1

f⁰(x ) > 0 f⁰(x ) < 0 f⁰(x ) > 0

% & %

Por tanto con el m´etodo 1:

En x = −2 hay un m´aximo relativo de valor f (−2) = 20.

Tambi´en podemos decir que el punto (−2, 20) es un m´aximo relativo.

En x = 1 hay un m´ınimo relativo de valor f (1) = −7. Tambi´en podemos decir que el punto (1, −7) es un m´ınimo relativo.

Con el m´etodo 2 tendr´ıamos que f⁰⁰(x ) = 12x + 6:

f⁰⁰(−2) = 12 · (−2) + 6 = −6 < 0 ⇒ x = −2 es m´aximo relativo.

f⁰⁰(1) = 12 · (1) + 6 = 16 > 0 ⇒ x = 1 es m´ınimo relativo.

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M´ aximos y m´ınimos absolutos

Definici´on

Si f est´a definida en [a, b] decimos que tiene un m´aximo absoluto en x0 ∈ [a, b] si f (x₀) ≥ f (x ) para todo x ∈ [a, b].

Definici´on

Si f est´a definida en [a, b] decimos que tiene un m´ınimo absoluto en x₀ ∈ [a, b] si f (x₀) ≤ f (x ) para todo x ∈ [a, b].

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M´ aximo y m´ınimos absolutos

IMPORTANTE: Si nos piden hallar los m´aximos o m´ınimos absolutos de una función en un intervalo debemos hallar los máximos o m´ınimos relativos y debemos incluir los extremos del intervalo como posibles máximos o m´ınimos absolutos. El máximo o m´ınimo absolu- to se hallará comparando los valores de la función en dichos puntos (los máximos o m´ınimos relativos más los extremos del intervalo).

Esto hay que aplicarlo en problemas de optimizaci´on.

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M´ aximo y m´ınimos absolutos

EJEMPLO. Halla el m´aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on f (x ) = 2x³+ 3x²− 12x en [−3, 3].

Ya hab´ıamos calculado los m´aximos y m´ınimos relativos:

En x = −2 hay un m´aximo relativo de valor f (−2) = 20.

En x = 1 hay un m´ınimo relativo de valor f (1) = −7.

Veamos qu´e pasa en los extremos del intervalo [−3, 3]:

En x = −3, f (−3) = 2 · (−3)³+ 3 · (−3)²− 12 · (−3) = 9.

En x = 3, f (3) = 2 · 3³+ 3 · 3²− 12 · 3 = 45.

Por tanto:

(1, −7) es m´ınimo absoluto de la funci´on en [−3, 3].

(3, 45) es el m´aximo absoluto de la funci´on en [−3, 3].

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Concavidad-convexidad

EN LAS PAU SOLO HAY QUE SABER EL CONCEPTO Definici´on

Denotemos y = t(x ) a la recta tangente a la curva y = f (x ) en x₀. Entonces:

Si en las cercan´ıas de x0, f (x ) > t(x ) entonces la curva es C ´ONCAVA en x₀. (f⁰⁰(x ) > 0)

Si en las cercan´ıas de x₀, f (x ) < t(x ) entonces la curva es CONVEXA en x₀. (f⁰⁰(x ) < 0)

En otro caso (la curva no está siempre a un lado de la tangente) x₀ es un PUNTO DE INFLEXI ÓN. (f⁰⁰(x ) = 0 y cambia de cóncava a convexa o viceversa)

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Concavidad-convexidad

Figura:Concavidad-convexidad.

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Representaci´ on gr´ afica

Debemos estudiar los puntos:

1 Dominio.

2 Puntos de corte con los ejes coordenados.

3 Simetr´ıa.

4 Periodicidad.

5 As´ıntotas.

6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monoton´ıa).

M´aximos y m´ınimos.

7 Gr´afica.

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Ejemplo 1: funci´ on polin´ omica

Veamos la funci´on f (x ) = x³− 2x²+ x (PAU junio 2017).

1 Dominio: como es un polinomio Dom f (x ) = R

2 Corte con los ejes:

Eje Y: si x = 0 → y = 0. Punto de corte del eje Y: (0, 0) Eje X: si y = 0 → 0 = x³− 2x²+ x . Sacando factor com´un:

0 = x (x²− 2x + 1). Aplicando la ecuaci´on de segundo grado a x²− 2x + 1 = 0 obtenemos: x = 0, x = 1. Puntos de corte con el eje X: (0, 0) y (1, 0).

3 Simetr´ıa. Se calcula f (−x ):

Si f (−x ) = f (x ) es sim´etrica respecto al eje OY (o la funci´on es par).

Si f (−x ) = −f (x ) es sim´etrica respecto al Origen (o la funci´on es impar).

En nuestro caso:

f (−x ) = (−x )³− 2(−x )²− x = −x³+ 2x²− x

Como f (x ) 6= f (−x ) y −f (x ) 6= f (−x ) entonces la funci´on no presenta simetr´ıas.

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Ejemplo 1: funci´ on polin´ omica

4 Periodicidad. No presenta periodicidad. (Solo se estudia en las trigonom´etricas que en principio no saldr´a en las PAU).

5 As´ıntotas. Las funciones polin´omicas no presentan as´ıntotas.

6 Crecimiento-decrecimiento. Calculamos los puntos tales que f⁰(x ) = 0:

f⁰(x ) = 3x²− 4x + 1

Si 3x²− 4x + 1 = 0 ⇒ x = 1, x = ¹₃. Por tanto los posibles m´aximos y m´ınimos son x = 1 y x = ¹₃.

Estudiamos el crecimiento y decrecimiento:

1

3 1

f⁰(x ) > 0 f⁰(x ) < 0 f⁰(x ) > 0

% & %

Si x = 0, f⁰(0) = 3 · (0)²− 4 · (0) + 1 = 1 > 0

Si x = 0,5, f⁰(0,5) = 3 · (0,5)²− 4 · (0,5) + 1 = −2,25 < 0 Si x = 2, f⁰(2) = 3 · (2)²− 4 · (2) + 1 = 5 > 0

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Ejemplo 1: funci´ on polin´ omica

6 M´aximos y m´ınimos:

En x = ¹₃ la funci´on presenta un m´aximo relativo de valor f 1

3

= 1 3

3

− 2 1 3

2

+1 3 = 4

27

En x = 1 la funci´on presenta un m´ınimo relativo de valor f (1) = 1³− 2 · 1²+ 1 = 0.

7 Gr´afica. Resumimos lo que sabemos:

Intervalos de crecimiento (−∞,¹₃) ∪ (1, +∞).

Intervalos de decrecimiento (¹₃, 1).

M´aximo relativo:(¹₃,₂₇⁴) = (0,33; 0,15).

M´ınimo relativo (1, 0)

Los puntos de corte con los ejes son (0, 0) y (1, 0).

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Ejemplo 1: funci´ on polin´ omica

7 Gr´afica. En primer lugar representamos los puntos que hemos hallado y luego dibujamos la funci´on. Si queremos

aproximarnos m´as podemos hacer una tabla con algunos valores.

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Ejemplo 2: funci´ on racional

Veamos la funci´on f (x ) = x − 1

(x − 2)² (PAU junio 2018).

1 Dominio: (x − 2)²= 0 ⇒ x = 2. Dom f (x ) = R − {2}

Eje Y: si x = 0 → y = −1

4 Punto de corte del eje Y: (0; −0,25) Eje X: si y = 0 → x − 1

(x − 2)² = 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1. Punto de corte con el eje X: (1, 0)

3 Simetr´ıa. f (−x ) = −x − 1 (−x − 2)².

4 Periodicidad. No presenta periodicidad. (Solo se estudia en las trigonom´etricas que en principio no saldr´a en las PAU).

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Ejemplo 2: funci´ on racional

5 As´ıntotas A.H. l´ım

x →+∞

x − 1

(x − 2)² = 0 ⇒ y = 0 es A.H.

Como es polinomio entre polinomio no es necesario ver el l´ımite cuando x → +∞.

Sin embargo s´ı conviene saber si la gr´afica de la funci´on va a estar por arriba o por debajo de y = 0. Por tanto, sustituimos en un valor bastante a la derecha de 0 como x = 10000 y otro muy a la izquierda, como x = −10000, obteniendo:

f (10000) = 10000 − 1

(10000 − 2)² > 0. Luego la funci´on estar´a por encima de y = 0 cuando x → +∞

f (−10000) = −10000 − 1

(−10000 − 2)² < 0. Luego la funci´on estar´a por debajo de y = 0 cuando x → −∞

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Ejemplo 2: funci´ on racional

5 As´ıntotas A.V. l´ım

x →2

x − 1 (x − 2)² = 1

0 = ±∞ → x = 1 es A.V.

Adem´as conviene ver los l´ımites laterales:

l´ım

x →2⁺

x − 1

(x − 2)² = +∞

2,1 − 1

(2,1 − 2)² = (+)

l´ım

x →2⁻

x − 1

(x − 2)² = +∞

1,9 − 1

(1,9 − 2)² = (+)

6 Crecimiento-decrecimiento Calculamos la derivada:

f⁰(x ) = 1 · (x − 2)²− (x − 1) · 2 · (x − 2) · 1 (x − 2)⁴

IMPORTANTE: en vez de operar, primero debemos ver si podemos sacar alg´un factor com´un para simplificar algo:

f⁰(x ) = (x − 2) 1 · (x − 2) − (x − 1) · 2 · 1

(x − 2)⁴ = (x − 2) − 2(x − 1) (x − 2)³

= −x

(x − 2)³

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Ejemplo 2: funci´ on racional

6 Crecimiento-decrecimiento Debemos ver cu´ando f⁰(x ) = 0:

−x

(x − 2)³ = 0 ⇒ −x = 0 ⇒ x = 0 Luego el ´unico posible m´aximo o m´ınimo ser´a x = 0.

IMPORTANTE: en nuestro estudio debemos incluir los valores que anulan el denominador: x = 2. As´ı pues:

0 2

f⁰(x ) < 0 f⁰(x ) > 0 f⁰(x ) < 0

& % &

Si x = −1, f⁰(−1) = ₍₋₁₋₂₎⁻⁽⁻¹⁾3 = ₋₂₇¹ < 0 Si x = 1, f⁰(1) = ₍₁₋₂₎⁻¹3 = 1 > 0 Si x = 3, f⁰(3)₍₃₋₂₎⁻³3 = −3 < 0

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Ejemplo 2: funci´ on racional

6 Crecimiento-decrecimiento. M´aximos y m´ınimos.

Por tanto en x = 0 hay un m´ınimo relativo de valor f (0) = ₍₀₋₂₎⁰⁻¹2 = ⁻¹₄ .

IMPORTANTE: en x = 2 no hay un m´aximo relativo porque la funci´on no existe en ese punto.

Resumiendo todo lo que sabemos:

Intervalos de crecimiento: (0, 2)

Intervalos de decrecimiento: (−∞, 0) ∪ (2, +∞) Corte con los ejes: (0; −0,25), (1, 0)

M´ınimo: (0, −0,25)

As´ıntota horizontal: y = 0. Adem´as la gr´afica est´a por arriba cuando x → +∞ y por abajo cuando x → ∞

As´ıntota vertical: x = 0. Adem´as tiende a +∞ tanto por la izquierda de 2 como por la derecha.

(31)

Ejemplo 2: funci´ on racional

7 Gr´afica. Lo primero que debemos hacer es representar las as´ıntotas, y los puntos que conocemos:

(32)

Ejemplo 2: funci´ on racional

7 Gr´afica. En base a todo lo anterior representamos la gr´afica

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Ejemplo 3: funci´ on racional

Representar f (x ) = x² x − 1

Este ser´a un ejemplo con as´ıntota oblicua. Aunque no se pide su c´alculo, en las PAU s´ı aparecen funciones de este tipo para representar.

1 Dominio: x − 1 = 0 ⇒ x = 1 → Dom f (x ) = R − {1}

Eje Y: si x = 0 → y = 0. Punto (0, 0).

Eje X: si y = 0 → 0 = _{x −1}^x² → x = 0. Punto (0, 0)

3 Simetr´ıa. f (−x ) = (−x )²

−x − 1 = x²

−x − 1

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Ejemplo 3: funci´ on racional

4 Periodicidad. No presenta periodicidad. (Solo se estudia en las trigonom´etricas).

5 As´ıntotas A.H. l´ım

x →+∞

x²

x − 1 = +∞ → No hay A.H.

Como es polinomio entre polinomio no necesitamos estudiar el l´ımite cuando x → −∞

A.V. l´ım

x →1

x² x − 1 = 1

0 = ±∞ → x = 1 es A.V. Adem´as l´ım

x →1⁺

x²

x − 1 = +∞

"

(1,1)² 1,1 − 1 = (+)

#

l´ım

x →1⁻

x²

x − 1 = −∞

"

(0,9)² 0,9 − 1 = (−)

#

(35)

Ejemplo 3: funci´ on racional

6 Crecimiento-decrecimiento.

Calculamos los puntos tales que f⁰(x ) = 0:

f⁰(x ) = 2x (x − 1) − x²· 1

(x − 1)² = 2x²− 2x − x²

(x − 1)² = x²− 2x (x − 1)² Si x²− 2x

(x − 1)² = 0 → x²− 2x = 0 → x (x − 2) = 0.

Luego los posibles m´aximos y m´ınimos son x = 0 y x = 2.

Como en x = −1 hay una discontinuidad, tambi´en lo incluimos en nuestro estudio.

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Ejemplo 3: funci´ on racional

6 As´ı pues para ver el crecimiento/decrecimiento, estudiamos los signos de la derivada:

INTERVALO (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞)

Signo f⁰(x ) + − − +

% & & %

Si x = −1 → f⁰(−1) = ³₄> 0 Si x = 0,5 → f⁰(0, 5) = −3 < 0 Si x = 1,5 → f⁰(1,5) = −3 < 0 Si x = 3 → f⁰(3) = ³₄> 0 En cuanto a m´aximos y m´ınimos:

En x = 0 hay un m´aximo relativo de valor f (0) = 0.

En x = 2 hay un m´ınimo relativo de valor f (2) = 4.

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Ejemplo 3: funci´ on racional

7 Gr´afica.

Por tanto, sabemos que:

Intervalos de crecimiento (−∞, 0) ∪ (2, +∞).

Intervalos de decrecimiento (0, 1) ∪ (1, 2).

M´aximo relativo: (0, 0).

M´ınimo relativo: (2, 4).

Cortes con los ejes: (0, 0).

As´ıntota vertical: x = 1. Adem´as por la izquierda del 1 la funci´on tiende a −∞ y por la derecha del 1 tiende a +∞.

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Ejemplo 3: funci´ on racional

7 Gr´afica. Representamos la as´ıntota, cortes con los ejes y m´aximos-m´ınimos:

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Ejemplo 3: funci´ on racional

7 Gráfica. Como no sabemos dónde está la as´ıntota oblicua, podemos dibujar algunos puntos para hacernos una idea. Por ejemplo:

x -3 -2 -1 3 4 5

f⁰(x )-2.25 -1.33 -0.5 5.4 5.33 6.25

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Ejemplo 3: funci´ on racional

7 Gr´afica. Con esto: