Calculando con Fórmulas Matemáticas

Calculando con Fórmulas Matemáticas

ALGEBRA INSPIRADA: EQUIVALENCIA Objetivos Matemáticos

 Factorizar cualquier par de enteros para encontrar su Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

 Utilizar los comandos de gcd y lcm de la TI-Nspire para verificar el Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de cualquier par de enteros.

Vocabulario

 Factor

 Múltiplo

 Divisor

Acerca de la Lección

 Encontrar el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm) de dos números enteros es una habilidad importante para el cálculo del denominador común para sumar o restar fracciones. Si los estudiantes entienden el MCD y mcm, probablemente tengan más facilidad con el mismo concepto al trabajar con variables. Esta lección se incluye como precedente sugerido a las lecciones de equivalencia.

 Recientemente, los biólogos han descubierto que el mcm de los ciclos de vida de una especie de insectos y su depredador desempeña un papel vital en la supervivencia de las especies. Al ajustar su ciclo de vida para que no tenga ningún factor en común con el ciclo de vida de su principal depredador, una especie de insectos puede aumentar sus posibilidades de supervivencia. Como investigador el Glenn Webb afirmó: "El ciclo de vida de número primo no es una coincidencia, sino que se ha desarrollado como un esfuerzo para evitar a los depredadores." En el ciclo de vida de las cigarras (véase abajo) vemos una aplicación dramática de la mcm en el mundo natural.

Expectativas e indicadores para Puerto Rico Sexto grado – Expectativa 2

Utiliza las potencias y los exponentes, los factores (divisores), los múltiplos, la factorización prima y los números relativamente primos para resolver problemas

N.SN.6.2.3 Determina la factorización prima de un número natural (hasta 100) y escribe los números como producto de factores primos usando exponentes.

 Explica y aplica el Teorema de la Factorización Única (conocido también como Teorema Fundamental de la Aritmética) para representar números como el producto de factores primos.

 Utiliza la factorización prima para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Habilidades en el uso de la Tecnología TI-Nspire™:

 Descargar documento TI-Nspire

 Abrir un documento

 Desplazarse entre páginas

 Desplazarse entre aplicaciones Consejo de Enseñanza:

 Estar seguro que el tamaño del tipo de la letra de tu TI-Nspire esté seleccionado en Medio.

 En Gráficos puedes ocultar la línea de entrada de funciones presionando

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Materiales para la Lección:

Actividad del Estudiante

Maximo_Comun_Divisor_y_Minimo_

Comun_Multiplo_Profesor.PDF Maximo_Comun_Divisor_y_Minimo_

Comun_Multiplo_Estudiante.DOC Documento TI-Nspire

Maximo_Comun_Divisor_y_Minimo_

Comun_Multiplo.tns

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ALGEBRAINSPIRADA Página 1 ©2009 education.ti.com Latinoamérica

Puntos de Discusión y Posibles Respuestas:

Consejo de Enseñanza: Solicite a los estudiantes que lean la sección sobre la cigarra. Inicie la actividad con preguntas como estas:

• ¿Por qué es una ventaja para una especie tener un ciclo de vida vital diferente de su depredador principal?

• ¿En qué años está más amenazada una especie si el ciclo vital de la especie es 3 años y el ciclo de vida de su depredador es 6 años?

• Si una especie y su depredador con diferente ciclo de vida aparecen ambas en el mismo año, ¿alguna vez volverán a aparecer juntas en el mismo año?

Ejercicios

1. Usando la siguiente recta numérica, hacer una lista de los años que son múltiplos de 12.

2. Hacer una lista de los años que son múltiplos de 9.

3. ¿Qué años son múltiplos de ambos, 9 y 12?

4. ¿Cuál es el menor entero que es un múltiplo de ambos, 9 y 12?

5. Utiliza la recta numérica de arriba para encontrar el menor entero que sea múltiplo de 9 y 13.

6. Expresa 36 y 60 como productos de potencias de números primos.

Las flechas negras muestran los múltiplos de 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 … Las flechas rojas muestran los múltiplos de 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108,…

36, 72, 108, …

36

Múltiplos de 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, … Múltiplos de 13:

13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, … 36 = 2² 3² y 60 = 2² 3 5.

En la intersección de los dos círculos, haz una lista de todos los factores que son comunes a 36 y 60. Calcular el producto de estos factores.

7. Escribe en la región A, y fuera de la intersección, los factores de 36 que no están en la intersección. Escribe en la región B, y fuera de la intersección, los factores de 60 que no están en la intersección. Calcula el producto de los factores en la región A (incluidos los factores en la intersección) y multiplícalos por el producto de los factores en la región B (pero no incluya los factores en la intersección).

8. En la aplicación de la Calculadora de la TI-Nspire, calcular gcd(36,60) y lcm(36,60).

Compara con tus respuestas en 6 y 7.

9. Usa la TI-Nspire para calcular gcd(75712, 61516) y lcm(75712, 61516).

3 × 2² = 12

3 × 2² × 3 × 5 = 180

Para el Máximo común divisor pulse

b

Introduzca los dos números separados por una coma y pulse

·

Para el mínimo común múltiple, Pulse

b

Introduzca los dos números separados por una coma y pulse

·

Otros Ejercicios:

10. Evalúa:

a) gcd(51,323) b) gcd(873,546) c) gcd(18267,18269)

11. Evalúa:

a) lcm(51,323) b) lcm(873,546) c) lcm(18267,18269)

12. Dos cometas, Alfa y Beta tienen órbitas periódicas con períodos de exactamente 76 años y 48 años respectivamente. Cuando los dos cometas aparecen en el mismo año se dice que están en conjunción.

¿Cuántos años hay entre conjunciones sucesivas?

13. Construye un diagrama de Venn como en los ejercicios 6 y 7 para encontrar dos números con gcd = 5 • 7 • 13 y lcm = 52 • 72 • 13. ¿Puedes encontrar otros dos números que tienen el gcd y lcm igual?

14. Yo nací el año X en que John F.

Kennedy se convirtió en Presidente de los Estados Unidos. ¿De qué año soy yo?

Pista: gcd(168, X) = 56 y lcm(168, X)

= 5880.

15.a) ¿Cuál es el máximo común divisor de dos números primos?

b) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de dos números primos?

c) Utilizar la parte b) para explicar por qué es una ventaja en la supervivencia de un insecto que tenga un ciclo de vida que es un número primo de años.

Conjunciones sucesivas ocurren cada lcm(48, 76) años, esto es, cada 912 años.

El gcd es el producto de los factores en el conjunto intersección, esto es:

5 × 7 × 13.

Los factores restantes son 5 y 7. Si colocamos uno en cada conjunto,

fuera de la intersección, obtenemos el número 5² × 7 × 13 o 2275 y 7² × 5 × 13 o 3185.

Si colocamos ambos factores restantes, 5 y 7 en el mismo conjunto, obtenemos el número 5² × 7² × 13 o 15925 y 5 × 7 × 13 o 455.

1960

a) El MCD de dos números primos es 1 porque ellos no comparten ningún factor común excepto 1.

b) El mcm de dos números primos es su producto.

c) Si un insecto y su depredador tienen ciclos de vida que son diferentes números primos p y la q, ellos coincidirán cada p × q años. Si sus ciclos de vida comparten un factor común grande, ellos coincidirán con más frecuencia.

16. Investiga sobre una propiedad interesante del máximo común divisor de dos números

Prueba esta receta.

Paso1. Escribe dos números enteros positivos tales que ninguno es múltiplo del otro. Llama al número más grande x y al número más pequeño y.

Paso2. Divide x por y y registra el residuo. Llámalo r.

Paso 3. Calcula gcd(x, y) y gcd(y, r). ¿Qué obtuviste?

Paso 4. Repite los pasos 1 a 3 con dos diferentes números. ¿Qué observas? Escribe una conjetura de un teorema.

Somete a prueba tu conjetura.

17. La orden resto(remain) de la TI- Nspire (31,10) da el residuo 1 cuando se divide 31 por 10. Para acceder a la orden resto pulse b26:

Cuando un número se divide por 10, el residuo es el último dígito.

a) Calcular resto(7²,10) para encontrar el último dígito de 7² años.

b) Determinar los últimos dígitos de 7³, 7⁴, 7⁵, 7⁶, 7⁷, 7⁸, 7⁹ y 7¹⁰.

c) Conjetura de la última cifra de 7¹¹. Compruebe su conjetura.

d) Conjetura el último dígito de 7¹⁴⁴? Compruebe su conjetura.

Esta propiedad es la base del algoritmo Euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números. Ya que gcd(x, y) = gcd(x, r), podemos aplicar el algoritmo de la división sobre números sucesivamente más pequeños hasta que alcancemos el residuo final que es igual a gcd(x,y).

El dígito final de las potencias de 7 hace un ciclo por los números: 7 9 3 1.

Examine los últimos cuatro dígitos de 7¹⁴⁵, 7²⁴⁵ y 7³⁴⁵. ¿Qué observas? Explica por qué pasa esto.

Investigación

Ayuda: ¿Puedes explicar por qué los números en la Columna E son el producto de los números en las Columnas C y D?

Resumiendo:

Al término del debate, el profesor debe garantizar que los estudiantes son capaces de:

 Comprender que el gcd(p,q) es el número entero más grande que es divisor tanto de p como de q.

 Comprender que el lcm(p,q) es el número entero más pequeño que es un múltiplo de p y de q.

 Descubrir mediante la investigación sugerida que gcd(p, q) × lcm(p, q) = p × q