II- Tipos de sólidos

Temario

II- Tipos de sólidos

a- Cristales moleculares b- Cristales covalentes c- Cristales iónicos

d- Cristales metálicos

Introduction to solid state physics, Charles kittel, Ed. John wiley & Sons, Inc.

Cristales moleculares

Fuerzas de interacción débiles:

Dipolo-Dipolo moléculas con momento dipolar (H₂O)

Van der Waals moléculas sin momento dipolar (gases nobles) Cristales de gases nobles

Aislantes

Débilmente ligados

Temperaturas de fusión muy bajas

¿Qué mantiene a los gases nobles juntos en el cristal?

Consideramos primero la interacción entre dos átomos de un gas noble

6

1

 r



1- Potencial atractivo (r=distancia entre átomos)

- Interacción de van der Waals o de dipolo inducido - Aumenta a distancias pequeñas

Cristales moleculares

2- Potencial repulsivo 1₁₂

 r

- Principio de exclusión de Pauli El solapamiento electrónico aumenta la energía total del sistema

- Aumenta rápidamente a distancias pequeñas

6

1

 r

12

1 r

Cristales moleculares

Potencial total = Potencial de Lennard-Jones











 



 







 



 

6 12

4 )

(r r r

V   

La fuerza entre dos átomos viene dada por:

dr r F dV( )





Distancia de equilibrio (F=0)



/6 1 0  2 r

Profundidad del pozo de potencial





 ) (r₀ V

Cristales moleculares























 

















j ij

j rij r

N r

V

6 12

) 4 2 (

) 1

(   

La energía de cohesión del cristal vendrá dada por la suma de potenciales Leonnard-Jones de todos los pares de átomos del cristal

N: nº total de átomos

½: evita contar dos veces cada par de átomos

r_ij: es la distancia entre el átomo de referencia y cualquier otro átomo r_ij se puede expresar en función de

la distancia al vecino más próximo R : r_ij  p_ijR











 



 



 



 



 

6 6

12

2 12

)

( A R

A R N

r

V   





 ^N  j

k ij

k p

A

1

Cristales moleculares

Ejemplo: cálculo de A_k para una red cúbica fcc

R 12

√2R 6

√3R 24

2R

√6R 8

12

Contribución a ΣP^-6 ΣP^-6 (acumulado) Contribución a ΣP^-12 ΣP^-12 (acumulado)

12.00 12.00 12.00 12.00 0.75 12.75 0.09375 12.0937 0.8888 13.6388 0.03292 12.1266 0.1875 13.8263 0.00293 12.1296 0.0370 13.8633 0.00017 12.1297

Valores correctos

A₆=14.4539 A₁₂=12.1318

 Sólo los átomos más cercanos contribuyen significativamente a la energía de cohesión

Distancia de equilibrio ) 0

(

0

 



 





R

dR R

r

dV R₀ 1.09



N

E   8 . 61

Cristales covalentes

Cristales formados por átomos neutros

Fuertemente ligados (enlaces covalentes)

Energías de cohesión muy altas 1- Hibridación sp³

Enlaces tetraédricos, forman estructuras 3D Ejemplo: Diamante

Nota: Si, Ge, Sn cristalizan Igual que el diamante

Cristales covalentes

2- Hibridación sp²

Enlaces trigonales, forman estructuras 2D Ejemplo: Arsénico, grafito

Enlaces lineales, forman cadenas Ejemplo: Selenio, Teluro

Cristales iónicos

Cristales formados por una red de iones positivos y negativos

Interacción mediante fuerzas electrostáticas

Enlaces iónicos

Configuración electrónica de capa cerrada

Energía electrostática de interacción entre dos iones de carga q es igual a:

ij ij

j i

ij

r

q r

q E q







Energía electrostática de interacción de un ion con todos los demás:











i i

N

i

i

R p

E q E

2 2

2 1 1

 1

Donde r_1i=p_iR, siendo R la distancia al vecino más próximo

Cristales iónicos

Constante de Madelung:





i ₁

p

 1



 depende de la geometría del cristal; la suma converge lentamente

Cl

Na

Ejemplo: NaCl





















2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

12 8 9

24 8

12 6

24 5

24 2

6 3

8 2

12 1

 6

-2.49 2.13

-0.87

6.46

-3.34

-7.58

0.42

-1.89

Valor exacto de  = 1.74756

Cristales iónicos

Energía electrostática del cristal:

R q N

R q E

N

2 2

2 ) 2

(  _{ } 





Nº de iones, N moléculas Debemos contar cada enlace iónico sólo una vez

Energía de repulsión del cristal:

rep n

R E  NB

Energía total:

 

 



  







R B R

N q E

E E



Cristales iónicos

La energía por molécula

 

 



  



R B R

q N

E 

Podemos calcular B en función de la distancia mínima R₀

) 0 /

(

0

 

 



RR

dR N E d

n R B q

n 1 0

2 

 

 

 

  



 



 





n R

q N

E

eq

1 1

0



Nota: n se determina experimentalmente

Cristales iónicos

Si sólo se tiene en cuenta la interacción repulsiva entre los vecinos más próximos, el potencial repulsivo tiene la forma

 

 



 



 



 





0 0

2

1 R R

q N

E

eq





 

 



 

   ^R

E

exp

Y la energía total tiene la forma

 

 



   

 



 

 R

q z R

N E

2

exp 

 

z es el numero de vecinos mas próximos de cada ion

Escribiendo  en función de R₀, la energía total por molécula viene dada por

Cristales metálicos

Cristales formados por una red de iones

Alta conductividad eléctrica. Un gran número de electrones se mueven libremente por el metal

Metales alcalinos: conjunto ordenado de cargas positivas en el interior de un mar uniforme de cargas negativas

Metales de transición: la presencia de electrones en la banda d aumenta la energía de ligadura, debido tanto a enlaces covalentes como a interacciones de van der Waals entre núcleos

 La mayoría cristaliza en estructuras hexagonal compacta (hcp), cúbica centrada en las caras (fcc) y cúbica centrada en el cuerpo (bcc)