GEOMETRÍA DEL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA II.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

PROPIEDADES.

 Todo plano divide al espacio en dos partes, la que está antes y la que está después de él; la que está en- cima y la que está debajo de él, etc., según la posición del plano.

 Toda recta dibujada en un plano lo divide en dos partes, cada una denominada semiplano.

 Un plano contiene infinitas rectas.

 Por una recta pasan infinitos planos.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO.

Dos rectas pueden ser:

a. Coplanarias concurrentes: Están en un mismo plano y se intersecan. En el dibujo de la dere- cha, 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶

b. Coplanarias paralelas: Están en un mismo plano y su intersección es vacía. En el dibujo de la derecha, 𝐴𝐵 y 𝐷𝐶

c. Alabeadas: No son coplanarias ni se interse- can. En el dibujo de la derecha, 𝐺𝐹 con 𝐶𝐸

A

B

C D

F E G

H

DEFINICIÓN: El ángulo entre dos rectas alabeadas, es el ángulo que se forma entre una de las rectas y una recta paralela a la otra, trazada por un punto de la primera. En el dibujo el ángulo entre las rectas alabeadas men- cionadas, sería ∠𝐵𝐹𝐺, considerando la recta 𝐺𝐹 y 𝐵𝐹 la paralela a 𝐶𝐸 , trazada desde el punto F de 𝐺𝐹 .

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO.

Dos planos pueden ser:

a. Secantes: Su intersección es una recta. En la figura anterior, el plano determinado por los puntos A, B y C con el plano determinado por los puntos C, E y F, se intersecan en 𝐵𝐶

b. Paralelos: Su intersección es vacía. En la figura anterior, el plano determinado por los puntos A, B y C con el plano determinado por los puntos G, H, E y F.

NOTA: Dos planos del espacio son paralelos o se cortan.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO EN EL ESPACIO.

E1

L1

E2

L2

E₃

L₃

Una recta con respecto a un plano puede:

a. Estar contenida en el plano. Se dice que el plano pasa por ella.

Rectas y planos en el espacio

. 2

b. Ser secante al plano. En este caso, la intersección con el plano es un solo punto. La recta puede ser obli- cua o perpendicular al plano.

c. No tener puntos comunes con el plano. Se dice que son paralelos. Se escribe 𝐿₃∥ 𝐸₃

DEFINICIÓN. Una recta y un plano son perpendiculares cuando:

a. Se intersecan.

b. Toda recta que pase por el punto de intersección, es perpendicular a la recta dada.

ACTIVIDADES.

3. Léase nuevamente la definición de perpendicularidad entre una recta y un plano y decídase si, en virtud de esa definición, es cierto el siguiente enunciado:

“Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a toda recta que esté en el plano y que pase por el punto de intersección”

4. En la figura de la izquierda, si el ∠𝐾𝑃𝑀 es recto y 𝑃𝑀 está en E, ¿se podrá concluir que E es perpendicular a 𝑃𝐾 ? ¿Por qué si o por qué no?

5. En la figura anterior a la derecha, G, H, J y P están en el plano E y 𝐴𝐵 ⊥ 𝐸 en el punto P, indicar cuáles de los siguientes ángulos deberán ser rectos:

∠𝐴𝑃𝐽 ∠𝐻𝑃𝐽 ∠𝐺𝑃𝐻 ∠𝐺𝑃𝐵 ∠𝐻𝑃𝐵 ∠𝐻𝑃𝐴

TEOREMA. Si una recta es perpendicular a dos rectas, en el punto de intersección de ellas, entonces es perpen- dicular al plano que contiene a las dos rectas.

Datos conocidos: L1 y L2 son rectas del plano E, que se intersecan en el punto O. 𝐿 ⊥ 𝐿₁ y 𝐿 ⊥ 𝐿₂ en O Demostrar que: Si L3 es cualquier recta del plano E que pasa por el punto O entonces 𝐿 ⊥ 𝐿₃.

E L

L2

L1

L3

.

.

A

A’

O

. .

.

Rectas y planos en el espacio

. 4

Demostración:

1. Sean 𝐴 y 𝐴′ puntos de L tales que 𝑂𝐴 = 𝑂𝐴′ Localización de puntos 2. Sean B, C y D puntos de L1 , L2 y L3 respectivamente tales que C-D-B

3. 𝐿 ⊥ 𝐿₁ en el punto O D.C

4. 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵 T. Mediatriz 1 y 3 5. 𝐿 ⊥ 𝐿₂ en el punto O D.C

6. 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶 T. Mediatriz 1 y 5 7. 𝐶𝐵 = 𝐶𝐵 Propiedad Reflexiva 8. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵𝐶 Postulado LLL 9. ∠𝐴𝐵𝐶 ≅ ∠𝐴′𝐵𝐶 PCTC

10. 𝐷𝐵 = 𝐷𝐵 Propiedad Reflexiva 11. ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴′𝐵𝐷 Postulado LAL 12. 𝐴𝐷 = 𝐴′𝐷 PCTC

13. El Punto D de L3 equidista de 𝐴 y de 𝐴′ por lo tanto L₃ es mediatriz de 𝐴𝐴′

14. 𝐿₃⊥ 𝐿 Definición de mediatriz

COROLARIO: Una recta perpendicular a un plano, es perpendicular a toda recta del plano.

Demostración:

1. En la figura anterior tracemos por el punto O, una paralela a 𝐵𝐶 2. Esta recta es perpendicular a L y por tanto el ángulo entre L y ella es 90 3. El ángulo entre L y 𝐵𝐶 es 90 por definición de rectas alabeadas.

4. 𝐿 ⊥ 𝐵𝐶 por definición de perpendicularidad ACTIVIDADES

TEOREMA. Por un punto de una recta, pasa un plano perpendicular a ella.

1. Sea P un punto de la recta L

2. Sean M y N dos planos diferentes que contienen a L. Un plano tiene a tres puntos no alineados

3. El plano M contiene una recta L1, perpendicular a L en P. Por un punto de una recta de un plano, pasa una y solo una perpendicular a la recta.

4. El plano N contiene una recta L2, perpendicular a L en P. Por un punto de una recta de un plano, pasa una y solo una perpendicular a la recta.

5. El Plano E tiene a las rectas L1 y L2. . Si dos rectas se intersecan, existe un plano que las contiene.

6. 𝐿 ⊥ 𝐸 en el punto P. Una recta perpendicular a dos de un plano, es perpendicular al plano.

Rectas y planos en el espacio

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TEOREMA. Un plano es bisector perpendicular de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Datos conocidos: E es un plano perpendicular a 𝐴𝐵 en C, punto medio del segmento.

Demostrar que: Si P es un punto cualquiera de E entonces AP = BP 1. C es punto medio de 𝐴𝐵 . (Dato conocido)

2. AC = CB. (Definición de punto medio)

3. Por C pasa un plano E perpendicular a 𝐴𝐵 . (Teorema: por un punto de una recta pasa un plano perpendicular a ella)

4. Si P es un punto de E entonces 𝐶𝑃 ⊥ 𝐴𝐵 . (Esta recta está en E y toda recta del plano será perpendicular a dicho segmento)

5. Existe un plano que contiene a P, A y a B. (Tres puntos no alineados están en un plano) 6. AP = BP. (Definición de mediatriz)

ACTIVIDADES.

DEFINICIÓN. La distancia desde un punto P hasta un plano E que no lo contiene, es el tamaño del segmento que une al punto con el plano.

TEOREMA. Si un plano interseca a dos planos paralelos, la intersección son dos rectas paralelas.

Datos conocidos: 𝐸₁∥ 𝐸₂, E interseca en 𝐿₁ al plano 𝐸₁ y en 𝐿₂ al plano 𝐸₂ Demostrar que 𝐿₁∥ 𝐿₂

1. 𝐸 ∩ 𝐸₁= 𝐿₁ Postulado intersección de dos planos 2. 𝐸 ∩ 𝐸₂= 𝐿₂ Postulado intersección de dos planos 3. 𝐿₁ y 𝐿₂ son coplanarias Están en el plano E

4. 𝐿₁ y 𝐿₂ no tienen puntos comunes 𝐸₁ y 𝐸₂ no tienen punto comunes 5. 𝐿₁∥ 𝐿₂ Definición de paralelas.

Rectas y planos en el espacio

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TEOREMA. Si una recta es perpendicular a uno de dos planos paralelos, entonces es perpendicular al otro.

Datos conocidos: 𝐸₁ ∥ 𝐸₂ y 𝐿 ⊥ 𝐸₁ Demostrar que 𝐿 ⊥ 𝐸₂

1. Sea A un punto de 𝐸₂ que no está en L. Existe un plano E que tiene a L y a A. (Teorema: Por una recta y un punto fuera de ella, pasa un plano)

2. 𝐸₁∥ 𝐸₂. (Dato conocido)

3. E interseca a 𝐸₁ y a 𝐸₂en 𝐿₁ y 𝐿₂ respectivamente. (Inter- sección de dos planos es una recta)

4. 𝐿₁∥ 𝐿₂ (Si un plano interseca a dos planos paralelos, enton- ces la intersección son dos rectas paralelas)

5. 𝐿 ⊥ 𝐸₁ (Dato conocido)

6. 𝐿 ⊥ 𝐿₁. (Una recta perpendicular a un plano, es perpendicular a cualquier recta del plano)

7. 𝐿 ⊥ 𝐿₂. (Una recta perpendicular a una de dos paralelas, es perpendicular a la otra)

TEOREMA. Dos planos perpendiculares a una misma recta, son paralelos.

Datos conocidos: 𝐸₁⊥ 𝐿 y 𝐸₂⊥ 𝐿 Demostrar que 𝐸₁∥ 𝐸₂

1. Supongamos que 𝐸₁ y 𝐸₂no son paralelos.

2. 𝐸₁ se intersecaría con 𝐸₂en una recta

3. Sea R un punto de esa recta de modo que 𝑅𝑄 estaría en 𝐸₂ y 𝑅𝑃 en 𝐸₁ 4. Sería 𝑅𝑄 ⊥ 𝐿. (Toda recta de 𝐸₂ es perpendicular a L)

5. Se tendría también que 𝑅𝑃 ⊥ 𝐿. (Toda recta de 𝐸₁ es perpendicular a L) 6. Existe un plano que contiene a R y a L

7. Desde R se podrían trazar dos perpendiculares a L. ¡Absurdo!

8. 𝐸₁∥ 𝐸₂

TEOREMA. Dos rectas perpendiculares al mismo plano, son paralelas.

TEOREMA. Dos planos paralelos equidistan en toda su extensión.

ACTIVIDADES.