Para medir la pendiente de una recta, o sea su inclinación, se mide cuánto subió verticalmente en qué distribución horizontal.

4.1 DEFINICIONES Y CONCEPTOS PRELIMINARES

1) abscisa (del latín, abscissa = cortada, que corta. Se refiere a que corta a la vertical): Es el valor numéri- co de la coordenada x en el plano cartesiano.

2) ordenada (del latín, lineae ordinatae = líneas paralelas. Se refiere a paralelas a la vertical): Es el valor numérico de la coordenada ye en el plano cartesiano.

3) recta: Es el conjunto de puntos que siguen la misma dirección. Una recta no tiene principio ni fin.

4) segmento de recta: Es un pedazo seleccionado de toda una recta en el que está perfectamente determi- nado su inicio y su final.

Es muy importante distinguir entre una recta y lo que es un segmento de recta. La recta no tiene prin- cipio ni fin, aunque en el papel aparezca un pedacito nada más. Una cosa es que se dibuje solamente una parte de la recta y otra cosa es que la recta sea nada más ese pedacito dibujado. Lo que sucede es que como no tiene principio ni fin, es imposible dibujarla así, sin principio ni fin.

Si de toda esa recta infinita en longitud, se selecciona un pedacito determinado, señalando clara- mente en dónde empieza y en dónde termina, lo que se tiene es un segmento de esa recta.

5) pendiente: La pendiente de una recta, representada con la letra m , es la inclinación de dicha recta. Una pendiente puede ser positiva o ne- gativa. Es positiva si trasladada la recta al origen atraviesa el primero y tercer cuadrantes; es negativa si trasladada al origen, atraviesa el segundo y cuarto cuadrantes.

Para medir la pendiente de una recta, o sea su inclinación, se mide cuánto subió verticalmente en qué distribución horizontal.

Por ejemplo, se construye una rampa como lo muestra la figura 4.1;

la inclinación que tiene es de 2 unidades hacia arriba distribuidos en

figura 4.1

3 unidades horizontales, lo cual se indica con la fracción

²₃

. Se dice entonces que su pendiente es 2 .

m = 3

Pero esa forma de medir la inclinación coincide con la función trigonométrica tangente del ángulo con la horizontal (cateto opuesto entre el cateto adyacente =

²₃

), por lo que la pendiente es lo mismo que la tangente de ese ángulo, o sea que

m = tan θ

Por ejemplo, si una recta r forma un ángulo con la horizontal de 45

^o

, como m = tan 45 y además , se dice que esa recta tiene una pendiente de .

45 1

tan = m = 1

Si una recta tiene una pendiente de m = 2 , como m = tan θ , significa que 2 = tan θ , de donde des- pejando θ = arc tan 2 , es decir, forma un ángulo respecto de la horizontal de 63.43

^o

.

4.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean dos puntos A y B cuyas coordenadas son conocidas. Un nombre genérico para esas coorde- nadas es ( x , y

1 1

) para el punto A, mientras que ( x , y

2 2

) para el punto B. Lo anterior se escri- be A x , y (

1 1

) ; B x , y (

2 2

) y está representado en la figura 4.2. La distancia que existe entre esos dos puntos se puede deducir de la siguiente manera:

Trazando una línea horizontal que pase por el punto A y una línea vertical que pase por el punto B se forma el triángulo ABC (ver figura 4.2). Ob- sérvese que la distancia horizontal AC es la dife- rencia de x

₂

menos x

₁

, mientras que la distancia vertical BC es la diferencia de y

₂

menos y

₁

. Enton- ces, por el teorema de pitágoras aplicado sobre el triángulo ABC, se obtiene que la distancia buscada AB (hipotenusa) es:

figura 4.2

en donde es muy importante aclarar que cualquiera de los dos puntos conocidos puede tomar el nombre de A y cualquiera el de B, sin que se modifique el valor de su distancia calculado con la fórmula anterior.

Ejemplo: Un punto tiene por coordenadas (9, 6) y otro punto se localiza en (3, 14). Hallar la distancia entre ellos.

Solución: Llamando A al punto de coordenadas (9, 6) y B al otro, se tiene que x₁ = 9 ; x₂ = 3

y₁ = 6 ; y₂ = 14

utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos, se tiene que

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

d = x − x + y − y

(

^{3 9}

) (

^{2 14 6}

)

²

d = − + −

( ) ( )

^{6 2 8 2}

d = − +

100 d =

10 d =

4.3 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA:

Sean los puntos A y B cuyas coordenadas son conocidas, los que determinan el inicio y el final de un segmento de recta. Un nombre genérico para esas coordenadas conocidas es x

₁

, y

₁

para el punto A, mien- tras que x

₂

, y

₂

para el punto B. Lo anterior se escribe A ( x

1

, y

1

) ; B x , y (

2 2

) .

La distancia d entre los puntos A(x

₁

, y

₁

) y B(x

₂

, y

₂

) es

d = ( x

2

− x

1

) (

²

+ y

2

− y

1

)

²

Las coordenadas del punto medio P

_m

de dicho segmento se deducen fácilmente a partir de la figura 4.3:

Es obvio que la abscisa de P

_m

(la medida hori- zontal a partir del origen de coordenadas) está a la mitad de los puntos A y B; y como la distancia hori- zontal entre esos dos puntos es x

₂

− x

₁

(ver figura 4.3), entonces a la mitad está la abscisa de P

_m

, o sea en

2 1

2 x − x

Pero no perder de vista que esa medida está dada a partir del punto A y como tiene que estar dada a partir del eje de las ye, entonces le hace falta sumarle la distancia x

₁

, con lo que se obtiene:

2 1 2 1 1

1

2

2 2

x x x x x

− x − +

+ =

2 1

2 x + x

=

Ésta es la abscisa del punto medio P

_m

. Exactamente igual se deduce la ordenada de dicho punto medio.

En conclusión:

en donde es muy importante aclarar que cualquiera de los dos puntos conocidos puede tomar el nombre de A y cualquiera el de B, sin que se modifiquen los valores de las coordenadas del punto medio.

figura 4.3

Las coordenadas (x

_m

, y

_m

) del punto medio P

_m

del segmento de recta comprendido entre los puntos A(x

₁

, y

₁

) y B(x

₂

, y

₂

), son

1 2

m

2

x x

x +

=

1 2

m

2

y y

y = +

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de recta que está delimitado por los puntos (9, 4) y (7, 14).

Solución: Llamando A al punto de coordenadas (9, 4) y B al otro, se tiene que x₁ = 9 ; y₁ = 4

x₂ = 7 ; y₂ = 14

utilizando la fórmula de las coordenadas del punto medio, se tiene que

1 2

m 2

x x

x +

= ^{1 2}

m 2

y y

y +

=

9 7

m 2

x +

= 4 14

m 2

y +

=

m

8

x = y

_m

= 9

Las coordenadas de ese punto medio son: P_m(8, 9).

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

Ejemplo 1: Las coordenadas de un triángulo son:

; y

( )

A −2 4, ^{B 8 4}

( )

^{, C}

(

^{−8 12,}

)

Investigar analíticamente si se trata de un triángulo equilátero, isósceles o escaleno (ver figura 4.4).

Solución: Cuando se pide una investigación analítica quiere decir que se haga analizado a través de cuentas, no a lo que la vista dicta, es decir, no se vale ninguna afirmación basada en que “es que ahí se ve en la fi- gura”.

Si se calcula la distancia entre los puntos A y B lo que realmente se está obteniendo es la medida del lado AB. Lo mismo sucede entre A y C y entre los puntos B y C.

figura 4.4

Entonces calculando la distancia entre los puntos A y B con la fórmula de distancia entre dos puntos:

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

dAB = x − x + y − y

( )

²

( )

²

8 2 4 4

dAB = ⎡⎣ − − ⎤⎦ + −

2 2

10 0 dAB = +

AB 10

d =

La distancia entre los puntos A y C con la fórmula de distancia entre dos puntos:

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

dAC = x −x + y − y

( )

²

( )

²

8 2 12 4

dAC = ⎡⎣− − − ⎤⎦ + −

( )

^{6 2 82}

dAC = − +

AC 10

d =

La distancia entre los puntos B y C con la fórmula de distancia entre dos puntos:

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

dBC = x −x + y − y

( ^{8 8} ) (

²

^{12 4} )

²

d

BC

= − − + −

BC 320

d =

17 88 dBC = .

Como las medidas de los lados del triángulo son dos iguales, con AB = 10; AC = 10 y BC = 17.88, se trata de un triángulo isósceles.

Ejemplo 2: Las coordenadas de un hexágono regular son:

; ;

( )

A 7 2 3. ; B 4 6 ; 7 5

(

. .

)

; ;

( )

C − 0 6 ; 7 5 . .

^D

(

^{−3 2 ; 3.}

)

; .

( )

E − 0 6 ; . − 1 5 . ^{F 4 6 ;} ( ^{. − 1 5 .} )

Comprobar que las diagonales AE y CE son iguales (ver figura 4.5).

figura 4.5

Solución: La distancia entre los dos puntos A y E es la longitud de la diagonal

d

_AE, de manera que empleando la fórmula de distancia entre dos puntos:

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

dAE = x −x + y − y

(

^{0 6 7 2}

) (

^{2 1 5 3}

)

²

dAE = − . − . + − . −

( )

²

7 8

2

4 5 d

AE

= . + − .

81 09 d

AE

= .

AE 9 00 d = .

La distancia entre los dos puntos C y E es la longitud de la diagonal

d

_CE, de manera que empleando la fórmula de distancia entre dos puntos:

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

dCE = x −x + y − y

( )

²

( )

²

0 6 0 6 1 5 7 5 dCE = ⎡⎣− . − − . ⎤⎦ + − . − .

( )

²

02 9 dCE = + −

CE 9 00

d = .

Comparando los resultados obtenidos se ve que

d

_AE

= d

_CE.

Ejemplo 3: Hallar las coordenadas del centro del hexágono del ejem- plo anterior.

Solución: El punto medio de la diagonal AD es el centro del hexá- gono (ver figura 4.6). Utilizando la fórmula de punto me- dio:

1 2

m 2

x x

x +

=

( )

7 2 3 2

m 2

. .

x + −

=

4 2

m 2

x = =

figura 4.6

1 2 m 2

y y

y +

= 3 3

2 3 ym = + =

Las coordenadas del punto medio de la diagonal AD son

P

m

( 2 3 , )

. Allí está el centro del hexágono.

Ejemplo 4: Las coordenadas de un cuadrilátero son:

; ;

( )

A 2 1, ^{B 3 9}

(

^,

)

y .

( )

C 10 11, ^{D 9 3}

(

^,

)

Comprobar que las diagonales AC y BD se bisecan (cortarse a la mitad) mutuamente.

Solución: Si las diagonales se bisecan mutuamente, es decir que se cor- tan entre sí por su punto medio una a la otra, entonces el punto medio de la diagonal BD debe coincidir con el punto medio de la diagonal AC.

Las coordenadas del punto medio de AC son:

1 2

m 2

x x

x +

= ^{1 2}

m 2

y y

y +

=

2 10 2 6

xm +

= = 1 11

2 6 ym +

= =

Dichas coordenadas son (6, 6).

Las coordenadas del punto medio de BD son:

1 2

m 2

x x

x +

= ^{1 2}

m 2

y y

y +

=

3 9

2 6

xm +

= = ^{ym = 9+}₂^{3 = 6}

Dichas coordenadas son (6, 6).

figura 4.7

Como efectivamente es el mismo punto, eso demuestra que se bisecan mutuamente.

Ejemplo 5: Las coordenadas de un triángulo son:

; y .

( )

A 3 2, ^{B 13 4}

(

^,

)

^{C 9 9}

( )

^,

Hallar la longitud de la mediana al lado AB (ver figura 4.8).

Solución: Lo primero que debe hacerse es recordar que una mediana es la recta que va del punto medio de un lado hasta el vértice opuesto.

Por lo tanto, se requieren calcular las coorde- nadas del punto medio m del lado AC. Una vez conocidas estas coordenadas, la longitud de la mediana Cm se obtiene calculando la distancia entre los puntos C y m.

Las coordenadas del punto medio m entre A y B se obtienen empleando las respectivas fórmulas de punto medio:

1 2

m 2

x x

x +

= ^{1 2}

m 2

y y

y +

=

3 13

m 2

x = + 2 4

m 2

y = +

m 8

x = y_m =3

Dichas coordenadas son: m(8, 3).

La distancia entre los puntos C y m se obtiene utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos:

(

2 1

) (

² 2 1

)

²

dCm = x −x + y − y

(

^{8 9}

) (

^{2 3 9}

)

²

dCm = − + −

( ) ( )

^{1 2 6 2}

dCm = − + −

1 36 d

Cm

= +

Cm 6 08

d = .

La longitud de la mediana al lado AB es 6.08.

Ejemplo 6: Las coordenadas de un cuadrilátero son:

; ; y

( )

A 1 3 , ^{B 3 10} ( ^, ) ^{C 11 8} ( ^, ) ^{D 9 1} ( ) ^,

Investigar analíticamente si se trata de un cuadrado, un rec- tángulo, un rombo, un romboide, un trapecio o un trapezoide (ver figura 4.9).

Solución: La longitud de los lados dará la primera pista para saber de qué tipo de cuadrilátero se trata, pero ¡cuidado!, será una pista, pero no la definitiva. Porque, por ejemplo, si tiene los cuatro lados iguales puede ser un cuadrado, pero también podría ser un rombo; si tiene por pares los lados opuestos iguales y desiguales los contiguos, puede ser un rectángulo, pero también podría ser un romboide.

Calculando las longitudes de cada uno de sus lados con la fórmula de distancia entre dos puntos

(

2 1

) (

² 2 1

)

² : d = x −x + y − y

(

^{3 1}

) (

^{2 10 3}

)

²

dAB = − + −

2 2

2 7 dAB = +

AB 53

d =

AB 7 28 d = .

(

^{11 3}

) (

^{2 8 10}

)

²

dBC = − + −

( )

²

82 2 dBC = + −

BC 68

d =

BC 8 24 d = .

(

^{11 9}

) (

^{2 8 1}

)

²

dCD = − + −

2 2

2 7 dCD = +

figura 4.9

CD 53

d =

CD 7 28

d = .

(

^{9 1}

) (

^{2 1 3}

)

²

dDA = − + −

( )

²

82 2 dDA = + −

DA 68

d =

DA 8 24 d = .

Primera conclusión: Como por una parte d_AB = d_CD y por otra d_BC = d_DA, con

d

_DC

≠ d

_DA puede ser un rectángulo o un romboide solamente. Las demás figuras quedan descartadas. Para saber cuál de estas dos figuras es, hay que recurrir a las propiedades de cada figura. Recordar que el rectángulo tiene las diagonales iguales y el romboide no. Entonces analizando las longitudes de sus diagonales se podrá saber si es rectángulo o romboide:

(

^{11 1}

) (

^{2 8 3}

)

²

dAC = − + − dBD =

(

⁹−³

) (

² + ^{1 10}−

)

²

2 2

10 5

dAC = + dBD = ⁶² + −

( )

^{9 2}

AC 125

d = d_BD = 117

11 18

dAC = . d_BD =10 81.

Las diagonales son diferentes. Por lo tanto se trata de un romboide. Este ejemplo muestra claramente que no se vale “hacer deducciones” basados en que “ahí se ve”. En el papel, la figura 4.9 parece un rectángulo o un cuadrado y simple vista jamás se hubiera sospechado que no son ni uno ni otro, sino un romboide.

EJERCICIO 4.1

Resolver los siguientes problemas:

1) Una recta tiene una pendiente de 2.5; deducir el ángulo que forma con la horizontal.

2) Una recta tiene una pendiente de 0.35; deducir el ángulo que forma con la horizontal.

3) Las coordenadas de un trapecio son: A(- 5, 2) ; B(7, 2) ; C(5, 8) y D(- 3, 8). Hallar las pendientes de sus lados no paralelos AD y BC.

4) En el trapecio del problema anterior, hallar la pendiente de la diagonal BD.

5) Una circunferencia tiene su centro en C(2, 4). ¿Cuál es la pendiente del radio CP, sabiendo que las coordenadas del punto P son (6, 1). Ver figura 4.10.

6) En la circunferencia del problema anterior, ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia?

7) ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio Q del radio CP de la circun- ferencia de la figura 4.10?

8) ¿Cuál es la pendiente de la recta trazada en la figura 4.10 desde el origen de coordenadas hasta el punto medio Q?

9) Una recta forma un ángulo de 17^o con la horizontal; ¿Cuál es su pendiente?

10) Una recta forma un ángulo de 15^o con la horizontal; ¿Cuál es su pendiente?

11) Una recta forma un ángulo de 9^o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

12) Una recta forma un ángulo de 65^o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

13) Una recta forma un ángulo de 77.65^o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

14) Las coordenadas de un punto son (2, -1) y las de otro son (0, 8); hallar la distancia entre ambos puntos.

15) Las coordenadas de un punto son (-6, -7) y las de otro son (2, -1); hallar la distancia entre ambos puntos.

16) Las coordenadas de un punto son (2, 0) y las de otro son (0, 0); hallar la distancia entre ambos puntos.

17) Las coordenadas de un punto son (5, 5) y las de otro son (9, 9); hallar la distancia entre ambos puntos.

18) Las coordenadas del extremo de un segmento de recta son (1, -4) y las del otro extremo son (3, 6); hallar las coordenadas de su punto medio.

figura 4.10

19) Las coordenadas del extremo de un segmento de recta son (11, -2) y las del otro extremo son (-3, 1); hallar las coordenadas de su punto medio.

20) Un segmento de recta está delimitado por los puntos A y C. Las coordenadas del extremo A son (- 2, 3) y las coordenadas del punto medio de dicho segmento son Pm

(

3 5,

)

. Hallar las coordenadas del otro extremo C del segmento.

21) Un segmento de recta de longitud d = 13 comienza en el punto A(- 4, 2) y termina en el punto ^{B 1, y}

( )

. Hallar el valor de la ordenada y de dicho punto B.

22) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4, 5) ; B(-3, 2) y C(1, - 2) ; investigar si se trata de un triángulo equilátero, isósceles o escaleno.

23) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(5, 8) ; B(-3, 2) y C(1, -6) ; Hallar las coordenadas de los punto medios de cada una de sus medianas.

24) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 11) ; B(8, 9) y C(-4, -1) ; Hallar las coordenadas de los punto medios de cada una de sus medianas.

25) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 12) ; B(-8, 0) y C(-6, -10) ; Hallar las coordenadas de los punto medios de cada una de sus medianas.

26) Las coordenadas de los vértices de un cuadrilátero son: A(2, 12) ; B(6, 12) ; C(2, -1) y D(6, -1) ; investigar analíticamente el tipo de cuadrilátero de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cuadri- láteros mencionadas en la página 7, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

27) Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(1, 3) ; B(4, 7) ; C(4, -1) y D(7, 3) ; investigar analíticamente el tipo de paralelogramo de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cuadriláteros mencionadas en la página 7, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

28) Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(2, 2) ; B(7, 15) ; C(12, 2) y D(7, -11) ; investigar analíticamente el tipo de paralelogramo de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cuadriláteros mencionadas en la página 7, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

29) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 2) ; B(8, 16) y C(12, 2) . Hallar la longitud de cada una de las medianas.

30) Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(2, 2) ; B(7, 15) ; C(12, 2) y D(7, -11) . Hallar analíticamente las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales.

31) Comprobar que las diagonales del paralelogramo del problema anterior se bisecan mutuamente.

La ecuación en forma general de la recta es Dx + Ey + F = 0

La ecuación particular de la recta es y = mx + b

en donde: * m es la pendiente de la recta;

* b es la ordenada al origen.

4.4 ECUACIÓN EN FORMA GENERAL Y EN FORMA PARTICULAR

La ecuación de la recta en forma general es la que se obtiene de la ecuación general de las cónicas, eliminando “los cuadrados”, como se mencionó en la posibilidad 1 del análisis de la ecuación general, en la página 24, la cual es la siguiente:

A esta ecuación se le llama ecuación en forma general o simplemente forma general de la recta.

Pero, como ya se explicó anteriormente, la ecuación en forma general proporciona una información bastante limitada acerca de la gráfica que le corresponde, en este caso, al de la recta. Para saber más de ella, es necesario pasar esa ecuación de la forma general a la forma particular, ya que la ecuación en forma particular es la que proporciona toda la información de las características de la figura.

Como la ecuación particular es la que da la información completa de la figura correspondiente, en el caso particular de la recta se tiene la siguiente regla:

Pendiente significa la inclinación de la recta, conforme a la definición dada en la página 29. Una pendiente puede ser positiva o negativa. Es positiva si trasladada la recta al origen atraviesa el primero y tercer cua- drantes; es negativa si trasladada al origen, atraviesa el segundo y cuarto cuadrantes.

Ordenada al origen significa la distancia sobre el eje de las ye en que la recta corta a dicho eje, como se muestra en la figura 4.11.

figura 4.11

1) Para transformar la ecuación de una recta de la forma general a la forma parti- cular:

* Se despeja la variable Y;

* El lado derecho se parte en dos fracciones, en caso de que resulte con deno- minador, hasta obtener los dos términos mx y b.

2) Para transformar la ecuación de una recta de la forma particular a la forma general:

* Se quitan los denominadores, multiplicando toda la igualdad por el común denominador de todos los denominadores que aparezcan;

* se escriben todos los términos del lado izquierdo para que quede igualado a cero.

* si resulta negativo el primer término Dx, se le cambia de signo a toda la igualdad.

Por ejemplo, si se tiene la ecuación particular de una recta , en este caso, como y , entonces por

2 3

y = x +

m =2 b =3

el significado que tienen estos números, la pendiente es 2 y la recta corta al eje de las ye a tres unidades a partir del origen (ver figura 4.12).

4.5 TRANSFORMACIONES

Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la misma ecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones de una forma a la otra.

Ejemplo 1: Transformar la ecuación 12 x − 3 y + 7 = 0 de la forma general a la particular y deducir los valores de b y de m.

Solución: Como para pasar de la forma general a la particular, simplemente debe despejarse la variable y, entonces, despejándola se obtiene:

12x−3y+ =7 0

figura 4.12

12 x + = 7 3 y

que es exactamente lo mismo que escribirlo al revés:

3 y = 12 x + 7

12 7

3

y x+

=

12 7

3 3

y = x +

4 7 y = x + 3

de donde,

m =4

y

7

.

b = 3

Ejemplo 2: Transformar la ecuación

7 ¹¹

, de la forma particular a la forma general y deducir

y = − x+ 5

los valores que corresponden a D, E y F .

Solución: El primer paso es quitar los denominadores que aparezcan. El denominador 5 puede eliminarse multiplicando por cinco la fracción en la que aparece, pero como es una igualdad, debe aplicar- se la propiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado tam- bién para que la igualdad se conserve, de lo que resulta:

( )

¹¹

5 5 7

y = ⎡⎢⎣− x+ 5 ⎤⎥⎦ 5y = −35x+11

El segundo paso es escribir del lado izquierdo todos los términos, dejando la expresión iguala- da a cero:

35 x + 5 y − 11 = 0 de donde:

D = 35

E = 5

F = - 11

E

JERCICIO 4.2

Transformar a su ecuación particular y encontrar la pendiente m y la ordenada al origen b de cada una de las siguien- tes rectas:

1) 12x + 3y - 6 = 0 8) 8x + 2y + 11 = 0

2) 8x + 2y + 16 = 0 9) 15x + 5y + 21 = 0

3) 15x + 5y + 10 = 0 10) 5x - 2y + 33 = 0

4) 5x - y + 61 = 0 11) 9x + 7y - 19 = 0

5) 9x + y = 0 12) 3x + 2y = 0

6) 19x + y = 0 13) x + y = 0

7) 13x - y = 0 14) 83x - 2y - 51 = 0

Transformar a su ecuación general:

15)

y = 3 x + 8

16) y = −7x+1

17)

y = 5 x − 13

18) y = −15x−3

19) 5 2 20)

7

y = x+ 4 12

9 y = x−

21) 11 21 22)

14

y = − x+ 6 24

24 y = − x−

23) 14 25 24)

35

y − x+

= 17

14 7 y = x +

25) 5 26)

2 4

y = − x + 10

11 y = x

27) 5 28)

3 3

y = − x − 7 5

4 2

y = x −

4.6 OBTENCIÓN RÁPIDA DE LA GRÁFICA

Dado que la ecuación particular proporciona todos los detalles para definir perfectamente la gráfica correspondiente, se pueden obtener las gráficas de las rectas con los datos de m y de b. Simplemente se localiza primero la ordenada al origen y luego, a partir de ese punto, se hace una especie de escalón que marcará la pendiente m, en donde hay que recordar que el numerador es la elevación vertical (sobre el eje de las ye) y el denominador su distribución horizontal (sobre el eje de las x ), y poner atención en el signo de la pendiente.

Ejemplo 1: Obtener la gráfica de

5 x − 15 y + 60 = 0

Solución: Pasando la ecuación de la forma general en que está escrita a la forma particular, para lo cual basta despejar la variable ye:

5x+60 =15y

que es exactamente lo mismo que escribirla al revés:

15y =5x+60

dividiendo ambos lados entre 15 para despejar ye:

15 5 60

15 15 15 y = x +

simplificando:

1 4

y = 3 x+

de aquí se obtiene que la pendiente es 1 y que .

m = 3

b = 4

PRIMER PASO: Se localiza la ordenada al origen

b = 4

, que es la distancia sobre el eje de las ye a partir del origen, como se muestra en el primer paso de la figura 4.13.

SEGUNDO PASO: A partir de ese punto, se “pone el escalón” que da la pendiente. En este caso, como 1 , el numerador 1 indica

m = 3

que debe tener una elevación vertical de una unidad; y el denomina-

figura 4.13

dor 3 señala que esa elevación debe estar distribuida en 3 unidades horizontales. Haciéndolo se obtiene el segundo paso de la figura 4.13.

Finalmente se traza la recta, haciéndola que pase por el punto señalado en el primer paso y que se apoye en la parte final del escalón, quedando la recta como la tercera parte de la figura 4.13.

Ejemplo 2: Obtener la gráfica de 3x + 2y − =4 0

Solución: Pasando la ecuación original a su forma particular para deducir los valores de m y de b, se obtiene:

3 , 2 2 y = − x+

de donde se ve que 3 ; . m = − 2

b = 2

PRIMER PASO: Se localiza la ordenada al origen

b = 2

, que es la distancia sobre el eje de las yes a partir del origen por donde pasa la recta, como se muestra en el primer paso de la figura 4.14.

SEGUNDO PASO: A partir de ese punto, se “pone el escalón” que da la pendiente. En este caso, como 3 , el signo negativo

m = − 2

indica que va del segundo al cuarto cuadrante, el numerador 3 indica que debe tener una elevación vertical de tres unidades y el denomina- dor 2 señala que esa elevación debe estar distribuida en dos unidades horizontales. Haciéndolo se obtiene el paso 2 de la figura 4.14. Final- mente se traza la recta, haciéndola que pase por el punto señalado y que “se apoye en el escalón” que le dará la pendiente 3/2, quedando como en la tercera parte de la figura 4.14.

EJERCICIO 4.3

Obtener la gráfica con el procedimiento del ejemplo anterior de las ecuaciones #15 al #28 del ejercicio 4.2.

figura 4.14

4.7 DEFINICIÓN DE UNA RECTA

Existen dos formas para dejar bien definida a una recta, pero antes de señalarlas es indispensable com- prender bien el significado de la frase quedar bien definido.

Un objeto queda mal definido, bajo el entendido de que no hay falsedades, cuando la descripción que se hace de él es insuficiente, de manera que admite otros objetos que cumplen con la descripción y que no son el definido.

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguiente manera: Es un ser viviente. Esta descripción hecha de un hombre, aunque cierta, es insu- ficiente, ya que admite a animales y vegetales que no son hombres, como los perros, gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., que cumplen con la descripción, es decir que son “seres vivos”. Por lo tanto, se dice que está mal definido.

En el caso particular de la recta, si se desea definir una recta determi- nada diciendo únicamente que pasa por el punto ^{A 2 1} ( ) ^, , está mal defi- nida ya que admite a otras rectas que cumplen con la descripción y no son la que se pretende definir, como lo muestra la parte superior de la figura 4.15.

O bien, si se dice nada más que tiene una inclinación de 45

^o

, también queda mal definida por admitir muchas rectas que cumplen esa descrip- ción, tal como se ve en la parte inferior de la figura 4.15.

En cambio, un objeto queda bien definido cuando la descripción que se hace de él no admite a otros objetos que no sea el definido.

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguiente manera: Es un ser viviente y pensante. Esta descripción hecha de un hombre ya no admi- te a animales y vegetales como a los perros, gatos, peces, duraznos, bac- terias, etc., pues ninguno de ellos cumple con la descripción de “ser pen- sante”. Por lo tanto, se dice que está bien definido.

En el caso particular de la recta, si se define una recta determinada diciendo que pasa por los puntos ^{A 2 1} ( ) ^, y , ^{B 3 7} ( ^, ) está bien definida

ya que no admite a otras rectas que cumplan con la descripción; solamente hay una recta que pasa por esos dos puntos.

O bien, si se dice que tiene una inclinación de 45

^o

y además pasa por el punto ^{A 0 4} ( ^, ) , también de esta manera queda bien definida por no admitir a ninguna otra recta que cumpla esa descripción; solamente existe una recta que pueda pasar por el punto mencionado y con esa inclinación.

figura 4.15

De manera que las dos formas para dejar bien definida a una recta son:

1) Conociendo las coordenadas de dos puntos por los que pasa; y 2) conociendo un punto por el que pasa y su pendiente.

En ambos casos se tiene una fórmula respectiva para calcular la ecuación de la recta que cumple con una de las dos condiciones, las cuales se dan en el siguiente recuadro:

De las dos fórmulas anteriores, por comparación se infiere que la pendiente de una recta de la que se conocen las coordenadas de dos puntos por la que pasa A x , y (

1 1

) y B x , y (

2 2

) , es

1 2

1 2

y y

m x x

= −

−

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 4) y B(0, - 2).

Solución: En este caso:

1 ;

1

1 A 4 x y

= ⎫⎬

= ⎭

2

2

0 B 2 x

y

= ⎫

= − ⎭⎬

Utilizando la fórmula de "dos puntos" y sustituyendo valores:

1) La ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos A ( x

1

, y

1

) y

(

2 2

) es B x , y

( )

1 2

1 1

1 2

y y

y y x x

x x

− = − −

−

2) La ecuación de la recta que pasa por un punto conocido A ( x

1

, y

1

) y de pendiente m conocida, es

( )

1 1

y − y = m x − x

( )

1 2

1 1

1 2

y y

y y x x

x x

− = − −

−

( ) ( )

4 2

4 1

1 0

y − − x

− = −

−

( )

4 2

4 1

y− = 1+ x−

( )

4 6 1

y− = x− 4 6 6 y− = x−

6 6 4 y = x− +

6 2

y = x −

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y tiene pendiente m = 4. Solución: En este caso:

x₁ = - 3 y₁ = 2 m = 4

Utilizando la fórmula de “punto y pendiente” de la página 49 y sustituyendo valores:

( )

1 1

y− y = m x−x

( )

2 4 3

y− = ⎡⎣x− − ⎤⎦

( )

2 4 3

y− = x+ 2 4 12 y− = x+

4 12 2 y = x+ +

4 14

y = x +

4.8 COORDENADAS DE UN PUNTO DE INTERSECCIÓN

Una herramienta muy práctica en la resolución de problemas es la localización de las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, las cuales se obtienen resolviendo “por simultáneas” las ecuaciones respectivas de cada una de las rectas que se cortan entre sí.

Ejemplo 3: Hallar el punto de intersección de las rectas3x + 5y − =2 0 y 2x −3y + =5 0 (ver figura 4.16).

Solución: Resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones:

(1) 3x+5y− =2 0 (2) 2x−3y+ =5 0

multiplicando por 3 la ecuación (1) y por 5 la ecuación (2) se obtiene:

9 15 6 0

10 15 25 0

19 19 0

x y

x y

x

+ − =

− + =

+ =

despejando:

19x = - 19

1 x =

sustituyendo este valor en la ecuación (1):

(1) 3(- 1) + 5y - 2 = 0 - 3 + 5y - 2 = 0

5y = 2 + 3

1 y =

de manera que las coordenadas donde se cortan estas dos rectas son

^P ( ^{− 1 1 ,} )

.

figura 4.16

¹ COROLARIO significa Proposición que se deduce fácilmente de lo demostrado antes.

4.9 RECTAS PARALELAS

La condición obvia para que dos rectas sean paralelas es que tengan exactamente el mismo ángulo y, por lo tanto, la misma inclinación o pendiente.

Ejemplo: La recta 3 es paralela a la recta porque ambas tienen la misma pendien- 4 1

y = x − 3

4 10 y = x +

te que es 3 . m = 4

Óbservese lo siguiente: Si ambas ecuaciones de las dos rectas anteriores escritas en forma particular se transforman a su forma general se obtiene lo siguiente:

3 1

y = 4 x − 4y = 3x −4

3 x 4 y 4 0

− + + =

3 10 y = 4 x + 4y = 3x + 40 3x 4y 40 0

− + − =

Los términos en equis y en ye son exactamente iguales. De aquí se saca el siguiente corolario¹:

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir que

1 2

m = m

para lo cual se requiere que estén escritas en su forma particular.

Dos rectas son paralelas si tienen los términos en equis y en ye respecti-

vamente iguales, para lo cual se requiere que estén en su forma general.

EJERCICIO PARA HACERSE O DISCUTIRSE EN CLASE:

Argumentar por qué los siguientes pares de rectas son paralelas; en caso de que alguno no lo sea argumentar por qué no son paralelas:

1) 2)

4 22

3

4 13 3

y x

y x

⎧ = −

⎪⎪⎨

⎪ = +

⎪⎩

11 4 2

11 2

y x

y x

⎧ = +

⎪⎪⎨

⎪ =⎪⎩

3) 4)

7 13

1 5

7

y x

y x

= −

⎧⎪

⎨ = +

⎪⎩

6 9 6 22

y x

y x

= −

⎧⎨ = +

⎩

5) 5 9 6)

5 43

y x

y x

= − −

⎧⎨ = − −

⎩

3 11 2 0 3 11 3 0

x y

x y

− − =

⎧⎨ − − =

⎩

7) 2 11 0 8)

2 0

x y x y

− + + =

⎧⎨− + =

⎩

7 9 0

7 13 0

x y

x y

− − =

⎧⎨ − − =

⎩

9) 2 7 1 0 10)

7 2 1 0

x y

x y

+ + =

⎧⎨ + + =

⎩

5 21 3 0

5 21 7 0

x y

x y

+ − =

⎧⎨ + + =

⎩

4.10 RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signos opuestos, o sea que

1

2

m 1

= − m

para lo cual se requiere que estén escritas en su forma particular.

Ejemplo: La recta 3 tiene una pendiente mientras que la recta 2 7

y = x − 3

m = 2 2

3 19 y = − x +

tiene una pendiente ₂ 2 , por lo tanto si se grafican resultarán perpendiculares porque sus m = − 3

pendientes son recíprocas y de signos contrarios.

Se recomienda como ejercicio que en equipos de dos, los alumnos grafiquen ambas ecuaciones para que comprueben que son perpendiculares.

Óbservese lo siguiente: Si ambas ecuaciones de las dos rectas anteriores escritas en forma particular se transforman a su forma general se obtiene lo siguiente:

3 7

y = 2 x − 2y = 3x −14 3x 2y 14 0

− + + =

2 19 y = − 3 x +

3 y = − 2 x + 57 2 x + 3 y − 57 = 0

De aquí se saca el siguiente corolario:

Ejemplo: Estas dos rectas son perpendiculares

9 2 1 0

2 9 12 0

x y

x y

− − =

⎧⎨ + − =

⎩

porque los coeficientes (en valor absoluto) de la equis con el de la ye de una ecuación a la otra están intercambiados. Además la equis conservó su signo mientras que la ye lo cambió.

Por la misma razón, analícese que el siguiente par de rectas son perpendiculares:

11 13 0

11 2 0

x y

x y

+ − =

⎧⎨− + − =

⎩

Dos rectas son perpendiculares si tienen los coeficientes de los términos en equis y en

ye respectivamente intercambiados (en valor absoluto) y entre ellos un signo es igual

mientras que el otro debe ser contrario, para lo cual se requiere que estén en su forma

EJERCICIO PARA HACERSE O DISCUTIRSE EN CLASE:

Argumentar por qué los siguientes pares de rectas son perpendiculares; en caso de que alguno no lo sea argumentar por qué no son perpendiculares:

1) 2)

3 4

11

11 9 3

y x

y x

⎧ = +

⎪⎪⎨

⎪ = − −

⎪⎩

5 1 1 7 5

y x

y

= +

⎧⎪

⎨ = − +

⎪⎩

3) 4)

4 1

7 2

7 8

4

y x

y x

⎧ = −

⎪⎪⎨

⎪ = −

⎪⎩

1 11 7

7 1

y x

y x

⎧ = −

⎪⎨

⎪ = − +

⎩

5) 6)

3 22 1 31 3

y x

y x

= − +

⎧⎪

⎨ = +

⎪⎩

6 7 29 0

7 6 28 0

x y

x y

− − =

⎧⎨ + − =

⎩

7) 4 11 1 0 8)

11 4 3 0

x y

x y

+ + =

⎧⎨− + + =

⎩

9 11 4 0

11 9 13 0

x y

x y

− − =

⎧⎨ − − =

⎩

9) 0 10)

0 x y x y

− =

⎧⎨ + =

⎩

13 0 11 0 x y

x y

− − =

⎧⎨− − − =

⎩

4.11 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

Cuando se conocen las coordenadas de un punto P y la ecuación de una recta, es posible calcular la

distancia que hay entre ese punto de coordenadas P x , y (

1 1

) y la recta de ecuación D x + E y + = F 0 .

Aquí una cosa muy importante es definir de qué manera debe medirse esa distancia desde el punto hasta la recta, por- que, dentro de las múltiples opciones que existen, puede ha- cerse la medición de diferentes formas.

En la figura 4.17 se ve que efectivamente, la distancia 1 tiene diferente medida que la distancia 2. Y conforme se mide con diferente inclinación, la distancia será cada vez diferente.

Surge necesariamente la pregunta: ¿Cuál de todas las medidas es la correcta? ¿Y por qué?

Se puede ver fácilmente que cada medición es mayor cuan- do la inclinación aumenta y menor cuando disminuye la incli- nación. Esto implica que no hay límite en cuanto a la medida más grande posible, pero en cambio sí hay una, entre todas, que es la más pequeña. Esa es exactamente la que se hace en forma perpendicular a la recta. Por lo tanto, para evitar confu-

siones, se define la distancia de un punto a una recta como la medida más pequeña que es posible realizar;

en otras palabras, es la medida perpendicular a la recta.

De manera que cada vez que se haga referencia a una distancia, debe darse por hecho que se refiere, por definición, a la medida perpendicular. Tal distancia se puede calcular por medio de la siguiente relación:

en donde D, E y F son las constantes de la ecuación de la recta en la forma general, mientras que x

₁

, y

₁

son los valores de las coordenadas del punto conocido. Las dos lineas verticales que abarcan al numerador significan “valor absoluto”, es decir, no debe tomarse en cuenta el signo negativo.

Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(7, 4) y que es paralela a la recta (ver figura 4.18).

2x− − =y 5 0

figura 4.17

La distancia entre el punto conocido P x , y (

1 1

) y la recta de ecuación D x + E y + = F 0 es

1 1

2 2

D E F

D E

x y

d + +

= +

Solución: Como las dos rectas son paralelas, deben tener la misma pendiente; de manera que debe obtenerse la pendiente de la recta que se conoce su ecuación y “pasársela” a la otra: Para obtener la pendiente de la recta debe escribirse en la forma particular, 2x− − =y 5 0

es decir, debe despejarse la variable ye. Haciéndolo, se obtiene:

2x - y - 5 = 0 2x - 5 = y

y = 2x - 5

la pendiente de esta recta es m = 2. De manera que esta pendiente es la misma que la de la recta pedida. Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto , utilizando la fórmula de “punto y pendiente”

( )

A 7 4,

de la página 49 y sustituyendo valores:

( )

1 1

y− y = m x−x

( )

4 2 7

y− = x− 4 2 14 y− = x−

2 14 4 y = x− +

2 10

y = x −

Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(- 3, 1) y que es perpendicular a la recta

. Ver figura 4.19.

4x+ 2y − =5 0

Solución: Como las dos rectas son perpendiculares, sus pen- dientes deben ser recíprocas y de signos contra- rios; de manera que debe obtenerse la pendiente de la recta que se conoce su ecuación y “pasárse- la” a la otra por medio de la condición de perpen- dicularidad.

Para obtener la pendiente de la recta 4x+2y− =5 0

tiene que escribirse en la forma particular, es de- cir, debe despejarse la variable ye.

figura 4.18

figura 4.19

4x + 2y - 5 = 0 2y = - 4x + 5 y = - 2x + 5/2

la pendiente de la recta dada es m = - 2. De manera que la pendiente de la perpendicular es ₂ 1 . m = 2 Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto

^P ( ^{− 3 1 ,} )

, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página 49 y sustituyendo valores:

( )

1 1

y− y = m x−x 1

( )

1 3

y− = 2 ⎡⎣x− − ⎤⎦

( )

1 1 3

y− = 2 x+

( )

2 y−1 = +x 3 2y− = +2 x 3

2 2 3 0

x y

− + − − =

2 5 0 x − y + =

Ejemplo 6: Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a otra recta que tiene por ecuación

7 x − 6 y − 71 = 0

y que además pasa por el punto de intersección de las rectas

8 9 24 0

3 3 0

x y

x y

+ − =

⎧⎨ + − =

⎩

(ver figura 4.20).

figura 4.20

Solución: Como la recta pedida es paralela a otra cuya ecuación es

7 x − 6 y − 71 = 0

, deben tener la misma pendiente; de manera que despejando la variable ye de esta última ecuación para obtener su pendiente y pasársela a la otra:

7 x − 6 y − 71 = 0 6 y 7 x 71

− = − +

6 y = 7 x − 71

7 71

6 y = x −

7 71

6 6

y = x −

de donde se ve que ₁ 7 . m = 6

El punto de intersección de las rectas

8 9 24 0

3 3 0

x y

x y

+ − =

⎧⎨ + − =

⎩

se obtiene resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones:

(1) 8x + 9y - 24 = 0 (2) x + 3y - 3 = 0

multiplicando por - 8 la ecuación (2) se obtiene:

(1a) 8x + 9y - 24 = 0 (2a) - 8x - 24y + 24 = 0

S))))))))))))))))Q

sumando: - 15y = 0

0 y =

sustituyendo este valor en la ecuación (2) original:

(2) x + 3(0) - 3 = 0 x - 0 - 3 = 0

3

x =

de manera que las coordenadas del punto P donde se intersecan estas dos rectas son

^{P 3 0} ( ^, )

. Se tie- nen ya la pendiente y un punto conocido de la recta que se pide su ecuación, por lo que, en este caso:

x₁ = 3 y₁ = 0

7 m = 6

Utilizando la fórmula de “punto y pendiente” de la página 49 y sustituyendo valores:

( )

1 1

y− y = m x−x

( )

0 7 3

y− = 6 x−

forma particular

7 7

6 2

y = x−

O bien, si se quiere en su forma general:

(multiplicando ambos lados por 6)

7 7

6 6

6 2

y = ⎛⎜⎝ x− ⎞⎟⎠

6y = 7x−21 −7x+6y+21=0

7x−6y−21= 0

OTRA FORMA:

Si la recta pedida es paralela a la recta de ecuación

7 x − 6 y − 71 = 0

, entonces por lo visto antes esa recta pedida debe tener exactamente igual los términos en equis y en ye, o sea 7x −6y. Falta deter- minar cuánto vale el término independiente o el “numerito solo”.

Sea k dicho término independiente. Entonces la ecuación buscada tiene la forma 7x −6y + k = 0, en la que debe determinarse cuánto vale k. Lo primero es calcular las coordenadas del punto de inter- sección de las otras dos rectas, lo cual ya se hizo en el método anterior, obteniéndose que son (3, 0).

Como la recta buscada 7x −6y + k = 0 pasa por (3, 0) significa que allí la equis vale 3 y la ye vale 0. Sustituyendo estos valores en la recta buscada:

7x− 6y + k = 0

( ) ( )

7 3 −6 0 + k = 0 21− +0 k = 0

21 k = −

De modo que la ecuación de la recta buscada es

7 x − 6 y − 21 = 0

Ejemplo 7: Los vértices de un cuadrilátero son:

; ; y .

( )

A −2 2, ^{B 1}

(

^,−1

)

^C

(

^{− −2, 5}

)

^D

(

^{− −5, 2}

)

Investigar si es cuadrado, rectángulo, rombo, romboide o trape- cio.

Solución: Graficando los puntos en el plano para ir efectuando las deduc- ciones y razonamientos en base al dibujo previo se obtiene la figura 4.21.

Lo primero que hay que investigar es si hay lados paralelos, para saber si se trata de un paralelogramo o no. Para eso deben obte- nerse las pendientes de los cuatro lados.

Con la fórmula de la pendiente ^{1 2} descrita en la página 49, se obtiene:

1 2

y y

m x x

= −

−

pendiente m_AB :

( )

AB

2 1

2 1

m − −

= − −

AB

1

m = −

pendiente m_BC :

( ) ( )

BC

1 5

1 2

m − − −

= − −

BC

4 m = 3

figura 4.21

pendiente m_DC :

( ) ( )

DC

2 5

5 2

m − − −

= − − −

DC

3 m = 3

−

DC 1

m = −

pendiente m_AD :

( ) ( )

AD

2 2

2 5

m − −

= − − −

AD

2 2 2 5

m = +

− +

AD

4 m = 3

Como m_AB = m_DC y además m_BC = m_AD , se puede ya obtener la primera conclusión: Se trata de un paralelogramo. El siguiente paso es investigar si los lados forman ángulos rectos o no. Para ello se requiere, por la condición de perpendicularidad, que las pendientes sean recíprocas y de signos contra- rios y en este caso no lo son, lo que significa que los lados no son perpendiculares. Por lo tanto no es cuadrado ni tampoco rectángulo.

Quedan solamente dos posibilidades: que sea rombo o que sea romboide. Para investigarlo hay dos opciones, de acuerdo con las propiedades de los paralelogramos vistas en la página 8: Primera, por el tamaño de sus lados, sabiendo que el rombo tiene sus cuatro lados iguales; segunda, por sus diagonales, sabiendo que las diagonales del rombo son perpendiculares.

Por el tamaño de sus lados: obteniendo la distancia entre los puntos A y B y luego entre los puntos B y C, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos.

Para la distancia A-B se tiene que

(

1 2

) (

² 1 2

)

²

d = x −x + y − y en donde:

x₁ = - 2 ; y₁ = 2 x₂ = 1 ; y₂ = - 1 sustituyendo valores

[ ]

²

( )

²

AB 2 1 2 1

d = − − +⎡⎣ − − ⎤⎦

( ) ( )

^{2 2}

AB 3 3

d = − +

AB

9 9

d = +

AB 18

d =

Para la distancia B-C se tiene que

(

1 2

) (

² 1 2

)

²

d = x −x + y − y en donde

x₁ = 1 ; y₁ = - 1 x₂ = - 2 ; y₂ = - 5 sustituyendo valores

( )

²

( )

²

BC 1 2 1 5

d = ⎡⎣ − − ⎤⎦ + − − −⎡⎣ ⎤⎦

( ) ( )

^{2 2}

BC 3 4

d = + −

BC 9 16

d = +

BC 25

d =

BC 5

d =

Se ve que el lado AB es diferente al lado BC . Por lo tanto, se trata de un romboide.

Ejemplo 8: Hallar la distancia entre las rectas paralelas 8x−3y−21= 0 y 8x−3y+18=0. Solución: Se localizan las coordenadas de cualquier punto P que

pertenezca a cualquiera de las dos rectas y se calcula la distancia de ese punto a la otra recta, con la fórmula de la página 56. De manera que tabulando un punto cual- quiera de la recta 8x−3y−21= 0, por ejemplo, para

, se obtiene 3

x =

x 3

y 1

La distancia entre ese punto y la otra recta está dada por la fórmula de la página 56:

figura 4.22

1 1

2 2

D E F

D E

x y

d + +

= +

En donde D =8, E = −3 y F=18 (son las constantes de la ecuación de la recta), mientras que y (son las coordenadas del punto). Sustituyendo valores en la fórmula se obtiene:

1 3

x =

y

₁

= 1

( )( ) ( )( ) ( )

²

2

8 3 3 1 18

8 3

d + − +

= + −

24 3 18 64 9

d − +

= +

39 73 d =

4 56 d = .

¡Cuidado!: Un error muy frecuente que suele co- meter el alumno es el de tabular un punto en cada una de las rectas y luego calcular la distancia entre esos dos puntos. Por ejemplo, el punto y el punto , como se

( )

A 2; −1 6. ^B

(

^{−2; 0 6.}

)

muestra en la figura 4.23.

El error está en que una distancia debe ser medida perpendicularmente por las razones expuestas en la página 56, y el hecho de localizar dos puntos, uno en cada recta, no garantiza de ninguna forma que queden en ángulo recto con las rectas a las que pertenecen. Por lo tanto, la distancia obtenida en-

tre esos dos puntos no es, en la mayoría de los casos, la que hay realmente entre uno de esos puntos y la otra recta.

4.12 CASOS ESPECIALES

1) La gráfica de la ecuación y = c , en donde c es cualquier constante (cualquier número), es una recta horizontal. Por ejemplo, la gráfica de y = 3 es la de la figura 4.24.

figura 4.23

2) La gráfica de la ecuación x = c , en donde c es cualquier constante (cualquier número), es una recta vertical. Por ejemplo, la gráfica de x = 3 es la de la figura 4.25.

figura 4.24 figura 4.25