TEMA1: SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse simultáneamente. Cada conjunto de valores de las incógnitas que satisfaga todas las ecuaciones del sistema, se llamará una solución del sistema.
Ejemplo-. = + = + 36 3 2 9 2 y x y x
, el par de valores x=3,y=6 es una solución del sistema anterior, puesto que:
= ⋅ + ⋅ = + 36 6 3 3 2 9 6 3 2
Llamamos sistemas equivalentes a los que tienen las mismas soluciones. Las transformaciones
que permiten obtener sistemas equivalentes a uno dado son:
♦ Cambiar el orden de las ecuaciones
♦ Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un nº distinto de cero.
♦ Sumar a una ecuación del sistema otra del mismo sistema multiplicada por un nº
real.
SISTEMAS LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Llamamos ecuación lineal con dos incógnitas a cualquier ecuación equivalente a una de la forma:
ax+by=c, donde a,b,c∈R
Los sistemas de ecuaciones lineales son aquellos en los que todas las ecuaciones son lineales.
Los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas de reducción,
sustitución e igualación, ya se conocen de cursos anteriores.
Tipos de sistemas según sus soluciones:
Sabemos que la representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas es una recta.
• = − = + 1 5 2 y x y x
El punto (2,1) es común a ambas rectas, por lo que x=2,y=1 es la única solución del sistema.
Decimos que el sistema es compatible
• − = + − = − 2 2 6 1 3 y x y x
Las dos rectas tienen todos los puntos comunes. Todas las soluciones de una ecuación lo son también de la otra.
El sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta. Decimos que el sistema es
compatible indeterminado: SCI
• = − = − 3 2 2 2 y x y x
No tienen ningún punto en
común. No existe ninguna solución común a las dos ecuaciones.
El sistema no tiene solución. Decimos que es
incompatible: SI
Ejercicios:
1º) Resuelve los siguientes sistemas y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles
indeterminados o incompatibles: 1) = − = − 2 4 6 1 2 3 y x y x 2) = + − = − 3 2 8 5 4 y x y x 3) = − = − − + − 14 8 3 1 4 2 3 1 x y x y x 4) = + = + 30 3 2 5 2 3 y x y x 5) = + + = + 2 9 2 2 5 2 3 2 y y x y x 6) 4 5 3 2 2 1 ( ) 6 2 9 4 8 2( 2 ) 8 3 y x x y x y y x y x x − − + = − + + − − = −
SISTEMAS NO LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es no lineal si una o ambas ecuaciones son no lineales (por ejemplo, con x2, y2, x⋅y, x ,…..).No hay un procedimiento estándar para resolverlos, aunque suele ser conveniente el método de sustitución. Si existe alguna ecuación lineal lo más aconsejable es despejar la incógnita de ella.
Ejercicios:
2º) Resuelve los sistemas:
1. = − = + 5 3 4 2 y x y xy (2,1), (-7/3, -12) 2. + = = − 78 6 2 y xy y x (19,13) 3.
(
x y)
x(
x y y)
x y + − − − = − + = 2 3 4 1 2 5 (3,1) (43/13,11/13) 4. = + − = + 2 11 3 4 2 3 4 2 3 y x y x (-37/68, 84/17) 5. = − = − + 1 3 49 2 2 2 x y xy y x [(12,5), (-9,-2)] 6. = − − − = − 0 10 4 3 1 2 2 y x x y x (3,5), (-1,-3) 7. = − − = + + 0 1 2 3 0 1 3 2 2 2 x y y x No hay solución 8. = − − = − 8 4 6 3 2 2 2 2 2 y x y x(
)
soluciones , 4 2 3± ± 9. = + = 17 2 6 2 2 y x xy [(2,3),(-2,-3), ± ± 2 2 2 2 3 , ] 10. = + = − + + + − 2 2 5 y x y x y x y x y x (3,-1), (3/2, 1/2) 11. = + = + 3 17 3 2 y x y x (2,5) 12. = − − + + = 2 1 2 y x y x y x [(17,8)] 13. = + = + − + 5 6 1 35 9 1 1 1 1 y x y x (1/6,2/3), (76/9,-137/18) 14. + + = + + ++ = + − 1 7 2 3 4 2 24 4 ) 2 ( 2 2 2 y x y x y x y x (2,-3), (-16/7,21/8) 15. = − − =− − 4 3 1 1 52 2 y x xy x (13,17), (-12,-49/3) 16. − − = + = − 2 2 , 2 2 5 ), 3 , 2 ( ), 3 , 2 ( 3 10 2 2 xy y xy xSISTEMAS LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
Para resolver un sistema lineal de más de dos ecuaciones suele ser útil el método de Gauss, que es una generalización del método de reducción que ya conoces. Consiste en transformar el sistema inicial en otro equivalente, en el cual las incógnitas se pueden despejar de forma escalonada. Ejemplo: − = + + − − = − − = + + 2 2 2 2 2 1 2 3 z y x z y x z y x escalonado e equivalent otro en ar” transform puede “se sistema Este − = − − = − − = + + 27 9 4 6 7 1 2 3 z z y z y xAhora, este sistema escalonado o triangular se resuelve fácilmente “de abajo hacia arriba”: se
obtiene el valor de z de la tercera ecuación (z = 3); éste se sustituye en la segunda y se obtiene el
valor de y (y = -2); los valores de z, y se sustituyen en la primera ecuación y se obtiene el valor
de x (x = 1).
Nota: Es más cómodo aplicar el método de Gauss a sistemas en los que el coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación sea 1 o -1.
Ejercicios:
3º) Resuelve por Gauss
a) = + + − = − + = + − 3 1 7 z y x z y x z y x b) = − − − = − − = + + 0 6 4 2 2 3 3 6 4 2 z y x z y x z y x c) = + + = + + − = − − 0 2 3 2 3 2 z y x z y x z y x d) = − + = + + = + + 1 2 2 3 3 5 1 2 2 3 z y x z y x z y x e) = + − = − + − = − + 2 2 2 1 2 5 4 2 3 z y x z y x z y x f) = − = + − − = − + 0 3 3 2 3 2 z x z y x z y x g) = + − = + + = + + 2 2 2 3 2 6 8 5 z y x z y x z y x h) − = + − = + + − = − + 2 2 3 4 5 2 3 12 3 2 z y x z y x z y x i) = + − = + + = + + 4 2 4 2 2 2 1 2 2 z y x z y x z y x
4º) Halla dos números sabiendo que suman 108 y que si se dividen el cociente es 2 y el resto 12.
5º) Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 1200 barriles al país A y 800
de mujeres supera en uno al de hombres. Averigua cuántos hombres, mujeres y niños hay, planteando el correspondiente sistema de ecuaciones.
7º) Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de Matemáticas que constaba de tres preguntas. En
la primera pregunta obtuvo una calificación igual al doble de la que obtuvo en la segunda pregunta y en la tercera pregunta obtuvo una calificación igual a la suma de las calificaciones de las otras dos. Averigua la calificación de cada pregunta.
8º) Por un helado, dos horchatas y 4 batidos nos cobraron en una heladería 20’43€ un día. Otro
día por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 26’44€. Un tercer día tuvimos que pagar 15’62€ por una horchata y cuatro batidos. Razona si hay o no motivos para pensar que algún día la factura es incorrecta.
9º) Una empresa fabrica tres modelos de frigoríficos, que llamaremos A, B y C. Para fabricar el
modelo A se precisan dos horas de trabajo de montaje y una hora de acabado. Para el modelo B, tres horas de montaje y dos de acabado. Para el C, cuatro horas de montaje y dos de acabado. Sabiendo que se han terminado 150 frigoríficos y que la unidad de montaje ha trabajado 460 horas y la de acabado 250 horas, calcula cuántos frigoríficos de cada tipo se han producido
10º)El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:
• El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 euros.
• Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos.
• El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos menos 30.000 euros.
Explica razonadamente si, con esta información, es posible averiguar cuánto ha heredado cada uno de los tres hijos.
11º)Una fábrica dispone de tres máquinas A,B y C para producir cierto artículo. Cuando trabajan
las tres se fabrican 2000 unidades por día. Si A no funciona la producción desciende un 25%. Cuando A y B funcionan normalmente, pero C sólo a tres cuartas partes de su rendimiento, la producción baja un 10%. ¿Cuántas unidades fabrica habitualmente cada máquina?
