MÉTODOS CUANTITATIVOS

MÉTODOS CUANTITATIVOS ii PARCIAL ii

MATRICES

Definición de matrices:

Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos

matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas (A, B, C).

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan asi: ,a₃₂ donde a es la letra minuscula del nombre de la matriz A. y se indica que la posicion es fila 3 columna 2.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

11 12 32 21 22 31 32 a a A a a a a     =      

En este caso la dimension es 3x2 Igualdad de Matrices

Tipos de Matrices

MATRIZ FILA: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene una sola columna.

MATRIZ RECTANGULAR: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de

columnas, siendo su dimensión mxn.

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

MATRIZ NULA: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

MATRIZ ESCALAR: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Fila 1 se convierte en columna 1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA

MATRICES ESCALONADA: Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) un elemento nulo más que en la fila (o columna) anterior

MATRICES ESCALARES: Una matriz es escalar si es diagonal y además todos los elementos de la diagonal son iguales.

MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz real es simétrica, si A T = A; y que es anti simétrica, si T

A = A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

MATRIZ EXTENDIDA: Es una matriz compuesta de dos o más matrices. Ejemplo: ( | )A B = ( |A B C| ) = A= 1 2 B= 5 6 C= 5 6 3 4 7 8 7 8 (A|B)= 1 2 5 6 3 4 7 8 (A|B|C)= 1 2 5 6 5 6 3 4 7 8 7 8

APLICACIÓN DE LAS MATRICES

a) Representación matricial de grafos

b) Representación matricial de sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones

Se representa como matrices así:

Y como matriz extendida así

ZONAS DE UNA MATRIZ

• (1) DIAGONAL PRINCIPAL Son todos los elementos 1 de la matriz anterior cuando: a_ij si i=j

• (2) TRIANGULO ARRIBA DE DIAGONAL: Son todos los elementos 2 de la matriz:

ij

a si i<j (por decirlo así la “i” manda) • (3) TRIANGULO ABAJO DE DIAGONAL:

Son todos los elementos 3 de la matriz: ij

a si i>j (por decirlo así la “i” manda)

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES:

Construya la matriz que cumpla las siguientes condiciones

• Dimensión de 3x4

• a_ij = +3i 5j para i<j • a_ij =2i+7j para i=j • a_ij = +8i 2j para i>j

Paso 1: determinar la dimensión Es una matriz de 3 filas y 4 columnas

1 2 2 2 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 1 arriba de diagonal principal

Paso 2: Determine para que zonas aplican cada formula

• a_ij = +3i 5j para i<j: arriba de diagonal

principal (manda la j)

• a_ij =2i+7j para i=j: diagonal principal • a_ij= +8i 2j para i>j: debajo de

diagonal principal (manda la i) Paso 3:

Opción 1: Elabore tabla de valores para aplicar la formulas:

El resultado debería de ser:

Opción 2: Elaborar una cuadricula

1 2 3 4

1 9 13 18 23

i= 2 18 18 21 26

3 26 28 27 29

OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES: Dadas dos matrices de la misma dimensión, A= (aij) y B= (bij), se define la matriz suma como: A+B= (ai j+bij).

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices Interna:

A + B = C que es una matriz. Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto: A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(ai j) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz

del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k ai j) Propiedades • a · (b · A) = (a · b) · A A Mmx n, a, b • a · (A + B) = a · A + a · B A,B Mmx n , a • (a + b) · A = a · A + b · A A Mmx n , a, b • 1 · A = A A Mmx n Producto de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento ci j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. A X B 2 4 5 6 2 1 2(2) + 1(5) 2(4) + 1(6) A= 3 2 3(2) + 2(5) 3(4) + 2(6) 4 3 4(2) + 3(5) 4(4) + 3(6) B=

MULTIPLICABILIDAD DE MATRICES: Dos matrices se pueden multiplicar si el número de las filas de la primera matriz es igual al de las columnas de la segunda matriz

Propiedades del producto de matrices

• Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

• Elemento neutro: A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

• No es Conmutativa: A · B ≠ B · A

En general es cierto excepto casos especiales

• Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C OPERACIÓN TRASPUESTA

Dada una matriz A a la cual aplicamos la operación de traspuesta, que

denotamos T A Diremos que T B=A si B es la matriz traspuesta de A PROPIEDADES DE LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ http://www.vitutor.com/algebra/matrices/o peraciones.html A X B 2 4 5 6 2 1 9 14 A= 3 2 16 24 4 3 23 34 B= A X B 10 -5 5 10 4 3 55 10 A= -3 4 -10 55 B= A X B 4 3 -3 4 10 -5 55 10 A= 5 10 -10 55 B=

ECUACIONES MATRICIALES:

IGUALDAD DE MATRICES: dos matrices A y B son iguales si se cumple:

a) Ambas matrices tienen la misma dimensión

b) Los elementos de A y B en la misma posición son iguales:_

Ejemplo matrices iguales

Ejemplo matrices diferentes

EJEMPLO 1:

Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales:

En este caso simplemente igualamos elemento con elemento:

X=1 Y=2

Z=3 W=4

EJEMPLO 2:

Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales:

Paso 1: Operamos el 3 que multiplica la primera matriz

Paso 2: Sumamos las matricez

Paso 3: Igualamos término a término:

Paso4: Despejamos el valor de la variable de cada ecuación X=6/3 Y=7/3 Z=8/3 W=8/3 3 9 = 3 9 7 8 7 8 0 9

=

3 9 7 8 7 8 0 9

=

3 9 1 2 7 8 7 8 x y = 1 2 z w 3 4 3 x y + 1 2 = 7 9 z w 3 4 11 12 3x 3y + 1 2 = 7 9 3z 3w 3 4 11 12 3x+1 3y+2 = 7 9 3z+3 3w+4 11 12 3x+1=7 3y+2=9 3z+3=11 3w+4=12

OPERACIONES FILA EN MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES EN FILAS:

i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero.

ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro renglón.

iii) Intercambiar dos Filas.

El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.

NOTACION:

1. Ri → cRi quiere decir “reemplaza la i-ésima Fila por esa misma Fila multiplicado por c”.

[Para multiplicar la i-ésima Fila por c se

multiplica cada número en la i-ésima Fila por c.]

Ejemplo:3R₁→R₁

2. Rj → Rj + cRi significa sustituye el j-ésima Fila

por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado

por c.

Ejemplo:3R₁+2R₂ →R₁

3. Ri ⇄ Rj quiere decir “intercambiar las Filas i y j”.

4. A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución. Ejemplo:R₁ R₂

MATRICES EQUIVALENTES

Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A

en B mediante una combinación de las siguientes operaciones:

1. Multiplicar una fila de A por un numero real

2. cualquiera diferente de cero. 3. Intercambiar dos filas.

4. Sumar a una fila de A cualquier otra fila. PIVOTE DE UNA FILA O ELEMENTO PRINCIPAL DE LA FILA. :

Al primer número no cero de una fila se le llama elemento principal de la fila pivote de la fila.

En este ejemplo el número 3 es el pivote de la fila 2

MATRIZ ESCALONADA.

Se dice que una matriz esta escalonada si se cumple que:

1. Todas las filas de ceros están abajo 2. Cada numero pivote de la fila esta a la

derecha de los numero pivotes de las filas superiores

MATRIZ CANÓNICA REDUCIDA.

Una forma canónica reducida por filas es una matriz R ∈ M m×n con las siguientes características:

1. El primer elemento no nulo de cada fila es 1. 2. El elemento principal de cada fila aparece siempre en columnas posteriores al elemento principal de la fila anterior.

3. Encima y debajo de los elementos principales de cada una de las filas solo hay ceros. Ejemplos:

Operación: Escalar por fila

R1= 5 6 3R1 15 18

R2= 7 8 R2 7 8

Operación: Suma de dos filas

R1= 5 6 29 34

R2= 7 8 R2 7 8

3R1+2R2

Operación: Intercambio de Filas

R1= 5 6 7 8

R2= 7 8 5 6

R2 R1

SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR REDUCCIÓN DE MATRICES

Sea el sistema de ecuaciones

Este sistema se puede expresar como matrices

Donde

A X =B

Creamos la matriz extendida

(

A B

)

Lo que vamos a hacer es aplicar operaciones fila renglón para lograr que nos quede la matriz

Que planteado como matriz nos queda

Donde X= 2, Y =3

Planificamos Resultados:

Planificamos Operaciones:

Plantear matriz ampliada

Paso 1: Convertir en uno el elemento a11

Paso 2: Convertir en cero los demás elementos de la columna 1

=

Paso 3: convertir en 1 el elemento a22

=

Paso 4: Convertir en 0 los demás elementos de la columna 2

=

El resultado es: X= 2, y=3

5 x + 6 y = 28 3 x + 2 y = 12 5 6 x = 28 3 2 y 12 A= 5 6 3 2 X= x y B= 28 12 5 6 28 3 2 12 1 0 2 0 1 3 1 0 x = 2 0 1 y 3 Paso 1 Paso 2 1 1 0 Paso 3 Paso 4 1 1 0 0 1 0 1 Pivote Fila 1 Paso 1 Paso 2 1/(

a

11) R1 R1 1R2 R2 -

a

21(R1) Pivote Fila 2 Paso 3 Paso 4 1R1 R1 -

a

12(R2) 1/(

a

22)R2 R2 5 6 28 3 2 12 1/5 R1 (1/5)(5) (1/5)(6) (1/5)(28) 1 R2 3 2 12 1 6/5 28/5 3 2 12 1 R1 0 0 0 1 R2 -3 R1 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5) 1 6/5 28/5 0 -8/5 -24/5 1 R1 0 1 0 -5/8 R2 (-5/8)(0) (-5/8)(-8/5) (-5/8)(-24/5) 1 6/5 28/5 0 1 3 1 R1 -6/5 R2 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3) 1 R2 0 0 0 1 0 2 0 1 3

Ejemplo 2: resolver el sistema de ecuaciones

Planteamos como matriz

Planificamos Resultados:

Planificamos operaciones Fila:

Paso 1: Calculo: Paso 2: Calculo: Paso 3: Calculo: Paso 4: Calculo: Paso5: 3x +2y +2z=21 2x +3y +4z=28 1x +5y +2z=21 3 2 2 x = 21 2 3 4 y 28 1 5 2 z 21 Paso 1 Paso 2 1 1 0 0 Paso 3 Paso 4 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 Paso 5 Paso 6 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Pivote fila 1 Paso 1 Paso 2 1/(a11) R1 R1 1R2 R2 -a21(R1) 1R3 R3 -a31(R1) Pivote fila 2 Paso 3 Paso 4 1R1 R1 -a12(R2) 1/(a22)R2 R2 1R3 R2 -a32(R2) Pivote fila 3 Paso 3 Paso 4 1R1 R1 -a13(R3) 1/(a22)R2 R2 -a33(R3) 1R3 R3 (1/3)R1 1 2/3 2/3 7 (1)R2 2 3 4 28 (1)R3 1 5 2 21 (1/3)(3) (1/3)(2) (1/3)(2) (1/3)(21) 2 3 4 28 1 5 2 21 (1)R1 1 2/3 2/3 7 (1)R2+(-2)R1 0 5/3 8/3 14 (1)R3+(-1)R1 0 13/3 4/3 14 1 2/3 2/3 7 2 3 4 28 +(-2)(1) +(-2)(2/3) +(-2)(2/3) +(-2)(7) 1 5 2 21 +(-1)(1) +(-1)(2/3) +(-1)(2/3) +(-1)(7) (1)R1 1 2/3 2/3 7 (3/5)R2 0 1 8/5 42/5 (1)R3 0 13/3 4/3 14 1 2/3 2/3 7 (3/5)(0) (3/5)(5/3) (3/5)(8/3) (3/5)(14) 0 13/3 4/3 14 (1)R1+(-2/3)R2 1 0 -2/5 7/5 (1)R2 0 1 8/5 42/5 (1)R3+(-13/3)R2 0 0 -28/5-112/5 1 0 -2/5 7/5 +(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4) 0 1 8/5 42/5 +(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4) 0 0 1 4 (1)R1 1 0 -2/5 7/5 (1)R2 0 1 8/5 42/5 (-5/28)R3 0 0 1 4

Calculo:

Paso 6:

Calculo:

Planteamos el resultado como ecuación matricial

Donde x = 3, Y =2 , z=4

SISTEMA DE ECUACIONES: DOS PASOS EN UNO Fila Pivote 1: Calculo: Resultado: Fila Pivote 2: Calculo: Resultado: 1 0 -2/5 7/5 0 1 8/5 42/5 (-5/28)(0) (-5/28)(0) (-5/28)(-28/5) (-5/28)(-112/5) (1)R1+(2/5)R3 1 0 0 3 (1)R2+(-8/5)R3 0 1 0 2 (1)R3 0 0 1 4 1 0 -2/5 7/5 +(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4) 0 1 8/5 42/5 +(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4) 0 0 1 4 1 0 0 x = 3 0 1 0 y 2 0 0 1 z 4 5 28 x 28 3 2 y = 12 accion 1 accion 2 1/5 R1 1 R1 1 R2 1 R2 -3 R1 1 6/5 28/5 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5) 1 6/5 28/5 0 1 3 accion 1 accion 2 1 R1 1 R1 -6/5 R2 -5/8 R2 1 R2 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3) 0 1 3

1

0

2

0

1

3

INVERSA DE UNA MATRIZ

Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A . B = B . A = I

( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por 1

A− . Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es invertible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular.

¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:

OPCIÓN 1:Aplicando la definición

Igualamos a la matriz identidad y resolvemos:

Al resolver el sistema la inversa nos queda asi

Usando de determinantes se expresa:

OPCIÓN 2: Por el método de Gauss.

Para este método debemos aprender cómo reducir una matriz por el método de

operaciones fila (renglón)

Para lo cual hacemos uso de las matrices extendidas

Sabemos las reglas que:

• 1

A A− =I

• A I =A

Si tenemos la matriz extendida

( )

A I

Y la multiplicamos por la inversa

( )

1 A− A I Nos queda

(

1 1

)

A− A A− I

Y utilizando las reglas nos queda

(

1

)

I A−

Eso significa que si podemos operar la matriz extendida

( )

A I

Y utilizamos operaciones fila renglón para lograr que el lado izquierdo nos quede matriz identidad (I), entonces el otro lado será la matriz inversa ( 1 A− ).

(

1

)

I A− a b X Y = 1 0 c d W Z 0 1 A X B x y z w a b a(x) + b(z) a(y) + b(w) A= c d c(x) + d(z) c(y) + d(w) B= a(x) + b(z) = 1 c(x) + d(z) = 0 a(y) + b(w) = 0 c(y) + d(w) = 1 -1 a b = 1 d -b c d ad - bc -c a

EJEMPLO DE MATRIZ INVERSA Dado:

Paso 1: crear la matriz extendida

Paso 2: Elaborar Planificación Planificamos Resultados:

Paso 3: Reducir la matriz a su forma escalona reducida. Ejemplo 2: Paso 1: Paso 2: Reducir: La inversa será A= 5 6 3 2 5 6 1 0 3 2 0 1 Paso 1 Paso 2 1 1 0 Paso 3 Paso 4 1 1 0 0 1 0 1 5 6 1 0 1/5 R1 1 6/5 1/5 0 3 2 0 1 1 R2 3 2 0 1 1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0 3 2 0 1 1 R2 -3 R1 0 -8/5 -3/5 1 1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0 0 -8/5 -3/5 1 -5/8 R2 0 1 3/8 -5/8 1 6/5 1/5 0 1 R1 -6/5 R2 1 0 -1/4 3/4 0 1 3/8 -5/8 1 R2 0 1 3/8 -5/8 3 2 2 A= 2 3 4 1 5 2 3 2 2 1 0 0 2 3 4 0 1 0 1 5 2 0 0 1 1/3 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0 1 R2 2 3 4 0 1 0 1 R3 1 5 2 0 0 1 1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0 1 R2 -2 R1 0 5/3 8/3 -2/3 1 0 1 R3 -1 R1 0 13/3 4/3 -1/3 0 1 1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0 3/5 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0 1 R3 0 13/3 4/3 -1/3 0 1 1 R1 -2/3 R2 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0 1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0 1 R3 -13/3 R2 0 0 -28/5 7/5 -13/5 1 1 R1 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0 1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0 -5/28 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28 1 R1 2/5 R3 1 0 0 1/2 -3/14 -1/14 1 R2 -8/5 R3 0 1 0 0 -1/7 2/7 1 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28 1/2 -3/14 -1/14 0 -1/7 2/7 -1/4 13/28 -5/28

PROGRAMACIÓN LINEAL

es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales. Métodos de solución

Existen dos métodos de solución de problemas de programación lineal:

Método gráfico:

En dos dimensiones: En este caso la función objetivo puede ser:

Z=F(x,y)=50x + 40y

En este caso expresa que el inbreso total de ventas al producir los productos “camisas(x)” y “pantalones(y)” se optiene multiplicando el precio de vetna de 50 por la cantidad de “x” y el precio de 40 por la cantidad de “y”.

La producción esta sometida a las siguientes restricciones:

2x + 3y< 1500

Esta restricción expresa que para producir una camisa se ocupa 2 unidades de algdon y para producir un pantalón se requieren 3 unidades de algodón, y la empresa solo cuenta con 1500 unidades.

2x + y < 1000

Esta restricción expresa que para prodcir una camisa se ocupan 2 unidades de poliéster, y 1 y para producir un pantalón se ocupan 1 unidad de poliéster, y la empresa solo cuenta con 1000 unidades

Y las resctricciones obvias: x>0 ; y>0

Esta restricción expresa que las unidades de producción no pueden ser negativas.

Por otra parte debemos de maximizar el ingreso, con las restricción e materiales. Las posibles soluciones son infinitas, pero solo una es la máxima.

Usando el método grafico graficamos las dos restricción:

Observamos que

• la restricción del poliéster se indica con líneas verticales

• la restricción del algodón se indica con líneas horizontales.

• La zona donde coinciden es la zona sombreada que se llama REGION FACTIBLE. Cualquier punto en esa zona cumple las restricción

Se sabe que la solución máxima ocurre en el perímetro de la zona factible, y ocurre en los vértices o puntos donde se cruzan las restricción

Los posibles puntos donde puede ocurrir la maximización son los vértices (esquinas):

En esta tabla vemos fácilmente que la solución que maximiza z es la esquina donde x= 376 y y=260, se obtiene un ingreso máximo de 29,150 lps

PASOS PARA EL MÉTODO GRAFICO:

Paso 1: Graficar las líneas de las condiciones: Para esto averiguamos los intercepto

Ordenamos Puntos

Paso 2: Graficamos las líneas

Paso 3: Graficamos las desigualdades. Despejamos para esto “y”.

Recta 1:

Recta 2:

Y recordamos las condicionies x>= 0

Y>= 0

Tecnica 1; sombreado al lado de la recta y flecha Trecnica 2: Rayado x y 0 500 (0,500) 20000 0 1000 (0,1000) 40000 750 0 (750,0) 37500 750 0 (750,0) 37500 375 250 (375,250) 28750 max Z=50x+40y punto x=0 Y=0 1 2x+3y=1500 500 750 2 2x+1y=1000 1000 500 Iy Ix linea (750, 0) (500, 0) (0 , 500) (0 , 1000) linea x y 1 0 500 (0,500) 20000 750 0 (750,0) 37500 2 0 1000 (0,1000) 40000 500 0 (500,0) 25000 Z=50x+40y punto 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 Y1 Y2 y <= 1500 -2 x 3 y <= recta y <= 1500 -2 x 1 y <= recta

En ambos caso la región de factibilidad es:

La región de factibilidad es donde se cumplen todas las condiciones, o dicho de otra manera donde se interceptan o coinciden las rectas de todas las condiciones. Los vértices son las esquinas que limitan dicha region

Paso 4: Calculamos los vértices requeridos: En este caso la interceptcion entre línea 1 y línea 2.

Paso 5: Elaborar tabla de puntos y elegir el máximo o minimo según se requiera:

PASO 6: La respuesta redactada es:

Para una producción de 375 unidades del producto “x”, y una producción de 250 unidades del producto “y” se obtiene el ingreso máximo de Z=28,750 lempiras

MÉTODO SIMPLEX

Este método se puede resolver también por un método matricial, llamado el método simplex, que tienen las siguientes restricciones:

1. Las variables del modelo no pueden ser negativas

2. El modelo solo puede maximizar

Nota: con algunos trucos y trasformaciones el

método simplex puede manejar

minimizaciones y variables negativas

Intercepto por suma y restas

(2)( 2 x + 3 y = 1500 ) (-2)( 2 x + 1 y = 1000 ) 4 x + 6 y = 3000 -4 x + -2 y = -2000 0 x 4 y = 1000 y = 250 Sustituimos en condicion 1 2 x + 3 (250) = 1500 2 x = 750 x = 375 Intercepto (375,250) linea x y 1 0 500 (0,500) 20000 min 750 0 (750,0) 37500 2 0 1000 (0,1000) 40000 500 0 (500,0) 25000 1 y 2 375 250 (375,250) 28750 max Z=50x+40y punto

PASO 1: Plantear el modelo Condiciones

ES1: 2 x + 3 y <= 1500

ES2: 2 x + 1 y <= 1000

Funcion Objetivo

max Z = 50 x + 40 y

PASO 2: Convertir desigualdades en igualdades agregando variable de holgura en lado menor que

S1, S2 S3 (S=Slack = holgura)

2 x + 3 y + 1 S1 = 1500

2 x + 1 y + 1 S2 = 1000

50 x + 40 y = Z

PASO 3: Pasar todas las variables a un lado de la igualdad y las constantes al otro (S1, S2, S3 y Z deben ser positivas)

2 x + 3 y + 1 S1 = 1500

2 x + 1 y + 1 S2 = 1000

En este caso solo existe una condición posible:

PASO 10: verificar que ya no hay valores negativos en la ecuación EZ.

Si es asi determinar el valor de las variables:

PASO 11: Respuesta Redactada:

Para una producción de 375 unidades del producto “x”, y una producción de 250 unidades del producto “y” se obtiene el ingreso máximo de Z=28,750 lempiras

PASO 4: Elaborar la siguiente matriz variables x + y + S1 +S2 +Z =b ES1 2 3 1 0 0 1500 ES2 2 1 0 1 0 1000 EZ -50 -40 0 0 1 0 Holguras

PASO 5: determinar la columna pivote

Se elige, la columna pivote con el valor mas negativo de la ecuacion EZ porque es la que mas aporta a z

Z = 50 x + 40 y en este caso es 50 x + y + S1 +S2 +Z =b ES1 2 3 1 0 0 1500 ES2 2 1 0 1 0 1000 EZ -50 -40 0 0 1 0

PASO 6: calculamos cuantas unidades se pueden producir despejando para la variable (dividimos constante entre coeficiente)

Elegimos la condicion con menos cantidad para la fila pivote

a) Forma analitica: 2 x <= 1500 2 x <= 1000 x <= 750 b) Forma simple x <= 500 fila pivote x + y + S1 +S2 +Z =b b/cpivote ES1 2 3 1 0 0 1500 750 ES2 2 1 0 1 0 1000 500 fila EZ -50 -40 0 0 1 0 pivote columna pivote

Nota: esta condicion o fila se dice que "SALE" del sistema, porque ya no se usara en los calculos de fila pivote

PASO 7: reducimos esa columna y fila pivote a este plan: x + y + S1 +S2 +Z =b ES1 0 ES2 1 EZ 0 paso a paso b x + y + S1 +S2 +Z =b 1R1 ES1 0 2 1 -1 0 500 0.5R2 ES2 1 1/2 0 1/2 0 500 1R3 EZ 0 -15 0 25 1 25000 1R1 +-2R2 1R2 1R3 +50R3

PASO 8: determinamos nueva columna pivote (la mas negativa)

x + y + S1 +S2 +Z =b

ES1 0 2 1 -1 0 500

ES2 1 1/2 0 1/2 0 500 salio EZ 0 -15 0 25 1 25000

PASO 9: con las ecuaciones de condición (ES) sobrantes. Se despeja las restricciones de la siguiente variable a) opcion analitica: 2 y <= 500 b) opcion simple y <= 250 fila pivote x + y + S1 +S2 +Z =b b/cpivote ES1 0 2 1 -1 0 500 250 fila

ES2 1 1/2 0 1/2 0 500 salio pivote

EZ 0 -15 0 25 1 25000 paso a paso b x + y + S1 +S2 +Z =b 0.5R1 ES1 0 1 1/2 -1/2 0 250 1R2 ES2 1 0 -1/4 3/4 0 375 1R3 EZ 0 0 15/2 35/2 1 28750 1R1 1R2 +-0.5R3 1R3 +15R3 x + y + S1 +S2 +Z =b ES1 0 1 1/2 -1/2 0 250 =y ES2 1 0 -1/4 3/4 0 375 =x EZ 0 0 15/2 35/2 1 28750 =Z

APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para resolver una aplicación se requieren los siguientes pasos:

Paso 1: Leer el problema. Paso 2: Identificar los datos.

Paso 3: Elaborar cuadricula de trajo que relaciona todos los datos.

Paso 4: Identificar Variables y ecuaciones. Paso 5: Plantear Modelo Matemático. Paso 6: Solucionar el problema matemático por el método grafico o el método simplex. Ejemplo:

Una empresa industrial debe aprovechar al máximo los recursos con los que cuenta, para lograr producir la máxima cantidad que logre los máximos ingresos:

Existen 3 productos, Una silla, una mesa, y un taburete.

• Para producir una silla requiere de 3 unidades de madera, 4 de pegamento, 2 de pintura.

• Para producir una mesa requiere 5 unidades de madera, 3 de pegamento y 4 de pintura.

• Para producir un taburete requiere 2 unidades de madera, 2 de pegamento y 1 de pintura.

La empresa cuenta con un máximo de 1000 unidades de madera, 2000 unidades de pegamento, y 1500 unidades de pintura. Por la silla gana 100 lempiras por la mesa 150 lempiras y 50 por el taburete.

Maximice la producción. Paso 1: Leer el problema. Paso 2: Identificar los datos. Productos • Silla • Mesa • Taburete Insumos • Madera • Pegamento • Pintura Límites: • 1000 unidades de madera • 2000 unidades de pegamento • 1500 unidades de pintura

Paso 3: Elaborar cuadricula que relaciona los datos

Paso 4: Llenar cuadricula.

Por ejemplo una silla requiere 3 unidades de madera. Buscamos donde se cruza la fila de silla con la columna de madera y ponemos 3

Repetimos hasta llenar

Y Completamos ganancia y limites

Paso 5: Determinar cuales son las variables y cuales son las ecuaciones con las siguientes reglas.

1) Si las filas son ecuaciones las columnas representan variables

2) Si las columnas son ecuaciones las filas representan variables

3) Las ecuaciones serán las filas o columnas que solo contenga un limite 4) Las variables son las filas o columnas

que no contienen ningún limite En este caso las variables son silla, mesas y taburetes:

Madera Pegamento Pintura Silla

Mesa Taburete

Madera Pegamento Pintura

Silla 3

Mesa Taburete

Madera Pegamento Pintura

Silla 3 4 2

Mesa 5 3 4

Taburete 2 2 1

Madera Pegamento Pintura Ganancia

Silla 3 4 2 100

Mesa 5 3 4 150

Taburete 2 2 1 50

También pudo ser:

Paso 6: Al final el modelo quedara asi

Condición 1 (madera) 3(x1) + 5(x2) + 2(x3)<=1000 Condición 2 (pegamento) 4(x1) + 3(x2) + 2(x3)<=2000 Condición 1 (pinturas) 3(x1) + 4(x2) + 1(x3)<=1500 Función objetivo (ganancia) Max Z= 100(x1)+150(x2)+50(x3) Paso 7: se resuelve el sistema

Madera Pegamento Pintura Ganancia

Silla (x1) 3(x1) 4(x1) 2(x1) 100 (x1)

Mesa (x2) 5(x2) 3(x2) 4(x2) 150 (X2)

Taburete (x3) 2(x3 2(x3 1(x3 50(X3)

limites 1000 2000 1500

Silla (X1) Mesa (X2) Tabuerete (X3) Limites Madera 3(X1) 5(X2) 2(X3) 1000 Pegamento 4(X1) 3(X2) 2(X3) 2000 Pintura 2(X1) 4(X2) 1(X3) 1500 Ganancia 100(X1) 150(X2) 50(X3)

DETERMINANTES:

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz.

Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o A también por (las barras no significan valor absoluto).

DETERMINANTE MATRICES DE 2X2:

Como regla practica:

Se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal y restando la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. DETERMINANTE MATRICES DE 3X3

Utilizando el método de Sarrus:

Paso 1: Creamos la matriz aumentada donde se copian las primeras dos filas

Paso 2: Multiplicamos los elementos de la diagonales con valor positivo, y multiplicamos los elementos de las diagonales secundarias con signo negativo.

Paso 3: Sumamos todos los resultados y obtenemos el valor del determinante.

NOTA: este método de sarrus no se puede aplicar a matrices de 4x4 en adelante.

SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES POR MÉTODO DE CRAMER.

Paso 1: expresamos como matriz.

A X =B

Paso 2: Calculamos determinante de matriz A

Paso 3: Creamos las matrices “Ax” y “Ay” sustituyendo la columna que corresponde a la variable por los coeficiente de la matriz B, y calculamos los determinantes:

Paso 4: Calculamos los valores de “x”, y “y” dividiendo los determinantes de cada matriz relacionada sobre la original:

2 5 8 3 6 9 4 7 12 2 5 8 2 5 3 6 9 3 6 4 7 12 4 7 -(4)(6)(8) = -192 -(7)(9)(2) = -126 -(12)(3)(-5) = 180 2 -5 8 2 -5 3 6 9 3 6 4 7 12 4 7 +(8)(3)(7) = 168 +(-5)(9)(4) = -180 +(2)(6)(12) = 144 |A| = -6 5 x + 6 y = 28 3 x + 2 y = 12 5 6 x = 28 3 2 y 12 A= 5 6 |A| = (5)(2)-(3)(6) 3 2 = -8 Ax= 28 6 |Ax| =(28)(2)-(12)(6) 12 2 -16 Ay= 5 28 |Ay| =(5)(12)-(3)(28) 3 12 -24 x= |Ax| = -16 = 2 |A| -8 y= |Ay| = -24 = 3 |A| -8