Ejercicio Integrador capítulo 3

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1 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011

Ejercicio Integrador – capítulo 3

Ejercicios.

1. ¿Qué diferencia a la probabilidad de la estadística? 2. ¿Qué es lo que intenta medir la probabilidad?

3. ¿Qué es lo que intenta medir la sensibilidad de una prueba?

4. ¿Qué diferencia la independencia probabilística de los eventos mutuamente excluyentes? 5. Si dos eventos son independientes, entonces no se intersectan. Explique brevemente. 6. Dos ejemplos de eventos que son mutuamente excluyentes.

7. Si dos eventos { ( ) _{( )} son mutuamente excluyentes, ¿entonces ( ) es igual a qué valor?

8. Si dos eventos { ( ) _{( )} son independientes, ¿entonces ( ) es igual a qué expresión?

9. Si dos eventos { ( ) _{( )} son mutuamente excluyentes, ¿entonces ( | ) es igual a qué valor?

10. ¿Qué significa espacio muestral y cuál es su relación con el concepto estadístico de población?

11. Determínese cuál de los siguientes números es correcto (C) o incorrecto (I) desde una perspectiva probabilística: 11.1. -0.00001 C (____)- I (____) 11.2. 0.5 C (____)- I (____) 11.3. 1.001 C (____)- I (____) 11.4. 20% C (____)- I (____) 11.5. 0 C (____)- I (____) 11.6. 1 C (____)- I (____)

12. Si un evento se describe como , ¿qué significa ̅ ? Incluya un ejemplo especialmente de su área de estudio.

13. Intuitivamente, ¿qué pretende medir la probabilidad?

14. ¿Qué significa ( ) ? ¿Qué significa ( ) ? De al menos un ejemplo de cada una de estas situaciones en probabilidad. Por favor, apéguese al área que estudia.

15. ¿Cuál es el dominio de los valores de probabilidad? 16. ¿Qué significa eventos mutuamente excluyentes? 17. ¿Qué significa eventos independientes?

18. ¿Cómo diferenciar eventos que son mutuamente excluyentes de aquellos que son independientes?

19. ¿Qué relación existe entre la frecuencia relativa de las tablas de distribución de frecuencias y el concepto de probabilidad? Explicar brevemente.

20. La siguiente situación presenta alumnos de una sola carrera de cierta universidad. 1231 de la carrera de Medicina (M), 427 son de la carrera de Odontología (O) y 621 de las

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carreras de Nutrición y Enfermería (D). Tomando en cuenta que el área de Ciencias de la Salud tiene 2750 estudiantes, entonces dibújese un diagrama de Venn y además

determínense las siguientes cardinalidades:

20.1. ( )

20.2. ( )

20.3. ( )

20.4. Con base en lo anterior, ¿qué puede decir de los eventos ?

20.5. ( )

20.6. ( )

20.7. ( ̅̅̅̅̅̅̅̅)

21. En el siguiente diagrama se observan los resultados obtenidos en una encuesta realizada a 254 personas con incidencia alcohólica, en la que se les preguntó si consumían

bebidas alcohólicas o bebidas no alcohólicas durante la hora de la comida.

21.1. Determínese ( ) ( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅)

21.2. Calcúlense cada una de las siguientes probabilidades:

21.2.1. ( ) 21.2.2. ( ) 21.2.3. ( ) ( ) ( ̅) 21.2.4. ( ) 21.2.5. ( ) 21.2.6. ( ) 21.2.7. ( ) 21.2.8. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅) 21.2.9. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅)

21.3. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una persona al azar esta:

21.3.1. consuma bebidas alcohólicas durante la hora de la comida? 21.3.2. no consuma bebidas alcohólicas durante la hora de la comida? 21.3.3. ni alcohólicas ni no alcohólicas?

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3 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011 22. Se tienen 50 pacientes con dolor de cabeza. A 15 de ellos se les receta una solución

analgésica X, a 22, una solución (S) cuyo efecto se desea registrar, a 8 se les prescriben ambas soluciones (X y S) y a los 5 restantes se les hace descansar con solo agua.

22.1. Dibújese un diagrama de Venn especificando todos los resultados posibles y su respectiva cardinalidad.

22.2. Determínese ( ) ( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅)

22.3. De acuerdo con el diagrama de Venn, si se seleccionase una persona al azar de este experimento, ¿cuál sería la probabilidad de cada una de las siguientes situaciones?:

22.3.1. Sin prescripción de solución. 22.3.2. Solo solución S.

22.4. Construya una tabla de distribución de frecuencias (porcentuales) basándose en el diagrama de Venn.

22.5. Calcule las siguientes probabilidades:

22.5.1. ( ) 22.5.2. ( ) 22.5.3. ( ) ( ) ( ̅) 22.5.4. ( ) 22.5.5. ( ) 22.5.6. (( ) ) (( ) ) ( ̅̅̅̅̅̅̅) 22.5.7. (( ) ) (( ) ) ( ̅̅̅̅̅̅̅)

23. El siguiente diagrama muestra, en porcentajes, los pacientes que maneja un centro de Nutrición y Bienestar Integral de una ciudad

23.1. Determínese ( ) ( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅)

23.2.1. ( )

23.2.2. ( )

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4 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011 23.2.4. ( ) 23.2.5. ( ) ( ) ( ̅) 23.2.6. ( ) 23.2.7. ( ) 23.2.8. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅) 23.2.9. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅)

23.3. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una persona al azar esta:

23.3.1. No tenga enfermedad alguna. 23.3.2. Presente solo diabetes. 23.3.3. Presente solo obesidad. 23.3.4. Presente ambas condiciones 23.3.5. No presente diabetes.

23.3.6. No presente obesidad.

24. De una encuesta aplicada a cierta población se extrae la siguiente información de sus 2467participantes: 900 personas están en el programa de dieta (A), 632 se registraron y se les declaró en condición de obesidad (O) y 569 participan en el programa de ejercicios (E). 237 participantes registrados como obesos (O), llevan un régimen de dieta (A) y además están bajo un programa de ejercicio (E). 398 estén en la dieta (A) y hacen ejercicio pero no son obesos. 473 están únicamente en el programa de dieta (A) sin ser obesos. 98 únicamente hacen ejercicio y están registrados como obesos. Con base en la información anterior, encuéntrense las cardinalidades (como porcentajes) indicadas en el siguiente diagrama de Venn.

24.1.1. ( )

24.1.2. ( )

24.1.3. ( )

24.1.4. ( ) ( ) ( ̅)

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5 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011 24.1.6. ( ) 24.1.7. (( ) ) (( ) ) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅) 24.1.8. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅) 24.1.9. ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) 24.1.10. ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)

25. Se estudia el consumo de alcohol en los estudiantes de sexo masculino del área médica. Se seleccionan muestras aleatorias de los tres niveles principales de la carrera. Y se obtienen los siguientes resultados.

Etapa de la carrera: Nivel

Básico (B) Médico (M) Clínico (C) Total

Consumo Sí (+) 256 180 110 546

No (-) 95 153 188 436

Total 350 333 298 981

25.1. Si se selecciona una persona al azar, encuentre las siguientes probabilidades:

25.1.1. De que la persona seleccionada 25.1.1.1. Sea del nivel básico.

25.1.1.2. Consuma alcohol.

25.1.1.3. No consuma alcohol o sea del nivel médico. 25.1.1.4. Consuma alcohol y sea del nivel clínico. 25.1.1.5. Ni consuma alcohol ni sea del nivel médico.

25.1.1.6. Consuma alcohol dado que se sabe del nivel básico.

25.1.1.7. Sea del nivel clínico cuando se sabe que consume alcohol. 25.2. Calcule las siguientes probabilidades:

25.2.1. ( ) 25.2.2. (( ) ) ( ̅) 25.2.3. ( ) 25.2.4. ( ) 25.2.5. ( ) 25.2.6. ( ) 25.2.7. ( ) ( ) ( ̅) 25.2.8. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅) 25.2.9. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅)

25.3. Calcule las siguientes probabilidades condicionales:

25.3.1. ( | ) , ( | ) y ( | )

25.3.2. ( | ) , ( | ) y ( | )

25.3.3. Con los resultados de los dos incisos anteriores, llénese la siguiente

tabla.

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6 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011 Nivel

Básico (B) Médico (M) Clínico (C)

Probabilidades porcentuales renglón Total

Consumo Sí (+) 100%

No (-) 100%

Probabilidades porcentuales Columna Consumo Sí (+)

No (-)

Total 100% 100% 100%

25.3.4. Con base en las probabilidades porcentuales (renglón y columna), ¿qué

puede decir del hábito de consumir alcohol? Explicar brevemente. 26. Se replica el estudio anterior pero para el sexo femenino. Ahora se seleccionan

aleatoriamente mujeres de los tres niveles principales de la carrera. La tabla siguiente resume los resultados obtenidos.

Etapa de la carrera: Nivel

Básico (B) Médico (M) Clínico (C) Total

Consumo Sí (+) 65 43 28 136

No (-) 110 123 121 354

Total 175 166 149 490

26.1. De entre las mujeres, se selecciona una persona al azar, encuentre las

siguientes probabilidades: 26.1.1. ( ) 26.1.2. (( ) ) (( )) 26.1.3. ( ) ( ) ( ̅) 26.1.4. ( ) 26.1.5. ( ) 26.1.6. (( ) ) (( )) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅)

26.2. Calcule las siguientes probabilidades condicionales para la muestra de

mujeres:

26.2.1. ( | ) , ( | ) y ( | )

26.2.2. ( | ) , ( | ) y ( | )

26.2.3. Con los resultados de los dos incisos anteriores, complétese la siguiente

tabla, donde también se han incluido las celdas para las probabilidades condicionales de la muestra de hombres.

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7 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011 Nivel

Básico (B) Médico (M) Clínico (C)

Probabilidades porcentuales renglón Total

Hombres (♂) Sí (+) 100%

No (-) 100%

Mujeres (♀) Sí (+) 100%

No (-) 100%

Probabilidades porcentuales columna Hombres (♂) Sí (+) No (-) Total 100% 100% 100% Mujeres (♀) Sí (+) No (-) Total 100% 100% 100%

26.3. Con base en las probabilidades porcentuales (renglón y columna), de la muestra de mujeres ¿qué puede decir del hábito de consumir alcohol? Explicar brevemente.

26.4. Al comparar los hábitos de consumo tanto en hombres como en mujeres, ¿qué puede concluirse? Explicar brevemente.

27. En el 2012, después de una exhaustiva encuesta a 1245 personas seleccionadas entre las edades de 30 – 49 años, se llevó a cabo una investigación para determinar la

incidencia de sobrepeso y obesidad en hombres y mujeres de la ciudad de Monterrey, Nuevo León. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos:

Peso corporal

Normal (N) Sobrepeso/obesidad (SO) Total

Sexo Hombres (♂) 230 388 618

Mujeres (♀) 207 420 627

Total 437 808 1245

27.1. Calcule la prevalencia de sobrepeso/obesidad en mujeres. 27.2. Ahora en hombres. ¿Cuál es mayor’

27.3. ¿Cuál es la probabilidad de padecer sobrepeso/obesidad dado que se es mujer?

27.4. ¿Cuál es la probabilidad de padecer sobrepeso/obesidad dado que se es hombre?

27.5. Compárense las dos probabilidades condicionales anteriores, 27.5.1. ¿cuál es mayor?

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8 D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011 27.5.3. Calcule ( | )_{( | )} , ¿cómo interpretar este resultado? Explicar

brevemente.

28. Describa las fórmulas para la regla multiplicativa.

29. En cierta comunidad el 21% de las mujeres es diabética ( ). De estas, el 72 % tiene una densidad mineral ósea baja ( ). De aquellas mujeres que no padecen diabetes, el

17% tiene .

29.1. Explique brevemente, ¿por qué el hecho de tener o no diabetes es independiente para cada mujer?

29.2. Si la diabetes fuera contagiosa, ¿qué podría decir acerca de la respuesta anterior?

29.3. Verifique que al seleccionar tres mujeres de esta población, la probabilidad de que dos padezcan diabetes es 10.45%. Además, calcule la probabilidad de que: 29.3.1. Las tres padezcan diabetes.

29.3.2. Ninguna padezca diabetes. 29.3.3. Al menos 1 padezca diabetes.

29.4. Volviendo al problema de las tres mujeres seleccionadas aleatoriamente de la población bajo estudio. Encuentre las siguientes probabilidades:

29.4.1. ( ) ( ) 29.4.2. ( ) ( ) 29.4.3. ( ) ( ) 29.4.4. ( ) ( )

29.5. Construya un diagrama de árbol con base en la información proporcionada, incluya toda la notación necesaria.

29.6. Construya una tabla cruzada, con la condición diabética en los renglones y la densidad mineral ósea en las columnas.

29.7. Calcule las siguientes probabilidades (cuide si los eventos son independientes o no).

29.7.1. ( )

29.7.2. ( )

29.8. ¿Por qué ( ) ( ) ( )?

29.9. ¿Por qué ( ) ( ) ( | )?

30. La efectividad de un condón para prevenir el embarazo es de 97%, mientras su efectividad en la prevención de enfermedades de transmisión sexual es de 95%. La efectividad de la píldora combinada es de 95%i.

30.1. Si una pareja utiliza ambos métodos de prevención del embarazo, 30.1.1. ¿cuál es la probabilidad de que haya un embarazo?

30.1.2. ¿cuál es la probabilidad de que no haya embarazo?

30.1.3. ¿cuál es la probabilidad de que falle uno de ellos? ¿Es cierto que es 7.7%?

30.2. Aún usando condón, si se tienen 5 relaciones protegidas durante una semana, 30.2.1. ¿cuál es la probabilidad de que no haya contagio de enfermedad de

transmisión sexual?

30.2.2. ¿cuál es la probabilidad de que haya contagio de enfermedad de transmisión sexual en todas las ocasiones?

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30.2.3. ¿cuál es la probabilidad de que, al terminar dicha semana, haya contagio de enfermedad de transmisión sexual?

31. La siguiente tabla muestra los resultados de experimentar con un procedimiento nuevo para detectar la diabetes. [Recuerde que la notación es muy importante]

Prueba

+ - Total

Condición Diabético 56 14 70

No-diabético 49 461 510 Total 105 475 580

31.1. ¿Cuál es la tasa de falsos negativos? ¿Y de falsos positivos? 31.2. ¿Cuál es la sensibilidad y especificidad de esta prueba? 31.3. ¿Cuáles son los valores predictivos positivo y negativo? 31.4. Calcule las probabilidades conjuntas y las marginales. 31.5. Convierta esta tabla en un diagrama de árbol.

31.6. ¿Cuál sería la conclusión respecto a la prueba para detectar diabetes? 32. La siguiente tabla muestra los resultados de experimentar con un procedimiento nuevo

para detectar la diabetes. [Recuerde que la notación es muy importante]

Prueba

+ - Total

Condición Cáncer de Mamas 11 2 13

No- Cáncer de Mamas 17 320 337

Total 28 322 350

32.6. ¿Cuál sería la conclusión respecto a la prueba para detectar cáncer de mamas?

33. Una prueba clínica se desarrolla para evaluar una prueba diagnóstica diseñada para detectar anormalidades fetales cromosómicas. Las anormalidades fetales cromosómicas son confirmadas luego con una amniocentesis. Se hacen pruebas diagnósticas en una muestra aleatoria de 200 mujeres embarazadas que luego son sometidas a una

amniocentesis. La siguiente tabla cruzada resume la información obtenida de este experimento.

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10

Prueba diagnóstica

Positiva (+) Negativa (-) Total

Amniocentesis Anormal (Enfermedad, E) 14 6 20

Normal (No enfermedad, NE) 64 116 180

Total 78 122 200

33.1. Rescriba la tabla anterior pero en lugar de incluir las frecuencias absolutas. 33.1.1. Calcule las probabilidades porcentuales conjuntas y marginales 33.1.2. Calcule las probabilidades porcentuales renglón

33.1.3. Calcule las probabilidades porcentuales columna

33.2. Escriba con sus propias palabras o parafraseando fuentes de la red o de la biblioteca los siguientes conceptos:

33.2.1. La sensibilidad y la sensibilidad de la prueba, y calcule estos valores. 33.2.2. Tasa de falsos negativos y falsos positivos, y calcule estos valores. 33.2.3. . Valor predictivo positivo y negativo, y calcule estos valores.

33.3. Transforme esta tabla en un diagrama de árbol incluyendo toda la notación necesaria y sus respectivos valores.

33.4. ¿Cuál sería la conclusión respecto a la prueba para detectar anormalidades? 34. Durante una contingencia con intoxicación con metales pesados, una planta industrial

llevó a cabo 574 pruebas para descartar una posible intoxicación con dichos metales. La compañía, dueña de las pruebas para detectar la intoxicación llevó a cabo una minuciosa investigación de seguimiento a las pruebas para verificar su eficacia. La siguiente tabla muestra los resultados del seguimiento, donde se ha incluido toda la información ajustada por el estudio de seguimiento.

Resultado de la prueba (P+) (P-) Total Condición: Intoxiación (I+) 147 26 173 (I-) 32 369 401 Total 179 395 574

34.6. ¿Cuál sería la conclusión respecto a la prueba para detectar intoxicaciones con metales pesados?

35. Se sabe que 29% de las personas tiene índices elevados de ácido homogentísico en la orina y, de ese porcentaje, resulta positivo en el 87% de los casos una prueba reciente para medir dicho índice. También se sabe que, cuando dichos índices son normales o adecuados, la prueba resulta negativa en el 75% de los casos. Esta prueba es importante ya que permite determinar la cantidad de ácido homogentísico en la orina y así descartar alcaptonuria.

(11)

11

35.1. Con esta información, dibújese un diagrama de árbol, inclúyase detalladamente la notación probabilística necesaria para hacer auto-explicable el árbol.

35.2. Convierta este diagrama de árbol en una tabla cruzada donde se incluyan las probabilidades conjuntas y marginales, así como las condicionales renglón y

columna.

35.3. ¿Cuál es la tasa de falsos negativos? ¿Y de falsos positivos? 35.4. ¿Cuál es la sensibilidad y especificidad de esta prueba? 35.5. ¿Cuáles son los valores predictivos positivo y negativo?

36. Uno de los métodos para diagnosticar infartos es la angiografía. Desafortunadamente su uso tiene un riesgo asociado ya que aunque la incidencia de muerte es menor al 1% dicha condición está siempre presente durante su aplicación. Actualmente, se intenta utilizar la tomografía por emisión de positronesii para detectar infartos en el cerebroiii de una manera no invasiva y como una alternativa a la angiografía. 35 pacientes participan voluntariamente en un estudio con condiciones debidamente controladas para así aplicar ambos procesos de diagnóstico. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla.

PET

(PET +) (PET -) Total Angiografía (A+) 11 4 15

(A-) 2 18 20

Total 13 22 35

36.1. Tomando la angiografía como la prueba diagnóstica correcta, calcule: 36.1.1. La tasa de falsos negativos y de falsos positivos.

36.1.2. La sensibilidad y especificidad de la prueba PET. 36.1.3. El valor predictivo positivo y el negativo.

36.1.4. Utilizando los resultados anteriores comente acerca de la prueba diagnóstica PET.

36.2. Como ejercicios de práctica:

36.2.1. Convierta esta tabla en un diagrama de árbol.

36.2.2. Calcule las probabilidades conjuntas y las marginales.

i

Esta efectividad es debida al uso no perfecto de la píldora combinada, cuando se usa la píldora combinada todos los días a la misma hora, su efectividad para prevenir el embarazo, es de al menos 99%.

ii

o PET (por sus siglas en inglés: Positron Emission Tomography)

iii