La integral. x p. b 2 C 1. x p es continua en R.

1

La integral

1.8

La antiderivada y la integral indefinida

El teorema Fundamental del C´alculo constituye una herramienta muy poderosa para el c´alculo de las inte-grales, pues nos permitir´a considerar casos cada vez m´as complejos, que iremos abordando m´as adelante.

Recordemos el TFC I: Z b a F0_{.x/dxDF .x/} b a DF .b/ F .a/; siempre queF0_{.x/sea continua enŒa; b.}

De esta manera, cualquier f´ormula de derivaci´on se puede convertir en una f´ormula de integraci´on. Por ejemplo, siF .x/_Dpx2_{C1, entoncesF}0_{.x/D p} x

x2_C1 Df .x/y as´ı: Z b a x p x2_C1 dxD p x2_C1 b a Dpb2_C1 p_a2_C1; aclarando que la funci´onf .x/_{D p} x

x2_C1 es continua enR.

Cuando F .x/ es unaprimitivaoantiderivada def .x/, se menciona que es unaantiderivada porque en realidad hay una infinidad de funciones que son antiderivadas de la funci´onf .x/, por ejemplo:

G.x/_Dpx2_C1C2&H.x/Dp_x2_{C1 5son tambi´en antiderivadas def .x/D p} x x2_C1: Ya hemos visto que dos antiderivadas de una misma funci´on difieren en una constante. Esta situaci´on nos lleva a la siguiente definici´on:

Definici ´on. El conjunto infinito de primitivas_fF .x/_CC_g de la funci´on f .x/, se denominaintegral in-definida def .x/y se denota por:

Z

f .x/dx_DF .x/_CC:

Esta integral indefinida no es una funci´on, sino una familia infinita de funciones, de modo que dos de ellas difieren entre s´ı solo por una constante. Dicho de otra forma, la notaci´on introducida equivale a:

Z

f .x/dx_DF .x/_CC ₍₎ F0_{.x/Df .x/:}

Con esta notaci´on podemos transformar cualquier f´ormula de derivaci´on en una f´ormula de integral in-definida. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.8.1 Transformar las siguientes f´ormulas de derivadas en f´ormulas de integrales indefinidas: 1. d dxx r Dr xr 1.r _¤0/. 2. d dx.x 2 C1/ 1_D 2x .x2_C1/2. 3. d dx .x_C1/.x2_C2/ D.x2_C2/_C2x.x_C1/. H 1. Z r xr 1dx_Dxr_CC. 2. Z 2x .x2_C1/2 dx D 1 x2_C1 CC. 3. Z Œ.x2_{C2/C2x.xC1/dx D.xC1/.x}2_C2/CC. Ejemplo 1.8.2 Convertir las siguientes integrales indefinidas en f´ormulas de derivaci´on:

1. Z .3x2_C2x 1/dx_Dx3_Cx2 x_CC. 2. Z 3x2 2px3_C5 dx D p x3_C5CC. 3. Z p x2 _{3xC2.2x 3/dx D} 2 3.x 2 _3x C2/32 _CC. H 1. d dx x 3 Cx2 x_CC D3x2_C2x 1. 2. d dx p x3_C5CCD 1 2.x 3 C5/ 12_3x2_D 3x 2 2px3_C5. 3. d dx ₂ 3.x 2 _3x C2/ 3 2 _CC D 2₃3₂.x2 3x_C2/ 1 2_{.2x 3/D}p_x2 _{3xC2 .2x 3/:}

1.8.1

Relaci ´on entre la integral definida y la indefinida

Es preciso determinar la relaci´on que hay entre la integral definida e indefinida, para evitar posibles confu-siones.

Para empezar, recordamos al lector que una integral definida

Z b

a f .x/dx tiene l´ımites o extremos de inte-graci´on y da como resultado un n ´umero o una expresi´on que no contiene a la variablexde integraci´on. Frecuentemente a esta variable se le llama variable mudaya que se puede sustituir con otra literal sin cambiar el resultado. As´ı por ejemplo:

Z 5 1 2x dx_Dx2 5 1D 52 12_D24 y tambi´en Z 5 1 2t dt _D Z 5 1 2wdw_D24: Esto es, sea cual sea la literal utilizada en el integrando, el resultado es el mismo n ´umero real.

Z b a f .x/dx_D Z b a f .t /dt _D Z b a f .u/ du: Como ya se mencion´o, la integral indefinida

Z

f .x/dxrepresenta a la familia infinita de funciones que son antiderivadas def .x/. Si Z f .x/dx_DF .x/_CC ₎ Por el TFC I ) Z b a f .x/dx_DŒF .x/_CC  b a D DŒF .b/_CC  ŒF .a/_CC _DF .b/ F .a/_DF .x/ b a :

F Resumiendo: para calcular la integral definida

Z b a

f .x/dx, podemos primero calcular la integral in-definida

Z

f .x/dxy luego considerar los extremosa,bpara determinar Z b a f .x/dx. Esto es: Z b a f .x/dx_D Z f .x/dx b a : Por ejemplo: Z 5 1 2xdx_D Z 2x dx 5 1 D.x2_CC / 5 1 D.52_CC / .12_CC /_D24:

En la pr´actica no es necesario usar la constanteC, llamadaconstante de integraci´on, para calcular la integral definida.

Ejemplo 1.8.3 Utilizar los ejemplos1.8.1y1.8.2para evaluar las siguientes integrales definidas: 1. Z10 1 2x .x2_C1/2 dx. 2. Z5 2 Œ.x 2_{C2/C2x.xC1/dx.} 3. Z 3 p 4 1 3x2 2px3_C5 dx. 4. Z 1 0 p x2 _{3xC2.2x 3/dx:} H

1. Por el ejemplo1.8.1 (2.)tenemos: Z 10 1 2x .x2_C1/2 dxD 1 x2_C1 10 1 D 1 102_C1 1 12_C1 D 1 101 1 2 D 2 101 202 D 99 202:

2. Por el ejemplo1.8.1 (3.)vemos: Z 5 2 Œ.x2_C2/_C2x.x_C1/dx_D.x_C1/.x2_C2/ 5 2 D.6/.27/ .3/.6/_D144:

3. Del ejemplo1.8.2 (2.)obtenemos: Z p34 1 3x2 2px3_C5 dxD p x3_C5 3 p 4 1 D q .p3 4/3_C5 p . 1/3_C5Dp₉ p_4D1:

Observe que el integrando 3x 2

2px3_C5 es una funci´on continua enŒ 1;

3

p 4. 4. Por ´ultimo del ejemplo1.8.2 (3.)concluimos que

Z 1 0 p x2 _{3xC2.2x 3/dx D} 2 3.x 2 3x_C2/32 1 0D D 2 3.1 2 ₃ 1_C2/32 2 3.0 2 ₃ 0_C2/32 _D D 2 30 3 2 2 32 3 2 _D 4 p 2 3 :

Observe quef .x/_Dpx2 _{3xC2.2x 3/es una funci´on continua enŒ0; 1.}

1.8.2

Propiedades b´asicas de la integral indefinida

La integral indefinida

Z

f .x/dx comparte con su derivada f .x/algunas propiedades importantes, que enumeramos a continuaci´on:

1. Aditividad.Si las integrales

Z f .x/dx& Z g.x/dxse conocen, entonces: Z .f .x/_˙g.x// dx_D Z f .x/dx_˙ Z g.x/dx: (1.1)

Esta propiedad desde luego se puede extender a cualquier suma finita de funciones. 2. Homogeneidad.Sikes cualquier constante, entonces:

Z

kf .x/dx_Dk Z

f .x/dx: (1.2)

3. Integral indefinida de funciones potencia.Para cualquier exponenter _¤ 1: Z

xr dx_D x r_C1

r_C1 CC: (1.3)

Ejemplo 1.8.4 Calcular las siguientes integrales indefinidas: 1. Z 5x4 3x2_C 1 2px dx. 2. Z 3x5 7x3 x2 dx.

3. Z .2x_C3x 1 2_/x 1 3 dx.

H Las tres primeras integrales se calculan aplicando las propiedades1.,2.,3. de la integral indefinida y algunas operaciones algebraicas. Es importante recalcar que, en la medida de lo posible, ante problemas como estos resulta conveniente simplificar (algebraicamente) las funcionesantesde integrar.

1. Z 5x4 3x2_C 1 2px dx_D5 Z x4 dx 3 Z x2 dx_C 1 2 Z x 12 _dxD D5x 5 5 3 x3 3 C 1 2 x 1 2 1 2 CC _D Dx5 x3_Cpx_CC: 2. Z _3x5 _7x3 x2 dxD3 Z _x5 x2 dx 7 Z _x3 x2 dx D D3 Z x3 dx 7 Z x dx _D3x 4 4 7 x2 2 CC: 3. Z .2x_C3x12_/x 1 3 _dxD Z .2xx13 _C3x 1 2 _x 1 3_/dxD D Z .2x43 _C3x12C 1 3/dx_D2 Z x43 dx_C3 Z x56 dx_D D2x 7 3 11 6 C3x 11 6 11 6 CC _D 6 7x 7 3 _C 18 11x 11 6 _CC: En s´ıntesis, hemos visto en esta secci´on que la integral indefinida

Z

f .x/dxes una notaci´on adecuada para representar a la familia de todas las antiderivadas def .x/, que difieren entre s´ı por una constante aditiva, y que toda f´ormula de derivaci´on se puede convertir en una f´ormula de integral indefinida, junto con sus propiedades elementales.

Ejercicios 1.8.1 La integral indefinida 1.Soluciones en la p´agina 11 Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1. Z .3x2 4x_C5/dx. 2. Z .3x 2 4x 4_C5/dx. 3. Z .3x2 4x_C5/.2x3/dx. 4. Z .3x2 4x_C5/.6px/dx. 5. Z .3px 4px3_C5/.4p3 _x2_/dx. 6. Z ₃p_{x 4}p_x3_C5 4p3x2 dx. 7. Z .2x3_C5/2dx. 8. Z dx. 9. Z 1 1 x2 3 dx. 10. Z .2x3_C5/2.2x2/dx. 11. Z .3x2 2/6xdx. 12. Z 1 1 x 3 x 2dx. Calcular las siguientes integrales definidas:

1. Z 1 1 .3x2 4x_C5/.2x3/dx. 2. Z 1 0 .3x2 4x_C5/.6px/dx. 3. Z 4 1 3x2 4x_C5 6px dx. 4. Z 1 0 .3px 4px3_C5/.4p3_x2_/dx. 5. Z 8 1 3px 4px3_C5 4p3x2 dx.

1.8.3

Integrales de funciones trascendentes

Las derivadas de funciones trascendentes nos permiten calcular otro tipo de integrales.

1. Logaritmo natural:sabemos queln_jx_jes una funci´on definida parax_¤0, continua y con derivada

d dxlnjxj D 1 x; por lo que Z ₁ x dxDlnjxj CC: Ejemplo 1.8.5 Calcule las siguientes integrales:

a. Z 10 2 1 x dx. b. Z T 1 1 x dx. c. Z 2 3 1 x dx. d. Z 1 1 1 x dx. H a. Z 10 2 1 x dxDlnx 10 2 D ln10 ln2_Dln ₁₀ 2 Dln5. b. Z T 1 1 x dxDlnx T 1D lnT ln1_DlnT. c. Z 2 3 1 x dxD Z 3 2 1 x dxD lnx 3 2 ! D .ln3 ln2/_Dln2 ln3. x y 3 2 3 2 yD_x1

Otra forma de calcular esta integral es Z 2 3 1 xdx Dlnjxj 2 3 Dln_j 2_j ln_j 3_{j D}ln2 ln3:

d. Z 1 1 1 x dxDNo existe, pues 1 x no es continua enŒ 1; 1. 2. Exponencial natural:la funci´onexes la ´unica que goza de la propiedad de ser su propia derivada,

d dxe

x Dex: Por consiguiente su integral indefinida es

Z

ex_Dex_CC:

Adem´asex _{es continua y diferenciable para todox, por lo que esta f´ormula de integraci´on se aplica} sin restricciones. Por la regla de la Cadena para cualquier constantease tiene

d dxe ax Daeax; o d dx eax a De ax I por lo que Z eax dx_D e ax a CC: Ejemplo 1.8.6 Calcule las integrales

a. Z 5 1 ex dx. b. Z 10 0 3e2xdx. c. Z 4 2 e 3x dx. H a. Z 5 1 ex dx_Dex 5 1D e5 e1. b. Z 10 0 3e2xdx_D3e 2x 2 10 0 D3 e20 2 e0 2 D 3 2.e 20 _1/. c. Z 4 2 e 3x dx_D e 3x 3 4 2 D e 12 3 e6 3 D 1 3.e 6 _e 12_/. 3. Logaritmos y exponenciales de otras bases:sia > 0 &a_¤1, tenemos las f´ormulas de derivaci´on

d dx.logax/D 1 xlnaI d dx.a x_/ Daxlna_I de las cuales resultan las integrales indefinidas:

Z ₁

xlna dxDlogaxCCI Z

axlnadx_Dax _CC: Ejemplo 1.8.7 Calcule las integrales

a. Z 7 2 1 xln3 dx. b. Z 4 1 2xln2 dx. H a. Z 7 2 1 xln3 dx Dlog3x 7 2D log₃7 log₃2. b. Z 4 1 2xln2 dx_D2x 4 1D 24 2 1_D16 1 2 D 31 2 . 4. Funciones trigonom´etricas: estas funciones son continuas y diferenciables en sus respectivos

domi-nios, con derivadas:

d dxsenxDcosx d dxcosxD senx d dx tanx Dsec 2_x d dxcotxD csc 2_x d

dxsecxDsecxtanx d

dxcscxD cscxcotx Convirtiendo esas derivadas en integrales indefinidas, obtenemos:

Z cosx dx _Dsenx_CC Z senx dx_D cosx_CC Z sec2xdx _Dtanx_CC Z csc2x dx_D cotx_CC Z

secxtanx dx_Dsecx_CC Z

cscxcotxdx_D cscx_CC

Al calcular integrales definidas de funciones trigonom´etricas se debe tener buen cuidado de hacerlo sobre intervalos en donde la funci´on del integrando sea continua.

Ejemplo 1.8.8 Evaluar las integrales a. Z 2 cosx dx. b. Z ₄ 0 3sec2x dx. c. Z ₂ 2 cscxcotxdx:enx_D0. H a. Z 2 cosx dx_Dsenx 2 Dsen sen 2 D0 . 1/_D1.

b. Z ₄ 0 3sec2x dx_D3tanx 4 0 D 3tan 4 3tan.0/_D3. c. Z ₂ 2

cscxcotxdxno existe, puescscxcotxtiene una discontinuidad de tipo1enx_D0. 5. Funciones trigonom´etricas inversas:su dominio, rango (imagen) y derivada son

Funci´on Dominio Rango Derivada

arcsenx Œ 1; 1 h 2 ; 2 i d dxarcsenxD 1 p 1 x2 arccosx Œ 1; 1 Œ0;  d dxarccosx D 1 p 1 x2 arctanx Œ ₁;₁ h 2 ; 2 i d dxarctanxD 1 1_Cx2 arccotx Œ ₁;₁ Œ0;  d dxarccotxD 1 1_Cx2 arcsecx . ₁; 1_[Œ1;₁/ h0; 2 [₂; i d dx arcsecxD 1 jx_jpx2 ₁ arccscx . ₁; 1_[Œ1;₁/ h 2 ; 0 [0; 2 i d dx arccscxD 1 jx_jpx2 ₁

Las funciones que m´as se emplean son las que tienen derivada positiva, por lo que solo incluimos las integrales indefinidas de ellas:

Z _dx p 1 x2 DarcsenxCCI Z _dx x2_C1 DarctanxCCI Z _dx jx_jpx2 ₁ DarcsecxCC:

Observaci´on: la primera integral solo puede hacerse sobre intervalos contenidos en.1; 1/y la ´ultima sobre intervalos dentro de. ₁; 1/o bien.1;₁/ :

Ejercicios 1.8.2 La integral indefinida 2.Soluciones en la p´agina 11 Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1.

Z _3x2 _4xC5 2x3 dx. 2.

Z

.3sen 4cos_C5sec2 /d . 3.

Z

.3tan 4sec_C5/cosd . 4.

Z _{2cot 5csc 4sen}

sen d.

5.

Z _{5tan 6sec 3cos}

cos d. 6. Z 3 p 1 u2 2 upu2 ₁ du. 7. Z 10eu 4 1_Cu2 8 u du. Calcular las siguientes integrales definidas:

1. Z ₄

0

.3sen 4cos_C5sec2 /d.

2. Z ₃

6

.3tan 4sec_C5/cosd.

3. Z ₃ 6 2cot 5csc 4sen sen d . 4. Z ₄ 0

5tan 6sec 3cos

cos d. 5. Z 1 0 2eu 3 1_Cu2 4 p 1 u2 du. 6. Z e 1 3x2 _2xC4 x dx. 7. Z p 2 1 3 2px2 ₁ xpx2 ₁ dx. 8. Z 1 0 2et t 2 C3 t2_C1 dt .

Ejercicios 1.8.1 La integral indefinida 1.Preguntas, p´agina 5

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1. x3 2x2C5xCC. 2. 3x 1C4 3x 2_C5xCC. 3. 5 2x 4 8 5x 5_Cx6_CC. 4. 20x3=2 48 5x 5 2 _C36 7x 7 2 _CC. 5. 12x53 _C72 13x 13 6 96 19x 19 6 _CC. 6. 15 4x 1 3 _C 9 10x 5 6 6 11x 11 6 _CC. 7. 25xC5x4C4 7x 7_CC. 8. 8xC12x3 54 5x 5_C27 7x 7_CC. 9. 1 5x5 1 x3C 3 x CxCC. 10. 50 3x 3 C20₃x6C8₉x9CC. 11. 6x2C9 2x 4_CC. 12. 1 4x4 1 x3 C 3 2x2 1 xCC.

Evaluar las siguientes integrales definidas:

1. 16 5. 2. 544 35. 3. 214 45. 4. 3 084 247 . 5. 16:1978.

Ejercicios 1.8.2 La integral indefinida 2.Preguntas, p´agina 9

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1. 3 2lnxC 2 x 5 4x2 CC.

2. 3cos ₄sen_C5tan_CC.

3. 4 3cos_C5sen_CC.

4. 4C5cot ₂csc_CC.

5. 3C5sec ₆tan_CC.

6. 3arcsen_{u 2}arcsec_uCC.

7. 4arctan_uC10eu ₈ln_uCC.

Calcular las siguientes integrales definidas:

1. 3:0503. 2. 0:8338. 3. 6:1773. 4. 6:2851. 5. 5:2028. 6. 10:147. 7. 1:6631. 8. 0:86577.