Universidad de Concepción
Campus Los Ángeles Escuela de Educación Departamento de Ciencias Básicas
Comprensión del área de superficies planas en
escolares básicos, secundarios y futuros
educadores de Matemática
Seminario para optar al Título Profesional de Profesor de Matemática y Educación Tecnológica y al grado académico de Licenciado en Educación
SEMINARISTAS:
Srta. Elizabeth Andrea Ramos Torres
Sr. Leonardo Andrés Sáez Betanzo
PROFESORES GUÍAS:
Sra. Irma Lagos Herrera
Sr. Víctor Jara Sánchez
COMISIÓN EVALUADORA:
Sr. Jorge Cid Anguita
Universidad de Concepción
Campus Los Ángeles Escuela de Educación Departamento de Ciencias Básicas
COMISIÓN EVALUADORA:
Sra. Irma Elena Lagos Herrera
Profesora de Estado en Español, Magister en Educación mención Currículum. Universidad de Concepción.
Sr. Víctor Iván Jara Sánchez
Estadístico; Magister en Estadística. Universidad de Concepción.
Sr. Jorge Cid Anguita
Profesor de Matemática y Física; Magister en Enseñanza de las Ciencias mención Matemática. Universidad del Bío-Bío.
Agradecimientos
Queremos expresar nuestro agradecimiento a todas las personas que estuvieron
apoyándonos a lo largo de estos años universitarios, en especial a nuestros familiares y amigos
quienes con sus palabras siempre nos animaron a continuar cuando más lo necesitábamos y a
Dios por darnos las fuerzas cada día para seguir adelante a pesar de las adversidades y
dificultades.
Agradecer de una manera muy especial a nuestros profesores guías Irma Lagos Herrera
y Víctor Jara Sánchez por su apoyo de comienzo a fin en la realización de este seminario, sus
consejos, criticas, sugerencias acertadas y sobre todo por soportar nuestra asistencia a sus
oficinas semana tras semana.
También agradecer los profesores Jorge Cid, Sixto Martínez, Lilian Vargas, Salvador
Alarcón y Alexis Almendras por sus aportes, consejos y colaboración a este trabajo y en nuestro
periodo como estudiantes.
A los diferentes establecimientos educacionales donde se realizó esta investigación, a sus
Dedicatoria
Este trabajo está dedicado a Dios, por enseñarme que en la vida se tienen momentos que hay que disfrutar, llorar, pero no lamentar pues te darán la fuerza para continuar.
Agradezco a todas esas personas que aparecieron en mi vida, quienes día a día me entregaron su paciencia, tiempo, cariño y fuerza, en especial a las que me ayudaron a elegir mi carrera Alison Álvarez y Alejandra Maldonado, como a los amigos que me apoyaron durante el periodo universitario Marietta Gutiérrez y Yessennia Martínez con su particular manera de ser, junto a Cristóbal Riquelme, Jean Pierre Salamanca, Daniela y muchos otros.
A mis padres y hermanos que con su amor, virtudes y defectos me ayudaron en esta hermosa etapa.
A una persona que con su paciencia y confianza me dio animo durante mis últimos años de universidad, Pedro Andres Pino Soto, gracias.
A mi compañero Leonardo Sáez por darme la oportunidad de trabajar juntos y compartir una gran experiencia en nuestras vidas que fue esta última etapa en nuestro periodo universitario.
Elizabeth Ramos Torres
En primera instancia a Dios, por entregarme la fuerza, convicción y permitirme ver realizado el anhelo de convertirme en un profesional, pues sin su voluntad nada en este mundo sería posible.
A mis tíos María Cruces y Elías Muñoz, a mi madre Patricia Betanzo, y en general a todo familiar quienes día a día o en ocasiones me brindaron su apoyo y confianza durante el transcurso de este largo periodo universitario.
A los amigos y amigas incondicionales de la infancia Gersson Fuentealba y Flavio Riffo, como a los nuevos encontrados a lo largo de este periodo Carlos Avello, Natalia Pérez, Camilo Rivera y muchos otros quienes me brindaron su apoyo durante todo este proceso, y a todas aquellas personas con quienes compartí valiosos momentos de amistad en estos años como universitario.
A mi amiga y compañera de seminario Elizabeth Ramos por unirse, contribuir y compartir de este memorable logro que juntos llevamos a cabo en esta última etapa universitaria.
Resumen
Esta investigación analiza el nivel de comprensión del concepto de área de superficies
planas, su relación con el razonamiento espacial, la motivación y la actitud hacia la matemática en
estudiantes de Educación Básica y Educación Media de diferentes estratos sociales, y en
universitarios futuros docentes de matemática de ambos niveles educativos de la ciudad de Los
Ángeles, Chile.
Es un estudio cuantitativo, sobre la base de una muestra intencionada de 30 estudiantes de
8vo año básico y 30 estudiantes de 3er año medio científico – humanista (CH) de colegios de nivel
socioeconómico medio-alto, medio y medio-bajo; y 20 estudiantes de cursos superiores de las
carreras de Educación general Básica mención Matemática y Cs. Naturales y de Pedagogía en
Matemática y Educación Tecnológica de una universidad del Consejo de Rectores de
Universidades de Chile (CRUCH), con un diseño evaluativo en el que se aplicaron pruebas de
comprensión de área, razonamiento espacial, motivación y actitud hacia la matemática a toda la
muestra.
El análisis de los datos permitió concluir que los niveles de comprensión del concepto de
área de superficies planas, tanto en estudiantes de educación básica y educación media, así como
en los futuros docentes de Matemática de educación básica son insuficientes. Que, cuanto mayor
es nivel socioeconómico, mayor es la motivación y el razonamiento espacial.
Palabras Claves: Área – Superficies – Razonamiento espacial – Motivación – Actitud hacia
Abstract
This research analyzes the level of understanding of the concept of area of flat surfaces, its
relation with the spatial reasoning, the motivation and the attitude towards the mathematics in
students of Primary Education and Secondry Education of different social strata and in future
university professors of mathematics of both educational levels of the city of Los Angeles, Chile.
It is a quantitative study, on the basis of an intentional sample of 30 students of 8th grade
and 30 students of 3th year half scientific - humanist (CH) of schools of medium-high, medium
and medium-low socioeconomic status; and 20 students of higher courses of the Basic General
Education careers, Mathematics and Cs. Natural and Pedagogy in Mathematics and Technological
Education of a University of the Council of Rectors of Universities of Chile (CRUCH), with an
evaluative design in which tests of area comprehension, spatial reasoning, motivation and attitude
towards mathematics were applied to the entire simple.
The analysis of the data allowed to conclude that the levels of understanding of the concept
of area of flat surfaces, both in students of basic education and secondary education, as well as in
the future teachers of Mathematics of basic education are insufficient. That, the higher the
socioeconomic level, the greater the motivation and spatial reasoning.
Keywords: Area, Surfaces, Spatial reasoning, Motivation, Attitude towards mathematics, Social strata.
Índice
Introducción ... 10
Capítulo 1 ... 11
Propuesta de Investigación... 11
1.1. Definición del tema ... 11
1.2. Justificación de la investigación ... 13
1.3. Preguntas de investigación ... 16
1.4. Objetivo general ... 16
1.4.1. Objetivos específicos ... 16
1.5. Hipótesis de investigación ... 17
Capítulo 2 ... 18
Marco de Antecedentes... 18
2.1. Objetivo educativo del área ... 18
2.2. Visualización ... 20
2.3. Factores cognitivos ... 22
2.3.1. Razonamiento matemático ... 23
2.3.2. Razonamiento espacial... 24
2.4. El área ... 25
2.4.1. Definición ... 26
2.4.2. Origen ... 27
2.4.3. Obstáculos en el aprendizaje de la matemática ... 28
2.4.4. Dificultades y errores en el aprendizaje de la matemática ... 32
2.5. Estudios sobre el área de superficies planas... 35
2.5.1. Aspectos del área ... 41
2.5.1.1. El área como concepto ... 41
2.5.1.2. Unidad de medida ... 42
2.5.1.3. Conservación del área ... 43
2.5.1.4. Relación entre el área y perímetro de una superficie ... 44
2.5.1.5. Fórmulas para el cálculo de área ... 46
2.6. Relación entre factores socio – afectivos y aprendizaje ... 47
2.6.1. Motivación ... 47
2.6.2. Actitud hacia la matemática ... 48
2.7. Diferencias entre sexo en matemática ... 50
Capítulo 3 ... 53
Marco Metodológico ... 53
3.3. Población y muestra ... 53
3.4. Variables de investigación ... 54
3.4.1. Variables independientes ... 54
3.4.2. Variables dependientes ... 55
3.5. Variables operacionales... 55
3.5.1. Variables independientes ... 55
3.5.2. Variables dependientes ... 55
3.6. Descripción de los instrumentos ... 56
3.6.1. Test área de superficies planas ... 57
3.6.2. Test de razonamiento espacial ... 58
3.6.3. Test actitud hacia las matemáticas ... 59
3.6.4. Escala de apreciación de la motivación de los estudiantes ... 60
3.7. Aplicación de los instrumentos ... 60
3.7.1. Test área de superficies planas ... 61
3.7.2. Test de razonamiento espacial ... 61
3.7.3. Test actitud hacia las matemáticas ... 61
3.7.4. Escala de apreciación de la motivación de los estudiantes ... 61
3.8. Tratamiento de los datos ... 62
Capítulo 4 ... 63
Verificación de Hipótesis y Discusión ... 63
4.1. Verificación de hipótesis ... 63
4.1.1. Hipótesis N°1 ... 64
4.1.2. Hipótesis N°2 ... 81
4.1.3. Hipótesis N°3 ... 84
4.1.4. Hipótesis N°4 ... 87
4.1.5. Hipótesis N°5 ... 88
4.2. Discusión ... 91
Capítulo 5 ... 94
Conclusiones, Reflexiones, Sugerencias y Limitaciones ... 94
5.1. Conclusiones ... 94
5.2. Reflexiones ... 97
5.3. Sugerencias... 98
5.4. Limitaciones ... 100
ANEXOS ... 113
ANEXO 1: Instrumentos de Recolección de Datos ... 114
1.1. Test de área de superficies planas. ... 114
1.2. Test de razonamiento espacial, educación básica ... 124
1.3. Test de razonamiento espacial, educación media ... 126
1.4. Test de motivación ... 128
1.5. Test de actitud hacia la matemática... 129
ANEXO 2: Validación Instrumento ... 130
ANEXO 3: Confiabilidad de Instrumentos ... 136
3.1. Confiabilidad test de área de superficies planas ... 136
3.2. Confiabilidad test de razonamiento espacial ... 138
3.3. Confiabilidad test de motivación... 140
3.4. Confiabilidad test de actitud hacia la matemática ... 142
3.5. Alfa de cronbach prueba piloto test área de superficies planas... 144
ANEXO 4: Resultados de Recolección de Datos ... 145
ANEXO 5: Pruebas de Normalidad e Igualdad de Varianzas ... 147
5.1. Pruebas de normalidad e igualdad de varianza entre NSE medio-alto, medio y medio-bajo de enseñanza media. ... 147
5.2. Pruebas de normalidad e igualdad de varianza entre NSE medio-alto, medio y medio-bajo de enseñanza básica ... 148
5.3. Pruebas de normalidad e igualdad de varianza entre Pedg. Matemática y Educ. Gral. Básica ... 149
5.4. Pruebas de normalidad e igualdad de varianza entre mujeres y hombres ... 149
5.5. Pruebas de normalidad e igualdad de varianza entre E. Superior, E. media y E. Básica ... 149
5.6. Pruebas de normalidad e igualdad de varianza en el concepto de área detectado entre estudiantes de E. Media y futuros docentes ... 150
ANEXO 6: Mallas Curriculares ... 151
6.1. Malla Curricular Educación General Básica, mención Matemática y Ciencias Naturales ... 151
Introducción
Nuestro país obtiene en matemáticas muy bajas puntuaciones en las evaluaciones tanto
nacionales como internacionales a pesar de las considerables alzas que se han registrado durante
los últimos años. Cada año estos resultados se contrastan sin que la situación cambie en el contexto
internacional de manera relevante. Desde el punto de vista cultural, la matemática es considerada
como un área poderosa que se origina con el fin de resolver problemas cotidianos del hombre,
permitiendo a este comprender, explicar y predecir situaciones y fenómenos de la vida real, razón
por la cual se considera una de las ciencias que cobra mayor relevancia en cualquier ámbito de la
sociedad.
Es debido a ello que la labor del docente que imparte la asignatura de matemática, no solo
incluye la búsqueda de formas de mostrarle al estudiante la importancia y lo fascinante que pueden
llegar a ser esta disciplina, sino que también utilizar orientaciones didácticas que lo mantengan
motivado, interesado en la clase y además comprendan la profundidad de los conceptos
matemáticos, sus conexiones y sus aplicaciones, y lo más importante, debe poseer y comprender a
la perfección todos los conocimientos, conceptos e ideas de la especialidad. Es decir, se busca una
forma de enseñar matemática que permita ir más allá de su contenido, integrando en el proceso de
aprendizaje las habilidades propias de la comprensión matemática aplicada a la realidad.
Ahora bien, en este trabajo presentamos el resultado de una investigación sobre el nivel de
comprensión del concepto de área de superficies planas que se encuentra presente en una muestra
intencionada de estudiantes primarios y secundarios de diferentes sexo y estratos sociales de la
ciudad de Los Ángeles, y en estudiantes universitarios, futuros docentes de los respectivos niveles
de educación, pertenecientes a una casa de estudios tradicional de Consejo de Rectores de
Universidades de Chile, de la ciudad de Los Ángeles.
El informe consta de 5 capítulos. En el capítulo 1 se plantea el problema de investigación;
en el capítulo 2, se expone el marco de antecedentes; en el capítulo 3, se describe la metodología
de investigación; en el capítulo 4, se describe el análisis los datos y verificación de las hipótesis, y
en el capítulo 5, se presentan los resultados, su discusión, las conclusiones y las sugerencias.
Capítulo 1
Propuesta de Investigación
1.1.
Definición del tema
En nuestro país, se trata inalcanzablemente de mejorar la educación que se imparte
principalmente a estudiantes de establecimientos municipales, tratando que estos alcancen un nivel
de enseñanza que se imparte en establecimientos particulares. Sin embargo, la educación
matemática en Chile, a pesar de las alzas que han mostrado diferentes diagnósticos nacionales e
internacionales, sigue siendo de baja calidad y una de las causas de aquello, se debe a un problema
vigente relacionado con el aprendizaje de la Geometría en los establecimientos municipalizados
de la educación media chilena, donde asisten los alumnos más vulnerables y que presentan, los
peores resultados en las pruebas de medición tanto nacionales como internacionales en
comparación con establecimientos particulares subvencionados y particulares pagados (Aravena y
Caamaño, 2013).
El Informe del Programa Internacional para la Evaluación Estudiantil (PISA) señala que el
promedio alcanzado por los estudiantes de países miembros de la Organización para la
Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE) en la escala de matemática de PISA 2015 fue de
490 puntos. Del total de países participantes, los mayores puntajes fueron obtenidos por algunos
países representantes del continente asiático, liderados por Singapur, con 564 puntos. El promedio
de Chile en la escala de matemática PISA 2015 fue de 423 puntos, menor al promedio OCDE y
sitúa al país en el lugar número 47, entre 72 países participantes. (Pisa, 2015)
En matemática, si bien es cierto, en los resultados por nivel socioeconómico existen
algunos avances, aún continúan persistiendo importantes brechas en los resultados, puesto que un
total de entre 94 a 104 puntos promedio separa el puntaje alcanzado por los estudiantes de
establecimientos municipales del que obtienen estudiantes de establecimientos particulares
vulnerables y de mayores ingresos, es similar a la brecha que existe entre los resultados entre Chile
y Finlandia (PISA, 2015).
Por su parte, el Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS)
señala que el promedio nacional de matemática ha mostrado una mejora significativa entre 2011
y 2015, sin embargo, los 427 puntos en TIMSS 2015 ubican a Chile por debajo del promedio de
países con producto interno bruto similares (490 puntos.), así como también del promedio
internacional (500 puntos.). En matemática, los estudiantes chilenos tienen un rendimiento similar
a dos países: Irán y Tailandia (Timss, 2015). Este estudio también mostró que la diferencia de
puntaje entre estudiantes de bajo nivel socioeconómico y de los pertenecientes a un alto nivel es
de 78 puntos en promedio. En cuanto a las diferencias por sexo, este estudio mostró que en Chile
existen importantes brechas en desmedro de las mujeres, contando con la mayor brecha por sexo
en Matemática entre todos los participantes, y la segunda mayor en ciencias después de Hungría,
situación que impide el desarrollo del país. (Timss, 2015)
El Sistema de Medición de la Calidad de la Educación (SIMCE) ha revelado un
estancamiento en la educación, pues esta medición señala que, en Educación Matemática, si bien
hay mejoras en los puntajes promedio y en la brecha por sexo, estos resultados siguen siendo
absolutamente deficientes, porque más del 70% de los niños, niñas y jóvenes se encuentran en un
nivel insuficiente o elemental en la prueba de matemática (Educación 2020, 2016).
Siguiendo con SIMCE, al analizar los resultados por sexo, se observa que hay una
disminución de las brechas en la última década, debido a una mejora de los resultados de las
mujeres. Sin embargo, se tienen desafíos, pues los resultados de los hombres han disminuido
significativamente desde 2013. Y en cuanto al nivel socioeconómico, a pesar que existe una mejora
en los últimos diez años, la brecha entre grupos siempre supera los 50 puntos, diferencia que
alcanza los 79 y 110 puntos en Matemática en 8° básico y 2° medio respectivamente. En los cuatro
niveles evaluados el puntaje promedio es mayor mientras más alto es el grupo socioeconómico,
por lo que la brecha aumenta según se avanza en los cursos. (Agencia de la Calidad de la
Educación, 2016)
Sobre lo anterior, Aravena & Caamaño (2013) menciona que en Chile la enseñanza de la
ha quedado demostrado en los análisis de los resultados de las pruebas de medición nacionales
como (SIMCE, 2003, 2006, 2010) e internacionales como (PISA, 2000, 2006, 2009 y TIMMS,
2003), agregando también que las mayores dificultades de los estudiantes está en la comprensión
de los problemas y en los procesos argumentativos–deductivos, y que los estudiantes que asisten
a establecimientos particulares de alto nivel socioeconómico no escapan a esta situación. Lo cual
resulta preocupante, pues es claro que la importancia que recae en la enseñanza de la Geometría
en el ámbito escolar, responde en primer lugar al papel que ésta desempeña en la cotidianidad de
las personas, considerando que un conocimiento geométrico básico es indispensable para
desenvolverse en la vida cotidiana, para orientarse reflexivamente en el espacio, para hacer
estimaciones sobre formas y distancias, para realizar apreciaciones y cálculos relativos a la
distribución de los objetos en el espacio, entre otros aspectos.
Además, como sabemos la Geometría se encuentra presente en múltiples ámbitos del
sistema productivo de nuestras actuales sociedades, como los son la producción industrial, el
diseño, la arquitectura, la topografía, etc., encontrándose inmerso en todas ellas el concepto de
área de superficies planas.
Es por ello que, a partir de la situación descrita anteriormente, se detecta la necesidad de
realizar un diagnóstico en el eje temático de Geometría que permita obtener antecedentes, haciendo
énfasis en detectar y describir cual es el grado de comprensión del concepto de área de superficies
planas que tienen los estudiantes de educación básica, educación media y educación universitaria,
de la comuna de Los Ángeles, y cómo se relacionan con ello la motivación, la actitud, y el
razonamiento espacial.
1.2.
Justificación de la investigación
Una preocupación que a cada docente debe inquietarle es el entregar una educación de
calidad y equitativa, procurando que sus alumnos logren un aprendizaje significativo para alcanzar
así la satisfacción tanto del discente como del docente. A esto, según las nuevas Bases Curriculares
publicadas por el Ministerio de Educación de Chile (MINEDUC), señalan que los estudiantes
para la edad utilizando las tecnologías de la información entre otros. No obstante, si bien es cierto
que los niños construyen sus conocimientos espaciales desde que nacen, también es cierto que es
necesaria la acción de la pedagogía para que estos conocimientos se estructuren adecuadamente
(Mineduc, 2015).
Al respecto, Corberán (1996a) señala que los investigadores que han realizado algún
estudio sobre el concepto de área, coinciden en el elevado grado de incomprensión de este concepto
por parte de los alumnos, y en considerar como causa fundamental de ello la insuficiente
dedicación y el incorrecto modo en el que se realiza su enseñanza. Lo que de alguna forma se ve
reflejado en las palabras de Aravena & Caamaño (2013) respecto a que son varios los estudios que
justifican las razones de dicha incomprensión, entre las que destacan la forma en que ésta se enseña
en la formación de profesores, con un enfoque formal, sobrecargada de estructuralismo, de
abstracción y parcelación del conocimiento. Lo que coloca en evidencia que esta forma de
enseñanza, que adquieren los profesores, tiende a ser reproducida en las aulas, generando en los
alumnos escasa comprensión de los conceptos y procesos geométricos (Aravena et. al, 2010).
Es aquí donde surge el interés por el estudio de la comprensión de este concepto, debido a
que tiene un papel relevante en la construcción de otros aprendizajes en Geometría y en el
desarrollo de destrezas y habilidades matemáticas. De ahí que en la mayoría de los programas
curriculares se incluyen orientaciones específicas para el tratamiento del área asumiéndola como
una de las magnitudes a las que la mayor atención se le asigna en los primeros niveles de la
educación básica. Además, el área es incluida como un objeto de evaluación en muchas pruebas
de medición internacionales.
Por tanto, el tratamiento que los docentes le dan al concepto de área y la forma en que se
enseña, influye en el aprendizaje y en el rendimiento académico de sus estudiantes. Por lo que si
se pretende un aprendizaje significativo es prioritario el conocimiento y el tratamiento del tema en
conjunto, docentes y alumnos (Engler et. al, 2004).
Por otro lado, en investigaciones realizadas en otras áreas y conceptos de la Matemática,
se ha detectado que estudiantes que ingresan a estudios superiores traen consigo algunos errores y
dificultades que logran superar a través del tiempo. Sin embargo, si en la educación Básica como
estudiantes que ingresan a la educación superior la situación es preocupante, pues mantienen estos
errores. Además, si no se rompe el círculo de las dificultades y la falta de conceptualización en
geometría plana en los futuros docentes de Matemática (Básica y Media) existen pocas
posibilidades de superar el problema. Razón por la cual es necesario incluir la muestra de
estudiantes de educación. Es por ello que se requiere estudiar si el grado de conocimiento y
comprensión que poseen los estudiantes sobre el concepto de área de superficies planas,
experimenta cambios (mejoras) en relación a los diferentes niveles educativos y en qué medida
influye la formación general y la especifica que el alumno va adquiriendo a lo largo de su vida
académica, así como también determinar qué aspectos del concepto y qué herramientas de medida
deberían reforzarse en la educación secundaria.
Por tanto, esta exploración busca contribuir al desarrollo de nuevas investigaciones
relacionadas con la comprensión del concepto de área de superficies planas en el aprendizaje de la
1.3.
Preguntas de investigación
1. ¿Hay un progreso en el concepto de área de superficies planas entre estudiantes de
educación básica, educación media y en los futuros docentes de Matemática y como se
expresa?
2. ¿Cómo se relaciona el nivel socioeconómico (NSE), la edad y la diferencia por sexo en el
concepto de área de superficies planas?
3. ¿Influyen la motivación y actitud hacia la matemática; el nivel socioeconómico (NSE) y la
diferencia por sexo; el nivel educacional y el razonamiento espacial, en la comprensión y
aprendizaje del concepto de área de superficies planas?
1.4.
Objetivo general
Analizar la comprensión del concepto de área de superficies planas y el progreso que sufre
en los estudiantes desde la educación básica a la educación media en diferentes estratos
sociales, y en futuros docentes de matemática.
1.4.1. Objetivos específicos
1. Comparar los conceptos de área de superficies planas que tienen los estudiantes de 8° año
básico, 3° año medio y futuros docentes de Matemática de Educación Básica y Educación
Media.
2. Analizar la relación entre los conceptos de área de superficies planas con el nivel
educacional, el nivel socioeconómico, la diferencia entre sexo, el razonamiento espacial,
1.5.
Hipótesis de investigación
1. Los estudiantes de Educación Básica y Educación Media, pertenecientes a establecimientos
de nivel socioeconómico Medio-Alto logran una mayor comprensión del concepto de área
de superficies planas, razonamiento espacial, motivación y actitud hacia las matemáticas,
en comparación a estudiantes de establecimientos de nivel socioeconómico Medio y
Medio-Bajo.
2. El concepto erróneo de área de superficies planas detectado con mayor frecuencia en
estudiantes de 3° año medio aún persiste, aunque en menor grado, en futuros docentes de
matemática en formación.
3. Los estudiantes de las carreras de Pedagogía en Matemática y los de Educación General
Básica mención Matemática, presentan una mayor comprensión del concepto de área de
superficies planas, que los estudiantes de 3er año medio y 8vo año básico respectivamente.
4. Los estudiantes de la carrera de Pedagogía en Matemática presentan una mayor
comprensión del concepto de área de superficies planas, que los estudiantes de Educación
General Básica mención Matemática.
5. La diferencia por sexo, afecta la motivación y la actitud hacia la matemática de los
estudiantes, y la comprensión del concepto de área de superficies planas,
Capítulo 2
Marco de Antecedentes
Para la presente investigación y en el marco de su línea de investigación, se analizaron
estudios globales relacionados con el área, los cuales entregan el sustento para este trabajo.
También específicamente se analizó otros estudios parciales, se consideró además el objetivo
educativo de la enseñanza del área; la definición y origen del concepto de área; los aspectos más
relevantes correspondientes al concepto de área; factores cognitivos que intervienen en la
comprensión del área; y los factores socio – afectivos que pudieran influir en el proceso de
enseñanza – aprendizaje del concepto.
2.1.
Objetivo educativo del área
Desde hace varias décadas y desde distintas visiones, la investigación en el campo de la
educación matemática ha generado modelos para el tratamiento del concepto de área en la escuela.
Es así, como un gran número de estudios han establecido jerarquías sobre la construcción del
concepto de área.
Algunos exponentes sobre esta tendencia son los trabajos de Piaget et al. (1981) y Wagman
(1975) citados por Marmolejo & González (2015), en los cuales se postulan dos casos. En el primer
ellos, se menciona que el aprendizaje del área debe pasar por diferentes etapas de desarrollo
(primitiva, intuitiva, operacional y analítica) y que debe centrarse exclusivamente en las
operaciones de conservación y transitividad. En relación a este primer caso, podemos observar que
éste se encuentra completamente incorporadas en la última actualización de los Programas de
Estudios de Matemática de 4to y 5to año básico del actual sistema educacional chileno (Mineduc,
2012a y 2012b). Mientras tanto, en el segundo de los casos, se establecieron cuatro etapas para el
desarrollo del aprendizaje del área, a saber:
1. La habilidad de aplicar el conjunto entero de axiomas en casos perceptivamente fáciles
2. La aplicación de axiomas en casos simples donde la exigencia perceptiva es compleja o
los estudiantes no son capaces de resolver la problemática planteada.
3. La aplicación de algunos, pero no todos, los axiomas (los estudiantes de esta etapa
conservan el área).
4. La consideración del concepto de conservación de área, pero no se aplica en todas las
situaciones posibles y se consideran algunos de los axiomas de la medida del área.
Al igual que el caso anterior, es posible observar que estas etapas también se encuentran
incorporadas en el sistema educacional chileno, pues a pesar que no se hace una mención o
referencia directa de ellas, se encuentran expresadas de forma implícita dentro de los objetivos de
aprendizajes redactados en los Programas de Estudio de Matemáticas desde 4to a 8vo año Básico.
(Mineduc, 2012a, b, c y 2016a, b)
Por su parte, Freudenthal (1983) considera que el principal objetivo educativo en torno al
área debe apuntar a la construcción del objeto mental del área, sin tener la necesidad de llegar al
propio concepto matemático. Por lo que de esta manera considera su enseñanza centrada en la
diferenciación y descripción de los distintos fenómenos que lo organizan. (Marmolejo & González,
2015)
Siguiendo con ello, Douady & Perrin-Glorian (1989) resaltan las bondades que produce la
enseñanza del área a partir de una diferenciación de los elementos matemáticos que la caracterizan
(superficie, cantidad de área y medida). Y así, de esa forma proponen una enseñanza del área que
privilegie la noción de área como una magnitud autónoma, desligando el área de la forma y
diferenciando la cantidad de área, de la superficie y del número.
Para Marmolejo & González (2015), estas perspectivas llaman la atención al hecho que
cada uno de esos enfoques no conducen al mismo resultado, es más, en ellos se afirma la necesidad
de discriminar la importancia de unos fenómenos en relación a otros. Y que en cuanto al diseño de
secuencias de enseñanza se consideran como momentos de especial importancia, la comparación
entre áreas y la diferencia entre perímetro y área. Por lo que, en el primero, se promueve la
constitución del área como un objeto mental y el segundo es necesario porque lo que provoca el
error en tareas de comparación de áreas es, el perímetro. Por tanto, en consecuencia, a esto, se
misma área, y ejemplos de figuras que, a pesar del error en las dimensiones lineales, tengan
diferentes áreas.
Por lo tanto, se entiende que el concepto de área es una red compleja de ideas entre las que
se incluye, entre otras, la medición, la estimación de áreas, la unidad de área y equivalencia de
unidades, para las cuales pueden ser tratadas con algunos recursos didácticos como es el caso de
materiales manipulativos y de software informáticos
2.2.
Visualización
Al estudiar matemáticas, el estudiantado debe adquirir la habilidad de conceptualización,
el pensamiento analítico y las destrezas para resolver problemas. Específicamente en Geometría,
se espera que el alumnado logre desarrollar sus capacidades espaciales y entiendan que ellas les
facilitan comprender el espacio y sus formas, proponiéndose actividades en las que usen destrezas
de visualización. Por tanto, es una destreza que el profesorado debe potenciar y arraigar en sus
estudiantes durante todo el proceso de aprendizaje, principalmente en la unidad de Geometría por
tener conceptos útiles para el desarrollo de habilidades espaciales.
Son numerosos los estudios realizados en Matemática que evidencian la importancia de la
visualización especialmente en el eje de Geometría como los de Battista, (2007); Bishop, (1989);
Clements y Battista, (1992); Gutiérrez, (1996) citados por Fernández, (2011). Otra razón por la
cual se reconoce su importancia es debido a que se sustenta principalmente en elementos visuales
e influencia de esta forma en la comprensión y aprendizaje de conceptos geométricos (Sainz,
2014). Es más, en las últimas dos décadas se ha incentivado con mayor intensidad la investigación
en este tema debido al auge de la tecnología en la presentación de conceptos, formas, relaciones y
propiedades.
La visualización es una herramienta significativa a la hora de comprender, analizar y
predecir situaciones del entorno, pues es capaz de reconocer patrones de naturaleza matemática
(Hershkowitz, Parzysz y Van Dormolen, 1996 citado por Fernández, 2011), que fomentan el
como lo son el Cálculo, Algebra, Estadística y Geometría (Gutiérrez 1998, citado por Sainz, 2014),
que es el eje principal considerado en esta investigación.
En cuanto a la visualización espacial, no existe un acuerdo a la hora de nombrarla por lo
que se puede encontrar como: percepción espacial, imaginación espacial, imaginería,
razonamiento visual, visión espacial, visualización o pensamiento espacial, entre otros en diversos
trabajos.
Para Hershkowitz (1990), la reconoce como visualización y se refiere a ella como una
habilidad para representar, transformar, generalizar, comunicar, documentar y reflexionar sobre la
información visual, mientras que para Presmeg (1997), la visualización es el proceso empleado en
la construcción y transformación de imágenes mentales.
Por otra parte, De Guzmán (1996) señala que la visualización no es una visión inmediata
de las relaciones, sino una interpretación de lo que se presenta a nuestras miradas que solamente
podemos realizar eficazmente si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación
que la sustenta. Siguiendo los mismos lineamientos, Hitt (1998) afirma que es el proceso de formar
imágenes y usarlas efectivamente para el descubrimiento y entendimiento matemático. Además de
considerar lo visual como una introducción hacia la abstracción de los conceptos y así permitir al
estudiante formar varios modelos de una situación de aprendizaje.
Zimmermann & Cunningham (1991) mencionan que: “… la visualización matemática da
profundidad y significado a la comprensión, pues puede ser utilizada como una guía confiable para
la resolución de problemas a la vez que promueve un razonamiento critico…”. (Gutiérrez 1996,
citado por Sainz, 2014)
En cambio, para Duval (1999), la visualización es una actividad cognitiva que es
intrínsecamente semiótica, ni mental ni física, es decir, es uno de los tres procesos cognitivos que
cubren las funciones epistemológicas especificas en geometría (visualización, construcción y
razonamiento). En el mismo ámbito, Duval (2002) distingue entre visión y visualización. Para él,
la visión la asocia a una percepción visual, la que proporciona un acceso directo al objeto físico y
necesita exploración a través de movimientos físicos para obtener una percepción completa del
a través de representaciones esquemáticas o figuras, como los dibujos, diagramas o esquemas,
graficas, producidos en papel, medios electrónicos o en la mente, esto es imaginado (Presmeg &
Balderas, 2001).
Por otro lado, se le atribuye a la visualización la creación de significado al símbolo, lo que
facilita la generación de conductas como sentido del símbolo (Arcavi 1994, citado por Sainz,
2014), que se relaciona con procesos más allá de las habilidades procedimentales, evitando así los
errores que provienen de un aprendizaje mecánico.
De modo que visualizar es explorar mediante esquemas, aprehender y coordinar
representaciones, imaginar, traducir e interpretar geométricamente un concepto y por supuesto el
desarrollo de habilidades que los estudiantes utilizan para la construcción de su propio
conocimiento.
2.3.
Factores cognitivos
Una aptitud está formada por razonamientos, habilidades y competencias, las cuales al estar
ligadas entre si son muy fáciles de confundir, ya que están jerarquizadas de forma continua dentro
del proceso de aprendizaje.
El razonamiento como proceso cognitivo básico es una herramienta con la que todos los
seres humanos cuentan de forma innata. Ayuda a aprender y a cultivar distintos campos del saber
y de esta manera desarrollar espontáneamente habilidades, como dar solución a diferentes
problemas y comprender que una determinada acción tendrá más de una consecuencia. Cabe
destacar que las habilidades pueden ser aptitudes innatas o desarrolladas por la eficiencia y eficacia
con que estas se expresan a través de la calidad y responsabilidad en el cumplimiento de tareas.
También forman parte de lo que se denomina competencias, las cuales siempre requieren de los
razonamiento y habilidades, pero se obtienen mediante la práctica, pues es allí donde las tareas,
2.3.1.
Razonamiento matemáticoPara resolver problemas es fundamental comprender conceptos abstractos, relacionar
contenidos, utilizar y aplicar conocimientos, todo lo cual forma parte del proceso cognitivo
denominado razonamiento. Así descrito, el razonamiento es la facultad humana que permite
resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consiente de los hechos,
estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. (Cea, 2017)
El razonamiento según describe Cea (2017), es el medio a través del cual el pensamiento
se distingue de los instintivo, al tiempo que permite pasar de una idea a otra de forma reflexiva,
estableciendo relaciones para alcanzar una conclusión respecto a un tema, lo que, en consecuencia,
lleva a que razonamiento contribuye al desarrollo del pensamiento crítico, una habilidad que los
estudiantes deben dominar desde la educación escolar básica.
Existen diversos tipos de razonamiento, dentro de los cuales se encuentran: el
argumentativo, lógico causal, deductivo, inductivo, analítico, el por analogías, y el matemático. A
continuación, se describe el razonamiento matemático, ya que es una de las variables a considerar
en la presente investigación.
El razonamiento matemático va más allá de la matemática como disciplina, puesto que
incluye las capacidades genéricas de identificar, relacionar y operar, las cuales aportan las bases
necesarias para la adquisición de conocimientos matemáticos. Este razonamiento permite
desarrollar aquellas competencias asociadas a la habilidad de solucionar situaciones nuevas de las
que no se conoce de antemano el método mecánico de resolución, por lo que se puede considerar
que está relacionado con todos los demás razonamientos presentes en la matemática, tales como
el razonamiento geométrico, aritmético, algebraico, etc. (Canals & Alsina, 2000).
En forma específica, el razonamiento matemático ayuda al desarrollo de las siguientes
habilidades (Cofré & Tápia, 2003):
Abstraer características o propiedades físicas de objetos, lugares o fenómenos.
Relacionar características de objetos, grupos de objetos o fenómenos (establecer semejanzas y
diferencias).
Representar la información en diagramas y esquemas.
Pronunciarse sobre la veracidad o falsedad de enunciados verbales.
Buscar y establecer regularidades y patrones entre los objetos de una misma situación.
2.3.2.
Razonamiento espacialLas bases curriculares del MINEDUC solicitan desarrollar destrezas de visualización en el
estudiantado para que desplieguen sus capacidades espaciales y que entiendan que ellas les
facilitaran comprender el espacio o sus formas (Mineduc, 2015). Sin embargo, como la
visualización está relacionada con un conjunto de habilidades relacionadas con el razonamiento
espacial (Gonzato et al. 2011) no basta solo con describir la visualización. Es por esta razón que a
continuación se presenta lo relevante de este razonamiento para la investigación.
La caracterización del razonamiento en geometría, está dada por procesos que realiza el
sujeto en los que, a partir de informaciones previas se intenta pasar a nuevas formas de
información, en el caso del razonamiento en geometría, se refiere a uno deductivo, que garantiza
la producción e interpretación de formas. (León & Calderón,2008)
Para los autores Clement & Battista (1992) citados por Godino et al. (2012), el
razonamiento espacial consiste en el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se
construyen y manipulan representaciones, relaciones y transformaciones mentales de los objetos
espaciales. Mientras que Gardner (1998) citado por Vásquez & Noriega (2011), define la
inteligencia espacial como la habilidad de percibir con precisión el mundo visual, trasformar y
modificar percepciones, y recrear experiencias visuales en ausencia de estímulos físicos.
Ahora bien, para comprender no solo los procesos cognitivos presentes en el pensamiento
geométrico, sino que también el paso de un nivel a otro, primero debe entenderse como las
personas crean y representan mentalmente el conocimiento geométrico espacial. El punta pie
inicial se origina con la percepción y las imágenes, por lo que hay que considerar desde la
percepción de la forma hasta el todo de las partes, y, por último, el paso de las imágenes a las
Por otra parte, Linn & Petersen (1985) caracterizan la competencia espacial como la
capacidad de representar, generar, recordar y transformar información simbólica o lingüística que
puede agruparse en tres categorías: percepción espacial, rotación mental, y visualización.
La percepción espacial se refiere a la capacidad de ubicar, orientar y hallar la referencia a la
línea horizontal, corresponde a la percepción espacial. (por ejemplo, en las pruebas con
recipientes que contienen líquido, anticipar la línea de éste cuando se incline el recipiente). En
general, las tareas de percepción espacial requieren usar el punto de gravedad, la vertical y
kinestésia.
La rotación mental alude a la capacidad de girar mentalmente objetos bidimensionales o
tridimensionales en bloque.
La visualización es la habilidad para generar una imagen mental, efectuar transformaciones
mentales sobre esta y retener los cambios producidos. Lo esencial de esta habilidad es el
control mental que se ejerce sobre la imagen. Las transformaciones son procesos complejos
que pueden darse por síntesis (como el armado de rompecabezas), por movimiento o por
desarrollo de superficies, lo que requiere imaginar plegamientos en dos o tres dimensiones, a
partir de un estímulo visual. En este tipo de tareas se requieren varios pasos de manipulación
mental, que pueden incluir la rotación de partes, pero también plegado, reconocimiento de
figuras o partes ocultas, diseños de bloques, etc. Las estrategias de resolución son analíticas y
el desempeño exitoso requiere flexibilidad mental para seleccionar la mejor estrategia.
En general el razonamiento espacial desarrolla la habilidad que facilita el poder concebir,
interpretar, imaginar y visualizar figuras en el espacio. Razonamiento que el profesorado debe
estimular en sus estudiantes y ellos mismos dejar de lado la creencia que no basta con eso para una
demostración, pues los procesos que se utilizan para llegar a obtenerlo, son tan valiosos como una
demostración algebraica.
2.4.
El área
A diferencia de las leyes físicas, químicas y biológicas, los conceptos matemáticos no son
parte de la naturaleza, sino que provienen de la interacción de la mente humana con ella. Los
conceptos matemáticos reflejan la forma en que está estructurado el pensamiento, sus elementos
Durante el proceso de evolución natural estas características se adaptaron a la mejor
resolución de los problemas prácticos de la especie humana. Es por esta razón también que en
Matemática la valoración y el rescate de la intuición del estudiante le facilita asumir el
protagonismo activo de su propio aprendizaje en vez de ser un desganado memorista que sólo
busca satisfacer los arbitrarios requerimientos de un maestro o profesor. (Solivérez, 2009).
Respecto a las diversas definiciones del concepto de área y su origen, se encuentra una
amplia gama de autores que hacen referencia a este concepto. A continuación, se presenta un
cuadro con algunas de las propuestas.
2.4.1.
Definición
AUTOR Y MODELO DEFINICIÓN
Hans Freudentahl (1983)
El área es una magnitud que mide objetos más variados que otras magnitudes.
Las medidas del área presuponen la elección de una unidad de medida.
Marie–Jeanne Perrin–Glorian (1992) El área designa la magnitud física, cualidad o propiedad de la superficie.
Stanley et al. (1998)
A cada región poligonal se le puede asignar un número real positivo único denominado área.
RAE (2005) El espacio de tierra comprendido entre ciertos límites.
Fandiño & D’Amore (2009) Es la medida bidimensional, es decir, un número real acompañado de una oportuna unidad de medida.
Juan González (2014) Es la extensión en unidades cuadradas de una superficie.
Marmolejo & González (2015)
El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de una superficie (el lugar o espacio que ocupa una figura en la superficie del plano), expresada en matemáticas unidades de medida denominadas unidades de superficie.
De las definiciones anteriores se puede concluir que el concepto de área, bien utilizado por
el docente, puede transformarse en un aprendizaje que se puede explotar para profundizar en el
pensamiento matemático. Para lograr esto, cada docente debe atender su problemática y no
rechazarla, e intentar que el manejo de los errores que se produzcan en ello, constituyan un
elemento motivador e importante dentro del aula para la comprensión de este concepto.
Cada uno de los autores anteriores han ido redefiniendo este concepto a medida que pasan
los años, debido a los estudios realizados y puntos de vista adoptados. Es por ello que para esta
investigación se utilizará, adoptará y se redefinirá la definición del concepto entregada por los
autores Marmolejo & González en 2015, producto que es la más actual conocida y relacionada con
los aspectos importantes y relevantes de este concepto, considerando que los autores formulan esta
definición desde el punto de vista de una medida, de igual forma en que esta se menciona
anteriormente en el postulado del área según Stanley et al. (1998).
Por tanto, la definición principal para el concepto de área de superficie plana es la que se
presenta a continuación: El área es un concepto que permite asignar una medida a la extensión de
una superficie en el plano (el lugar o espacio que ocupa una figura en la superficie del plano),
expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie.
2.4.2.
Origen
El concepto de área no es innato, sino que ha sido transmitido culturalmente. De acuerdo a
lo que dicho por Solivérez (2009), este concepto probablemente se originó en tiempos
prehistóricos cuando la especie humana aún era nómade y vivía de la caza, pesca y recolección de
de las plantas y animales esenciales para la supervivencia, así como también, la competencia con
otros grupos humanos requería respetar territorios ajenos o combatir por ellos, siendo por entonces
el concepto de territorio semejante al de área.
En este significado, un área es una franja de territorio que se puede recorrer en cierto tiempo
dependiendo de la naturaleza del terreno y de la velocidad de desplazamiento. El significado
operativo más básico del área, es la de un cubrimiento y para ello se requiere de un área de
referencia, como, por ejemplo, una manta, una alfombra, un tapis o una baldosa. Designación que
surgió según Solivérez (2009), seguramente en la etapa sedentaria de los asentamientos estables,
de la construcción de viviendas permanentes y de la ocupación continua de terrenos agrícolas y
ganaderos.
No existe un claro o exacto origen sobre este concepto, pues Barrantes (1997) menciona
que es claro que los conocimientos de las antiguas civilizaciones han llegado a nosotros mediante
unos pocos documentos sobrevivientes a través del tiempo. Por tanto, lo que podemos conocer de
ellos es inconcluso, pero gracias a los investigadores en el campo de la arqueología se ha formado
una idea bastante completa sobre el grado de conocimiento de estas civilizaciones, especialmente
de la egipcia, babilónica y la griega. En esta última se puede observar un extraordinario desarrollo
matemático por sobre las otras mencionadas, debido a que propusieron reglas generales para
ciertos cálculos e hicieron una clara distinción entre procesos aproximados y cálculos exactos, cosa
que egipcios ni babilónicos consiguieron.
2.4.3.
Obstáculos en el aprendizaje de la matemática
El conocimiento de las dificultades y errores más frecuentes constituye una faceta
preventiva de gran ayuda en la enseñanza. De antemano se puede estar preparado para internar
evitar u organizar algunos escollos que, probablemente, tendrá el alumno en la formación del
concepto de área de superficies planas.
Cuando las dificultades no se pueden superar, se convierten en obstáculos porque impiden
avanzar en la construcción del nuevo conocimiento. Estos obstáculos pueden ser de tres tipos,
Andrade, 2011). Las dificultades constatadas parecen debidas a la existencia de obstáculos en el
aprendizaje de la geometría en general.
Obstáculos Epistemológicos
Los obstáculos epistemológicos son parte del proceso de aprendizaje y no solo no se
deben evitar, sino que se deben enfrentar porque juegan un papel muy importante en la
adquisición del nuevo conocimiento. La noción de obstáculo epistemológico de la geometría,
fue introducida por el filósofo y epistemólogo Gastón Bachelard dentro del libro publicado en
1938 y titulado “La formación del espíritu científico”. En el texto, Gay Brousseau (1938)
distingue tres orígenes fundamentales de los obstáculos que se encuentran en la enseñanza de
las matemáticas, siendo el de mayor interés para esta investigación, los obstáculos
geométricos.En él, se menciona que la intuición geométrica se hace un obstáculo serio en la
formación de una definición rigurosa tanto como impida la determinación de aquello que debe
comprenderse por la diferencia de dos magnitudes, que por una devoción a la noción de limite
o a la noción de extremo de un conjunto.
En cuanto a los obstáculos epistemológicos en el aprendizaje de la geometría, Laborde
(2004) define esta secuencia de acciones básicas como un esquema de acción instrumentado.
Además, que el usuario debe construir una organización invariante unida a la secuencia de
acciones elementales y es lo que Rabardel (1999) define como el esquema de uso.
Por otra parte, Santillán (2002) citado por Sandoval (2009) dice que la manera de
resolver un problema en matemáticas tiene estrecha relación con las herramientas disponibles
y que su manejo depende de la integración del conocimiento matemático y de la propia
herramienta. Como lo comenta Santillán:
El medio […] es la base material que hace posible las acciones del sujeto […] la meta o fin no
cambia si utilizamos una u otra herramienta, pero el proceso para alcanzar la meta, según los
medios que se utilicen, cambia y cambia la estrategia. La planeación, una actividad cognitiva
compleja, queda marcada por la herramienta […] la actividad cognitiva es inherente al
A lo que Rabardel (1999) considera que los instrumentos cumplen una función muy
importante para el estudiante, y que no son únicamente auxiliares o neutros dentro de la
enseñanza, sino que son parte activa de la construcción de conocimiento mediante sus
acciones, pues al respecto agrega que los artefactos, las herramientas y signos contribuyen a
la formación de las funciones psíquicas y los conocimientos.
Según lo anterior se puede decir que el obstáculo presentado en este apartado se
encuentra usualmente arraigado en el alumnado y tiene por tanto un carácter persistente, pues
es una de las características que presenta un obstáculo para catalogarlo de tipo epistemológico,
por lo cual una simple aclaratoria por parte del docente resultara insuficiente.
Obstáculos Ontogenéticos
Los obstáculos ontogenéticos provienen de condiciones genéticas específicas de los
estudiantes y, por lo tanto, no se pueden evitar mediante la formación de docentes. Un origen
ontogenético, correspondiente a los obstáculos unidos a las limitaciones de las capacidades
cognitivas de los estudiantes comprendido dentro del proceso de enseñanza, es la percepción,
pues en palabras de Laborde (1996), “la percepción interviene en la construcción de una
interpretación siempre y cuando el lector no tenga sólidos conocimientos teóricos geométricos
que le permitan ir más allá de la primera lectura perceptiva”. Por lo que se ha logrado poner
en claro que los aspectos perceptivos del dibujo, pueden entorpecer o por el contrario
favorecer la lectura. Esto ya que en palabras de los propios Laborde & Capponi (1994) dicen
que, “un dibujo geométrico no es necesariamente interpretado por un lector como un objeto
geométrico, pues las interpretaciones de un mismo objeto son múltiples tanto por las
interpretaciones del lector y sus conocimientos, como por la naturaleza misma del dibujo, que
por sí mismo no puede caracterizar un objeto geométrico”.
Por su parte, Mesquita (1992) afirma que, para describir el desarrollo cognitivo de los
estudiantes en relación a las imágenes de los conceptos, es necesario considerar también lo
que se llama el fenómeno prototipo: que son generalmente los ejemplos que tienen la lista de
atributos más grande (se logran primero y existen en la imagen del concepto de la mayoría de
ejemplos, y los rasgos prototipos: que se basan en los atributos críticos del concepto. Para los
cuales establece en un orden jerárquico en el logro de ejemplos de conceptos comunes a toda
la población y que progresan con la práctica, y diferentes tipos de patrones de ideas erróneas
dentro de la misma población, dentro de las que distingue entre:
a) ideas erróneas que los estudiantes se resisten a abandonar (que tienen el mismo patrón
de incidencia en un curso y en el siguiente).
b) ideas erróneas que los estudiantes corrigen con la adquisición del concepto.
c) ideas erróneas que los estudiantes incrementan con la adquisición del concepto (que
se desarrollan con el proceso de aprendizaje).
Obstáculos Didácticos
Los obstáculos didácticos provienen de la enseñanza, y se deben evitar porque
impiden superar los obstáculos epistemológicos, es decir, impiden ver las cosas de una
nueva manera. También es sabido que los obstáculos didácticos se estudian a través del
análisis de los errores más frecuentes de los estudiantes, por lo que se concluye que estos
errores provienen de dificultades que se originan en la enseñanza por alguno de estos
errores didácticos: metodológicos, curriculares o conceptuales (Andrade 2011).
Siguiendo con los lineamientos anteriores, se considera como un error
metodológico el uso, por parte del docente, de palabras inadecuadas, modismos, o trucos;
un error curricular se presenta cuando el diseño de las bases curriculares para la educación
impide dar un salto conceptual o superar el obstáculo epistemológico para adquirir el nuevo
conocimiento; y un error conceptual es una noción falsa que se enseña para evitar el salto
conceptual, y que distorsiona el concepto. Por lo tanto, en cualquiera de los casos, los
errores que provienen de la didáctica son muy difíciles de modificar e impiden avanzar en
el conocimiento. Las palabras inadecuadas no permiten dar un nuevo significado a las
palabras técnicas que se usan en grados posteriores y una noción falsa impide construir el
significado matemático del concepto y dar el salto conceptual. (Andrade 2011)
Algunos de los obstáculos didácticos para el aprendizaje de la geometría detectados
Dificultades de saberes anteriores, y escaso conocimiento de la geometría
euclidiana elemental.
Dificultades en la utilización del lenguaje gráfico y simbólico, y en consecuencia
la imposibilidad de utilización frente a un problema del recurso de movilidad entre
los registros verbales, numéricos, simbólicos y gráficos que facilitan su análisis. Dificultad para visualizar en el plano y en el espacio ordinario las propiedades de
los vectores.
Dificultad en la partición del espacio en octantes.
Dificultades en la comprensión y construcción de un lugar geométrico dado.
2.4.4.
Dificultades y errores en el aprendizaje de la matemática
El concepto de área está tan vinculado a nuestras actividades cotidianas, que tomar
conciencia de ello es casi tan difícil como percibir el aire que respiramos. Como ya sabemos, el
origen de este concepto es tan viejo como la humanidad, pero según Solivérez (2009), su
formulación matemática precisa ha sido lograda recién hace unos cuatro siglos atrás, siendo
considerado hoy en día como patrimonio de sólo unos pocos profesionales de las ciencias exactas.
Por ende, para terminar con esta indeseable situación hay que modificar la enseñanza del
concepto de área desde la educación básica o primaria, puesto que el insuficiente y deficiente
tratamiento de este concepto es causal de dificultades, obstáculos y errores provocados en los
estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas. (Corberán, 1996a)
El área de superficies planas juega un papel relevante en la construcción de otros conceptos
matemáticos como lo ha mencionado Marmolejo & González (2015), tales como: las fracciones,
porcentajes, volumen, integración, etc., y a su vez en el desarrollo de destrezas y habilidades
matemáticas como lo son la resolución de problemas, razonamientos, argumentaciones y
visualización. Razón por la cual, en la mayoría de los programas curriculares se incluyen
orientaciones específicas para el tratamiento del área, asignándole a esta la mayor atención en los
primeros años de educación básica. Además, el área es incluida como un objeto de evaluación en
Siguiendo con la idea anterior, existen una serie de dificultades ligadas al aprendizaje de la
matemática presentes en Geometría, producto que se encuentran relacionadas con el uso de los
códigos del lenguaje matemático. Estas dificultades pueden ser provocadas por la falta de
enseñanza o por una mala práctica pedagógica en los niños y jóvenes que adquieren algunos
conceptos deformados o erróneos, sobre lo cual, Chamorro (1995) expresa que la metodología que
generalmente se utiliza para ello, favorece la aparición de errores que persisten y trascienden,
declinando en determinadas dificultades, entre otras, la incapacidad de los alumnos para distinguir
magnitudes diferentes, por ejemplo: en el caso del concepto de área, la superficie y el perímetro.
Además, el mismo Chamorro propone que los alumnos deben realizar experiencias de tipo
prácticas que les permitan la construcción de conocimientos deseados.
Así, las dificultades y errores más frecuentes que aparecen en diferentes investigaciones
acerca del tópico área suelen ser:
Confusión de perímetro – área.
Éste es un error bastante frecuente. En algunos casos, los niños tienden a calcular el
área y el perímetro de una figura y asignan el dato mayor al área y el menor al perímetro. En
una investigación llevada a cabo por Wagman (1975) citado por Marmolejo & González
(2015), se constató que un tercio de los sujetos que se intervinieron en él, confundían el área
con el perímetro. Además, se menciona que la frecuencia con la que se presenta este error se
puede entender si se revisa la metodología que generalmente se utiliza, pues el hecho que dos
figuras tengan la misma área induce a algunos niños a creer que tienen el mismo perímetro.
Conservación del área.
Las investigaciones llevadas a cabo por Hart (1984) citado en Marmolejo & González (2015), con alumnos de secundaria (12, 13 y 14 años), permitieron reconocer que los temas
relacionados con la conservación del área, no los dominan más de la cuarta parte de los
alumnos. Pues además según Hutton (1978) en Dickson et al. (1991) las dificultades
relacionadas con la conservación del área y el desconocimiento de ella, causan dificultades
para comprender la obtención de las fórmulas para el cálculo de la medida del área, causando
a la vez, que estas fórmulas sean aplicadas de forma automática provocando que se ignoren
Dificultades y errores de medida.
En el estudio de Hart (1984) citado en Marmolejo & González (2015), se citan también
las siguientes dificultades relacionadas con la medida del área:
Que las figuras sean más complicadas que el rectángulo: Esta es la figura más fácil de medir, ya que el 87% de la población lo realiza midiendo con cm, cuadriculando o con la
fórmula. En cambio, si la figura no es un rectángulo, los resultados bajan a un 15%.
Que las figuras no aparezcan pavimentadas: Si se tiene la figura "rellena" con las unidades, se tiende a contar. Mientras que, si eso no sucede, se tiende a aplicar la fórmula.
La proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad de medida y la figura: Si la
unidad de medida pasa de ser el “cm2” a una pequeña baldosa de “0.5 cm”, el 60% de los
niños de cada edad dobla la respuesta que obtuvieron al usar el “cm2”. Lo que induce a
creer a los niños que, al duplicar el lado de la figura se duplicará el área.
El contar unidades no enteras: Contar cuadrados enteros y mitades resulta fácil (80% de éxito); la tarea se complica si aparecen cuartos de cuadrados, ya que el porcentaje de éxito
baja al 57%).
Uso erróneo de los sentidos.
Para la atribución de conceptos como la longitud, el área, el volumen, etc. resulta
imprescindible la base sensorial, pues muchos autores como Del Olmo et al. (1993), señalan
que el primer paso en el proceso de medida de una magnitud comienza por la percepción de
la cualidad que se va a medir. Así como también se evidencian sendas dificultades en los
estudiantes para aceptar que dos figuras puedan tener la misma área, aunque sus formas sean
distintas. Por lo cual, una de las principales dificultades que enfrentan los estudiantes al
estudiar el concepto de área en Geometría atribuida a los sentidos, es la visualizacion espacial,
ya que las dificultades de tipo visual referidas a la discriminación y/o la percepción visual,
siempre encuentran fuertemente presentes en los contexto geométrico, mientras que otros
estudios resaltan el papel de la visualización en el desarrollo de los argumentos en que se
apoyan los estudiantes universitarios al justificar conjeturas sobre la noción de área, por
ejemplo, el cambio en la forma y de posición de las figuras al trasladar un punto, sin que
cambie el área del polígono dado, son acciones visuales que determinan los argumentos de los
