MODELAGEM MATEMÁTICA: MODELANDO UMA ANTENA PARABÓLICA
Allan Schroefer Gomes de Carvalho Universidade Federal do Espirito Santo [email protected]
Resumo: Esse trabalho trata-se de parte de uma pesquisa para trabalho de conclusão de
curso recentemente iniciada. É apresentada uma proposta de ensino utilizando a Modelagem Matemática no ensino médio que, no momento, encontra-se em aplicação e estudo. Na primeira parte do trabalho tratamos da definição de modelo e modelagem matemática. Em seguida, mostramos a descrição de um experimento que deverá ser realizado com alunos de 3º ano do ensino médio. Tal experimento visa entender como se dá a construção e funcionamento de uma antena parabólica, para isso estudaremos as propriedades da antena em uma parábola. Propomos também a criação de um protótipo de antena para que se possa visualizar as propriedades verificadas no modelo matemático.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ensino médio.
INTRODUÇÃO
A partir do discurso de grande parte do corpo docente que atua na educação básica, podemos perceber a falta de interesse na disciplina de matemática pela maioria dos alunos e isso se transforma em mais um obstáculo no processo de ensino e aprendizagem. O objetivo deste trabalho é mostrar que a matemática está presente no nosso cotidiano, e fazer disso, uma metodologia alternativa de ensino de conteúdos existentes no currículo da educação básica e para isso utilizamos a antena parabólica, instrumento comum em quase todas as residências, e com uma propriedade matemática, física e geográfica bem interessante. Nesse trabalho abordaremos apenas as propriedades matemáticas.
MODELO MATEMÁTICO
Para falarmos de Modelagem Matemática, devemos esclarecer o que se define por modelo matemático.
problemas podem ser representados por relações matemáticas simples, como o de descobrir a área de um terreno, ou mais complexas, como o de encontrar o melhor formato para se reduzir o custo de uma determinada embalagem ou maximizar o lucro de uma empresa. Em ambos os casos é necessário quantificar dados e fazer uma formulação matemática detalhada.
Desta forma, “chamaremos simplesmente de Modelo Matemático o conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado” (BASSANEZI, 2010, p.20). Ou seja, o modelo matemático é “[…] um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real […]” (BIEMBENGUT; HEIN, 2010, p.12).
MODELANDO A ANTENA PARABÓLICA
Descrevemos agora um roteiro para ser usado em sala de aula com o objetivo de se estudar a modelagem envolvida no projeto de uma antena parabólica. Inicialmente faremos uma investigação do objeto, no caso a antena, depois abordamos a parte teórica da modelagem de uma parábola segundo a sua definição e então analisaremos as suas propriedades físicas que a tornam tão importante. Por fim faremos um protótipo de antena usando laser e uma superfície em formato de parábola.
INVESTIGANDO A ANTENA
Após o professor mostrar a antena parabólica para a turma e deixar que eles a toquem e investiguem alguns questionamentos serão feitos, tais como:
Como funciona a antena?
Qual o local de fixação da antena nas casas? De onde vem o sinal que a antena recebe? Onde fica o receptor da antena?
A superfície parabólica da antena retêm o sinal ou apenas reflete para o receptor? Você conhece outro objeto que tenha formato parecido com o da antena?
Depois de tantos questionamentos o professor poderá falar um pouco sobre a antena e suas aplicações, colocamos abaixo uma sugestão de leitura para o professor. As antenas parabólicas são objetos bastante utilizados na comunicação atual. Essas antenas são usadas na transmissão e captação de sinais de televisão, celulares, GPS (Sistema de Posicionamento Global) etc. O formato característico dessas antenas é o formato de uma superfície chamada parabolóide, que nada mais é que uma superfície de revolução gerada por uma parábola. A parábola é estudada no 9° ano do ensino fundamental, onde se verifica algumas de suas propriedades básicas. No ensino médio, com a introdução da geometria analítica, o assunto é retomado porém de maneira mais detalhada.
A propriedade reflexiva da parábola, que é preservada ao se formar o paraboloide, contribui para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, etc. As ondas eletromagnéticas emitidas por um satélite, atingem a antena parabólica, ocorrendo assim uma reflexão desses raios a um ponto fixo chamado de foco. Nesse foco encontra-se o receptor da antena que transformará as ondas eletromagnéticas em um sinal de televisão. Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos os quais, por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos nas invasões de Siracusa (cidade italiana). Sites relacionados:
1) < http://www.bandaku.com.br/paraseparas.html >
2) < http://blog.efacil.com.br/antenas-parabolicas-o-que-sao-como-funcionam-e-qual-o-publico.html>
3) <http://www.mundomax.com.br/blog/eletronicos/como-funciona-e-como-escolher-uma-antena-parabolica/>
DEFINIÇÃO DE PARÁBOLA
pertencente a reta diretriz. Definiremos uma parábola como o conjunto dos pontos Pi com i=1,2,3,... tal que a distância entre o foco e o ponto P seja igual a distância entre P e a reta diretriz. A reta que é perpendicular a diretriz e contém e foco e o vértice é denotada por eixo de simetria.
Para obtermos uma equação para essa curva, observemos primeiramente onde estaria um ponto que pertence a essa curva.
Figura 2 - Winplot
Para facilitar a modelagem da curva colocamos o vértice da parábola na origem do plano cartesiano, o foco no ponto F(0, ) e a reta diretriz paralela ao eixo horizontal, sendo
descrita pela equação y = - .
Dado um ponto P(x,y) na curva e um ponto D(x, - ) , com mesma coordenada x de
P e sobre a reta diretriz, pela definição de parábola teremos a igualdade entre as distâncias de P a F e de P a D, ou seja
Figura 3 - <http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/08/parabola-e-as-funcoes-quadraticas.html>
Usando a definição de distância entre dois pontos temos:
=
=
=
=
Concluímos assim que a equação geral da parábola é dada por:
Vale ressaltar que essa é a equação da parábola em que o vértice se encontra na origem do sistema cartesiano e seu foco se encontra no eixo y. Para uma parábola com vértice fora da origem, podemos ter um pensamento análogo para a construção e assim obtermos a seguinte equação:
(x − xo)² = 2p(y – yo)
Outro caso a se considerar, é a parábola cujo eixo de simetria se encontra no eixo x. Nesse caso e com pensamento análogo ao caso anterior a equação é dada por:
(y – yo )² = 2p(x – xo )
ROTEIRO DE ATIVIDADES
1) Através de medição das dimensões da antena, deduza a equação da parábola que gera o paraboloide da antena.
2) Traçe um esboço do gráfico gerado pela equação encontrada no item anterior, limitando-se as dimensões exatas da antena. Trace também a reta geratriz.
Analise visualmente se o gráfico desenhado pode descrever a antena.
3) Tome 4 pontos distintos na curva desenhada e, com o auxílio de um compasso ou régua, verifique se a propriedade de distância, usada para definir a parábola se confirma.
4) Com o auxílio da régua, trace um segmento de reta ligando uma ponta a outra da parábola, e verifique se o receptor da antena se encontra acima ou abaixo do segmento.
As respostas esperadas pelos alunos são as seguintes:
1) Sabemos que em uma parábola, a distância entre um ponto na curva e o foco, é igual a distância entre esse ponto e a reta diretriz. Espera-se que os alunos tome uma parábola na origem do sistema cartesiano.
Após medidas, temos que o foco está a 20cm da antena, com isso, o par ordenado do foco é F(0, 20). Pegando um ponto arbitrário P(x,y) na curva, e o ponto no reta diretriz tomado é D(x, -20), temos:
d(P,F)=d(P,D)
Deste modo:
=
=
=
=
Deste modo, concluimos que a a equação geral da parábola é:
2) Para que o esboço da curva se pareça o máximo com uma antena, espera-se que os alunos meçam o diâmetro da antena e constate que a mesma tem 60cm, pois assim, ao desenhar, a curva fique limitada. O esboço deve se aproximar da figura 4.
3) Nesse exercício, o aluno deve escolher 4 pares ordenado na curva e traçar segmentos de retas do foco a esses pontos, e em seguida, traçar seguimentos de retas até a reta diretriz que sejam perpendiculares a ela, e assim, com o auxilio da régua, verificar se a distância do foco a curva é a mesma da curva a reta diretriz. Um exemplo é o da figura abaixo.
Figura 6 - Winplot
4) Traçando um segmento de reta de uma extremidade a outra da parábola iremos obter o seguinte desenho.
Figura 7 - Winplot
Outra maneira de verificar é pegando o par ordenado na extremidade da parábola, e descobrir valor de y desse ponto, e assim comparar com o par ordenado do foco da parábola. Se o valor de y do foco for menor do que o valor de y do ponto, sabemos que o foco se encontra dentro das extremidades da antena, caso contrario, ele se encontra fora das extremidades.
MATERIAIS NECESSÁRIOS PARA FAZER O EXPERIMENTO
Para este experimento precisamos dos seguintes materiais: Uma antena parabólica pequena (60 cm de diâmetro) Fita mética
Régua
Folha grande de papel milimetrado
Placa de madeira para colar o papel milimetrado Lápis e caneta
Laser de marceneiro. Papel cartão
Papel alumínio
ELABORAÇÃO DO PROTÓTIPO
a) Cole o esboço da parábola sobre uma peça de madeira ou papelão grosso
b) Corte uma fita de papel cartão de 3 cm de largura cujo comprimento seja o mesmo comprimento da curva desenhada.
c) Cole papel alumínio sobre uma das faces da fita recortada.
d) Cole a fita no contorno da parábola de modo que fique perpendicular a base de papelão. A superfície com papel alumínio deve ficar voltada para o foco
e) Aponte um laser de marceneiro para a superfície coberta com papel alumínio com o raio sempre paralelo ao eixo de simetria.
Figura 8 Figura 9
Podemos observar na figura 8 e na figura 9 que realmente a propriedade reflexiva da parábola se verifica. O laser, ao entrar em contato com o papel alumínio, reflete e passa exatamente em cima do foco da parábola. Vale ressaltar que o laser é paralelo ao eixo de simetria da parábola, caso não esteja paralelo, ele será refletido em outro lugar fora do foco.
CONCLUSÃO
A modelagem da antena parabólica, é um dos vários exemplos que existem no nosso dia-a-dia que nem imaginamos que tem uma matemática envolvida. Através desses exemplos podemos tornar a matemática mais interessante e mais aceitável para os alunos. Conforme MEYER, CALDEIRA & MALHEIROS (2011, P. 49) o papel do professor não é somente apresentar a matemática neutra do currículo para os estudantes, mas também trazer situações de fora para dentro de sala de aula, oferecendo o ensinar da matemática necessário para uma melhor compreensão de conteúdos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 3ª Ed. 2ª reimpressão. São Paulo: Contexto, 2010. 389 p.
BIEMBENGUT, Maria Sallet; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 5ª Ed. 1ª reimpressão. São Paulo: Contexto, 2010. 127 p.
