Dz) Algunos ejercicios con soluciones.

Soluciones de los ejercicios para entregar de la pr´actica 4 Ejercicios de la clase 9

1. SeanA=

1 2 0 2 4 −1

yB =

1 −2 0

−2 4 5

. Calcular, cuando sea

posible, 2A+ 3B,AB, ABt

• Soluci´on:

2A+ 3B= 2

1 2 0 2 4 −1

+ 3

1 −2 0

−2 4 5

2 4 0 4 8 −2

+

3 −6 0

−6 12 15

=

5 −2 0

−2 20 13

AB no se puede calcular porque la cantidad de columnas de A es distinta a la cantidad de filas deB.

CalculamosABt_:





1 −2

−2 4

0 5





1 2 0 2 4 −1

−3 6

−6 7

Respuesta: 2A+ 3B=

5 −2 0

−2 20 13

ABno se puede calcular,ABt₌

−3 6

−6 7

2. Decidir si M =

5 −2 0

−2 20 13

es combinaci´on lineal de A y B, las matrices dadas en 1).

• Soluci´on: Hemos visto en el inciso anterior queM = 2A+ 3B. Respuesta: M es combinaci´on lineal deAyB

Ejercicios de la clase 10

1. SeanA=



  

1 −5 2 0 2 −1 0 3 5 7 −2 4 4 3 2 −1



  

• Soluci´on: b23 se obtiene multiplicando la fila 2 de Acon la columna 3 deA:

2 −1 0 3 

  

2 0

−2 2



  

= 10

b32 se obtiene multiplicando la fila 3 deAcon la columna 2 deA:

5 7 −2 4



  

−5

−1 7 3



  

=−34

Respuesta: b23= 10 yb32=−34

2. Calcular, si existe, la matriz inversa deA=





1 −2 2 2 −1 0 4 0 −2





• Soluci´on: Usamos el m´etodo pr´actico:

A=





1 −2 2 : 1 0 0 2 −1 0 : 0 1 0 4 0 −2 : 0 0 1



∼F2←F2−2F1





1 −2 2 : 1 0 0 0 3 −4 : −2 1 0 4 0 −2 : 0 0 1



∼F2←F3−4F1





1 −2 2 : 1 0 0 0 3 −4 : −2 1 0 0 8 −10 : −4 0 1



∼_F2←1 3F2





1 −2 2 : 1 0 0 0 1 −4

3 :

−2 3

1 3 0 0 8 −10 : −4 0 1



∼F3←F3−8F2





1 −2 2 : 1 0 0 0 1 −₃4 : −₃2 1₃ 0 0 0 2₃ : 4₃ −₃8 1



∼F3←3 2F3





1 −2 2 : 1 0 0 0 1 −₃4 : −₃2 1₃ 0 0 0 1 : 2 −4 3₂



∼F1←F1−2F3





1 −2 0 : −3 8 −3 0 1 −₃4 : −₃2 1₃ 0 0 0 1 : 2 −4 3₂







1 −2 0 : −3 8 −3 0 1 0 : 2 −5 2 0 0 1 : 2 −4 3 2



∼F1←F1+2F2





1 0 0 : 1 −2 1 0 1 0 : 2 −5 2 0 0 1 : 2 −4 3₂





Respuesta: La inversa deAesA−1=





1 −2 1 2 −5 2 2 −4 3₂





Ejercicios de la clase 11

1. Sean A=





1 −1 a 0 3 −1

0 1 2



 y B = A+At. Hallar todos los valores de

a∈R para los cualesdet(B) =−10.

• Soluci´on:

B=A+At=





1 −1 a 0 3 −1

0 1 2



+





1 0 0

−1 3 1

a −1 2



=





2 −1 a

−1 6 0

a 0 4





Ahora

det





2 −1 a

−1 6 0

a 0 4



=desarrollamos por 3ra filaa

−1 a 6 0

+4

2 −1

−1 6

=

a(−6a) + 4(12−1) =−6a2+ 44 Entonces,

−6a2+ 44 =−10 de donde

54 = 6a2 y

a2= 9

Esta ecuaci´on tiene dos soluciones,a= 3 ya=−3 Respuesta: a= 3 oa=−3

2. Hallar todos losx∈Rpara los cuales la matrizA=



  

1 2 3 −4 0 1 −2 0

0 0 1 5

0 3 6 x



  

• Soluci´on: Ver que una matriz no es inversible es equivalente a ver que su determinante es igual a cero. Calculamos entoncesdet(A).

1 2 3 −4 0 1 −2 0

0 0 1 5

0 3 6 x

=desarrollamos por 1ra columna

1 −2 0 0 1 5 3 6 x

=

=desarrollamos por 1ra columna

1 5 6 x +

−2 0 1 5 =

x−30 + 3(−10) =x−60 Luego,

x= 60 Respuesta: x= 60

3. Sean A =





1 0 2 0 −1 3

k 0 1



 y B =





1 0 0 2 3 1

−1 k 1



 y C = AB. Hallar

todos los valores dek para los cualesC es no inversible.

• Soluci´on: Usamos la propiedad del producto de los determinantes, esto es,

det(C) = det(AB) = det(A)det(B) =

Calculamos cada uno de estos determinantes:

|A|=

1 0 2 0 −1 3

k 0 1

=desarrollamos por 1ra fila=

−1 3 0 1 + 2

0 −1

k 0

=−1 + 2k= 2k−1

|B|=

1 0 0 2 3 1

−1 k 1

=desarrollamos por 1ra fila=

3 1 k 1

= 3−k

Como debe ser det(A)det(B) = 0, entonces 2k−1 = 0 o 3−k = 0 Luego,k=1₃ ok= 3.

Respuesta: k= 1₃ o k= 3.

1. Una econom´ıa con tres rubros interdependientes A, B y C tiene matriz de tecnolog´ıa





0.6 0.1 0.1 0.3 0.4 0.2 0.3 0.3 0.3





Decidir si la econom´ıa es productiva y hallar la demanda externa que se satisface con una producci´on de $500 para A , $500 para B y $600 para C.

• Soluci´on: Primero veamos si la econom´ıa es productiva. Una condici´on suficiente es que la suma de los coefecientes de cada una de sus filas sea menor que uno: la suma coeficientes de la fila 1 es 0.8; la de los de la fila 2 es 0.9 y los de la fila 3 es 0.9. Entonces, la econom´ıa es productiva.

Ahora hallamos la demanda externa que se satisface con la pro-ducci´on dada. Para eso usamos la ecuaci´on

(I−C)X =De

donde X es el vector producc´on y De es el vector de la demanda externa.





0.4 −0.1 −0.1

−0.3 0.6 −0.2

−0.3 −0.3 0.7



 



500 500 600



=





90 30 120





Respuesta: Esta econom´ıa es productiva.

La demanda externa que se satisface con esta producci´on es de

$90 para A, $30 para B y $120 para C.

2. En una econom´ıa con dos rubros interdepedientes, la matriz de tecnolog´ıa es

0.6 0.2 0.4 0.3

Sabiendo que la producci´on del rubroII es 50% m´as que la producci´on del rubroI, determinar cu´al es la producci´on necesaria de cada rubro para satisfacer una demanda externa de $ 120 para el rubroI.

¿Qu´e demanda externa del rubro II se prodr´a satisfacer con esa pro-ducci´on?

• Soluci´on: Sip1es la producci´on del rubroIyp2 es la producci´on del rubroII, entonces p2=p1+21p1= 32p1.

Adem´as, nos dicen que la demanda del rubroIes 120, y si llamamos d2a la demanda del rubroII, entonces:

0.4 −0.2

−0.4 0.7

p1 3 2p1

=

120 d2

Entonces,

0.4p1−0.3p1= 120

−0.4p1+3₂p1=d2

De la primera ecuaci´on obtenemos quep1= 1200.

Reemplazamos en la segunda ecuaci´on y obtenemos que d2= 780. Respuesta: La demanda externa del rubroII

Respuesta: que se puede satisfacer con esa producci´on es de $780.

3. En una econom´ıa de dos rubros interdependientesIyII, para producir $ 1 deIse requieren $ 0.6 deIy $ 0.8 de IIy para producir $ 1 deIIse requieren $ 0.1 deIy $ 0.2 de II.

Determinar si esta econom´ıa es productiva y cu´al es la producci´on de cada rubro que permite satisfacer una demanda externa de $ 140 del rubroIy $ 360 del rubroII.

• Soluci´on: Primero calculamos la matriz de tecnolog´ıa. Para eso, planteamos la ecuaci´on

CX+D=X

(la demanda interna m´as la demanda externa es lo que hay que pro-ducir).

Si x el la producci´on del rubro Ie y el la producci´on del rubro II entonces, la condici´on sobre el rubro Ies 0,6x+ 0,1y+ 140 =x, y la condici´ıon sobre el rubroIIes 0,8x+ 0,2y+ 360 =y.

Entonces, la matriz de tecnolog´ıa es

C=

0.6 0.1 0.8 0.2

Como la suma de los coeficientes de la segunda fila es 1, no se cumple la condici´on suficiente de productiva usando las filas; tampoco con las columnas, ya que la suma de los coeficientes de la primera columna es 1,4. Luego, debe calcularse la inversa de la matriz de Leontieff I−C y ver si tiene todos sus coeficientes mayores o iguales a cero (definici´on de econom´ıa productiva). EsI−C=

0.4 −0.1

−0.8 0.8

.

Calculamos su inversa:

0.4 −0.1 : 1 0

−0.8 0.8 : 0 1

∼F1←10F1y F2←10F2

4 −1 : 10 0

−8 8 : 0 10

∼F2←F2+2F1

4 −1 : 10 0 0 6 : 20 10

∼_F2←1 6F2

4 −1 : 10 0 0 1 : 10₃ 5₃

4 0 : 40 3

5 3 0 1 : 10

3 5 3

∼F1←1 4F1

1 0 : 10_{3 12}5 0 1 : 10₃ 5₃

Entonces, (I−C)−1=

10

3 5 12 10

3 5 3

que no tiene ning´un coeficiente

negativo, con lo cual la econom´ıa es productiva.

Ahora vamos a calcular la producci´on que satisface la demanda ex-terna dada. Una manera es resolviendo el sistema

0.4 −0.1

−0.8 0.8 x y

=

140 130

Pero en este caso, como tenemos ya calculada la inversa de I−C, planteamos el sistema equivalente

x y

=

10

3 5 12 10

3 5 3

140 360

Entonces,x=10₃140 +₁₂5360 = 1850₃ ,y=10₃140 + 5₃360 = 3200₃ Respuesta: Esta econom´ıa es productiva.

La producci´on que satisface esta demanda es $ 1850