Federico Weinschelbaum Universidad de San Andres
Informacion Incompleta
Información completa en caso de que los jugadores conozcan todo, incluyendo los pagos que cada uno recibe de los distintos resultados del juego.
Cuando hay algo que no saben es de informacion incompleta (mas claros despues)
Ejemplo Jugador 1 no conoce los pagos de 2
(2)
C C
(1) C 1,? 5,?
C 0,? 4,?
Informacion Incompleta
Ejemplo. El jugador 1 conoce el juego que juegan pero el potencial entrante no sabe si incumbente es costo altos (juego 1) o bajos
(juego 2). Sabe que son altos con probabilidad P
(E)
E E
(I) C 0, 1 2,0
C 2,1 3,0 si la …rma incumbente posee costos altos
(E)
E E
(I) C 3, 1 5,0
Informacion Incompleta
Para la resolución de esta clase de juegos con información incompleta se necesitaría establecer las conjeturas que posee el entrante sobre los costos del incumbente, como así también las creencias que detenta el incumbente sobre las conjeturas del entrante, y así al in…nito.
Harsanyi planteó una forma de encarar esta clase de ejercicios.
Transforma el juego de información incompleta en uno de información imperfecta. Introduce a la naturaleza como un jugador que elige realizaciones de una distribución de probabilidad objetiva, conocida por los jugadores.
Las realizaciones de la variable aleatoria determina el tipode cada jugador
Cada Jugador conoce su tipo conoce la distribucion de los otros.
Informacion Incompleta
Retomando el ejemplo,
Las estrategias del incumbente y el entrante son, respectivamente: Estrategias Jugador 1 que hacer para cada tipo
(C,C) (C, C) ( C,C) ( C, C)
9 > > = > > ;
Estrategias jugador 2
Informacion Incompleta
Cada uno de los tipos del jugador 1 tiene una estrategia dominante:
C para el de costos altos yC para el de costos bajos.
Pago del entrante en caso de que elija "entrar" o "no entrar" dada la estrategia del incumbente:
U2( CC,E) =p (1 p) = 1+2p U2( CC, E) =0
si p 1/2 entonces el resultado sería (( CC),E)
Informacion Incompleta
Alternativamente lo podemos ver como
(E)
E E
CC 3(1-p),p-(1-p) 2p+5(1-p),0
(I) C C 2(1-p).-p+(1-p) 2p+3(1-p),0
CC 2p+3(1-p),p-(1-p) 3p+5(1-p),0
C C 2,p+(1-p) 3,0
Eliminando las estrategias dominadas.
Llegamos a
si p 1/2 entonces el resultado sería (( CC),E)
Informacion Incompleta
Formalmente en un juego con información incompleta
ui(si,s i,θi,θ i)
θi 2Θi es una variable aleatoria elegida por la naturaleza que es
observada únicamente por el jugador i. Sea Θi el conjunto de tipos del jugador i.
Sea Θ=Θ1 ΘI.
Sea F(θ1, ...,θI)la distribución de probabilidad conjunta de los tipos,
asumida de conocimiento común por todos los jugadores. Nótese que la probabilidad de los tipos no necesariamente son independientes.
Si un jugador conoce su tipo actualiza la probabilidad mayor de los tipos de los oponentes.
Un juego Bayesiano con informacion incompleta es:
Informacion Incompleta
Rede…nimos una estrategia pura, como una función
si :Θi !Si
es decir, es una regla de decisión que especi…ca una estrategia para cada realización de θi.
Denotamos con Li al conjunto de todas las funciones si(θi).
Cada jugador tiene sus pagosui(si,s i,θi,θ i).
Dado un per…l de estrategias de los I jugadores, tenemos que el pago
esperado del jugadori-ésimo está dado por:
e
ui(si( ),s i( )) =Eθ[ui(si(θi),s i(θ i),θi,θ i)]
A su vez, el juego en forma normal de un juego bayesiano se encuentra dado por
Informacion Incompleta
Equilibrio bayesiano de Nash
De…nimos una equilibrio bayesiano de Nash en estrategias puras a un per…l de estrategias tal que cumple:
e
ui(si( ),s i( )) eui si0( ),s i( ) 8i8si0
Esto establece que en un equilibrio bayesiano de Nash ocurre que
cada jugador maximiza su pago ex antea conocer su tipo, dadas las
estrategias escogidas del resto de los jugadores.
En otras palabras un equilibrio bayesiano de Nash del juego con información incompleta
[I,fSig,fui( )g,Θ,F( )]
es un equilibrio de Nash del juego con información imperfecta
Informacion Incompleta
Existe otra manera de de…nir un equilibrio bayesiano de Nash. La misma se basa en que un per…l de estrategias es un equilibrio bayesiano de Nash sí y solo sí 8i8θi:
Eθ i ui si θi ,s i(θ i),θi,θ i θi Eθ i ui si0,s i(θ i),θi,θ i θi 8si0
Si no se cumple para algun θi cambio lo que hace para ese tipo y
sube la utilidad)no es un EBN
Si se da para todo 8θi con probabilidad positiva no puedo cambiar
si( )y aumentar la utilidad )es un EBN
Esto signi…ca que una forma alternativa de entender el equilibrio bayesiano de Nash está dada por una situación donde cada jugador se
encuentra maximizando su pago esperado en términos ex posta
Subastas
Juegos donde hay un vendedor yN potenciales compradores.
Asumiremos que existe un único bien para la venta.
El estudio de esta clase de juegos puede llevarse a cabo de dos modos distintos:
1 Comparar los resultados que emergen de diferentes reglas de subastas
2 Asumir que existe un diseñador de mecanismo y preguntarse cuáles son
las reglas que conducen a un determinado resultado, dado el objetivo del diseñador
Secuencia Vendedor decide regla, luego los compradores deciden ofertas
Subastas
Valuaciones comunes: compradores no conocen valuación del objeto existe un valor único y objetivo del bien. La valuación del jugador
i-ésimo depende de la señal que reciba él y, de conocer la señal que recibió el resto de los jugadores, mejoraría su información
Ejemplos de objetos a subastar: una letra del Tesoro, emisión primaria
de una acción, area petrolifera (tecnologías idénticas)
Resultado: Maldición del ganador
Valuaciones privadas independientes: cada jugador conoce su propia valuación pero no la del resto que es independiente de la propia.
Ejemplos de objetos a subastar: obras de arte, area petrolifera (solo
distintas tecnologías).
Subastas
Clasi…cación de las subastas. Dos clasi…caciones de las subastas:
Abiertas
Ascendentes(inglesas)
Descendentes(holandesas)
Sobre Cerrado
Primer precio Segundo precio
Subasta descendente es equivalente a la de primer precio
Subastas
Supuestos
Vamos a considerar el caso de valuaciones privadas.
Existen compradores neutrales al riesgo cuya valuación surge de una
distribución acumulada F(v)conv v v que cumple con ser:
Creciente: la probabilidad acumulada entre dos rangos de valuaciones
es siempre positiva
f(v)>0 en todo el intervalo.
Continua: la probabilidad puntual de una valuación es cero
Independiente: las valuaciones de un comprador son independientes de
Subastas
Subasta a segundo precio: el jugador que ofrezca una mayor oferta gana, al mismo tiempo que debe pagar la oferta más alta que le siga. Como consecuencia, el problema del jugador va a estar dado por:
max
x ui[vi,b(x)] = [vi b i]Pr(ganar) +0 Pr(perder)
dondeb i max
j6=i bj
Probabilidad de que haya un empate es cero (dada oferta creciente y distribucion de la valuacion continua) no efectuaremos supuestos sobre esa contingencia.
El problema entonces quedará expresado como:
)max
x ui[vi,b(x)] = [vi b i]Pr(bi >b i)
Bajo estas reglas, bi posee un rol particular, dígase, solo determinar la
Subastas
Uno de los equilibrios de Nash viene dado porque cada jugador ofrezca su valuación.
Ofrecer la propia valuación es una estrategia débilmente dominante. Una intuición sobre esto radica en que ofrecer un bi =vi asegura una
utilidad no negativa.
bi <vi esta debilmente dominada
vi
bi
b-i
bi =vi vi p vi p 0
bi <vi vi p 0 0
bi <vi asegura una utilidad no negativa pero a expensas de reducir la
Subastas
bi >vi esta debilmente dominada
bi
vi b
-i
bi =vi vi p 0 0
bi >vi vi p vi p 0
Si se ofrece unbi >vi podría conducirlo a una utilidad negativa
Resultado es e…ciente: se lleva el bien el que mas lo valora
Si bi =b(vi)con b0 >0,es decir simétrica para todos los jugadores
Subastas
Subasta de Primer precio la oferta que hace el jugador va a tener un rol dual determina la probabilidad de ganar y el pago que deba efectuar
El problema de cada jugador estára dado por:
max
x ui[vi,b(x)] = [vi b(x)]Pr(ganar) +0 Pr(perder)
bi =vi no es mas debilmente dominante
bi =vi es débilmente dominada por bi =v1 s
Subastas
Sea x la valuación anunciada del jugador.
Al trabajar con mecanismos directos de revelación se dará que xi =vi. bi(x) =b(x)8i, es decir, la oferta de los jugadores son simétricas, dependiendo únicamente de su valuación.
Asumimos que la oferta es estrictamente creciente en el anuncio, es decir, b0(x)>0.
El problema de cada jugador estára dado por:
max
x ui[vi,b(x)] = [vi b(x)]Pr(ganar) +0 Pr(perder)
Dados los supuestos (simetria y creciente)
)max
Subastas
El problema es
max
x ui[vi,b(x)] = [vi b(x)]F (x) n 1
Las condiciones de primer orden son:
vi(n 1)F(x)n 2f (x) ∂
h
b(x)F (x)n 1i
∂x =0
En equilibrio (dado la b(x)correcta) vi =x.
x(n 1)F(x)n 2f (x) =
∂
h
b(x)F (x)n 1i
Subastas
Esto vale para todas las valuaciones Integrando ambos lados, obtenemos
vi
R
v
h
x(n 1)F (x)n 2f (x)idx = vi R v 2 4∂ h
b(x)F (x)n 1i
∂x
3 5dx
que es equivalente a
vi
R
v
h
x(n 1)F (x)n 2f (x)idx =hb(x)F (x)n 1ivi v
Dado queF (v) =0,tenemos que:
vi
R
v
h
Subastas
Despejando
b(vi) =
vi
R
v
[x(n 1)F(x)n 2f(x)]dx
F(vi)n 1 h
(n 1)F(x)n 2f (x)i es ∂F(x)n 1
∂x .Una función de densidad.
Esta multiplicada porx el numerador representa un valor esperado.
Pero no integra 1 la densidad. IntegraF (vi)n 1 vi
R
v
(n 1)F(x)n 2f(x) F(vi)n 1
si integra 1.
b(vi) representa el valor esperado de la valuación más alta del resto de los jugadores condicional a que sea mas baja que la propia.
Subastas
Teorema de equivalencia entre los ingresos y las utilidades (ex ante)
Supuestos
Jugadores neutrales al riesgo
vi sF( ) conF continua, creciente e independiente del jugador.
Las reglas de la subasta son tales que le otorga utilidad nula a un
comprador convi =v
Subastas
Proof.
Sea un mecanismo donde la utilidad de cada jugador está dada por:
u(p,e,x,v)
dondev es la valuación, x es la valuación anunciada del bien, p es la
probabilidad de llevarse el objeto y e es el pago esperado que son
funciones del anuncio
La utilidad del individuo estaría dada por:
u(x,v) =p(x)v e(x)
Así, el problema de un jugador en particular vendría dado por:
max
Subastas
Proof.
En equilibrio (x =v).Replanteando la utilidad en el óptimo, tenemos que:
u (v) =p (v)v e (v)
Haciendo un cambio de variable y derivando respecto a la valuación:
∂u (s)
∂s =p (s) +s ∂p ∂x ∂x ∂s ∂e ∂x ∂x ∂s Reescribiendo
) ∂u (s)
∂s =p (s) + s ∂p
∂x ∂e
∂x
| {z }
=0
Subastas
Proof. Entonces
) ∂u (s)
∂s =p (s)
Integrando a ambos lados:
v R
v
∂u (s) ∂s ds=
v R
v
p (s)ds
Entonces
)u (v) = v R
v
p (s)ds+K
dondeK es una constante de integración.
Subastas
Proof.
entonces K =0.
) u (x) = v R
v
p (s)ds
Dado que estamos considerando reglas e…cientes, en las cuales el jugador que más valua el objeto es el que se lo lleva, implica que la probabilidad de llevarse el objeto es independiente de las reglas del juego.
Entonces la utilidad de cada uno de los compradores es independiente de los detalles de la subasta.
Subastas
Si hay aversion al riesgo Ingreso de primer precio >Ingreso en Segundo Precio
Si hay correlacion de las valuaciones 2 precio es mejor que primero
Con colusion, las de 2 precio son mas vulnerables.
Cournot con información incompleta
P =a q1 q2 C =ciqi
ci =
1 con probabilidadθ
2 con probabilidad (1 θ)
Los bene…cios esperados son
π1(c1) = θ(a c1 q1(c1) q2(1))q1(c1)
Cournot con información incompleta
Esto puede ser reescrito como
π1(c1) = (a c1 q1(c1) E(q2))q1(c1) Donde
E(q2) =θq2(1) + (1 θ)q2(2)
El jugador 1 debe
Maxq1(c1)π1(c1) = (a c1 q1(c1) E(q2))q1(c1)
Derivando con respecto aq1(c1)y despejando obtenemos
q1(c1) =
a c1 E(q2)
2 Similarmente podemos obtener
q2(c2) =
a c2 E(q1)
Cournot con información incompleta
Reemplazando
E(q2) = θa 1 E(q1)
2 + (1 θ)
a 2 E(q1)
2
= a+θ 2 E(q1)
2
Similarmente
E(q1) = a+θ 2 E(q2)
2 Entonces podemos obtener
E(q1) =E(q2) =
a+θ 2
3
Ya que θ2 (0,1) sabemos que E(q1)2 a32,a31
Cournot con información incompleta
La cantidad total esperada es
E(q) =E(q1) +E(q2) =
2
3(a+θ 2) =
2
3(a E(c)) Reemplazando obtenemos
q1(1) =q2(1) =
2a θ 1
6 >
a 1 3
ya que el otro puede tener costo de 2 produce menos yo quiero producir mas
Similarmente podemos obtener
q1(2) =q2(2) = 2a θ 4
6 <
a 2 3
