Ecuaciones Lineales
Dra. Noemí L. Ruiz © Derechos Reservados
Objetivos de la lección
• Definir términos fundamentales relacionados con ecuaciones
• Conocer el significado de una ecuación lineal en una variable
• Conocer las propiedades de la igualdad y demostrar el proceso para aplicar las mismas al resolver una
ecuación lineal en una variable
• Conocer cómo se resuelven ecuaciones especiales que: - Contienen fracciones
- Representan identidades
• Ecuación:
Igualdad que contiene variables.
• Ecuación Lineal:
Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.
• Ecuación Trivial:
Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante (número).
Definiciones
Continuación…
• Solución de una ecuación lineal:
Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma.
• Resolver la ecuación:
Ejemplos de
Ejemplos de Ecuaciones
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
Ejemplos de Ecuaciones
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
Proceso para resolver
una ecuación lineal en
Para resolver una ecuación
lineal…
3x – 7 = 14
Hay que convertir la ecuación anterior a la ecuación trivial,
o sea,
hay que despejar la variable en uno de los lados de la ecuación, el izquierdo o el
• Una ecuación es como una balanza de dos platillos…
Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad.
Ejemplo:
Si añado 2 en el lado izquierdo
Para que una ecuación
permanezca balanceada…
• Hay que aplicar las propiedades de la igualdad:
Propiedad Aditiva de la Igualdad
Propiedades de la
Igualdad
• Propiedad Aditiva
Para todo número a, b, c:
Si a = b, entonces, a + c = b + c
Esta propiedad asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos
Propiedades de la
Igualdad
• Propiedad Multiplicativa
Para todo número a, b, c,
c 0:
Si a = b, entonces, a . c = b . c
Esta propiedad asegura que en una igualdad al multiplicar una misma cantidad en ambos lados,
Aplicación de las
Propiedades de la
Demostración de proceso para
resolver ecuación
Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo.
Se mira lo que acompaña la variable en el
lado donde está. En este ejemplo la variable x
está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2.
Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.
Continuación de
proceso...
Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad
aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación
o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad.
Se elimina una operación haciendo la operación contraria:
Se elimina una suma restando Se elimina una resta sumando
Se elimina una multiplicación dividiendo Se elimina una división multiplicando.
Demostración de proceso...
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6 2x = 6 2x = 6 2 2
Otro ejemplo: 6x – 9
= 27
6x – 9 = 27
6x –9 + 9 = 27 + 9
6x + 0 = 36 6x = 36
Otro ejemplo: 3x – 1 = -
4x + 6
3x – 1 = - 4x + 6
3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1 3x = - 4x + 7
3x + 4x = 4x + - 4x + 7 7x = 7
Otro ejemplo: 2(x – 8) =
10
2(x – 8) = 10 2x – 16 = 10 2x = 10 + 16
Ecuaciones que
Ecuaciones que contienen
fracciones
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones:
Método de Proporciones Método de No-Proporciones
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de Proporciones Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones. Ejemplos de proporciones:
x – 4 = x + 4 3 2
2x – 4 = x + 8 3 5
En una proporción si se multiplica
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de Proporciones
x – 4 = x + 4 3 2
2 (x – 4) = 3 (x + 4) 2x – 8 = 3x + 12 -12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de No-Proporciones
Aplica cuando la ecuación no es una proporción.
5 - 2x = 9 3
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de No-Proporciones
5 - 2x = 9 3
5 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3
3 1
15 – 2x = 27 -2x = 27 – 15
-2x = 12 -2 -2
x = -6
Cuando no es una proporción se
multiplica cada
Reflexión
Ecuación Condicional
Ecuación que tiene una sola solución (Como todas las anteriores)
Ecuaciones Especiales
Ecuación Identidad
La solución es infinita o la solución son todos los Reales (que es un conjunto infinito).
Ecuación Inconsistente
Ecuación Identidad
Ecuación Identidad2x + 1 = 5x + 1 - 3x 2x + 1 = 2x + 1
2x – 2x = 1 – 1 0 = 0
Solución son todos los números Reales
Ecuación Inconsistente
Ecuación Inconsistente2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x) 6x + 2 = 9x + 3 – 3x
6x + 2 = 6x + 3 6x – 6x = 3 – 2
0 = 1
No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.
Instrucciones
1.Copia las siguientes ecuaciones en la libreta y resuélvelas.
Resuelve las siguientes
ecuaciones:
x – 8 = 20 6 = 4 - 5x
x + 4 = 52 3 (x – 4) = 8
3x = 81 16 + x = 3x - 5
-5x = 45 2 (x + 1) = 7 – (x + 3)
2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5
Fin de la lección
Para salir de la
Contestaciones de las
ecuaciones:
x = 28 x = 2/-5
x = 48 x = 20/3
x = 27 x = 21/2
x = -9 x = 2/3
x = 3 No tiene solución
