0 Trabajo y Energia

Cuestiones Previas. •

Desarrollo del tema: I. Introducción.

II. Concepto de trabajo

III. Teorema del trabajo y la energía cinética.

IV. Fuerzas conservativas: energía potencial. fuerzas centrales: V. Teorema de conservación de la energía para una partícula VI. Ecuaciones fundamentales.

VII. Fuerzas Centrales

NOTA ACLARATORIA MATEMÁTICA:

El producto vectorial de dos vectores es otro vector, cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo formado por ambos vectores, cuya dirección es perpendicular al plano formado por ambos vectores y cuyo sentido lo da la regla de la mano derecha, que dice que hay que ir del primer vector al segundo vector con la yema de los dedos y por el camino más corto y el pulgar indica el sentido del vector producto vectorial.

r r r r r r

A⊗B = A×B = A⋅ B⋅senα

Desde el punto de vista geométrico representa el vector superficie, y su módulo es el área del paralelogramo formado por ambos vectores.

Propiedades:

• El vector producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos vectores.

• No verifica la propiedad conmutativa ya que por la regla de la mano derecha se verifica que el Ar × = −Br

(

)

• Si los A y B son paralelos ⏐Ar × ⏐Br =0 ⇒ Ar ×Br =0 por tanto Ar ×Ar =0 Una consecuencia inmediata es $ $ $ $i× = × = × =i j j k$ k$ r0

• Si los vectores A y B son perpendiculares Ar ×Br = A Br r⋅ una consecuencia inmediata es el producto vectorial de los vectores unitarios.

( )

$ $ $ $ $ $ sen

$ $ $ $ $

i j

i j i j

i j OZ

i j k

× = × = ⋅ ⋅

× =

⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

⎫ ⎬

⎭ ⇒ × =

0 = 1

dir

por conmutativa $ $j× = −i k$

Análogamente se demuestra que: $ $i× = −k $j ⇒ k$ $ $×i = j

$ $j× =k $i ⇒ k$ $× i =−$j

$ $ $ $ $ $

i× =j k ⇒ j× = −i k Expresión analítica del producto vectorial.

(

) (

)

r

r r r

A A i A j A k

B B i B j B k

A B A i A j A k B i B j B k

x y z

x y z

x y z x y z

= + +

= + +

⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪

⇒ × = + + × + +

$ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ $

Desarrollando el producto vectorial y teniendo en cuenta los productos vectoriales de vectores unitarios queda:

(

)

(

)

(

)

$ $ $ $

Para obtener el desarrollo del producto vectorial se suele emplear la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes.

(

)

(

)

(

)

r r

A B

i j k

A A A

B B B

A B A B i A B A B j A B A B k

x y z

x y z

y z z y z x x z x y y x

× = = − + − + −

$ $ $

$ $ $

I. INTRODUCCIÓN.

Hasta ahora solo se han visto interacciones que provocan cambios en la posición o en la velocidad, que son un aspecto parcial de un concepto más amplio de transformación de la materia (reacciones químicas, nucleares, ...etc.). Para estudiar interacciones más complejas que las estudiadas, como pueden ser, reacciones químicas, cambios de estado, interacciones eléctricas, y en general aquellas en las que la fuerza no sea una constante, y que su estudio resulta imposible desde el marco de la cinemática y la dinámica, se introduce otras magnitudes (trabajo y energía) que permiten el estudio de todas las interacciones.

En general se puede definir el trabajo como el acto de trasformar la materia mediante la aplicación de una fuerza, y la energía como la capacidad que posee un sistema de realizar trabajo a costa de modificar alguna de sus propiedades o características (estructura). A pesar de la generalidad de estas magnitudes en este tema las aplicaremos a sistemas mecánicos, como los estudiados hasta ahora.

La energía de un sistema está asociada a su estructura y propiedades (química, eléctrica, mecánica, nuclear, ...etc.). La mecánica está asociada a la posición y a la velocidad de las partículas del sistema.

El objeto de este tema es llegar a enunciar el teorema de conservación de la energía mecánica para una partícula, que junto con los teoremas de conservación del momento lineal, del momento angular, de la carga y de la masa, constituyen los pilares de la física.

Desde este punto de vista un sistema (macroscópicamente ) puede tener muchos tipos de energía, Energía cinética, potencial gravitatoria, potencial elástica, potencial electrostática, química, eólica, nuclear...etc. Actualmente se considera que todos estos tipos de energía no son más que manifestaciones macroscópicas de Ec y Ep (gravitatoria, electromagnética y elástica). microscópicas.

Antes de siglo XIX se distinguían entre energía mecánica y el resto de las energías, química, calor, radiante ...etc.

II.

CONCEPTO DE TRABAJO.

A la vista de la figura sólo la componente tangencial provoca cambio de movimiento (desplazamiento), por lo que se puede definir operacionalmente el trabajo como:

r F cos r F cos F

F

W= _t⋅e= ⋅e⋅ α = ⋅∆ ⋅ α = r⋅∆r

En está expresión se pone de manifiesto que solo la componente tangencial (en la dirección del desplazamiento) realiza trabajo (la normal nunca, por ser perpendicular al desplazamiento).

Gráficamente el trabajo se puede interpretar como el área subtendida bajo la curva de Ft

En el caso de que la fuerza no sea constante (como vector) o la trayectoria no sea rectilínea, el W seguirá siendo el área subtendida bajo la curva. Para poder calcular este área lo que se hace es calcular el trabajo para un desplazamiento infinitesimal (un diferencial dr), de esta manera sea cual sea la trayectoria siempre se podrá considerar como rectilínea y sea cual sea F se podrá considerar constante para ese pequeño desplazamiento. Desde el punto de vista matemático la definición correcta sériala de trabajo

infinitesimal (dW), ya que para cualquier trayectoria y cualquier fuerza , si el desplazamiento es infinitesimal siempre se podrá considerar que la trayectoria es rectilínea (⏐dr⏐=dS ) y que la fuerza es constante. Por tanto

r d F

dW= r⋅ r (producto escalar)

En general F=f(t) y de la trayectoria r(t). Como consecuencia de estar definida a través de un producto escalar es fácil observar que si la fuerza tiene una determinada dirección y la partícula una trayectoria que no coincide con ella, solo la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento realiza trabajo

Mov.

F

Ft

FN

W Ft

⏐r⏐

Para calcular el trabajo total bastaría sumar todos los trabajos infinitesimales, o lo que es equivalente, calcular el área. Esto se hace mediante la integral definida de la fuerza F entre los puntos rI y rF

W F dr

r_I r_F

=

∫

El trabajo puede ser interpretado como el área bajo la curva que representa a la componente tangencial de la fuerza (la única que realiza trabajo) Ft

Luego el trabajo depende de la fuerza F, la trayectoria ΓABy los puntos origen y extremo A y B.

Esta definición de trabajo se reduce a los casos anteriores con las restricciones adecuadas.

• Si ⏐F⏐=Cte y dir (F) = dir ((dr) ⇒ W=F⋅∆r • Si ⏐F⏐=Cte α= Cte ⇒ W=⏐F⏐⋅e

• Si α=90º ⇒ W=0

• Si ∆r = 0 ⇒ W=0 aunque F≠0 lo que permite distinguir entre esfuerzo y trabajo.

El trabajo por estar definido a partir de un producto escalar es un escalar que posee su signo.

Si W>0 La fuerza esta en el mismo sentido que el desplazamiento ((movimiento), por tanto aumentar su energía (capacidad de realizar trabajo el sistema).

Si W<0 La fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento, por tanto disminuirá la energía del sistema.

Si sobre una partícula actúan varias fuerza y se quiere calcular el trabajo realizado para llevarla desde A a B. El trabajo realizado por la resultante de un sistema de fuerzas es igual a la suma algebraica de los trabajos debidos a cada una de las fuerzas que actúan sobre la partícula.(principio de superposición).

(

)

dWT = F drT = F + +F F +... F dr+ n = dW+dW +dW +... dW+ n

r r r r r r

1 2 3 1 2 3

La expresión del trabajo pone de manifiesto que éste es independiente de la masa de la partícula y del tiempo en el que se realiza, por lo que se define la potencia como el trabajo realizado por unidad de tiempo.

Matemáticamente: P dW

dt P

F dr dt F

dr

dt F V

= ⇒ = r r r r r r⋅ = ⋅ = ⋅ (Potencia instantánea)

Ecuación de dimensión y unidades para el trabajo y la potencia.

W F r MLT L ML T

P W t

ML T T

= = = → =

= = = → =

− −

−

2 2 2

2 2

Kgm

s Jul.

ML T Jul_s wat

2

2

2 -3

Otras unidades aun empleadas son

•Para el trabajo: El Kilovatio-hora 1 Kwh=36⋅105 Jul. El electrón-voltio 1 ev=1.6⋅10-19 Jul.

•Para la potencia: El caballo de vapor (HP) 1 Hp=1 CV=735 wat El Kilovatio 1 Kw=103 wat.

III.

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA.

Cuando sobre una partícula, inicialmente en reposo, actúa una fuerza neta, no nula (Fr_T ≠0 ), al cabo de un cierto tiempo, poseerá una velocidad V, luego el trabajo infinitesimal realizado para un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria se habrá invertido en modificar la velocidad de la partícula. Se define la energía cinética como la capacidad de realizar trabajo que posee una partícula como consecuencia de la velocidad que posee (estado de movimiento).

Analíticamente:

(

)

(

)

(

)

dW = F dr = m dV

dt dr = m dV

dt dr dt dt

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

↵

= ⋅ ⋅ = ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

=

m V dV ( )

m d V V d mV

( ) d V V V dV V dV d V V

1 1 2

1 2

1 2 1

2

2

Llamando energía cinética a 1 2

2 2

mV = E_C ⇒ ⎛ mV dE_C

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =

dW = d 1

2 que establece la relación entre el trabajo realizado por la fuerza resultante y la energía cinética.

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula para llevarla de un punto A a otro B a lo largo de una trayectoria Γ será:

Se conoce con el nombre de teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas, que se puede enunciar " El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética, estando definida la energía cinética como 1

2

2

mV ".

El teorema del trabajo y la energía cinética permite calcular el trabajo sin necesidad de resolver la integral. Hay que destacar que el trabajo es realizado por la fuerza total. El principio de superposición puede ser aplicado para calcular el trabajo a partir de las fuerzas que actúan, pero no a la velocidad, ya que las velocidades VA y VB son debidas a la fuerza total.

Consecuencias.

• Si V C EC 0 WT 0

te ⇒ ∆ = ⇒ =

=

•SiFrperpend.Vr ⇒ W_T =0 ⇒ ∆E_C =0 ⇒ V =Cte

• SiV=C WT 0

te ⇒ =

r

W F dr d mV mV mV E

Luego W E mV mV

AB B A C

AB C B A

= ⋅ = ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ = − =

= = −

∫

∫

∆

1 2

1 2

1 2 1

2

1 2

2 2 2

2 2

• Si ∆EC=0 ⇒ WT=0

•Si ∆EC<0 ⇒ Energía aportada por el sistema.(EC(final)<EC(inicial))

• Si ∆EC>0 ⇒ Energía aportada al sistema (EC(final)>EC(inicial)).

Dimensionalmente [Ec] = [ W ] =ML2T-2

IV.

FUERZAS CONSERVATIVAS: ENERGÍA POTENCIAL.

El teorema del trabajo y la energía cinética es totalmente general sea cual sea la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre la partícula. En ocasiones interesa analizar por separado el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan, para de esta manera poder poner de manifiesto los distintos tipos de energía que intervienen en el proceso (energía química, potencial, nuclear, elástica,...etc.). Para ello vamos a distinguir entre dos tipos de fuerzas, las llamadas fuerzas conservativas y las no conservativas.

Fuerzas conservativas

Cuando se comprime o se estira un muelle, cuando se tensa un arco muy, lentamente, o cuando se levanta un cuerpo con MRU, en todas estas situaciones se está aplicando una fuerza y produciendo un desplazamiento, por tanto se está realizando un trabajo (W=F⋅∆r), pero este trabajo no se invierte en modificar la energía cinética del sistema (muy lentamente o MRU), pero sin embargo ha aumentado su capacidad de realizar trabajo, su energía, ya que al de dejar en libertad cualquiera de estos sistemas (el arco lanza la flecha, el muelle lanza la partícula, el cuerpo cae desde una cierta altura) devolverán el trabajo que se ha realizado sobre ellos anteriormente. En estos casos se dice que la fuerza que actúa es conservativa.

Analicemos dos situaciones en las que intervienen fuerzas:

• Un cuerpo que es elevado con M.R.U, por la acción de una fuerza F, venciendo al peso, hasta una cierta altura y posteriormente es dejado en libertad, cayendo hasta el suelo por la acción del peso.

• Un cuerpo es arrastrado por la acción de una fuerza F con M.R.U., venciendo al rozamiento, y tras recorrer un cierto espacio es dejado en libertad.

En ambos casos la fuerza F está realizando un trabajo W=F⋅∆r, pero en el primer caso (F =-P) al quedar el cuerpo en libertad éste cae devolviendo el trabajo realizado, con anterioridad por la fuerza F, para vencer el peso. En el segundo caso (F=-Fr) al quedar el cuerpo en libertad éste permanece en reposo indefinidamente, perdiéndose el trabajo realizado.

En el primer caso, cuando el trabajo realizado para vencer a la fuerza peso es devuelto con posterioridad, se dice que la fuerza peso es conservativa. En el segundo caso el trabajo realizado para vencer a la fuerza de rozamiento se pierde, se dice que la fuerza de rozamiento es no conservativa

La fuerza conservativa (peso) se comporta de manera que es capaz de devolver con posterioridad el trabajo realizado para vencerla, esto no sucede de forma general con cualquier fuerza, por ejemplo el rozamiento, lo que hace que la fuerza peso forme parte de un tipo particular de fuerzas llamadas conservativas.

"La condición necesaria y suficiente (C.N.S.) para que una fuerza sea conservativa es que el trabajo realizado a lo largo de cualquier curva cerrada sea cero".

Según esta definición de fuerza conservativa, si se calcula el trabajo para ir de un punto A a otro B por varios caminos (C1 y C2), pero siempre volviendo por el mismo camino (C) tal como se

0

1 + C =

BA C

AB W

W

0

2 + C =

BA C

AB W

W

C BA C

AB C

AB W W

W 2 = 2 =−

Luego El trabajo entre A y B siempre tiene el mismo valor, independientemente de cual sea el camino seguido para ir de un punto a otro, pudiéndose definir la fuerza conservativa como aquella para la cuál el trabajo realizado para ir de un punto A a otro B es independiente de la trayectoria, dependiendo sólo de los puntos origen y extremo y del apropia fuerza.

A la vista de estas última definición cuando un

cuerpo este sometido a una fuerza conservativa se puede definir una función llamada energía potencial, de tal manera que esta función toma un único valor para cada punto del espacio (E_pA y E_pB), y el trabajo realizado por la fuerza F para vencer a una fuerza conservativa se puede calcular como su variación (WAB=∆Ep), dependiendo su valor únicamente de la posición inicial y

final, siendo independiente del camino seguido, coincidiendo su valor con el trabajo realizado para llevar la partícula de un punto al otro.

Luego el trabajo realizado por la fuerza conservativa (P) será: WAB=-∆Ep ya que F=-P

A la vista de esto se puede definir la energía potencial como la capacidad de realizar trabajo que posee un sistema por el hecho de estar en un punto del espacio sometido a una fuerza conservativa.

La energía potencial no es absoluta, sin embargo si lo es la variación de energía potencial ya que ésta es el trabajo (W).

Para poder definir la energía potencial en un punto se toma un origen de energías potenciales, siendo la energía potencial del origen cero. (rorig y Ep=0).

La energía potencial en un punto se puede definir como el trabajo realizado por las fuerzas del campo (gravitatorio, etc) para llevar una partícula desde un punto del espacio al origen de potenciales.

A P A P orig P P

orig

A E E E E

W _→ =−∆ =−( − )=

En la naturaleza las fuerzas más frecuentes como son el peso, la gravitatoria (L.G.U.), la fuerza electrostática y la elástica son fuerzas conservativas, siendo no conservativa la fuerza de rozamiento y la fuerza magnética.

Se demuestra fácilmente (utilizando cálculo integral) que peso y fuerza elástica son conservativas, obteniéndose también el trabajo entre dos puntos A y B, igualmente se demuestra que la fuerza de rozamiento es no conservativa.

Fuerza elástica:

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza se pueden producir dos efectos.

• Aparece una aceleración (se estudia por el segundo principio).

• Aparece un deformación pudiendo ser esta:

•Elásticas: una vez que desaparece la causa (fuerza) el sistema recupera su forma original (muelle o resorte, balón ...etc)

C2

C1

C

A

•No elásticas o plástica: No se recupera la forma una vez desaparecida la fuerza. (Plastilina)

Un resorte se comporta como un cuerpo elástico tanto en deformaciones como en estiramientos, siempre y cuando no se supere un límite a partir del cual la deformación se hace permanente. Este límite se conoce con el nombre de límite de elasticidad.

Fue Hooke el que estudia empíricamente el comportamiento de los cuerpos elásticos (resorte) observando que cuando estos son deformados (se estira o se comprime una longitud )

∆r=r-ro la fuerza ejercida por el resorte (elástica o recuperadora) es proporcional a la deformación y tal que tiende a recuperar la forma original.

r _r

F_el = −K r U∆ ⋅ _r Ley de Hooke (siglo XVII) Energía potencial gravitatoria.

A la hora de hablar de la energía potencial gravitatoria se pueden distinguir dos situaciones, según la altura sobre a la que se encuentre el cuerpo respecto de la superficie terrestre.

Cuando el cuerpo está en las proximidades de la tierra (h<104 m, g=9.8m/s2).

En esas condiciones la fuerza que actúa sobre el cuerpo es: Fr_g = = −Pr m g j⋅$

Se puede calcular el trabajo realizado por la fuerza peso para llevar una partícula de masa “m” desde un punto “A” hasta un punto “B”, obteniéndose como resultado el que a continuación se indica.

(

)

AB m g Y Y E

W =− ⋅ − =−∆ (Definición de variación de la energía potencial) A la vista de esto la energía potencial gravitatoria se puede definir como Ep=mgy=mgh

Siendo el origen de energías potenciales h=0 ⇒ EPOrig =0

Energía potencial elástica.

Cuando un cuerpo se encuentra sometido a luna fuerza elástica Fr_el = −K r U∆r ⋅ _r

Se puede calcular el trabajo realizado por la fuerza elástica al pasar el resorte desde un estado de deformación “A” hasta otro “B”, obteniéndose como resultado el que a continuación se indica.

(

) (

)

[

]

(

)

0 p

2 0 A 2 0 B AB

2 1 2

1 = E r

r r r K 2 1 W

r K

Fr =− ∆v ⇒ =− − − − ⇒ K r−r = K⋅x

Donde x la deformación del resorte.

Siendo el origen de energías potenciales rOrig=r0 ⇒

0

=

Orig P

E

Algunas características de la energía potencial son:

• La energía potencial es una propiedad de los sistemas de partículas, al menos han de existir dos partículas.

Fel

• La elección del origen de potenciales es arbitraria, eligiendo usualmente el punto para el que la energía potencial se hace cero. Luego la energía potencial no es absoluta, depende de la elección del origen, sin embargo si es absoluta la variación de energía potencial (el trabajo)

• La energía potencial la poseen los cuerpos por estar en un punto del espacio sometido a una fuerza conservativa.

• La energía potencial está asociada únicamente a las fuerzas conservativas.

• La energía potencial en un punto representa el trabajo que tienen que realizar las fuerzas del campo para llevar una partícula desde un punto del espacio hasta el origen de energías potenciales.

• La energía potencial depende del punto del espacio y del valor del agente sensible. Si se considera un desplazamiento a lo largo de las superficies equipotencial (lugar geométrico de los puntos del espacio para los que la energía potencial tiene el mismo valor)

entonces: dE_P =0 ⇒ −Fr⋅drr =0 ⇒ Fr ⋅drr ⋅cosα =0 ⇒ α =90º luego F es perpendicular a la superficie equipotencial.

Resumiendo:

(

)

[

]

(

) (

)

[

]

(

)

0 P 2 0 A 2 0 B AB P A B A B AB 2 1 = E r r r r K 2 1 W r K F mgy = E mgy mgy y y mg -= W jˆ mg F potencial Energia Trabajo Fuerza r r K − ⇒ − − − − = ⇒ ∆ − = ⇒ − − = − ⇒ − = v r r

V.

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA PARA UNA

PARTÍCULA

Se pueden considerar dos situaciones distintas:

a) Sobre la partícula solo actúan fuerzas de tipo conservativo.

• Por el teorema de las fuerzas vivas F_T ≠0 ⇒ W_AB =∆E_C =E_CB−E_CA

• Por ser conservativa: W_ABCons =−∆E_P =−(E_PB −E_PA) Uniendo ambas expresiones:

te P B P A P A P B P

P E E E E E C

E ⇒ − =− − ⇒ = + = + =

∆ − = ∆ C B C A C A C B C

C E E ( ) +E E E

E

Luego para cualquier punto del espacio la suma de la energía cinética más la potencial, asociada a cada una de las fuerzas conservativas existentes, es una constante para la partícula.

FT=F1+F2+....+Fn → EP= EP1+ EP2+...+ EPn

b)Cuando sobre una partícula actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas (rozamiento).

• Por el teorema de las fuerzas vivas: FT 0 WAB EC EC E

B C A

≠ ⇒ = ∆ = −

• Por principio de superposición: W_T =W_C+W_NC Luego: W_C+W_NC = ∆E_C

• Para las conservativas: WC =−∆EP

Uniendo ambos resultados:

m

E E

E W

E W

E_P + _NC =∆ _C ⇒ _NC =∆ _C+∆ _P =∆

∆ −

Que se puede enunciar diciendo: "La energía mecánica de una partícula sometida a fuerzas conservativas y no conservativas no permanece constante, sino que aumenta o disminuye según el signo del trabajo no conservativo".

El enunciado que dice "la energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma" no es aplicable a una partícula, salvo que sobre ella no actúen fuerzas no conservativas. Cuando actúan fuerzas no conservativas sería válido para el sistema total, no para una partícula del sistema. Ej: Cuando hay fuerza de rozamiento.

VI. ECUACIONES

FUNDAMENTALES DE LA DINÁMICA.

Ecuación fundamental de la dinámica de Traslación.

Si se define el momento lineal de una partícula como Pr =m·Vv El segundo principio de la dinámica Fr =m·ar (ecuación fundamental de la dinámica de traslación) se puede escribir como

dt P d V m dt

d dt

V d m a m F

r r r

r r

= ⋅ =

⋅ = ⋅

= ( )

dt P d F

r r

= expresión que recibe el nombre teorema del momento lineal que se enuncia: “la variación temporal del momento lineal de una partícula es igual a la fuerza resultante que actúa sobre la partícula".

Una consecuencia del teorema del momento lineal es el teorema de conservación del momento lineal, que se enuncia diciendo: “Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula (no interaccione con ninguna otra partícula), conserva constante su momento lineal "

Si Fr =0 ⇒

dt P dr

=

0 ⇒ Pr =m·Vv =Cte Luego su movimiento será reposo o MRU (siendo m=Cte) (primer principio de la dinámica)

Ecuación fundamental de la dinámica de Rotación.

El momento angular o cinético (lo) de una partícula respecto de un punto O de un SRI se

define como el producto vectorial de su vector posición respecto del SRI elegido vectorialmente por el momento lineal de la partícula.

r _{r r r r}

[ ]

l_o = ML T2 −1 ⎯ →⎯_S.I Kg m / s = J s⋅ ⋅ La relación existente entre el momento angular de una partícula respecto de dos puntos del mismo SRI es:

(

)

r r r r r

r r r

r r OO r OO m v

OO P

= ′ + ′ ⇒ = ′ + ′ + ⋅ = _′ + ′ ×

l Luego: l l

o

o o

Se define el momento de una fuerza respecto de un punto O de un SRI como: el producto vectorial del vector posición de la

partícula respecto del punto O del SRI vectorialmente por el momento angular de la partícula respecto del mismo punto del SRI.

Para el momento de una fuerza se cumple el principio de superposición ( el efecto total se puede obtener como suma de los efectos individuales).

Si sobre la partícula están actuando varias fuerzas F1, F2, .... Fn el momento total de las

fuerzas será:

(

)

r _r r

K r r r r r K r r r r r

M_o r F F F_n r F r F r F_n r F_i M_oi

i i

= × 1 + + +2 = × 1+ × + + ×2 =

∑

∑

El momento de una fuerza se puede poner como:

(

)

( )

(

)

r _{r r r r r r} r r r

M r F r d dt m v

d

dt r m v d l

dt M

d l dt

o

o

o o

= × = × ⋅

↵ × ⋅ = ⇒ =

=

1

(1) d

(

)

(

)

(

)

dt r m v dr

dt m v r d

dt m v r d dt m v

dr

dt m v

r_{× ⋅}r ₌ r _{× ⋅ + ×}r r _⋅r _{= ×}r _⋅r _{ya que} r _{× ⋅}r _{= 0}

por ser vr║v . r

A la expresión r

r

M d l dt

o o

= se le conoce con el nombre de teorema del momento angular y se puede enunciar de la siguiente forma: La variación temporal del momento angular de una partícula respecto de un punto O de un SRI es igual al momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha partícula, tomado dicho momento respecto del mismo punto.

Basándose en el teorema del momento angular se puede enunciar el teorema de conservación del momento angular de la siguiente forma: Si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es nulo, su momento angular se conserva a lo largo del tiempo (respecto del mismo punto para el que se ha calculado el momento de las fuerzas).

r r

M d l dt

o o

= Si r

r

r

M d l

dt C

o

o te

= 0 ⇒ =0 ⇒ lo =

Este teorema al igual que el de conservación del momento lineal donde adquiere verdadera utilidad es en los sistemas de partículas.

A modo de ejemplo, y para poner de manifiesto la utilidad de estas magnitudes, se puede hacer el estudio del movimiento de rotación de una partícula de masa m respecto de un punto O donde localizamos el S.R.I.

t r

o r m v r U mv U

l =r× ⋅r = ⋅ × ⋅

r

kˆ w r m r U U v m r

lo = ⋅ ⋅ ⋅ r×⋅ t = ⋅ ⋅ ⋅ r

kˆ w r m

lo = ⋅ 2⋅ ⋅ r

⇒l0=I⋅w2

Se denomina momento de inercia I =m⋅r2

El momento de inercia caracteriza la rotación de la partícula respecto de un eje y desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al desempeñado por la masa en el movimiento de traslación.

Si

dt d I dt

d dt

l d

M o

o

w )

w I

( ⋅ = ⋅

= =

r

r _⇒

M0=I⋅α 2º principio para la Rotación. Ec. fundamental de la

dinámica de Rotación.

VII. FUERZAS

CENTRALES:

De entre las fuerzas son de especial interés las fuerzas centrales y con simetría esférica, ya que la ley de gravitación universal, la ley de Coulomb y la fuerza elástica son de este tipo.

Un campo de fuerzas se dice que es central cuando la dirección de la fuerza en cualquier punto del espacio, en el que exista la fuerza está sobre la recta que une dicho punto con un punto común llamado centro de fuerzas.rF= ⋅F Ur _r. Siendo Ur vector unitario en la dirección de vector posición.

Se dice que un campo posee simetría esférica cuando el valor de la fuerza en cada punto depende únicamente de la distancia al punto. Fr = f

( )

Características generales de los campos de fuerzas centrales.

• Una partícula sometida a un campo de fuerzas centrales se moverá en un plano.

Para la partícula en un instante dado la velocidad y el vector posición determinan un plano en el que también está contenida la fuerza y por tanto la aceleración. Luego dicha partícula no podrá salir del plano determinado por rr₀ y Vr₀

• La fuerza que actúa sobre una partícula sometida a un campo de fuerzas central solo tiene componente radial (en la dirección de Ur). Evidente a partir de la propia definición

• El momento angular de una partícula sometida a un campo de fuerzas central se conserva a lo largo del tiempo.

• Cuando un campo de fuerzas es central y además presenta simetría esférica, entonces dicha fuerza es conservativa.

Las expresiones que describen el campo gravitatorio y el electrostático son respectivamente.

r

V

Ut

Ur

• Ley de gravitación universal (Newton): Fr G Mm r

U_r

= − ₂

• Ley de Coulomb: Fr KQq r

U_r

= ₂ con K = 1 4Π

ε