Pablo Romero
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Motivaci´on
Contribuciones
Modelo Matem´atico
Estrategias
Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Optimizaci´
on de la Estrategia de Selecci´
on de Piezas de
Video en Redes P2P
Maestr´ıa en Ingenier´ıa Matem´
atica
Pablo Romero
Tutores:
Dr. Franco Robledo Amoza
Dr. Pablo Rodr´ıguez-Bocca
Universidad de la Rep´
ublica Oriental del Uruguay
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Modelo Matem´atico
Estrategias
Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
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1
Motivaci´
on
2
Contribuciones
3
Modelo Matem´
atico
4
Estrategias
5
Problema de Optimizaci´
on Combinatoria (COP)
6
Algoritmo Principal
7
Resultados y Conclusiones
8
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Modelo Matem´atico
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Motivaci´
on
-
Gran porci´
on del tr´
afico de Internet es P2P
-
Contraste con modelo cliente-servidor (no escalable)
-
Cooperaci´
on:
- Seleccionar Par
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Contribuciones
-
D´
eficit de previas estrategias
-
Nueva Familia de estrategias de selecci´
on de piezas
-
Propiedades
-
Algoritmo seguidor de Estrategias ideales
-
COP y Algoritmo Principal
-
Aplicaci´
on de nuevas estrategias en GoalBit
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Proceso de Investigaci´
on
Video Streaming
QoE Continuidad
Latencia
Problema de
Optimizacion
Combinatoria
Heuristicas
Modelo
Resolucion
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Modelo (1)
Un servidor
S
en la red
M
pares id´
enticos con capacidades de buffer
N
El servidor corta el video en piezas (chunks)
En cada ranura de tiempo, el servidor elige un par al azar y env´ıa
una pieza
S
P
1
P
2
P
3
P
4
P
M
TS1
TS2
1 N
1 N
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Modelo (2)
p
i
: probabilidad de tener la pieza correcta en la
posici´
on
i
s
i
: probabilidad de elegir el ´ındice
i
en la consulta
Bajo estado estacionario,
p
i
es id´
entico en cada par:
p
1
=
1
M
p
i
+1
=
p
i
+ (1
−
p
i
)
p
i
s
i
,
i
∈ {
1
, . . . , N
−
1
}
continuidad de reproducci´
on:
p
N
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Estrategias de Selecci´
on de Piezas
Inicio de Consulta en Rarest First
1
N
Inicio de Consulta en Greedy
1
N
s
RF
i
= (1
−
1
M
)
i
−
1
Y
j
=1
p
j
+ (1
−
p
j
2
)
s
G
i
= (1
−
1
M
)
N
−
1
Y
j
=
i
+1
p
j
+ (1
−
p
j
)
2
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Estrategias Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Una nueva Familia de Estrategias
Consideremos una permutaci´
on arbitraria
π
de los ´ındices
{
1
, . . . , N
−
1
}
:
1
N
1
2
3
-
A cada permutaci´
on
π
le corresponde una estrategia que cumple:
s
π
(
i
)
= (1
−
1
M
)
i
−
1
Y
j
=1
1
−
p
π
(
j
)
(1
−
p
π
(
j
)
)
-
Disponemos de una estrategia de selecci´
on de piezas por cada
permutaci´
on
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Propiedades de la Familia
-
Continuidad Imperfecta:
p
N
<
1
-
Extendibilidad
-
Monoton´ıa de la funci´
on de selecci´
on:
s
π
↓
-
Propiedad de Aproximaci´
on de Estrategias
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Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Propiedad de Aproximaci´
on de Estrategias (PAE)
Propiedad
Para cada secuencia inyectiva
x
1
, x
2
, . . . , x
N
−
1
, existe un miembro
de la familia de estrategias de permutaci´
on
s
tal que
∀
i, j
:
x
i
> x
j
→
s
i
> s
j
.
Prueba.
Toda secuencia inyectiva se puede ordenar de forma que
x
π
(1)
> x
π
(2)
> . . . > x
π
(
N
−
1)
(1)
Llamando
s
a la estrategia correspondiente a la permutaci´
on
π
, por
la Propiedad de Monoton´ıa sabemos que:
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Sistema Seguidor de Estrategias Ideales
(p
i+1
-p
i
)/((1-p
i
)p
i
)
p
i
PAE
s
ideal
Pablo Romero Contenidos Motivaci´on Contribuciones Modelo Matem´atico Estrategias Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP) Algoritmo Principal Resultados y Conclusiones Publicaciones
Experiencia con el Sistema Seguidor
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Probablidad de Ocupacion
Indice Entrada Segmentada -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Estrategia de seleccion
Indice Estrategia Ideal 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Probabilidad de Ocupacion
Indice Probabilidad de Ocupacion
-1 -0.5 0 0.5 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Estrategia de seleccion
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Estrategias Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
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Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Subfamilia de Permutaciones
Definici´
on
La subfamilia de permutaciones son los miembros de la familia de
permutaciones cuya estrategia de selecci´
on presenta exactamente un
m´
aximo relativo (pico), que no es absoluto. Para cada par de
naturales
(
I, J
) :
I
+
J < N
, hay una permutaci´
on de la subfamilia
que se puede expresar de la siguiente manera:
π
(
i
) =
N
−
i, i
= 1
, . . . , I,
(3)
π
(
I
+
j
) =
j, j
= 1
, . . . , J
(4)
π
(
I
+
J
+
k
) =
N
+
J
−
I
2
+
k
2
(
−
1)
k
+1
,
(5)
k
= 1
, . . . , N
−
I
−
J
−
1
.
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP) Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Medida de Optimalidad
El n´
umero esperado de pasos en una consulta es:
E
(
X
π
) =
N
−
1
X
i
=1
ip
π
(
i
)
(1
−
p
π
(
i
)
)
i
−
1
Y
j
=1
(
p
π
(
j
)
+ (1
−
p
π
(
j
)
)
2
)
=
1
1
−
1
M
N
−
1
X
i
=1
ip
π
(
i
)
(1
−
p
π
(
i
)
)
s
π
(
i
)
=
M
M
−
1
N
−
1
X
i
=1
π
(
i
)(
p
i
+1
−
p
i
)
.
Definici´
on
La calidad de la estrategia asociada con una permutaci´
on
π
es el
Pablo Romero
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP) Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Problema de Optimizaci´
on Combinatoria (COP)
max
π
E
(
X
π
)
s.a.
p
1
=
1
M
s
π
(1)
= 1
−
1
M
p
i
+1
=
p
i
+ (1
−
p
i
)
p
i
s
i
s
π
(
i
+1)
=
s
π
(
i
)
(
p
π
(
i
)
+ (1
−
p
π
(
i
)
)
2
)
S
=
{
1
, . . . , N
−
1
}
π
:
S
→
S,
π
(
i
)
=
6
π
(
j
)
∀
i
6
=
j
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Algoritmo Principal
1
COP
↔
ATSP(V
N
, V
N
×
V
N
, d
e
)
2
π
1
←
ACO(ATSP)
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Etapa I
Inicializaci´
on basada en hormigas
1-
Las hormigas visitan ciclos en un
N
−
clique
2-
Los enlaces
e
visitados se inicializan con
D
(
e
)
∝
1
/E
(
X
π
)
.
3-
Con varias hormigas se pueden inicializar todos los
enlaces
Auxiliar
=(2,4,1,5,3)
3
2
1
4
5
N=6
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Etapa II
Optimizaci´
on por Colonia de Hormigas
1-
Las feromonas son inicializadas en base a las
subfamilias
2-
Se invita a visitar ciclos mas cortos mediante mayores
valores de feromonas
3-
Si una hormiga se sit´
ua en
x
j
, elige
x
j
+1
con
probabilidad:
p
x
j+1=
τ
(
x
j
, x
j
+1
)
α
d
(
x
j
, x
j
+1
)
−
β
P
Posibles
y
τ
(
x
j
, y
)
α
d
(
x
j
, y
)
−
β
donde:
τ
(
x
j
, x
j
+1
)
es la cantidad de feromona en el enlace
(
x
j
, x
j
+1
)
,
d
(
x
j
, x
j
+1
)
es el costo para ir de
x
j
a
x
j
+1
, y
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Algoritmo Principal Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Etapa III
Fase de B´
usqueda Local
Proposici´
on
La m´ınima cantidad de swaps necesarios para transformar
π
1
en
π
2
es
una m´
etrica
Proposici´
on
En el espacio m´
etrico de las permutaciones, las bolas de radio 1
definen una estructura de vecindad.
B´
usqueda Local
1-
Entrada
π
2-
π
←
M ejorV ecinaDe
(
π
)
3-
Hasta que
N oHayaM ejoras
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Algoritmo Principal Resultados y Conclusiones
Publicaciones
Complejidad del Algoritmo Principal
Teorema
Sea
N
la capacidad de buffer de todos los pares presentes en la red, y
llamemos
T
(
N
)
al tiempo computacional necesario para evaluar la
calidad
E
(
X
π
)
. Si admitimos que tanto la cantidad de hormigas a
utilizar como el n´ımero m´
aximo de iteraciones ingresados son del
orden de
N
, entonces el tiempo medio total para correr el Algoritmo
Principal
τ
, es:
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones Publicaciones
Resultados (1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Probablidad de Ocupacion
Indice Rarest First
Greedy Mixta Permutacion
Estrategias
Continuidad
Latencia
Rarest First
0.9571
21.0011
Greedy
0.9020
4.1094
Mezcla
0.9953
11.1253
Nuevo Algoritmo
0.9998
7.9821
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones Publicaciones
Performance en GoalBit (1)
Latencia
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Latencia Inicial
Par Iteracion
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones Publicaciones
Performance en GoalBit (2)
Cantidad de cortes
0 1 2 3 4 5 6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Cantidad de Interrupciones
Par Permutacion
Rarest First Greedy
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Problema de Optimizaci´on Combinatoria (COP)
Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones Publicaciones
Performance en GoalBit (3)
Tiempo de cortes
0 100 200 300 400 500 600
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Tiempo medio de interrupciones
Par Iteracion
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones Publicaciones
Conclusiones
-
La deficiencia de las previas estrategias es evidente.
-
Se ha propuesto un COP y un Algoritmo, que permite
dise˜
nar estrategias con mejor desempe˜
no que las
cl´
asicas e h´ıbridas.
-
El seguimiento de estrategias ideales no es posible.
-
La b´
usqueda de estrategias factibles es exitosa.
-
El modelo matem´
atico captura la cooperaci´
on
apropiadamente.
-
La pol´ıtica de selecci´
on de pares es otro factor
determinante en el dise˜
no de protocolos de
cooperaci´
on.
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Algoritmo Principal
Resultados y Conclusiones
Publicaciones
