Análisis Matemático I
Mónica Clapp
Agosto-Diciembre 2005
Índice general
1. Espacios métricos 1
1.1. De…nición y ejemplos . . . 1
1.2. Algunas desigualdades básicas . . . 7
1.3. Espacios de funciones . . . 11
1.4. Isometrías . . . 15
1.5. Ejercicios . . . 16
2. Continuidad 19 2.1. De…niciones y ejemplos . . . 19
2.2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . 23
2.3. Convergencia de sucesiones . . . 27
2.4. Ejercicios . . . 29
3. Convergencia uniforme 33 3.1. Convergencia uniforme en espacios métricos . . . 33
3.2. Espacios métricos completos . . . 35
3.3. El criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de funciones . . . . 39
3.4. El espacio de funciones continuas y acotadas . . . 40
3.5. Series de funciones . . . 42
3.6. Convergencia uniforme y derivadas. . . 45
3.7. Ejercicios . . . 47
4. Teoremas de existencia 51 4.1. El teorema de punto …jo de Banach . . . 51
4.2. Ecuaciones integrales . . . 53
4.2.1. La ecuación integral de Fredholm de segundo tipo . . . 53
4.2.2. La ecuación integral de Volterra de segundo tipo . . . 57
4.3. El problema de Cauchy . . . 60
4.4. Ejercicios . . . 65 3
5. Teoremas de aproximación 69
5.1. Espacios separables . . . 69
5.2. El teorema de aproximación de Weierstraß. . . 71
5.3. Ejercicios . . . 77 6. Compacidad 79 6.1. Conjuntos compactos . . . 79 6.2. El teorema de Heine-Borel . . . 82 6.3. Continuidad uniforme . . . 84 6.4. El teorema de Stone-Weierstraß. . . 85 6.5. Ejercicios . . . 89
7. Compacidad en espacios de funciones 91 7.1. Conjuntos totalmente acotados. . . 91
7.2. El teorema de Arzelà-Ascoli. . . 95
7.3. El problema de Cauchy . . . 98
7.4. Ejercicios . . . 101
8. Existencia de mínimos 103 8.1. Existencia de trayectorias geodésicas . . . 103
8.2. Semicontinuidad . . . 105
8.3. Existencia de trayectorias geodésicas . . . 107
Capítulo 1
Espacios métricos
1.1.
De…nición y ejemplos
Algunos conceptos fundamentales, como el de convergencia de una sucesión o el de continuidad de una función, están de…nidos exclusivamente en términos de la noción de distancia. Otras propiedades de los espacios euclidianos, como sus propiedades alge-braicas por ejemplo, no juegan ningún papel en dichos conceptos. Empezaremos pues considerando conjuntos dotados exclusivamente de una ”distancia”.
De…nición 1.1 Sea X un conjunto. Una distancia (o una métrica) en X es una
función d : X X ! R que tiene las siguientes tres propiedades: (M1) d(x; y) = 0 si y sólo si x = y
(M2) d(x; y) = d(y; x) para todos x; y 2 X
(M3) d (x; z) d(x; y) + d(y; z) para todos x; y; z 2 X:
A esta última desigualdad se le llama la desigualdad del triángulo. Un espacio métrico es un conjunto X con una métrica dada d: Lo denotaremos por (X; d); o simplemente por X cuando no sea necesario especi…car cuál es la métrica que estamos considerando.
Veamos que la distancia entre dos puntos nunca es negativa.
Proposición 1.2 d(x; y) 0 para todos x; y 2 X:
Demostración: De las propiedades (M1), (M3) y (M2) respectivamente se sigue que 0 = d(x; x) d(x; y) + d(y; x) = 2d(x; y):
En consecuencia, d(x; y) 0 para todos x; y 2 X: 1
A continuación daremos una lista de ejemplos importantes de espacios métricos cuyas propiedades iremos estudiando a lo largo de este curso. Ejemplos que conocemos ya muy bien son los siguientes dos.
Ejemplo 1.3 El conjunto R de los números reales con la distancia usual
d(s; t) :=js tj = s t si s t
t s si s t
es un espacio métrico.
Ejemplo 1.4 El espacio euclidiano Rn con la distancia usual d2(x; y) :=
p
(x1 y1)2+ + (xn yn)2; donde x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn)2 Rn; es un espacio métrico.
La demostración se ha visto ya en cursos anteriores y se deja como ejercicio. Podemos darle a Rn otras métricas interesantes, por ejemplo las siguientes dos.
Ejemplo 1.5 La función
d1(x; y) :=jx1 y1j + +jxn ynj ;
donde x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) 2 Rn; es una métrica para el espacio euclidiano Rn.
Demostración: Las propiedades (M1) y (M2) son inmediatas y la propiedad (M3) se sigue de la desigualdad del triángulo en R que a…rma que, para toda i = 1; :::; n;
jxi zij jxi yij + jyi zij :
Sumando ambos lados de estas desigualdades para i = 1; :::; n obtenemos d1(x; z) d1(x; y) + d1(y; z):
En consecuencia, d1 es una métrica.
Ejemplo 1.6 La función
d1(x; y) := maxfjx1 y1j ; ;jxn ynjg ;
donde x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) 2 Rn; es una métrica para el espacio euclidiano Rn.
1.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 3
La demostración es sencilla y se deja como ejercicio [Ejercicio 1.32].
Podemos ahora extender estos ejemplos a espacios, ya no de ”n-adas”, sino de suce-siones x = (xk)de números reales:
Ejemplo 1.7 Sea `1 el conjunto de todas las sucesiones acotadas de números reales, es decir, de sucesiones x = (xk) para las cuales existe R 2 R (que depende de x) tal que jxkj < R para todo k 2 N, y sea
d1(x; y) := sup
k 1jx
k ykj ; x; y 2 `1:
Entonces d1 toma valores en R y es una métrica en `1.
Demostración: De la desigualdad del triángulo para números reales jxk ykj jxkj + jykj
obtenemos, tomando supremos, sup k 1jx k ykj sup k 1 (jxkj + jykj) sup k 1jx kj + sup k 1jy kj : (1.1)
En consecuencia, si x = (xk); y = (yk)son sucesiones acotadas, se cumple que (xk yk) está acotada y, por tanto, la función
d1: `1 `1! R; d1(x; y) = sup
k 1jx
k ykj ;
está bien de…nida. Es inmediato comprobar que d1 satisface las propiedades (M1) y
(M2). Sustituyendo xk por xk zk y yk por yk zk en la desigualdad (1.1) obtenemos la propiedad (M3), es decir, d1(x; y) = sup k 1jx k ykj sup k 1jx k zkj + sup k 1jz k ykj = d1(x; z) + d1(z; y); para todas x; y; z 2 `1:
En los siguientes ejemplos requeriremos la noción de convergencia de una serie. Recordemos que una serie de números reales
1 X
k=1 xk
converge, si la sucesión (sn) de sumas …nitas sn:= n X k=1 xk converge. En tal caso,
1 X k=1
xk := l m
n!1sn:
Si xk 0para todo k 2 N; entonces la sucesión (sn) es creciente. En ese caso, la serie converge si y sólo si la sucesión (sn) está acotada y, si eso ocurre, se tiene que
1 X
k=1
xk := l m
n!1sn= supn2Nsn:
Ejemplo 1.8 Sea `1 el conjunto de las sucesiones x = (xk) de números reales tales que la serie 1 X k=1 jxkj converge, y sea d1(x; y) := 1 X k=1 jxk ykj ; x; y 2 `1: Entonces d1 toma valores en R y es una métrica en `1:
Demostración: De la desigualdad del triángulo para números reales jxk ykj jxkj + jykj se sigue que n X k=1 jxk ykj n X k=1 jxkj + n X k=1 jykj 1 X k=1 jxkj + 1 X k=1 jykj : Por consiguiente, si x = (xk); y = (yk) 2 `1, la serie
1 P k=1jx k ykj converge y se cumple que 1 X k=1 jxk ykj 1 X k=1 jxkj + 1 X k=1 jykj : (1.2)
1.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 5
Es fácil comprobar que d1 satisface (M1) y (M2): La propiedad (M3) se sigue de la
desigualdad (1.2) reemplazando xk por xk zk y yk por yk zk, es decir, d1(x; y) = 1 X k=1 jxk ykj 1 X k=1 jxk zkj + 1 X k=1 jzk ykj = d1(x; z) + d1(z; y); para todas x; y; z 2 `1:
Notemos que todos los ejemplos anteriores, además de la estructura geométrica dada por la distancia, poseen una estructura algebraica: la de espacio vectorial. En efecto, las sucesiones de números reales se pueden sumar y multiplicar por escalares término a término, es decir, si x = (xk) y y = (yk) son sucesiones de números reales y 2 R; se de…nen
x + y := (xk+ yk) y x := ( xk):
Con estas operaciones el conjunto de todas las sucesiones de números reales es un espa-cio vectorial. Aunque esta estructura no interviene en las de…niespa-ciones de continuidad, completez o compacidad, que serán el objeto de este primer curso de Análisis Matemáti-co, sí resulta importante en otros contextos, por ejemplo, para de…nir la derivada de una función. Conviene pues introducir la siguiente noción.
De…nición 1.9 Sea V un espacio vectorial. Una norma en V es una función k k : V !
R que tiene las siguientes propiedades: (N1) kvk = 0 si y sólo si v = 0;
(N2) k vk = j j kvk para todos v 2 V; 2 R;
(N3) kv + wk kvk + kwk para todos v; w 2 V
Un espacio vectorial normado es una pareja un espacio vectorial V con una norma dada k k. Lo denotaremos por (V; k k); o simplemente por V .
Proposición 1.10 Todo espacio vectorial normado (V; k k) es un espacio métrico con
la métrica dada por
d(v; w) =kv wk :
Esta métrica se llama la métrica inducida por la norma k k :
La demostración es sencilla y se deja como ejercicio. [Ejercicio 1.31]. Todas las métricas consideradas en los ejemplos anteriores están inducidas por una norma. Sin embargo, hay ejemplos de espacios métricos cuya métrica no está inducida por ninguna norma. De hecho, a cualquier conjunto le podemos dar la métrica siguiente.
Ejemplo 1.11 Sea X un conjunto arbitrario. La función ddisc(x; y) =
0 si x = y
1 si x 6= y
es una métrica para X llamada la métrica discreta.
En un espacio vectorial no trivial no existe ninguna norma que induzca la métrica discreta [Ejercicio 1.36]. Así pues, existen espacios métricos que no son espacios vecto-riales normados. Sin embargo, muchos espacios métricos importantes si lo son. Veamos otros ejemplos interesantes.
Proposición 1.12 Las funciones
kxkp : = n X k=1 jxkj p !1 p ; 1 p <1; kxk1 : = max 1 k njxkj
son normas en el espacio euclidiano Rn: Es decir, para cada 1 p 1; la pareja
(Rn;
k kp) es un espacio vectorial normado.
Demostración: Es sencillo ver que k kp cumple las propiedades (N1) y (N2): La
propiedad (N3) se conoce como la desigualdad de Minkowski y la demostraremos en la siguiente sección (Proposición 1.17).
Notación 1.13 Con el …n de distinguir cuál de todas estas normas estamos consideran-do, usaremos la notación
Rnp = (R n
;k kp); 1 p 1
para designar al espacio Rn con la norma k kp: Escribiremos simplemente R
n en vez de Rn
2 para designar a Rn con la norma usual, a la que denotaremos la denotaremos
simplemente por
kxk := q
x2
1+ + x2n:
Las métricas d1; d2 y d1 consideradas en los Ejemplos 1.4 al 1.6 son las inducidas por las normas k k1; k k y k k1 que acabamos de de…nir.
1.2. ALGUNAS DESIGUALDADES BÁSICAS 7
Proposición 1.14 a) Dada 1 p < 1; sea `p el conjunto de todas las sucesiones
x = (xk) de números reales tales que la serie 1 X
k=1 jxkj
p
converge. Entonces `p es un espacio vectorial y la función
kxkp = 1 X k=1 jxkjp !1 p es una norma en `p:
b) El conjunto `1 de todas las sucesiones acotadas de números reales con la norma
kxk1 = sup
1 k<1jx
kj
es un espacio vectorial normado.
Demostración: Es sencillo ver que x 2 `p para toda x 2 `p; 2 R y que k kp
cumple las propiedades (N1) y (N2). Dejamos los detalles al lector [Ejercicio 1.37]. Probaremos en la siguiente sección que x + y 2 `p si x; y 2 `p y probaremos también que k kp cumple la propiedad (N3). A la desigualdad de la propiedad (N3) se la conoce como la desigualdad de Minkowski (Proposición 1.19).
Nótese que las métricas d1 y d1 consideradas en los Ejemplos 1.8 y 1.7 son las inducidas por las normas k k1 y k k1 que acabamos de de…nir.
1.2.
Algunas desigualdades básicas
El objetivo de esta sección es demostrar las desigualdades de Hölder y de Minkowski para sumas y para series. Usaremos la siguiente desigualdad.
Lema 1.15 (Desigualdad de Young) Sean 1 < p; q < 1 tales que 1p + 1q = 1: En-tonces, para todo par de números reales a; b 0 se tiene que
ab 1
pa
p+ 1
qb q:
Demostración: Si a = 0 o b = 0 la desigualdad es obvia, de modo que podemos suponer que ambos son distintos de cero. La función logaritmo natural ln : (0; 1) ! R es una función cóncava, es decir, tiene la propiedad de que el segmento que une a cualesquiera dos puntos de su grá…ca está debajo de la grá…ca. Como 1
pa p+1 qb q 2 [ap; bp]; se tiene que ln(1 pa p +1 qb q) 1 pln a p+1 qln b q = ln a + ln b = ln(ab)
y, como el logaritmo natural es una función creciente, se obtiene de ésta la desigualdad deseada. 1 0 0 7 5 5 0 2 5 3.75 2.5 1.25 0 x y x y y = ln x
Proposición 1.16 (Desigualdad de Hölder en Rn) Sean 1 < p; q < 1 tales que
1
p +
1
q = 1: Entonces, para cualesquiera x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn)2 R
n se cumple que n X k=1 jxkykj n X k=1 jxkjp !1 p Xn k=1 jykjq !1 q ; es decir, kxyk1 kxkpkykq donde xy := (x1y1; :::; xnyn):
Demostración: La a…rmación es trivial si x = 0 o si y = 0: Supongamos pues que ambos son distintos de cero. Sean
ak := jx kj kxkp y bk:= jy kj kykq ;
1.2. ALGUNAS DESIGUALDADES BÁSICAS 9
y consideremos la desigualdad de Young jxkykj kxkpkykq =jakbkj 1 pa p k+ 1 qb q k = jxkj p pkxkpp + jykj q qkykqq: Sumando todas estas desigualdades para k = 1; :::; n; obtenemos
1 kxkpkykq n X k=1 jxkykj ! 1 pkxkpp n X k=1 jxkjp ! + 1 qkykqq n X k=1 jykjq ! = 1 p + 1 q = 1:
Multiplicando ambos lados por kxkpkykq obtenemos la desigualdad deseada.
Proposición 1.17 (Desigualdad de Minkowski en Rn) Para cualesquiera x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn)2 Rn; 1 p 1; se tiene que
kx + ykp kxkp +kykp:
Demostración: Para p = 1 esta desigualdad es consequencia inmediata de la
desigualdad del triángulo para números reales y se deja como ejercicio al lector [Ejercicio 1.32]. El caso p = 1 se probó en el Ejemplo 1.5. Probaremos la a…rmación para 1 < p < 1. La a…rmación es trivial si x = 0: Supongamos pues que x 6= 0: De la desigualdad de Hölder (Proposición 1.16) obtenemos
n X k=1 jxkj (jxkj + jykj)p 1 n X k=1 jxkjp !1 p Xn k=1 (jxkj + jykj)p !p 1 p ; n X k=1 jykj (jxkj + jykj)p 1 n X k=1 jykjp !1 p Xn k=1 (jxkj + jykj)p !p 1 p : y sumando estas dos desigualdades obtenemos
n X k=1 (jxkj + jykj)p 0 @ n X k=1 jxkjp !1 p + n X k=1 jykjp !1 p1 A n X k=1 (jxkj + jykj)p !p 1 p :
Dividiendo ambos lados de esta desigualdad entre n X k=1 (jxkj + jykj)p !p 1 p
y usando la desigualdad del triángulo para números reales obtenemos n X k=1 jxk+ ykj p !1 p Xn k=1 (jxkj + jykj)p !1 p n X k=1 jxkj p !1 p + n X k=1 jykj p !1 p ; (1.3)
como a…rma el enunciado.
Pasando al límite cuando n ! 1 se obtienen desigualdades análogas para series. Más precisamente, se cumple lo siguiente.
Proposición 1.18 (Desigualdad de Hölder para series) Si 1 < p; q < 1, 1p+1q = 1; (xk)2 `p y (yk)2 `q; entonces xy = (xkyk)2 `1 y 1 X k=1 jxkykj 1 X k=1 jxkj p !1 p X1 k=1 jykj q !1 q ; es decir, kxyk1 kxkpkykq:
Demostración: De la desigualdad de Hölder para cada suma …nita (Proposición
1.16) obtenemos que n X k=1 jxkykj n X k=1 jxkjp !1 p Xn k=1 jykjq !1 q 1 X k=1 jxkj p !1 p X1 k=1 jykj q !1 q <1: En consecuencia, la serie P1 k=1jx
kykj converge y se cumple que
1 X k=1 jxkykj 1 X k=1 jxkjp !1 p X1 k=1 jykjq !1 q ;
1.3. ESPACIOS DE FUNCIONES 11
Es fácil ver que, para x = (xk)2 `1 y y = (yk)2 `1;la desigualdad de Hölder
kxyk1 kxk1kyk1
también se cumple [Ejercicio 1.42].
Proposición 1.19 (Desigualdad de Minkowski para series) Si 1 p 1 y
(xk); (yk)2 `p entonces (xk+ yk)2 `p y
kx + ykp kxkp +kykp:
Demostración: Para p = 1 ésta es la desigualdad (1.1). Para 1 p < 1
es-ta desigualdad se obtiene de la correspondiente desigualdad (1.3) para sumas …nies-tas tomando el límite cuando n ! 1:
1.3.
Espacios de funciones
Los objetos fundamentales del Análisis Matemático son los espacios de funciones. Empezaremos considerando los siguientes ejemplos sencillos.
Denotemos por C0[a; b]
al conjunto de todas las funciones continuas f : [a; b] ! R: La suma de funciones y el producto de una función por un escalar, de…nidos como
(f + g)(t) := f (t) + g(t); ( f )(t) := f (t); para f; g 2 C0[a; b]; 2 R; le dan a C0[a; b] una estructura de espacio vectorial. Dada una función continua f : [a; b]! R de…nimos kfkp : = Z b a jf(t)jpdt 1 p si 1 p <1; kfk1 : = maxfjf(t)j : a t bg:
Proposición 1.20 Para cada 1 p 1 la función k kp : C0[a; b]
! R es una norma.
Demostración: Para p = 1 la demostración es sencilla. Consideremos el caso
1 p < 1: Como jf(t)jp es una función continua y no negativa, se tiene que
kfkpp = Z b
a jf(t)j p
En consecuencia, kfkp = 0 si y sólo si f 0: Esto demuestra (N1). La propiedad (N2) es consecuencia inmediata de la linealidad de la integral. La propiedad (N3) es la desigualdad de Minkowski para integrales que probaremos a continuación (Proposición 1.22).
Empezaremos probando la desigualdad de Hölder para integrales. Su demostración es análoga a la correspondiente para Rn.
Proposición 1.21 (Desigualdad de Hölder para integrales) Sean 1 < p; q < 1
tales que 1p+1q = 1: Entonces, para cualquier par de funciones continuas f; g : [a; b]! R se cumple que Z b a jf(t)g(t)j dt Z b a jf(t)j p dt 1 p Z b a jg(t)j q dt 1 q ; es decir, kfgk1 kfkpkgkq:
Demostración: La a…rmación es trivial si f 0 o si g 0: Supongamos pues que
ambas funciones son distintas de cero. Para cada t 2 [a; b]; de…nimos números reales positivos at:= jf(t)j kfkp y bt:= jg(t)j kgkq : Aplicando la desigualdad de Young obtenemos
jf(t)g(t)j kfkpkgkq =jatbtj 1 pa p t + 1 qb q t = jf(t)j p pkfkpp + jg(t)jq qkgkqq: e integrando ambos lados de esta desigualdad obtenemos
Rb ajf(t)g(t)j dt kfkpkgkq Rb a jf(t)j p dt pkfkpp + Rb ajg(t)j q dt qkgkqq = 1 p+ 1 q = 1. Multiplicando ambos lados por kfkpkgkq obtenemos la desigualdad deseada.
Es fácil ver que también vale la desigualdad de Hölder
kfgk1 kfk1kgk1
[Ejercicio 1.42]. Como en la Proposición 1.17, a partir de la desigualdad de Hölder se obtiene la de Minkowski.
1.3. ESPACIOS DE FUNCIONES 13
Proposición 1.22 (Desigualdad de Minkowski para integrales) Sea 1 p
1: Entonces, todo par de funciones continuas f; g : [a; b] ! R satisface la siguiente desigualdad:
kf + gkp kfkp+kgkp:
Demostración: Los casos p = 1; 1 se dejan como ejercicio al lector [Ejercicio 1.41].
Supongamos que 1 < p < 1: Si f 0 la a…rmación es inmediata. Supongamos pues
que f 6 0: De la desigualdad de Hölder para integrales (Proposición 1.21), obtenemos Z b a jf(t)j (jf(t)j + jg(t)j) p 1dt Z b a jf(t)j p dt 1 p Z b a (jf(t)j + jg(t)j)p p 1 p ; Z b a jg(t)j (jf(t)j + jg(t)j)p 1dt Z b a jg(t)jpdt 1 p Z b a (jf(t)j + jg(t)j)p p 1 p ; y sumando estas desigualdades obtenemos
Z b a (jf(t)j + jg(t)j)pdt = Z b a jf(t)j (jf(t)j + jg(t)j) p 1dt + Z b a jg(t)j (jf(t)j + jg(t)j) p 1dt Z b a jf(t)j p dt 1 p + Z b a jg(t)j p dt 1 p! Z b a (jf(t)j + jg(t)j)p p 1 p : Dividiendo ambos lados de esta desigualdad entre
Z b a
(jf(t)j + jg(t)j)p
p 1 p
y usando la desigualdad del triángulo para números reales obtenemos Z b a jf(t) + g(t)jpdt 1 p Z b a (jf(t)j + jg(t)j)pdt 1 p Z b a jf(t)jpdt 1 p + Z b a jg(t)jpdt 1 p ; como a…rma el enunciado.
Notación 1.23 Con el …n de distinguir cuál de todas estas normas estamos consideran-do, usaremos la notación
Cp0[a; b] = (C0[a; b];k kp)
Observemos que la distancia kf gk1 entre dos funciones continuas f y g es pe-queña si sus grá…cas están cerca la una de la otra. Mientras que la distancia kf gk1 es pequeña si el área de la región delimitada por sus grá…cas es pequeña. Así, dos funciones continuas pueden estar muy cerca según la norma k k1y muy lejos según la norma k k1, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.24 Consideremos las funciones fk : [0; 1]! R dadas por fk(t) =
kt + 1 si 0 t 1k
0 si 1k t 1
entonces kfkk1 = 1 para toda k 2 N; mientras que kfkk1 = 2k1 : Es decir, según la norma k k1 todas las funciones fk distan exactamente 1 de la función constante igual a 0; mientras que, según la norma k k1; dichas funciones se acercan cada vez más a la función 0 conforme k crece.
1 0. 75 0. 5 0. 25 0 1 0. 75 0. 5 0. 25 0 x y x y Grá…ca de f3
Las normas de…nidas en esta sección satisfacen la siguiente relación. Proposición 1.25 Para toda f 2 C0[a; b] se cumple que
kfks (b a) r s rs kfk r 81 s r <1; kfks (b a) 1 s kfk 1 81 s <1:
Demostración: Si r < 1; aplicando la desigualdad de Hölder (Proposición 1.21) con p = r sr y q = rs a la función constante con valor 1 y a la función jfjs obtenemos que Z b a jf(t)j s dt Z b a dt r s r Z b a jf(t)j r s r = (b a)rrs Z b a jf(t)j r s r
1.4. ISOMETRíAS 15
y elevando ambos lados a la 1
s obtenemos la desigualdad deseada. Si r = 1 la
demostración es sencilla y se deja al lector.
1.4.
Isometrías
De…nición 1.26 Sean X = (X; dX) y Y = (Y; dY) dos espacios métricos. Una función
f : X ! Y es una isometría si
dY(f (x1); f (x2)) = dX(x1; x2) para todo par de puntos x1; x2 2 X:
Nótese que toda isometría es inyectiva. En efecto, si f (x1) = f (x2)entonces dX(x1; x2) = dY(f (x1); f (x2)) = 0 y por lo tanto x1 = x2:
Ejemplo 1.27 Si X = (X; d) es un espacio métrico y A es un subconjunto de X
de…nimos
dA(x; y) := d(x; y) 8x; y 2 A: Esta es obviamente una distancia en A; y la inclusión
: A ,! X; (a) = a
es una isometría. Se dice entonces que A = (A; dA) es un subespacio métrico de X;
y dA se llama la distancia inducida por d en A:
Una isometría f : X ! Y nos permite identi…car a X con el subespacio métrico f (X) :=ff(x) : x 2 Xg de Y:
Ejemplo 1.28 Para cada 1 p 1; la función
: Rnp ! `p; (x1; :::xn) = (x1; :::xn; 0; 0; :::);
es una isometría. Esto nos permite identi…car a Rnp con el subespacio de `p que consiste de las sucesiones x = (xk) tales que xk = 0 para k > n:
Ejemplo 1.29 La identidad
I : C10 [0; 1]! C10[0; 1]; I(f ) = f;
no es una isometría. En efecto, la función fk del Ejemplo 1.24 satisface 1
2k =kfkk1 6= kfkk1 = 1;
es decir, la distancia de fk a la función constante 0 según la métrica inducida por la norma k k1 no coincide con su distancia según la métrica inducida por k k1:
1.5.
Ejercicios
Ejercicio 1.30 Sea X = (X; d) un espacio métrico. Prueba que, para cualesquiera
w; x; y; z2 X; se cumple que
jd(w; x) d(y; z)j d(w; y) + d(x; z):
Ejercicio 1.31 Sea (V; k k) un espacio vectorial normado. Prueba que la función d(v; w) =
kv wk es una métrica en V:
Ejercicio 1.32 Prueba que kxk1 := maxfjx1j ; :::; jxnjg donde x = (x1; :::; xn) 2 Rn; es una norma en Rn:
Ejercicio 1.33 ¿Es la función : Rn
! R; dada por (x) := m n fjx1j ; :::; jxnjg ; una norma en Rn? Justi…ca tu a…rmación.
Ejercicio 1.34 Describe los conjuntos bBp(0; 1) := fx 2 R2 : kxkp 1g para p = 1; 2;1: Haz un dibujo de cada una de ellos.
Ejercicio 1.35 Describe los conjuntos
b
Bdisc(0; 1) : =fx 2 R2 : ddisc(x; 0) 1g; Bdisc(0; 1) : =fx 2 R2 : ddisc(x; 0) < 1g donde ddisc es la métrica discreta en Rn:
Ejercicio 1.36 Sea V un espacio vectorial distinto de 0: Prueba que no existe ninguna norma en V que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en V tal que
kv wk = 0 si v = w
1 si v 6= w
Ejercicio 1.37 Prueba que, para cada 1 p 1; la función k kp de…nida en la
Proposición 1.14 satisface:
(N1) kxkp = 0 si y sólo si x = 0 en `p:
(N2) Para cada x = (xk) 2 `p y 2 R se cumple que x = ( xk) 2 `p y k xkp =
j j kxkp:
Ejercicio 1.38 Prueba que, para toda x 2 Rn;
(a) kxkr kxks si 1 s r 1; (b) kxks n r s sr kxk r si 1 s r <1; (c) kxks n 1 s kxk 1 si 1 s <1:
(Sugerencia: Para probar la segunda desigualdad aplica la desigualdad de Hölder a los vectores (1; :::; 1) y (jx1js; :::;jxnjs)con p = r sr y q = rs).
1.5. EJERCICIOS 17
Ejercicio 1.39 (a) Prueba que, si 1 s < r 1; entonces
`s `r; `s 6= `r y kxkr kxks 8x 2 `s: (b) Prueba además que, si x 2 `p para alguna 1 p < 1; entonces
kxk1= l mr!1kxkr:
Ejercicio 1.40 Muestra que la desigualdad de Minkowski en Rn no se cumple si p =
1 2 < 1:
Ejercicio 1.41 Prueba que todo par de funciones continuas f; g : [a; b] ! R satisfacen las siguientes desigualdades:
Z b a jf(t) + g(t)j dt Z b a jf(t)j dt + Z b a jg(t)j dt; max
t2[a;b]jf(t) + g(t)j t2[a;b]maxjf(t)j + maxt2[a;b]jg(t)j :
Ejercicio 1.42 Prueba que las desigualdades de Hölder para sumas, para series y para integrales siguen siendo válidas si p = 1 y q = 1; es decir,
(a) Si (x1; :::; xn); (y1; :::; yn)2 Rn entonces kxyk1 kxk1kyk1; es decir, n X k=1 jxkykj n X k=1 jxkj ! max 1 k njykj :
(b) Si (xk)2 `1; (yk)2 `1 entonces (xkyk)2 `1 y kxyk1 kxk1kyk1; es decir, 1 X k=1 jxkykj 1 X k=1 jxkj ! sup k2Njy kj :
(c) Si f; g : [a; b] ! R son funciones continuas, entonces kfgk1 kfk1kgk1; es decir, Z b a jf(t)g(t)j dt Z b a jf(t)j dt max a t bjg(t)j :
Ejercicio 1.43 Da un ejemplo de una sucesión de funciones continuas fk : [0; 1]! R tales que kfkk1 = 1 para toda k 2 N; y kfkk1 ! 1: Concluye que no existe ninguna constante c 2 R tal que
kfk1 ckfk1 8f 2 C
0 [0; 1]:
¿Es posible construir una sucesión de funciones continuas gk : [0; 1] ! R tales que kgkk1= 1 para toda k2 N; y kgkk1 ! 1? Justi…ca tu respuesta.
Ejercicio 1.44 Sea Cr[a; b] el conjunto de las funciones f : [a; b]
! R que son r-veces continuamente diferenciables en [a; b]; es decir, tales que todas sus derivadas f0; f00; :::; f(r) hasta la de orden r existen en (a; b) y son continuas en [a; b]: Para cada
1 p 1 de…nimos
kfkr;p =kfkp+kf0kp+ + f (r)
p:
Prueba que Cr
p[a; b] = (Cr[a; b];k kr;p) es un espacio vectorial normado.
Ejercicio 1.45 ¿Cuáles de las siguientes funciones son isometrías y cuáles no? Justi-…ca tu a…rmación.
(a) La identidad I : R2p ! R2r; I(x) = x; con p6= r: (b) La identidad I : C0 p[0; 1]! Cr0[0; 1]; I(f ) = f; con p6= r: (c) La inclusión : C1 p[0; 1] ,! Cp0[0; 1]; (f ) = f: Ejercicio 1.46 Sea S2 = fx = (x1; x2; x3) 2 R3 : x21+ x22+ x23 = 1g la esfera unitaria en R3: Considera la función d(x; y) = inf Z 1 0 d dt dt : 2 C 1 x;y([0; 1]; S 2) ;
donde Cx;y1 ([0; 1]; S2) es el conjunto de todas las funciones : [0; 1]! R3 continuamente diferenciables tales que (0) = x; (1) = y; y (t) 2 S2
para todo t 2 [0; 1]: En otras pal-abras, d(x; y) es el ín…mo de las longitudes de todas las trayectorias 2 C1
x;y([0; 1]; S2): (a) Prueba que d es una distancia en S2:
(b) ¿Es esta distancia la distancia inducida por la distancia usual de R3? Justi…ca tu a…rmación.
Capítulo 2
Continuidad
2.1.
De…niciones y ejemplos
Sean X = (X; dX) y Y = (Y; dY)espacios métricos.
De…nición 2.1 Una función : X ! Y es continua en el punto x0 2 X si, dada
" > 0; existe > 0 (que depende de x0 y de ") tal que
dY( (x); (x0)) < " si dX(x; x0) < :
Decimos que es continua si lo es en todo punto de X.
La continuidad de una función depende desde luego de las métricas que estamos considerando en los conjuntos X y Y: Para hacer énfasis en ello usaremos en ocasiones la notación
: (X; dX)! (Y; dY)
en vez de : X ! Y:
Proposición 2.2 (a) Toda isometría es continua.
(b) Si : X ! Y y : Y ! Z son continuas entonces la composición : X ! Z
es continua.
La demostración de estas a…rmaciones es sencilla y se deja al lector [Ejercicio 2.30]. Consideremos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3 (a) La identidad I : Rn
1 ! Rn1 es una función continua. (b) La identidad I : Rn
1 ! Rn1 también es una función continua. 19
Demostración: (a) Notemos que, para todo x 2 Rn;se cumple que kxk1= maxfjx1j ; :::; jxnjg jx1j + +jxnj = kxk1: En consecuencia, dados x0 2 Rn y " > 0; se tiene que
kx x0k1< " si kx x0k1 < ": Es decir, la identidad I : Rn
1 ! Rn1 es una función continua. (b) Para todo x 2 Rn; se cumple que
kxk1 =jx1j + +jxnj n maxfjx1j ; :::; jxnjg = n kxk1: Dados x0 2 Rn y " > 0; tomamos = n": Entonces se cumple que
kx x0k1 < " si kx x0k1< : Es decir, la identidad I : Rn
1! Rn1 es una función continua.
De…nición 2.4 Diremos que : X ! Y es un homeomor…smo si es continua y
biyectiva y si su inversa 1 : Y
! X es continua.
El ejemplo anterior a…rma que I : Rn1 ! Rn1 es un homeomor…smo. Notemos que, en dicho ejemplo, la función I cumple la siguiente condición.
De…nición 2.5 Una función : X ! Y es Lipschitz continua, si existe C > 0 tal
que
dY( (x1); (x2)) CdX(x1; x2) 8x1; x2 2 X:
A C se le llama una constante de Lipschitz para : Diremos que es una
equiv-alencia de espacios métricos si es Lipschitz continua y biyectiva y si su inversa
1 : Y
! X es Lipschitz continua.
Este concepto es más fuerte que el de continuidad, es decir, se tiene la siguiente a…rmación.
Proposición 2.6 Si es Lipschitz continua entonces es continua.
Demostración: Sea C > 0 una constante de Lipschitz para :Entonces, dada " > 0; el número := C" > 0 satisface que
dY( (x); (x0)) < " si dX(x; x0) < : para cualquier x0 2 X. Es decir, es continua.
El inverso no es cierto, es decir, existen funciones continuas que no son Lipschitz continuas [Ejercicio 2.31].
2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 21
Proposición 2.7 Para cualesquiera 1 s; r 1 la identidad I : Rn
s ! Rnr es una equivalencia.
Demostración: Si 1 s r 1; entonces se cumple que
kxkr kxks 8 x 2 R
n: (2.1)
[Ejercicio 1.38]. En consecuencia, I : Rn
s ! Rnr es Lipschitz continua con constante de Lipschitz C = 1: Además, para toda x 2 Rn se cumple que
kxks n r s rs kxk r si 1 s r <1 (2.2) kxks n 1 s kxk 1 si 1 s <1: (2.3)
[Ejercicio 1.38]. En consecuencia, I : Rnr ! Rns es Lipschitz continua con constante de Lipschitz C = nrrss si 1 s r <1; y C = n
1
s si 1 s < r =1.
Esto signi…ca que, desde el punto de vista de la continuidad, da lo mismo tomar cualquiera las normas k kpen R
n[Ejercicio 2.36]: Esto no ocurre con los espacios C0 p[a; b]. Ejemplo 2.8 La identidad I : C0
1[a; b]! C10[a; b] es Lipschitz continua. Demostración: Observemos que, para todas f; g 2 C0[a; b]; se cumple que
kf gk1 = Z b a jf(t) g(t)j dt (b a) max a t bjf(t) g(t)j = (b a)kf gk1: Es decir, I : C0
1[a; b]! C10[a; b] es Lipschitz continua con constante C = (b a): Sin embargo, esta función no es un homeomor…smo.
Ejemplo 2.9 La identidad I : C0
1[0; 1]! C10 [0; 1] no es continua.
Demostración: Denotemos por 0 a la función constante con valor 0 en [0; 1]: Pro-baremos que I : C0
1[0; 1] ! C10 [0; 1] no es continua en 0 (de hecho no lo es en ningún punto de C0[0; 1]). Sea " = 12:Veremos que para cualquier > 0 existe f 2 C0[0; 1] tal que kf k1 < pero kf k1= 1 > ": En efecto, la función
f (t) := 1
1t si 0 t
tiene estas propiedades. Por tanto, la identidad I : C0
1[0; 1] ! C10 [0; 1] no es continua en 0:
De hecho, para cualesquiera 1 s r 1 la identidad I : C0
r[a; b] ! Cs0[a; b] es Lipschitz continua, pero no es un homeomor…smo [Ejercicio 2.40].
Las siguientes nociones nos permitirán visualizar mejor el concepto de continuidad. De…nición 2.10 Sean X = (X; dX) un espacio métrico, x0 2 X y " > 0: La bola abierta en X con centro en x0 y radio " es el conjunto
BX(x0; ") :=fx 2 X : dX(x; x0) < "g :
Dada cualquier función : X ! Y; denotamos por
(A) :=f (x) 2 Y : x 2 Ag
a la imagen bajo de un subconjunto A de X: En estos términos podemos reformular
la de…nición de continuidad como sigue: : X ! Y es continua en el punto x0 de
X si dada " > 0 existe > 0 tal que
(BX(x0; )) BY( (x0); "): (2.4)
Revisemos algunos de los ejemplos anteriores bajo esta nueva óptica.
Ejemplo 2.11 Denotemos por Bs(x0; ") a la bola abierta en Rns con centro en x0 y radio ": Las desigualdades (2.1), (2.2), (2.3) implican que, entonces
Br(x0; 1=n r s rs ") Bs(x0; ") Br(x0; ") si 1 s r <1; B1(x0; 1=n 1 s") Bs(x0; ") B 1(x0; ") si 1 s <1 Por tanto, I : Rn s ! Rnr es un homeomor…smo.
Ejemplo 2.12 Denotemos por Bs(f0; ") a la bola abierta en Cs0[0; 1] con centro en la función continua f0 : [0; 1]! R y radio ": Entonces
B1(f0; ") =ff 2 C0[0; 1] :jf(t) f0(t)j < " 8t 2 [0; 1]g;
es decir, B1(f0; ") es el conjunto de todas las funciones continuas f : [0; 1]! R cuya grá…ca está contenida en la franja f(x; y) 2 R2 :
jy f0(x)j < "g ; de ancho 2" alrededor de la grá…ca de f0:
2.2. CONJUNTOS ABIERTOS Y CONJUNTOS CERRADOS 23
Por otra parte,
B1(f0; ") =ff 2 C0[0; 1] : Z 1
0 jf(t)
f0(t)j dt < "g
es el conjunto de todas las funciones continuas f : [0; 1] ! R tales que el área de la región comprendida entre las grá…cas de f y f0 es menor que ".
Resulta claro entonces que B1(f0; ") B1(f0; "): Y también que, no importa cuál sea el ancho de la franja F; siempre podemos encontrar una función continua f cuya grá…ca se sale de la franja y tal que el área entre las grá…cas de f y f0 es tan pequeña como queramos.
2.2.
Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
Sea X = (X; d) un espacio métrico y sea A un subconjunto de X:
De…nición 2.13 Un punto x 2 A se llama un punto interior de A si existe " > 0 tal que BX(x; ") A: El conjunto de todos los puntos interiores de A se llama el interior
de A y se denota intX(A); o simplemente int(A). Decimos que A es abierto en X si
A = int(A):
Nótese que int(A) A: De hecho, int(A) es el abierto más grande de X contenido
en A [Ejercicio 2.52].
Proposición 2.14 En cualquier espacio métrico X = (X; d) la bola abierta
BX(x0; ") =fx 2 X : d(x; x0) < "g con centro en x0 y radio " es un subconjunto abierto de X:
Demostración: Sea x 2 BX(x0; "). Tomemos := " d(x; x0) > 0: Para todo z2 BX(x; ); se cumple que
d(z; x0) d(z; x) + d(x; x0) < + d(x; x0) = ";
es decir, BX(x; ) BX(x0; "). En consecuencia, x 2 int(BX(x0; ")) y, por tanto, BX(x0; ") =int(BX(x0; ")):
Ejemplo 2.15 Sea f0 2 C0[0; 1]: El conjunto A :=ff 2 C0[0; 1] :jf(t)j < 1
2 8t 2 [0; 1]g es abierto en C0
Demostración: Notemos que A es la bola abierta en C0
1[0; 1]con centro en la función 0y radio 12 de modo que, por la proposición anterior, A es abierto en C0
1[0; 1]:
Probaremos ahora que A no es abierto en C10[0; 1]: Para cada 0 < < 1 consideremos la función
f (t) := 1
1t si 0 t
0 si t 1
Entonces kf k1 = 2 pero f 62 A; es decir, BC0
1[0;1](0; ) no está contenida en A para
ningún > 0: En consecuencia, la función 0 no es un punto interior de A en C0 1[0; 1]:
De hecho, el conjunto A del ejemplo anterior tiene interior vacío en C0
1[0; 1] [Ejercicio 2.46].
De…nición 2.16 Sea A un subconjunto de un espacio métrico X = (X; d): Un punto
x2 X se llama un punto de contacto de A si BX(x; ")\ A 6= ; para toda " > 0: El conjunto de todos los puntos de contacto de A se llama la cerradura de A y se denota
AX; o simplemente A: Decimos que A es cerrado en X si A = A:
Nótese que todo punto de A es punto de contacto de A; es decir, A A:De hecho,
A es el cerrado más pequeño de X que contiene a A [Ejercicio 2.53].
De…nimos la bola cerrada en X con centro en x0 y radio " como el conjunto b
BX(x0; ") :=fx 2 X : d(x; x0) "g : Se tiene lo siguiente.
Proposición 2.17 En cualquier espacio métrico X la bola cerrada bBX(x0; ") en X con centro en x0 y radio " es un subconjunto cerrado de X:
Demostración: Sea x 2 bBX(x0; "):Entonces, para todo > 0;existe x 2 BX(x; )\ b
BX(x0; "): De la desigualdad del triángulo se sigue que
d(x; x0) d(x; x ) + d(x ; x0) < + " 8 > 0: En consecuencia d(x; x0) "; es decir, x 2 bBX(x0; "):
Denotaremos por XnA al complemento de A en X; es decir, XnA := fx 2 X : x =2 Ag :
2.2. CONJUNTOS ABIERTOS Y CONJUNTOS CERRADOS 25
Proposición 2.18 Para cualquier subconjunto A de un espacio métrico X se cumple
que
XnA = int(XnA):
En consecuencia, A es cerrado en X si y sólo si XnA es abierto en X:
Demostración: x 2 int(XnA) si y sólo si existe " > 0 tal que BX(x; ")\ A = ;; es decir, si y sólo si x 2 XnA: Por tanto, si A es cerrado, entonces XnA = XnA = int(XnA); es decir, XnA es abierto. E inversamente, si XnA es abierto, entonces XnA = int(XnA) = XnA y, en consecuencia, A = A; es decir, A es cerrado.
Existen también subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Por ejemplo, el intervalo [a; b) no es ni abierto ni cerrado en R. Más aún, un subconjunto puede ser simultáneamente abierto y cerrado.
Ejemplo 2.19 Todo subconjunto de un espacio métrico discreto Xdisc es abierto en
Xdisc. En consequencia, todo subconjunto de Xdisc es cerrado en Xdisc:
Demostración: Para cada subconjunto A de X y cada punto x 2 A; la bola abierta con centro en x y radio 1 según la métrica discreta consta únicamente del punto x: En consecuencia, Bdisc(x; 1) =fxg A; es decir, x 2 int(A):
En general no es cierto que la cerradura de una bola abierta sea la correspondiente bola cerrada.
Ejemplo 2.20 Si Xdisc es un espacio métrico discreto con al menos dos puntos
en-tonces, puesto que todos los subconjuntos de Xdisc son cerrados, se tiene que Bdisc(x; 1) = Bdisc(x; 1) =fxg 6= X = bBdisc(x; 1); 8x 2 X: Sin embargo, esto no ocurre en un espacio vectorial normado.
Proposición 2.21 Si V = (V; k k) es un espacio vectorial normado, entonces la
cer-radura de la bola abierta B(v0; ") = fv 2 V : kv v0k < "g en V es la bola cerrada b
B(v0; ") =fv 2 V : kv v0k "g.
Demostración: Como bB(v0; ")es cerrado y contiene a B(v0; ")se tiene que B(v0; ") b
B(v0; ") [Ejercicio 2.53]. Probaremos ahora que bB(v0; ") B(v0; "): Sea v 2 bB(v0; ") y sea > 0: Sin perder generalidad podemos tomar < 2":El punto
v = v +
satisface kv vk = 2"kv0 vk 2 < ; y kv v0k = (1 2")kv v0k " 2 < ": Es decir, v 2 B(v; ) \ B(v0; "): En consequencia, v 2 B(v0; "):
Daremos ahora una caracterización de la continuidad en términos de conjuntos abier-tos y conjunabier-tos cerrados. La imagen inversa de un subconjunto B de Y bajo la función
: X ! Y es el conjunto
1(B) :=
fx 2 X : (x) 2 Bg :
Proposición 2.22 Sean X y Y espacios métricos, y sea : X ! Y una función. Las
siguientes a…rmaciones son equivalentes:
(a) : X ! Y es continua.
(b) La imagen inversa 1(U ) de cualquier subconjunto abierto U de Y es abierta en
X:
(c) La imagen inversa 1(C) de cualquier subconjunto cerrado C de Y es cerrada en
X:
Demostración: (a) ) (b) : Sea U un subconjunto abierto de Y: Para cada x 2
1(U ) tomemos " > 0 tal que B
Y( (x); ") U: Como es continua existe > 0 tal que (BX(x; )) BY( (x); "): Entonces BX(x; ) 1(U ); es decir, 1(U ) es abierto en X:
(b) ) (a) : Sean x 2 X y " > 0: Como BY( (x); ") es abierta en Y , se tiene que
1(B
Y( (x); ")) es abierto en X: En particular, existe > 0 tal que BX(x; )
1(B
Y( (x); ")); es decir, (BX(x; )) BY( (x); "):
(b), (c) es consecuencia inmediata de lo anterior y de la Proposición 2.18, ya que
X r 1(C) = 1(X r C):
Por tanto, 1(C)es cerrado si y sólo si 1
(X r C) es abierto y esto es equivalente a que C sea cerrado.
Ejemplo 2.23 Cualquier función : Xdisc ! Y de un espacio métrico discreto a un
espacio métrico cualquiera Y es continua, ya que cualquier subconjunto de Xdisc es abierto (Ejemplo 2.19).
2.3. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 27
Para …nalizar esta sección veamos algunas propiedades importantes de los abiertos.
Proposición 2.24 En cualquier espacio métrico X = (X; d) se cumple lo siguiente.
(i) El conjunto vacío ; es abierto en X. (ii) X es abierto en X.
(iii) La unión Si2IUi de cualquier familia fUi : i2 Ig de subconjuntos abiertos de X es abierta en X:
(iv) La intersección U \ V de dos subconjuntos abiertos U y V de X es abierta en X: Demostración: (i) se cumple por vacuidad: Todo punto de ; es punto interior de ;: (ii) BX(x; ") X para cualquier x 2 X y cualquier " > 0; es decir, cualquier x 2 X es punto interior de X:
(iii) Si x 2Si2IUientonces x 2 Ui0 para algún i0 2 I y, como Ui0 es abierto, existe " > 0
tal que BX(x; ") Ui0: Pero entonces BX(x; ")
S
i2IUi; es decir, x 2 int S
i2IUi :
(iv) Si x 2 U \ V; como U y V son abiertos, existen "1; "2 > 0 tales que BX(x; "1) U y BX(x; "2) V: Tomando " := m nf"1; "2g se tiene que BX(x; ") (U \ V ); es decir, x2 int(U \ V ):
Dado que los subconjuntos cerrados de X son los complementos de los abiertos, las a…rmaciones duales son ciertas para dichos subconjuntos. Dejamos los detalles al lector [Ejercicio 2.51].
Las propiedades (i) a (iv) son usadas para de…nir a los ”abiertos” de un espa-cio topológico. Dado que la continuidad está caracterizada en términos de abiertos (Proposición 2.22), los espacios topológicos son el ámbito natural para estudiar la con-tinuidad. Veremos más adelante que algunas propiedades importantes en Análisis no se preservan bajo homeomor…smos, por ejemplo, la propiedad de ser completo. De aquí que el ámbito natural del Análisis es el de los espacios métricos.
2.3.
Convergencia de sucesiones
Daremos ahora una caracterización de la continuidad en términos de sucesiones. Sea X = (X; d) un espacio métrico.
De…nición 2.25 Una sucesión en un espacio métrico X es una función x : N ! X:
El valor de esta función en k se llama el k-ésimo término de la sucesión y se denota por xk := x(k) y la sucesión se denota por x = (xk):
Una subsucesión de x = (xk) es la composición de x con una función estrictamente
creciente k : N ! N: Su j-ésimo término se denota por xkj := x(k(j)):
Decimos que (xk) converge a un punto x 2 X si, dada " > 0; existe k0 2 N tal que d(xk; x) < " para todo k k0: El punto x se llama el límite de la sucesión (xk):
Usaremos la notación
xk ! x en X; o bien l m
k!1xk= x;
para decir que (xk)converge a x en X: Observemos que
xk! x en X () d(xk; x)! 0 en R.
Proposición 2.26 (i) El límite de una sucesión convergente es único.
(ii) Si (xk) converge a x en X entonces cualquier subsucesión (xkj) converge a x en X:
Demostración: Probemos la a…rmación (i). Si xk ! x y xk! y en X entonces
0 d(x; y) d(xk; x) + d(xk; y) ! 0 en R: Por tanto, d(x; y) = 0; es decir, x = y:
La a…rmación (ii) es consecuencia del resultado análogo para sucesiones de números reales, ya que d(xkj; x)es una subsucesión de d(xk; x)en R:
Daremos ahora una caracterización de la cerradura de un conjunto en términos de sucesiones en dicho conjunto.
Proposición 2.27 Sea A un subconjunto de X y sea x 2 X: Entonces x 2 A si y sólo
si existe una sucesión (xk) de puntos en A tal que xk! x en X:
Demostración: Si x 2 A entonces existe xk 2 B(x;k1)\ A para toda k 2 N. Es
decir, xk 2 A y 0 d(xk; x) 1k para toda k 2 N. En consecuencia, xk ! x en X: Sea ahora (xk)una sucesión de puntos en A tal que xk ! x en X: Sea " > 0: Entonces existe k0 2 N tal que d(xk; x) < " para todo k k0: En particular, xk0 2 BX(x; ")\ A.
Por tanto, x 2 A:
Podemos caracterizar la continuidad de una función en términos de sucesiones.
Proposición 2.28 : X ! Y es continua en el punto x 2 X si y sólo si para toda
sucesión (xk) en X tal que xk ! x en X se cumple que (xk)! (x) en Y:
Demostración: Supongamos que es continua en x y que xk ! x en X: Sea
" > 0: Entonces, como es continua, existe > 0 tal que (BX(x; )) BY( (x); ") y, como xk ! x; existe k0 2 N tal que xk 2 BX(x; ) para todo k k0: Por lo tanto
(xk) BY( (x); ") para todo k k0; es decir, (xk)! (x):
Inversamente: Supongamos que no es continua en x: Entonces, para alguna "0 > 0 y para cada k 2 N; existe xk 2 BX(x;1k) tal que (xk) =2 BY( (x); "0): Es decir, (xk) converge a x en X pero ( (xk)) no converge a (x) en Y:
2.4. EJERCICIOS 29
Ejemplo 2.29 Consideremos las funciones continuas fk : [0; 1]! R dadas por fk(t) =
kt + 1 si 0 t 1k
0 si 1k t 1
Entonces fk ! 0 en C10[0; 1] ; pero (fk) no converge en C10 [0; 1] : Demostración: Se tiene que
kfkk1 = Z 1 0 jf k(t)j dt = 1 2k ! 0;
es decir, fk! 0 en C10[0; 1] : Supongamos que fk ! f en C10 [0; 1] : Entonces, como jfk(t) f (t)j kfk fk1 para cada t 2 [0; 1];
se cumple que la sucesión de números reales (fk(t)) converge a f (t) en R para cada t2 [0; 1]: En consecuencia
f (t) = l m
k!1fk(t) =
1 si t = 0
0 si 0 < t 1
Esta función no es continua en [0; 1], lo que contradice nuestra suposición.
2.4.
Ejercicios
Ejercicio 2.30 Demuestra las siguientes a…rmaciones.
(a) Toda isometría es Lipschitz continua.
(b) Si : X ! Y y : Y ! Z son (Lipschitz) continuas entonces la composición
: X ! Z es (Lipschitz) continua.
Ejercicio 2.31 Considera la función : R ! R; (t) = t2: ¿Es Lipschitz continua?
Ejercicio 2.32 Prueba que, si f; g : X ! R son continuas y 2 R; entonces las
siguientes funciones son continuas.
(a) f + g : X ! R, (f + g)(x) = f(x) + g(x);
(b) g : X ! R, ( f)(x) = f(x);
(c) f g : X ! R, (fg)(x) = f(x)g(x);
(d) maxff; gg : X ! R, (maxff; gg)(x) = maxff(x); g(x)g; (e) m nff; gg : X ! R, (m nff; gg)(x) = m nff(x); g(x)g):
¿Es cierto que, si f; g : X ! R son Lipschitz continuas, las funciones anteriores son Lipschitz continuas?
Ejercicio 2.33 Sea X = (X; d) un espacio métrico y sea x0 2 X. Prueba que la función
: X ! R; (x) = d(x0; x);
es Lipschitz continua. (Sugerencia: Usa el Ejercicio 1.30).
Ejercicio 2.34 Sea X = (X; d) un espacio métrico, sea x0 2 X y sea r > 0: Prueba que la esfera
SX(x0; r) :=fx 2 X : d(x0; x) = rg es un subconjunto cerrado de X:
Ejercicio 2.35 Sea (V; k k) un espacio vectorial normado. Demuestra las siguientes
a…rmaciones.
(a) Si vk ! v y wk ! w en V entonces vk+ wk ! v + w en V:
(b) Si vk ! v en V y k ! en R, entonces kvk! v en V:
(c) Si vk ! v en V entonces kvkk ! kvk en R.
Es decir, la suma, el producto por escalares y la norma son funciones continuas.
Ejercicio 2.36 Sean 1 s; r 1: Demuestra las siguientes a…rmaciones.
(a) : Rms ! Rnr es continua si y sólo si : Rms ! Rnr es continua:
(b) : Rm
s ! Rnr es Lipschitz continua si y sólo si : Rms ! Rnr es Lipschitz continua:
Ejercicio 2.37 Sea 1 p 1: Demuestra las siguientes a…rmaciones.
(a) U es abierto en Rn
2 si y sólo si U es abierto en Rnp: (b) C es cerrado en Rn
2 si y sólo si C es cerrado en Rnp:
Ejercicio 2.38 Prueba que para cualquier 1 p 1 y cualesquiera a a0 < b0 b
la función
: Cp0[a; b]! Cp0[a0; b0]; (f ) = f j[a0;b0];
que a cada función f le asocia su restricción al intervalo [a0; b0], es Lipschitz continua.
Ejercicio 2.39 Prueba que para cualquier 1 p 1 la función
: Cp0[a; b]! Cp0[0; 1]; (f ) = f u;
donde u es la reparametrización u(t) : [0; 1] ! [a; b]; u(t) = (b a)t + a; es un homeo-mor…smo.
Ejercicio 2.40 Prueba que, para cualesquiera 1 s r 1; la identidad I :
2.4. EJERCICIOS 31
Ejercicio 2.41 Prueba que, si 1 s r 1; entonces la inclusión : `s `r es
Lipschitz continua.
Ejercicio 2.42 Prueba que, para cualquier 1 s 1; la k-ésima proyección
k: `s ! R; k(x) = xk; con x = (xk)2 `s; es Lipschitz continua.
Ejercicio 2.43 Considera el conjunto T de las trayectorias : [0; 1] ! R2 continua-mente diferenciables, tales que (0) = (0; 0); (1) = (1; 0) y
Z 1 0
k 0k dt < 1:
(a) Prueba que k k = max0 t 1k (t) (t)k2 es una métrica en T .
(b) Considera la función longitud
L : T ! R, L( ) =
Z 1
0 k
0k dt:
¿Es ésta una función continua? (Sugerencia: Considera la sucesión de trayectorias
k(t) = (t;k1sen(k t))).
Ejercicio 2.44 Sea X = [ 1; 1] con la métrica inducida por la de R.
(a) ¿Cuál es el interior en X de los siguientes conjuntos: (0; 1]; [0; 1]; (0;12); [0; 12); [ 1; 1]?
(b) ¿Cuáles de estos conjuntos son abiertos en X? (c) ¿Cuáles de ellos son cerrados en X?
Ejercicio 2.45 (a) ¿Es la bola abierta en C0 1 [0; 1] ; B1(0; 1) =ff 2 C0[0; 1] : Z 1 0 jf(t)j dt < 1g; un subconjunto abierto de C0 1[0; 1]? (b) ¿Es la bola cerrada en C0
1 [0; 1] ; b B1(0; 1) =ff 2 C0[0; 1] : Z 1 0 jf(t)j dt 1g; un subconjunto cerrado de C0 1[0; 1]? (c) ¿Es la bola cerrada en C0
1[0; 1] ; b
B1(0; 1) =ff 2 C0[0; 1] : max
un subconjunto cerrado de C0 1[0; 1]?
(d) Da un ejemplo de un subconjunto cerrado de C0
1[0; 1] que no sea cerrado en C10[0; 1]: (Sugerencia: Para responder a las dos primeras preguntas usa la Proposición 2.22) Ejercicio 2.46 Prueba que la bola abierta en C0
1[0; 1] ; B1(0; 1) =ff 2 C0[0; 1] : max
0 t 1jx(t)j < 1g;
tiene interior vacío en C0 1[0; 1] :
Ejercicio 2.47 Prueba que una sucesión (xk) en un espacio métrico discreto Xdisc converge a x si y sólo si existe k0 2 N tal que xk = x para todo k k0:
Ejercicio 2.48 Prueba que, si una sucesión (xk) converge en X, entonces está acotada en X, es decir, existen x0 2 X y r > 0 tales que dX(xk; x0) < r para toda k2 N: Ejercicio 2.49 Prueba que en cualquier espacio métrico X la intersección de un número
…nito de subconjuntos abiertos U1\ \ Um es abierta en X:
Ejercicio 2.50 Da un ejemplo de una familia numerable de abiertos fUn : n2 Ng en
R cuya intersección Tn2NUn no es abierta en R:
Ejercicio 2.51 Demuestra que en cualquier espacio métrico X = (X; d) se cumple lo
siguiente.
(a) X es cerrado en X:
(b) El conjunto vacío ; es cerrado en X.
(c) La intersección Ti2ICi de cualquier familia fCi : i 2 Ig de subconjuntos cerrados de X es cerrada en X:
(d) La unión C [ D de dos subconjuntos cerrados C y D de X es cerrada en X: (Sugerencia: Aplica las Proposiciones 2.24 y 2.18).
Ejercicio 2.52 Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico X: Demuestra las
siguientes a…rmaciones.
(a) int(B) int(A) si B A:
(b) int(A) es abierto en X.
(c) int(A) es el máximo subconjunto abierto de X contenido en A:
Ejercicio 2.53 Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico X: Demuestra las
siguientes a…rmaciones.
(a) B A si B A:
(b) A es cerrado en X.
Capítulo 3
Convergencia uniforme
3.1.
Convergencia uniforme en espacios métricos
Sean X = (X; dX) y Y = (Y; dY)espacios métricos.
De…nición 3.1 Una sucesión de funciones fk : X ! Y; k 2 N; converge
puntual-mente a una función f : X ! Y si, para cada x 2 X; la sucesión (fk(x)) converge en Y ; es decir si, para cada " > 0 y cada x2 X, existe k0 2 N (que depende de " y de x) tal que
dY(fk(x); f (x)) < " 8k k0: La función f se llama el límite puntual de (fk):
Por lo general no sucede que el límite puntual de una sucesión de funciones continuas sea una función continua, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.2 La sucesión de funciones fk : [0; 1] ! R; fk(t) = tk; converge puntual-mente a
f (t) = 0 si 0 t < 1
1 si t = 1
Es decir, el límite puntual de una sucesión de funciones continuas no es necesariamente una función continua.
Daremos a continuación una noción de convergencia según la cual el límite de una sucesión de funciones continuas sí va a resultar ser una función continua.
De…nición 3.3 Una sucesión de funciones fk : X ! Y; k 2 N; converge
uniforme-mente a una función f : X ! Y si dada " > 0 existe k0 2 N (que depende únicamente de ") tal que
dY(fk(x); f (x)) < " 8k k0, 8x 2 X: La función f se llama el límite uniforme de (fk):
Notemos que esta noción es más fuerte que la de convergencia puntual: Si (fk) converge uniformemente a f entonces converge puntualmente a f: El inverso no es cierto, como lo muestra el Ejemplo 3.2. Ni siquiera es cierto cuando el límite puntual resulta ser contínuo.
Ejemplo 3.4 Las funciones fk: [0; 1]! R dadas por fk(t) = maxfk k2 t
1 k ; 0g
son continuas. La sucesión (fk) converge puntualmente a 0; pero no converge uniforme-mente. Más aún, para cualquier " > 0, se tiene que fk(1k) = k > " para toda k su…cientemente grande. 1 0. 75 0. 5 0. 25 0 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 Grá…ca de fk
La propiedad fundamental de la convergencia uniforme es la siguiente.
Teorema 3.5 Si fk : X ! Y es continua para todo k 2 N y si fk converge
uniforme-mente a f : X ! Y; entonces f es continua.
Demostración: Sean x0 2 X y " > 0: Como (fk)converge uniformemente a f; existe k0 2 N tal que
dY(fk(x); f (x)) < "
3 8x 2 X; 8k k0:
Y, como fk0 es continua, existe > 0 tal que
dY(fk0(x); fk0(x0)) < " 3 si dX(x; x0) < : En consecuencia, dY(f (x); f (x0)) dY(f (x); fk0(x)) + dY(fk0(x); fk0(x0)) + dY(fk0(x0); f (x0)) < " si dX(x; x0) < :
3.2. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 35
Esto prueba que f es continua.
Ejemplo 3.6 Una sucesión de funciones continuas fk : [a; b] ! R converge uniforme-mente si y sólo si (fk) converge en C10 [a; b]:
Demostración: Supongamos que fk : [a; b]! R es una sucesión de funciones contin-uas que converge uniformemente a f: Entonces, por el teorema anterior, f es continua. Dada " > 0; existe k0 2 N tal que
jfk(t) f (t)j < " 8k k0; 8t 2 [a; b]: Por tanto,
kfk fk1:= max
t2[a;b]jfk(t) f (t)j < " 8k k0;
es decir, fk ! f en C10 [a; b]: El inverso es consecuencia inmediata de la de…nición de k k1:
En la Sección 3.3 daremos un criterio que garantiza la convergencia de una sucesión de funciones.
3.2.
Espacios métricos completos
Sea X = (X; dX)un espacio métrico.
De…nición 3.7 Una sucesión (xk) en X es de Cauchy si dada " > 0 existe k0 2 N tal que
dX(xk; xj) < " 8k; j k0:
Proposición 3.8 Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Demostración: Si xk ! x en X entonces, dada " > 0 existe k0 2 N tal que dX(xk; x) < 2" si k k0: Por tanto
dX(xk; xj) dX(xk; x) + dX(x; xj) < " 8k; j k0: Es decir, (xk)es de Cauchy.
Ejemplo 3.9 Sea X = (0; 1) con la métrica usual. La sucesión (1
k) es de Cauchy en (0; 1) pero no converge en (0; 1)[Ejercicio 3.35].
Ejemplo 3.10 La sucesión de funciones fk : [ 1; 1]! R;
fk(t) = 8 < : 1 si 1 t 1 k kt si k1 t 1k 1 si 1k t 1 es de Cauchy en C0 1[ 1; 1] pero no converge en C10[ 1; 1]: 1 0. 5 0 -0. 5 -1 1 0. 5 0 -0. 5 -1 Grá…ca de fk
Demostración: Si j k se tiene que
Z 1 1jf k(t) fj(t)j dt = 2 Z 1 0 jf k(t) fj(t)j dt = 2 "Z 1=j 0 (jt kt)dt + Z 1=k 1=j (1 kt)dt # = 1 k 1 j: En consecuencia, dada " > 0 se tiene que
kfk fjk1 < " 8k; j > 2 ": Así pues, (fk) es de Cauchy.
Supongamos que fk ! f en C10[ 1; 1]: Entonces, por el Ejercicio 2.38 y la Proposición 2.28, para cada a 2 (0; 1) se tiene que
3.2. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 37
Pero fk j[a;1] 1 y fk j[ 1; a] 1si k a1: En consecuencia,
f (t) = 1 si t 2 [ 1; 0)
1 si t 2 (0; 1]
Por tanto, f no es continua en [ 1; 1]: Esto contradice nuestra suposición.
De…nición 3.11 Un espacio métrico X es completo, si toda sucesión de Cauchy en X
converge en X: Un espacio vectorial normado completo se llama un espacio de Banach. Sabemos que el espacio R de los números reales es completo. Los ejemplos anteriores muestran que (a; b) y C0
1[a; b] no lo son. De hecho, Cp0[a; b] no es un espacio de Banach para ninguna 1 p <1 [Ejercicio 3.38]:
La propiedad de ser completo no es invariante bajo homeomor…smos, como lo mues-tra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.12 La función tan : ( 2;2)! R es un homeomor…smo. R es un espacio
métrico completo, pero ( 2; 2) no lo es.
7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 1 0.5 0 -0.5 -1 x y x y arctan x
La propiedad de ser completo sí se preserva bajo equivalencias.
Proposición 3.13 Si : X ! Y es una equivalencia de espacios métricos (es decir,
es biyectiva y y 1 son Lipschitz continuas), entonces X es completo si y sólo si Y lo es.
Demostración: Supongamos que Y es completo y que : X ! Y es Lipschitz
continua. Sea (xk) una sucesión de Cauchy en X. Entonces, dada " > 0; existe k0 2 N tal que
Es decir, la sucesión ( (xk))es de Cauchy en Y y, como Y es completo, (xk)! y en
Y: Como 1 es continua, la Proposición 2.28 garantiza que xk ! 1(y) en X: Así
pues, X es completo. El inverso se obtiene remplazando Y por X y por 1 en el
argumento anterior.
Ejemplo 3.14 Rnp es un espacio de Banach para toda 1 p 1.
Demostración: Por la Proposición 2.7 y la proposición anterior basta probar que Rn1 es completo. Sea (xk) una sucesión de Cauchy en R1n ; donde xk = (xk;1; :::; xk;n): Entonces, dada " > 0; existe k0 2 N tal que
jxj;i xk;ij max
i=1;:::;njxj;i xk;ij =: kxj xkk1< " 8j; k k0; 8i = 1; :::; n:
Es decir, (xk;i) es de Cauchy en R para cada i = 1; :::; n: Como R es completo, cada sucesión xk;i ! xi en R. Por tanto, dada " > 0; existe k1 2 N tal que
jxk;i xij < " 8k k1; 8i = 1; :::; n; y, en consecuencia,
kxk xk1 := max
i=1;:::;njxk;i xij < " 8k k1;
donde x = (x1; :::; xn). Es decir, xk! x en Rn1:
No todo subespacio de un espacio métrico completo es un espacio métrico completo. Por ejemplo, R es completo pero ningún intervalo abierto (a; b) lo es. La siguiente proposición caracteriza a aquéllos que sí lo son.
Proposición 3.15 Sea X un espacio métrico completo. Un subespacio A de X es
com-pleto si y sólo si es cerrado.
Demostración: Supongamos que A es cerrado. Sea (ak)una sucesión de Cauchy en
A: Entonces (ak) una sucesión de Cauchy en X y, como X es completo, ak ! x en X: Por la Proposición 2.27 se tiene que x 2 A = A; es decir, A es completo.
Inversamente: Supongamos que A es completo. Sea x 2 A: Por la Proposición 2.27, existe una sucesión (ak)en A tal que ak ! x en X: La Proposición 3.8 asegura entonces que (ak)es de Cauchy y, como A es completo, se tiene que ak ! a en A: De la unicidad del límite se sigue que a = x; es decir, x 2 A: Por tanto, A es cerrado.
3.3. EL CRITERIO DE CAUCHY PARA LA CONVERGENCIA UNIFORME DE FUNCIONES 39
3.3.
El criterio de Cauchy para la convergencia
uni-forme de funciones
Sean X = (X; dX) y Y = (Y; dY)espacios métricos.
De…nición 3.16 Una sucesión de funciones fk : X ! Y; k 2 N; es uniformemente
de Cauchy si, para cada " > 0, existe k0 2 N tal que
dY(fk(x); fj(x)) < " 8j; k k0, 8x 2 X:
El siguiente teorema nos da una condición necesaria y su…ciente para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones.
Teorema 3.17 (Criterio de convergencia uniforme de Cauchy) Sea Y un
espa-cio métrico completo. Una sucesión de funespa-ciones fk : X ! Y; k 2 N; converge
uni-formemente si y sólo si (fk) es uniformemente de Cauchy:
Demostración: Si (fk) converge uniformemente a f entonces, dada " > 0, existe k0 2 N tal que dY(fk(x); f (x)) < " 2 8k k0, 8x 2 X: En consecuencia, dY(fk(x); fj(x)) dY(fk(x); f (x)) + dY(f (x); fj(x)) < " 8j; k k0, 8x 2 X: Es decir, (fk) es uniformemente de Cauchy.
Supongamos ahora que (fk) es uniformemente de Cauchy. Entonces, para cada x 2 X;
la sucesión (fk(x)) es de Cauchy en Y y, como Y es completo, esta sucesión converge a un punto de Y al que denotaremos por f (x): Así pues, fk(x) ! f(x) en Y para cada x2 X: Probemos que fk ! f uniformemente. Sea " > 0: Como (fk) es uniformemente de Cauchy, existe k0 2 N tal que
dY(fk(x); fj(x)) < "
2 8j; k k0, 8x 2 X:
Como fj(x)! f(x) en Y; existe jx 2 N (que depende de x) tal que dY(fj(x); f (x)) <
"
2 8j jx.
Dadas k k0 y x 2 X escojamos j maxfk0; jxg: Entonces
En consecuencia,
dY(fk(x); f (x)) < " 8k k0, 8x 2 X; es decir, (fk) converge uniformemente a f .
A diferencia de lo que ocurre para 1 p <1; el espacio C0
1[a; b] sí es completo.
Ejemplo 3.18 C0
1[a; b] es un espacio de Banach.
Demostración: Sea (fk)una sucesión de Cauchy en C10 [a; b]: Esto equivale a decir que (fk) es uniformemente de Cauchy. El teorema anterior garantiza que fk converge uniformemente. El Ejemplo 3.6 a…rma entonces que (fk)converge en C10 [a; b]:
Daremos ahora una versión más general de este ejemplo, que nos permite reinter-pretar la convergencia uniforme.
3.4.
El espacio de funciones continuas y acotadas
Sea V = (V; k k) un espacio vectorial normado y sea X = (X; d) un espacio métrico. De…nición 3.19 Una función f : X ! V es acotada si existe R > 0 tal que kf(x)k
R para toda x 2 X: Denotaremos por B(X; V ) := ff : X ! V : f es acotadag y por kfk1 := sup x2Xkf(x)k : (3.1)
Dadas dos funciones f; g : X ! V y 2 R; de…nimos
f + g : X ! V; (f + g)(x) := f (x) + g(x);
f : X ! V; ( f )(x) := f (x):
Proposición 3.20 (B(X; V ); k k1) es un espacio vectorial normado.
Demostración: Si f; g 2 B(X; V ) y 2 R entonces, para cada x 2 X;
kf(x) + g(x)k kf(x)k + kg(x)k kfk1+kgk1;
3.4. EL ESPACIO DE FUNCIONES CONTINUAS Y ACOTADAS 41
En consecuencia, f + g; f 2 B(X; V ) y, tomando el supremo sobre toda x 2 X,
obtenemos que
kf + gk1 kfk1+kgk1 y k fk1=j j kfk1:
Esto prueba que B(X; V ) es un espacio vectorial y que se cumplen las propiedades (N2) y (N3) de la De…nición 1.9. La propiedad (N1) es inmediata.
Proposición 3.21 (a) Una sucesión de funciones acotadas fk : X ! V converge
uniformemente si y sólo si (fk) converge en B(X; V ):
(b) Una sucesión de funciones acotadas fk : X ! V es uniformemente de Cauchy si y
sólo si (fk) es de Cauchy en B(X; V ):
Demostración: (a) Supongamos que fk 2 B(X; V ) y que (fk) converge
uniforme-mente a f: Entonces, para cada " > 0; existe k0 2 N tal que kfk(x) f (x)k " 8k k0;8x 2 X: Es decir,
kfk fk1 " 8k k0:
En particular, fk0 f 2 B(X; V ) y, como B(X; V ) es un espacio vectorial, se tiene
entonces que f = fk0 (fk0 f ) 2 B(X; V ): En consecuencia, fk ! f en B(X; V ): El
inverso es consecuencia inmediata de la de…nición de k k1:
La a…rmación (b) es también consecuencia inmediata de la de…nición de k k1: Denotemos por
C0(X; V ) := ff 2 B(X; V ) : f es continuag:
Proposición 3.22 Si V es de Banach entonces B(X; V ) y C0(X; V ) son de Banach.
Demostración: Sea (fk)una sucesión de Cauchy en B(X; V ): La proposición anterior y el Teorema 3.17 aseguran que (fk) converge en B(X; V ); es decir, B(X; V ) es de Banach.
Probemos que C0(X; V )
es cerrado en B(X; V ): Sea f 2 C0(X; V ): Por la Proposición 2.27, existe una sucesión (fk) en C0(X; V )tal que fk ! f en B(X; V ): Por el Teorema 3.5, la función f es continua, es decir, C0(X; V ) = C0(X; V ): Como todo subespacio cerrado de un espacio completo es completo (Proposición 3.15), se tiene que C0(X; V ) es de Banach.
Notemos que, si X = [a; b] y V = R, entonces C0(X; V ) es justamente el espacio C0
1[a; b]:El hecho de que (a diferencia de lo que ocurre con Cp0[a; b]para 1 p < 1) el espacio C10 [a; b]sea un espacio de Banach, implica que la norma k k1es la más adecuada para el espacio de funciones continuas. Escribiremos de aquí en adelante C0[a; b] en vez de C0
1[a; b]: Más en general, denotaremos por
C0(X) :=C0(X; R): (3.2)
La norma k k1 de…nida en (3.1) se llama la norma uniforme y la métrica inducida
por ella se llama la métrica uniforme en C0(X; V );
o en B(X; V ):
3.5.
Series de funciones
Sea V = (V; k k) un espacio vectorial normado y sea (vk) una sucesión en V:
De…nición 3.23 Decimos que la serie
1 X
k=1 vk
converge si la sucesión (wn) de sumas parciales wn:=Pnk=1vk converge en V: En espacios de Banach se tiene el siguiente criterio de convergencia.
Proposición 3.24 (Criterio de Cauchy para series) Sea V un espacio de Banach
y sea (vk) una sucesión en V: La serie 1 X
k=1 vk
converge si y sólo si, para cada " > 0, existe k0 2 N tal que kvk+1+ + vk+jk < " 8k k0; 8j 1:
Demostración: Como V es completo, la sucesión (wn) de sumas parciales wn :=
Pn
k=1vk converge en V si y sólo si (wn) es de Cauchy, es decir, si y sólo si para cada " > 0, existe k0 2 N tal que
kwk+j wkk = kvk+1+ + vk+jk < " 8k k0; 8j 1; como a…rma el enunciado.
3.5. SERIES DE FUNCIONES 43
De…nición 3.25 Decimos que la serie de funciones
1 X
k=1 fk
converge uniformemente en X si la sucesión de funciones Fn =Pnk=1fk converge
uniformemente a una función f : X ! V; a la que denotamos f =:
1 X
k=1 fk:
Teorema 3.26 (Criterio de Weierstrass) Sea V un espacio de Banach. Sea fk :
X ! V una sucesión de funciones continuas, y sean Rk 2 R tales que
kfk(x)k Rk 8x 2 X; 8k 2 N:
Si la serie de números reales P1k=1Rk converge, entonces la serie
P1
k=1fk converge uniformemente a una función continua y acotada f : X ! V:
Demostración: Dado que la serie de números reales P1k=1Rk converge, la sucesión de sumas parciales Pnk=1Rk es de Cauchy y por tanto, para cada " > 0, existe k0 2 N tal que
Rk+1+ + Rk+j =jRk+1+ + Rk+jj < " 8k k0; 8j 1: En consecuencia, usando la desigualdad del triángulo obtenemos
kfk+1+ + fk+jk1 kfk+1k1+ +kfk+jk1
Rk+1+ + Rk+j
< " 8k k0; 8j 1:
La Proposición 3.22 asegura que C0(X; V )es de Banach. Aplicando el criterio de Cauchy obtenemos que la serie P1k=1fk converge en C0(X; V ):
Una aplicación muy útil es la siguiente.
Corolario 3.27 Sean ak2 R y t0; t1 2 R, t1 6= t0; tales que la serie de números reales 1
X k=0
