Distribución de Los Números Primos

(1)

(2)

LOS NÚMEROS PRIMOS

Jorge Sanchez

Miguel Corona

(3)

LOS NÚMEROS PRIMOS

Jorge Sanchez

Miguel Corona

(4)

Reservados todos los derechos.

Queda prohibida, salvo excepción prevista en

Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley ,cualquierla ley ,cualquier

forma de reproducción, distribución, comunicación pública y

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Ediciones Díaz de Santos

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ISBN: 978-84-9969-979-0 (Libro electrónico)

ISBN:978-84-9969-561-7(Libro en papel)

Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco

Diseño de Portada: Aarón González

(5)

Introducci´on

. . . .

i

Cap´ıtulo 1 Conceptos y teoremas elementales

§

1. Introducci´

on . . . .

1 §

2. Deﬁniciones b´asicas . . . .

1 §

3. F´ormulas de sumaci´

on . . . .

3 §

4. Estimaci´

on de Van der Corput . . . .

6 §

5. La funci´on gamma de Euler . . . .

9 §

6. Funciones enteras de orden ﬁnito y producto de Weierstass . . .

11 §

7. Lemas sobre funciones anal´ıticas . . . .

14

Cap´ıtulo 2 La funci´on zeta de Riemann

§

1. Introducci´on . . . .

21 §

2. Definición y propiedades básicas . . . .

21 §

3. Ecuaci´on funcional de la funci´

on zeta de Riemann . . . .

24 §

4. Teoremas acerca de los ceros no triviales de la ζ (s) . . . .

27 §

5. Representaci´

on de la funci´on de Chebyshev a trav´es

de una suma sobre los ceros de ζ (s) . . . .

34

Cap´ıtulo 3 El teorema de los N´umeros Primos

§

1. Introducci´on . . . .

39

(6)

§

5. La funci´on ψ de Chebyshev . . . 49

§

6. Demostraci´

on del Teorema 3.1 . . . .

52

Cap´ıtulo 4

Teorema del valor Medio de Vinogradov y su aplicaci´on a la funci´on

ζ (s)

§

1. Introducci´on . . . .

53 §

2. Teorema del valor medio de Vinogradov . . . .

55 §

3. Regi´

on libre de ceros de ζ (s) dada por Vinogradov . . . .

64

Cap´ıtulo 5

Densidad de los ceros de

ζ (s)

y la distribución de los números primos en pequeños intervalos

§

1. Introducci´on . . . .

69 §

2. Teorema de densidad . . . .

69 §

3. N´

umeros primos en peque˜

nos intervalos . . . .

76

Cap´ıtulo 6

Conclusi´on

. . . .

79

(7)

La primera orientación cient´ıfica sobre el estudio de los números enteros, es decir, el ori-gen de la teor´ıa de los números, se atribuye generalmente a los griegos. Aproximadamente seis siglos antes de nuestra era, Pitágoras y sus disc´ıpulos, entre sus diversas aportacio-nes, efectuaron un vasto estudio acerca de los enteros. Euclides, en el tercer siglo A. C. demostró que existe una infinidad de números primos. Un número primo se define como un entero mayor que uno cuyos únicos divisores son el uno y él mismo, es decir,

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

_{· · ·}

.

Los n´umeros que no son primos se llaman compuestos, excepto el n´umero 1 que no es ni primo ni compuesto.

El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo entero n > 1 se escribe de manera única como producto de primos sin importar el orden de los factores. Por esta razón, el estudio de las propiedades de los números primos siempre ha sido objeto de intenso estudio por matemáticos de todas las épocas.

La distribución de los números primos es muy irregular, se sabe que podemos encontrar espacios tan grandes como se quieran donde no exista ningún número primo; por ejemplo, la sucesión

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,

_{· · ·}

, (n + 1)! + (n + 1)

consiste de n enteros consecutivos compuestos. Por otro lado, la conjetura de los primos gemelos aﬁrma la existencia de una inﬁnidad de parejas de primos p y q cuya diferencia es 2, o sea

p

₋

q = 2.

Sin embargo, a pesar de tales fenómenos, la distribución de los números primos obedece a ciertas leyes que estudiaremos más adelante.

(8)

Un problema clásico es saber cuántos números primos pertenecen al intervalo [1, x]; en la teor´ıa de los números la función π(x) denota a tal cantidad, es decir,

π(x) =



p

_≤

x 1,

donde la sumatoria es tomada sobre los n´umeros primos. Bajo esta notaci´on el teorema de Euclides establece que

π(x)

_{→ ∞}

cuando x

_{→ ∞}

.

En 1737, L. Euler consider´o la serie de variable real

∞



n=1 1 nσ, σ > 1. ´

El observ´o que tiene lugar la igualdad

∞



n=1 1 nσ =



p 1 1

₋

p

−

σ, σ > 1,

donde el producto está tomado sobre todos los números primos p. Mediante esta observación, Euler estableció que la serie



1/p tomada sobre todos los números primos diverge, hecho que conduce a una demostración anal´ıtica de la existencia de una infinidad de números primos. Euler también demostró que

l´ım x

_→∞

π(x)

x = 0,

esta afirmación nos dice que los números primos no son tan frecuentes entre los números naturales. La distribución de los números primos ha sido objeto de gran estudio apartir del siglo XVIII.

En 1798, A. M. Legendre conjetur´o que para valores grandes de x, π(x) es aproximada-mente igual a

(1) x

log x

₋

A, donde A = 1.08366.

En 1793, C. F. Gauss propuso una f´ormula similar a (1), la cual aﬁrma que para valores grandes de x, π(x) es aproximadamente igual a

(2) li(x) =



x 2

dt log t,

(9)

lo cual no fue publicado en este a˜no, sino hasta 1863.

Es f´acil mostrar que (1) y (2) son equivalentes a la f´ormula

(3) π(x)

_∼

x

log x,

es decir, π(x) es aproximadamente igual a x/ log x, para valores grandes de x. La relación (3) es conocida como el Teorema de los N´ umeros Primos y es el teorema central en la teor´ıa de la distribución de los números primos.

En 1848, P. L. Chebyshev prob´o que el mejor valor para la constante A en (1), debe ser 1. En la siguiente Tabla 1 mostraremos las aproximaciones a π(x) propuestas por Gauss, Legendre y Chebyshev para algunos valores de x:

x π(x) Gauss Legendre x/(log x

₋

1)

1000 168 178 172 169 10000 1229 1246 1231 1218 100000 9592 9630 9588 9512 1000000 78498 78628 78534 78030 10000000 664579 664918 665138 661459 100000000 5761455 5762209 5769341 5740304 1000000000 50847534 50849235 50917519 50701542 10000000000 455052511 455055614 455743004 454011971 Tabla 1

En 1850, Chebyshev obtuvo el primer progreso verdadero hacia la prueba del teorema de los n´umeros primos, demostr´o que existen dos constantes positivas a < 1 < b tales que

(5) a x

log x < π(x) < b x log x

y que si π(x)log x/x tiene l´ımite, entonces su valor debe ser igual a 1.

En 1881, J. J. Sylvester refinó el método de Chebyshev, demostrando que podemos usar a = 0.95695 y b = 1.04425 si x es suficientemente grande. (En 1962 fue demostrado que podemos usar a = 1 para todo x > 10). Ver Rosser and Schoenfeld (1962).

Una contribución fundamental para investigar el problema de la distribución de los números primos fue realizada por B. Riemann en 1859. Motivado por la demostración

(10)

anal´ıtica de Euler sobre la existencia de una infinidad de números primos, Riemann introdujo la función de variable compleja

ζ (s) =



∞

n=1

1 ns,

donde s = σ +it y σ =

_

e s > 1. Esta funci´on es conocida como la funci´ on zeta de Riemann . La serie converge absolutamente en la regi´on σ > 1 y de manera uniforme si σ

_≥

σ0, para cualquier σ0 > 1 y por lo tanto ζ (s) representa a una función anal´ıtica en la región σ > 1. Riemann demostró que ζ (s) se puede extender anal´ıticamente a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo simple de residuo igual a 1 en s = 1. Riemann tambien demostró que ζ (s) satisface una ecuación funcional. De tal ecuación se sigue que los enteros pares negativos anulan a ζ (s), tales ceros son conocidos como los ceros triviales. De las condiciones de simetr´ıa de la ecuación funcional se sigue que los ceros que no son triviales deben estar ubicados en la franja cr´ıtica 0

_≤

σ

_≤

1, y además simétricamente distribuidos con respecto a la l´ınea cr´ıtica σ = 1/2 y al eje real. Los ceros que están en la franja cr´ıtica son llamados ceros no triviales. Riemann afirmó sin demostración que todos ellos deben estar ubicados en la l´ınea cr´ıtica, conjetura aún abierta y conocida como la hip´ otesis de Riemann. Riemann encontró una profunda conexión entre el problema de la distribución de los ceros no triviales de la función ζ (s) y la distribución de los números primos.

En 1896, J. Hadamard y C. J. de la Vallée-Poussin independientemente uno del otro demostraron el teorema de los números primos totalmente, basados en las ideas desarrolladas por Riemann acerca de la función ζ (s) y su relación con π(x). La prueba dada por Hadamard es más simple, pero de la Vallée-Poussin estudia con más detalle el término de error. También de la Vallée-Poussin demostró que (2) es una mejor aproximación que (1), sin importar el valor que le asignemos a la constante A.

En 1949, Atle Selberg y Paul Erdös, independientemente demuestran el teorema de los números primos, sin usar la teor´ıa de las funciones anal´ıticas, sino argumentos elementales. Ver Selberg (1949) y Erdös (1949).

El término de error en el teorema de los números primos depende de la región en el plano complejo en donde la función zeta de Riemann es libre de ceros. Entre más nos podamos extender dentro de la banda cr´ıtica, el término de error será menor.

En el cap´ıtulo 3 se demuestra que la funci´on zeta de Riemann es libre de ceros en la regi´on dada por

σ

_≥

1

₋

1

(11)

donde L(t) = log t + 11 y t

_≥

2. Usaremos esta región para estudiar la estimación obtenida por de la Vallée-Poussin en 1899, es decir, él demostró que

(6) π(x) = li(x) + O



x e

−

c

√

log x



cuando x

_{→ ∞}

, donde c es una constante positiva. Este resultado lo podemos encontrar en de la Vall´ee-Poussin (1899-1900).

Con mayor precisi´on J. E. Littlewood demostr´o que

(7) π(x) = li(x) + O



x e

−

c (log x

·

loglog x)1/2



. En 1901, H. von Koch demuestra algo m´as fuerte. El prob´o que

(8) π(x) = li(x) + O



xτ log x



donde τ

_∈

R_{es tal que si σ > τ entonces ζ (σ + it)}

_

_{= 0.}

De hecho, si se supone que la Hip´otesis de Riemann es cierta, entonces la ecuaci´on (8) de von Koch toma la forma

(9) π(x) = li(x) + O



√

x log x



.

Finalmente en 1958, Vinogradov demuestra que

(10) π(x) = li(x) + O



x e

−

(log x)3/5−



.

Los resultados (7), (8) y (10), los podemos encontrar en Littlewood (1996), Koch (1901) y Ellison (1985), respectivamente.

Del teorema de los n´umeros primos se sigue que para h

_≤

x tiene lugar la igualdad π(x + h)

₋

π(x) = x + h log(x + h)

−

x log x + o



x log x



.

Encontrar h tal que π(x + h)

₋

π(x) > 0 implica la existencia de un número primo en (x, x + h]. Esta observación motiva a investigar las condiciones sobre h para garantizar la existencia de un número primo en el intervalo (x, x + h].

Bertrand conjetur´o en 1845 que si h

_≥

2, entonces (h, 2h) deber´ıa contener un n´ ume-ro primo. Esta conjetura fue pume-robada por Chebyshev en el año 1851 y además también probó que en el intervalo (x, x + h] hay un número primo, si x

_≥

x0 y h

≥

1₅x. De manera natural surgen las siguientes preguntas:

(12)

•

¿Qué tan pequeño se puede elegir a h = h(x) de tal forma que en el intervalo (x, x+ h] exista al menos un número primo, si x es suficientemente grande?

•

¿Es posible hallar una fórmula asintótica para la cantidad de números primos en el intervalo (x, x + h]?

Este problema es conocido como: El problema de la distribuci´ on de los n´ umeros primos en peque˜ nos intervalos.

Una forma de abordar este problema es utilizando (6), esto es, si h

_≤

x entonces tenemos π(x + h)

₋

π(x) = x+h



x dt log t + O(xe

−

c1

√

log x_{), c} 1 > 0. De esta forma, basta tomar

h = c2xe

−

c3

√

_{log x}

; c2 > 0, c3 > 0,

para garantizar la existencia de un número primo en el intervalo (x, x + h]. Más aún, la cantidad de números primos que hay en ese intervalo es asintóticamente h/log x. Asumiendo la Hipótesis de Riemann, es decir, la ecuación (9) y procediendo de manera análoga, al elegir h = x1/2+ε se garantiza la existencia de un número primo en el intervalo (x, x+x1/2+ε], para cualquier ε > 0. Además, la cantidad de números primos será asintóticamente x1/2+ε/log x. Por último, utilizando el mejor término de error, el cual está dado en la ecuación (10), basta tomar h(x) = xe

−

log3/5−εx _{para garantizar la existencia de un n´}_{umero primo en el} intervalo (x, x + xe

−

log3/5−εx], siendo ε > 0 y x

_≥

x0(ε) > 0. A pesar de que xe

−

log

3/5₋ε_x

= o(x) siempre se tiene xe

−

log3/5−εx

_≥

x1

−

δ, para cualesquiera ε , δ > 0 y x

_≥

x0(δ ) > 0. Por tal razón, el teorema de los números primos no garantiza de manera incondicional la existencia de números primos en un intervalo de la forma (x, x + x1

−

δ]. Sin embargo, en la teor´ıa de la función zeta de Riemann existe una rama muy profunda conocida como la Teor´ıa de la densidad de los ceros no triviales de la funci´ on zeta de Riemann , de la cual se siguen resultados más fuertes que lo que se deriva del teorema de los números primos.

Se denota por ρ = β + iγ , a cualquier cero no trivial de ζ (s). Para T

_≥

2, se deﬁnen las funciones N (T ) =



0<

_

m ρ

_≤

T 1; N (σ, T ) =



0<

_|

m ρ

_|≤

T



e ρ

_≥

σ 1,

(13)

es decir, N (T ) cuenta el n´umero de ceros no triviales de ζ (s) en el rect´angulo 0 <

_

m ρ

_≤

T y N (σ, T ) cuenta el n´umero de ceros de ζ (s) en el rect´angulo 0 <

_|

m ρ

_{| ≤}

T , con

_

e ρ

_≥

σ. A la segunda funci´on se le conoce como funci´ on de densidad de los ceros no triviales de ζ (s).

El objetivo fundamental de este libro es estudiar el problema de densidad de los ceros no triviales de la función ζ (s) y su conexión con el problema de la distribución de los números primos en pequeños intervalos. De manera precisa; obtendremos una estimación para N (σ, T ), la cual permite establecer que para h(x)

_≥

x3/4+ε, con ε > 0 y x

_≥

x0(ε) > 0, existe un número primo en el intervalo (x, x + h(x)]. Más aún, la cantidad de números primos que hay en ese intervalo es asintóticamente como h(x)/log x. Además, en el proceso de estudio vamos a aprender cómo se aplica el Teorema del Valor Medio de Vinogradov para obtener la región libre de ceros de ζ (s) que de hecho es el mejor resultado conocido en la actualidad. También veremos que la aplicación de este resultado establece (10).

(14)

Conceptos y teoremas elementales

§1. Introducci´on

En este cap´ıtulo se dan algunos conceptos y teoremas básicos de la teor´ıa anal´ıtica de los números que serán necesarios para el estudio de la distribución de los números primos. Las letras p, p1, p2,

_{· · ·}

, denotan n´umeros primos.

§2. Deﬁniciones b´asicas

En esta sección se definen algunas funciones aritméticas, en donde entendemos por una función aritmética una sucesión de números reales o complejos.

Definición 1.1. La función de Möbius µ(n), se define por

µ(n) =





1, si n = 1; 0, si p2

_|

n;

(

₋

1)k, si n = p1 p2. . . pk.

Definición 1.2. La función de von Mangoldt Λ(n), se define en la manera siguiente Λ(n) =



log p, si n = pk;

0, si n

_

= pk.

Definición 1.3. Para una función aritmética f definimos la función suma de f por F (x) =



n

_≤

x f (n),

(15)

en donde x es un número real dado. En el caso particular de la función aritmética f (n) = 1 si n es un número primo y 0 en otro caso, tenemos



n

_≤

x

f (n) =



p

_≤

x

1 = π(x),

donde la segunda suma corre sobre todos los números primos. Otro ejemplo de una función suma es la función de Chebyshev, la cual está definida como

ψ(x) =



n

_≤

x

Λ(n), x > 0.

En la siguiente definición se plantea la función que cuenta todos los divisores de un número natural n.

Definición 1.4. Para todo entero positivo n, la función τ (n) indica la cantidad de divisores de n, es decir,

τ (n) =



d

_|

n

1.

Definición 1.5. Para cualquier número real u, definimos la parte entera de u, la cual la denotamos por [u] como el entero más cercano a u tal que u

₋

[u]

_≥

0. El n´umero 0

_≤

u

₋

[u] < 1 es conocido como la parte fraccionaria de u y se denota por

_{

u

_}

. Se deﬁnen las siguientes funciones de variable real

ρ(u) = 1/2

_{− {}

u

_}

,

||

u

_||

= m´ın(

_{

u

_}

, 1

_{− {}

u

_}

).

En la siguiente definición introducimos la notación de Landau.

Definición 1.6. Sea g(x) una función positiva. Sea f (x) una función real o compleja. Escribimos f (x) = O(g(x)), o de manera equivalente la notación introducida por Vinogradov f (x)

_

g(x), si existe una constante c > 0 tal que

_|

f (x)

_{| ≤}

cg(x). Por otro lado, se denota f (x) = o(g(x)) para indicar que

l´ım x

_→∞

f (x)

g(x) = 0. Se dice que f (x) es asint´oticamente igual a g (x) si

(16)

§3. F´ormulas de sumaci´on

Los siguientes lemas nos proporcionan f´ormulas para obtener el comportamiento asint´ oti-co de una suma parcial, al oti-compararla oti-con una integral.

Lema 1.7. (F´ormula de Sumaci´on de Abel). Sea

_{

cn

}

una sucesi´ on de n´ umeros complejos. Sea f (u) una funci´ on continuamente diferenciable en [a, b]. Entonces tiene lugar la igualdad



a<n

_≤

b cnf (n) =

−

b



a C (u)f



(u)du + C (b)f (b), donde C (u) =



a<n

_≤

u cn.

Demostraci´on. Es suﬁciente demostrar que



a<n

_≤

b cn(f (b)

−

f (n)) = b



a C (u)f



(u)du. Observe que



a<n

_≤

b cn(f (b)

−

f (n)) =



a<n

_≤

b cn b



n f



(u)du =



a<n

_≤

b cn b



a f



(u)g(u; n)du, donde g(u; n) =



1 si, n

≤

u

≤

b; 0 si, a < u < n. De esta forma, se deduce

b



a



a<n

_≤

b cnf



(u)g(u; n)du = b



a



a<n

_≤

u cnf



(u)du = b



a C (u)f



(u)du. 

Lema 1.8. (F´ormula de Sumaci´on de Euler). Sea f (u) una funci´ on continuamente diferen-ciable en [a, b]. Entonces tiene lugar la igualdad



a<n

_≤

b f (n) = b



a f (u)du + ρ(b)f (b)

₋

ρ(a)f (a)

₋

b



a ρ(u)f



(u)du,

(17)

donde ρ(u) es la funci´ on deﬁnida en (1.5).

Demostraci´on. Si deﬁnimos C (u) =



a<n

_≤

u

1, entonces

C (u) =



a<n

_≤

u

1 = [u]

₋

[a] = (u

₋

1/2 + ρ(u))

₋

(a

₋

1/2 + ρ(a)) = u

₋

a

₋

ρ(a) + ρ(u). Aplicando el Lema 1.7 se tiene

(1.9)



a<n

_≤

b f (n) =

₋

b



a (u

₋

a

₋

ρ(a))f



(u)du

₋

b



a

ρ(u)f



(u)du + (b

₋

a

₋

ρ(a) + ρ(b))f (b). Por otro lado, integrando por partes se tiene

(1.10)

₋

b



a

(u

₋

a

₋

ρ(a))f



(u)du =

₋

(u

₋

a

₋

ρ(a))f (u)



u=b u=a+

b



a

f (u)du. Sustituyendo la ecuaci´on (1.10) en (1.9), deducimos



a<n

_≤

b f (n) = b



a f (u)du + ρ(b)f (b)

₋

ρ(a)f (a)

₋

b



a ρ(u)f



(u)du. 

Lema 1.11. (F´ormula de sumaci´on de Poisson). Sea F

_∈

L1(R_{). Suponga que la serie}



n

_∈

Z

F (n + v)

converge absoluta y de manera uniforme en la variable v. Si adem´ as



m

_∈

Z



|

F (m)

_|

<

_∞

, entonces se tiene que



n

_∈

Z

F (n + v) =



n

_∈

Z



F (n)e2πinv.

Demostraci´on. La funci´on

G(v) =



n

_∈

Z

(18)

es una función continua de periodo 1. Los coeficientes de Fourier de G(v) están dados por cm = 1



0 G(v)e

−

2πimvdv =



n

_∈

Z 1



0 F (n + v)e

−

2πimvdv =



n

_∈

Z n+1



n F (x)e

−

2πimxdx =

∞



−∞

F (x)e

−

2πimxdx =



F (m).

Dado que



_m

_∈

Z



|

F (m)

|

<

∞

, podemos representar a G(v) por su serie de Fourier



n

_∈

Z

F (n + v) =



n

_∈

Z



F (n)e2πinv. El Lema est´a demostrado. 

El siguiente Corolario es una consecuencia del Lema 1.11.

Corolario 1.12. (Ecuaci´on funcional de θ(x)). Sea θ(x) =



n

_∈

Z

e

−

πxn2.

Entonces, para x > 0 se tiene

θ



1

x



=

√

x θ(x).

Demostraci´on. Observe que, de existir, la transformada de Fourier de F (x/t) es

_|

t



_|

F (tu). Notemos que, si F (t) = e

−

πt2 entonces F (t) = e



−

πt2. Por lo tanto e

−

π(t/

√

x)2 tiene transfor-mada

√

_{x e}

₋

πt2x_. Aplicando el Lema 1.11, se deduce



n

_∈

Z

e

−

π(n/

√

x)2 =

√

x



n

_∈

Z

e

−

πn2x. 

Una consecuencia del Corolario 1.12 es la siguiente

(1.13) ω (1/x) =

√

x

−

1

(19)

en donde

(1.14) ω(x) =



∞

n=1

e

−

πxn2.

Lo cual es claro al observar que θ(x) = 1 + 2 ω(x).

§4. Estimaci´on de Van der Corput

Una suma y una integral trigonom´etrica, respectivamente, son sumas e integrales de la forma



a<n

_≤

b ϕ(n)e2πif (n), b



a ϕ(x)e2πif (x)dx ,

donde f (x) y ϕ(x) son funciones reales. Las sumas trigonométricas son objetos muy com-plicados los cuales son dif´ıciles de investigar, mientras que la construcción de integrales trigonométricas es mucho más simple y pueden ser estudiadas mediante métodos del An´ ali-sis matemático.

Lema 1.15. (Van der Corput). Sea f (x) una funci´ on de variable real continuamente diferenciable en el intervalo [a, b] con derivada mon´ otona. Si adem´ as

_|

f



(x)

_{| ≤}

δ < 1, entonces



a<n

_≤

b e2πif (n) = b



a e2πif (x)dx + O



1 1

₋

δ



, donde la constante implicada de O es absoluta.

Demostraci´on. Para n ﬁjo sea

F n(x) = e2πif (n+x), 0 < x < 1. Deﬁnamos a F n(x) en los puntos 0 y 1 como

F n(0) = F n(1) = e

2πif (n)_{+ e}2πif (n+1)

2 .

Ahora extendamos el dominio de la funci´on a todos los reales de manera que F n(x) tenga periodo 1.

(20)

Sea f (x) una funci´ on con periodo 1 deﬁnida en los reales, con a lo m´ as, un n´ umero ﬁnito de discontinuidades de primera especie en [0, 1]. Si, aparte de las discontinuidades, f tiene derivada continua en [0, 1], entonces la serie de Fourier converge a f (x) en todos los puntos donde sea continua. Para los puntos x0 de discontinuidad se tiene

f (x₀) = 1

2



x l´ım

_→

x0

−

0

f (x) + l´ım x

_→

x0+0

f (x)



. De esta forma, F n(x) admite la expansi´on en serie de Fourier

F n(x) =



m

_∈

Z cm(n) e2πimx, donde cm(n) = 1



0

F n(u)e

−

2πimudu. Si m

_

= 0 entonces por integraci´on por partes tenemos

cm(n) =

−

1 2πim

1



0

e2πif (n+u)d(e

−

2πimu)

= 1 2πim(e 2πif (n)

−

e2πif (n+1)) + 1 m 1



0

f



(n + u)e2πi(f (n+u)

−

mu)du. Al evaluar F n(x) en x = 1 se obtiene F n(1) = e 2πif (n)_{+ e}2πif (n+1) 2 = 1



0 e2πif (n+u)du +



m

_

=0 cm(n) = 1



0 e2πif (n+u)du +



m

_

=0 1 m 1



0

f



(n + u)e2πi(f (n+u)

−

mu)du

= n+1



n e2πif (u)du +



m

_

=0 1 m n+1



n

f



(u)e2πi(f (u)

−

mu)du.

Sumando sobre a < n

_≤

b, se tiene



a<n

_≤

b e2πif (n) = b



a e2πif (u)du +



m

_

=0 1 mU m + O(1),

(21)

donde

U m =

[b]



[a]+1

f



(u)e2πi(f (u)

−

mu)du = 1 2πi [b]



[a]+1 f



(u) f



(u)

₋

md(e 2πif (u)

₋

mu)₎ = 1 2π [b]



[a]+1 f



(u)

f



(u)

₋

md(sen 2π(f (u)

−

mu))

−

i 1 2π [b]



[a]+1 f



(u)

f



(u)

₋

md(cos2π(f (u)

−

mu)). Recordemos el siguiente teorema de la media:

Si g(x), h(x) son integrables por Riemman con g(x) mon´ otona en [a, b] entonces existe ξ

_∈

[a, b] tal que

b



a g(x)h(x)dx = g(a) ξ



a h(x)dx + g(b) b



ξ h(x)dx.

Aplicando este resultado a la parte real de U m, siendo g(u) = f



(u)/(f



(u)

−

m) mon´oto-na, obtenemos 1 2π [b]



[a]+1 f



(u)

f



(u)

₋

md(sen 2π(f (u)

−

mu)) = O



f



([b])

f



([b])

₋

m



= O



1

|

m

_{| −}

δ



.

Con un argumento similar, obtenemos la misma cota para la parte imaginaria de U m. Por lo tanto,



a<n

_≤

b e2πif (n) = b



a e2πif (u)du + O



m>0 1 m

·

1 m

₋

δ



= b



a e2πif (u)du + O



m>0 1 m2

·

1 1

₋

δ/m



= b



a e2πif (u)du + O



1 1

₋

δ



,

(22)

donde la constante de O es absoluta. 

§5. La función Gamma de Euler Definición 1.16. La función Gamma de Euler Γ(s) se define por

(1.17) 1 Γ(s) = se γs



∞

n=1



1 + s n



e

−

s/n_, donde γ = l´ım N

_→∞



N



n=1 1

n

−

log N



es la constante de Euler.

En el siguiente lema representamos a la funci´on gamma mediante una integral.

Lema 1.18. (F´ormula integral). Para

_

e s > 0, se cumple

(1.19) Γ(s) =

∞



0

ts

−

1e

−

tdt.

Demostraci´on. Observe que la integral converge absolutamente en la regi´on

_

e s > 0 y de manera uniforme si

_

e s

_≥

σ0 > 0, para todo σ0 > 0. Por lo tanto Γ(s) es una funci´on anal´ıtica en el semiplano

_

e s > 0. Por definición de la función Gamma, tenemos

1 Γ(s) = s l´ımm

_→∞

exp



s m



n=1 1 n

−

log m



m l´ım

_→∞

m



n=1



1 + s n



e

−

s/n = s l´ım m

_→∞

m

−

s m



n=1



1 + s n



= s l´ımm

_→∞

m

−

s(s + 1)(s + 2)

· · ·

(s + m) m! . Por lo tanto Γ(s) = l´ım m

_→∞

msm! s(s + 1)(s + 2)

_{· · ·}

(s + m). De esta ´ultima igualdad se tiene la ecuaci´ on funcional de Γ(s),

Γ(s + 1) = sΓ(s). Por otra parte,

m



0



1

₋

t m



m ts

−

1dt = ms 1



0 (1

₋

t)mts

−

1dt.

(23)

Integrando por partes m veces la integral del lado derecho obtenemos ms 1



0 (1

₋

t)mts

−

1dt = m s_m! s(s + 1)(s + 2)

_{· · ·}

(s + m). Por lo tanto Γ(s) = l´ım m

_→∞

m



0



1

₋

t m



m ts

−

1dt. Sea Γ1(s) =

∞



0 ts

−

1e

−

tdt. Entonces Γ1(s)

₋

Γ(s) = l´ım m

_→∞



m



0 ts

−

1



e

−

t

₋



1

₋

t m



m



dt +

∞



m ts

−

1e

−

tdt



.

La ´ultima integral tiende a cero si m

_{→ ∞}

. Por otro lado, para 0 < y < 1 tenemos (1

₋

y2)e

−

y < 1

₋

y < e

−

y. De esto ´ultimo, si y = t/m entonces

e

−

t



1

₋

t 2 m2



m <



1

₋

t m



m < e

−

t, donde 0 < t < m. Por lo cual se sigue que

0 < e

−

t

₋

(1

₋

t/m)m < e

−

t(1

₋

(1

₋

t2/m2)m) < e

−

tt2/m, ya que 1

₋

(1

₋

y)m

_≤

my, si 0 < y < 1. Finalmente

Γ1(s)

−

Γ(s) = l´ım m

_→∞



m



0 ts

−

1



e

−

t

₋



1

₋

t m



m



dt





l´ım m

_→∞

1 m

∞



0 t



e s+1e

−

tdt = 0. 

(24)

§6. Funciones enteras de orden finito y producto de Weierstrass Definición 1.20. Sea f (s) una función entera. Si existe a > 0 tal que

m´ax

|

s

_|

=R

|

f (s)

| ≤

exp

{

R a

}

para R

_≥

R0(a) > 0,

entonces f (s) es llamada funci´on entera de orden ﬁnito. En este caso, α = ´ınf a, es llamado el orden de f (s).

Los siguientes lemas se utilizan para demostrar el Teorema 1.24.

Lema 1.21. Sea f (s) una funci´ on entera de orden 1 sin ceros. Entonces existen constantes complejas A, B tales que

f (s) = eA+Bs.

Demostraci´on. Sea h(s) = log f (s)

₋

log f (0). Entonces h(s) es una funci´on entera, dado que f (s) no tiene ceros. Adem´as, para cualquier ε > 0, si

_|

s

_|

= R se tiene

|

h(s)

_{| }

log

_|

f (s)

_{| }

R1+ε, R

_≥

R0(ε) > 0. Ahora escribamos h(s) =



∞

n=0

(an + ibn)sn, con an, bn

∈

R y evaluamos en s = Reiθ para obtener



e h(s) =

_

e h(Reiθ) =



∞

n=1

(an cos(nθ)

−

bn sen(nθ))Rn. Por otro lado

2π



0

cos(nθ)

_{· }

e h(Reiθ)dθ = 2π



0 anRncos2(nθ)dθ = πanRn, luego π

_|

an

|

Rn

≤

2π



0

|

e h(Reiθ)

_|

dθ

_≤

2π



0

|

h(Reiθ)

_|

dθ

_

R1+ε. Por lo tanto

|

an

| 

R1+ε

−

n.

Dado que la desigualdad anterior se cumple para todo R suﬁcientemente grande, se tiene an = 0, si n

≥

2. De manera similar se veriﬁca que bn = 0, si n

≥

2. Adem´as, dado que h(0) = 0, tenemos a0 = b0 = 0. El lema est´a demostrado. 

(25)

Lema 1.22. Sea f (s) una funci´ on entera de orden 1 tal que f (0)

_

= 0. Si N = N (r) denota al n´ umero de ceros de f (s) en

_|

s

_{| ≤}

r, entonces para todo ε > 0 se tiene

N (r)

_

r1+ε.

Demostraci´on. Sean ρ1,

· · ·

ρN los ceros de f (s) en el la regi´on

|

s

|

< r. De esta forma, la funci´on deﬁnida por

F (s) = f (s)

_·



n

|ρn|≤r

1 s

₋

ρn,

es una función entera que no es constante, dado que f no es un polinomio. Aplicando el principio del módulo máximo se tiene

|

f (0)

_|

N



n=1 1

|

ρn

| ≤

_|

m´axs

_|

=3r

|

F (s)

|

. De esta forma

|

f (0)

_|

1 rN

≤

m´ax

|

s

_|

=3r

|

f (s)

|

N



n=1 1 s

₋

ρn

≤

exp

{

r 1+ε

}

_(2r)1N , es decir, 2N

_

exp

_{

r1+ε

_}

. Por lo tanto N

_

r1+ε. 

Corolario 1.23. Sea f (s) una funci´ on entera de orden 1 tal que f (0)

_

= 0. Si 0 <

_|

ρ1

| ≤ |

ρ2

| ≤ |

ρ3

| ≤ · · ·

son los ceros de f (s) (incluyendo su multiplicidad), entonces la serie

∞



n=1 1

|

ρn

|

1+ε converge.

Demostraci´on. Por el Lema 1.22 tenemos

∞



n=1 1

|

ρn

_|

1+ε =



n |ρn|<1 1

|

ρn

_|

1+ε +



n |ρn|≥1 1

|

ρn

_|

1+ε

≤

A +



n |ρn|≥1 1

|

ρn

_|

1+ε





∞

k=0



2k

_≤|

_ρ_n

_|≤

₂k+1 1

|

ρn

|

1+ε



∞



k=0 1 2εk2 <

_∞

. 

(26)

Teorema 1.24. Sea f (s) una funci´ on entera de orden 1 tal que f (0)

_

= 0. Si 0 <

_|

ρ1

| ≤ |

ρ2

| ≤ |

ρ3

| ≤ · · ·

son los ceros de f (s) (incluyendo su multiplicidad), entonces existen constantes complejas A y B tales que

f (s) = eA+Bs



∞

n=1



₁

₋

s ρn



_es/ρn_.

Demostraci´on. Recordemos que

0 <

_|

ρ1

| ≤ |

ρ2

| ≤ |

ρ3

| ≤ · · ·

son los ceros de la funci´on entera f (s), con f (0)

_

= 0, de orden 1. En vista del Corolario 1.23, tenemos que

∞



n=1 1

|

ρn

|

2 <

∞

. Con tal condici´on, se sabe que el producto

P (s) =



∞

n=1



₁

₋

s ρn



_es/ρn

define a una función entera con los mismos ceros que f (s). Definamos a la función F (s) por f (s) = P (s)F (s),

entonces F (s) es una funci´on entera sin ceros. Si F (s) fuera de orden 1 entonces podemos concluir por el Lema 1.22, que F (s) = eA+Bs, para ciertas constantes A y B. Para esto ´

ultimo esc´ogase a Ri que satisfaga



Ri

− |

ρn

|



>

|

ρn

|

−

2 para todo n, esto se puede hacer ya que la medida total de los intervalos

(

_|

ρn

| − |

ρn

|

−

2,

|

ρn

|

+

|

ρn

|

−

2) est´a acotada por 2



∞

n=1

|

ρn

|

−

2 <

∞

. Sea P (s) = P 1(s)P 2(s)P 3(s), donde P 1(s) =



n |ρn|<Ri/2



1

₋

s ρn



e s/ρn_, _P 2(s) =



n Ri/2≤|ρn|≤2Ri



1

₋

s ρn



e s/ρn_,

(27)

P 3(s) =



n |ρn_|>2Ri



1

₋

s ρn



e s/ρn_. Sea

_|

s

_|

= Ri. Entonces P 1(s)

≥



n |ρn_|<Ri/2



1

₋



s ρn



·

exp

{−|

s

|

/

|

ρn

|} ≥



n |ρn_|<Ri/2 exp

_{−|

s

_|

/

_|

ρn

|}

≥



n |ρn|<Ri/2 exp



₋

R 1+ε/2 i

|

ρn

|

1+ε/2



≥

exp

_{−

c1R1+ε/2_i

}

.

Por otro lado, aplicando el Lema 1.23 tenemos

P 2(s)

≥



n Ri/2≤ |ρn|≤2Ri

|

s

₋

ρn

|

ρn

| ·

exp

{−|

s

|

/

|

ρn

|} ≥



n Ri/2≤|ρn|≤2Ri

|

Ri

− |

ρn

||

2Rie2

≥



n Ri/2≤|ρn| ≤2Ri 1 8R_i3e2

≥



1 8R3_ie2



c0R1+ε/4_i

≥

exp

_{−

c2R1+ε_i

}

. Finalmente P 3(s) =



n |ρn|>2Ri exp



O



R 2 i

|

ρn

|

2



≥



n |ρn|>2Ri exp



₋

c0 R 2 i

|

ρn

|

1+ε/2

·

1

|

ρn

|

1

−

ε/2



, o sea P 3(s)

≥

exp



−

c0R1+ε/2_i



|

ρn

|

>2Ri 1

|

ρn

|

1+ε/2



≥

exp

_{−

c3R1+ε_i

}

. Por lo tanto, en la circunferencia

_|

s

_|

= Ri tenemos

C exp

_{

R1+ε/2_i

_{} ≥}

m´ax

|

s

_|

=Ri



|

P (s)

_{| · |}

F (s)

_|



_≥

exp

_{−

(c1 + c2 + c3)R1+ε/2i

} ·

m´ax

|

s

_|

=Ri

|

F (s)

_|

, es decir, m´ax

|

s

_|

=Ri

|

F (s)

_{| ≤}

exp

_{

R1+ε_i

_}

, (Ri

≥

R0). 

§7. Lemas sobre funciones anal´ıticas

En esta sección se obtienen aquellos lemas de la teor´ıa de las funciones anal´ıticas de variable compleja necesarios para obtener una región libre de ceros para la función zeta de Riemann.

(28)

Proposici´on 1.25. Sea

f (z) =



∞

n=1

anzn

una funci´ on anal´ıtica en el disco

_|

z

_|

< R tal que f (0) = 0. Para 0 < r < R sea

(1.26) A(r) = sup

|

z

_|

=r



ef (z). Entonces, para cada n

_∈

N_,

|

an

| ≤

2A(r) rn .

Demostraci´on. Sea u(z) =

_

ef (z) y sea an =

|

an

|

eiθn. Entonces

(1.27) u(reiθ) =



∞

m=1

|

am

|

rmcos(mθ + θm).

Para r ﬁjo, esta serie converge uniformemente en θ

_∈

[

₋

π, π]. Para n

_∈

N_{se cumple que}



π

−

π cos(nθ + θn) dθ = 0 y por lo tanto (1.28)



π

−

π u(reiθ) dθ = 0.

Multiplicando (1.27) por cos(nθ + θn) e integrando de

−

π a π, se obtiene que (1.29)



π

−

π

u(reiθ)cos(nθ + θn) dθ =

|

an

|

rn



π

−

π

cos2(nθ + θn) dθ = π

|

an

|

rn. Por (1.27), (1.28) y (1.29), vemos que

π

_|

an

|

rn =



π

−

π

u(reiθ)



1 + cos(nθ + θn)



dθ

≤

A(r)



π

−

π



(29)

Corolario 1.30. Bajo las mismas hip´ otesis de la proposici´ on anterior, para

_|

z

_|

< r, se cumple que

|

f (z)

_{| ≤}

2A(r)

|

z

|

r

_{− |}

z

_|

,

|

f



(z)

_{| ≤}

2A(r) r (r

_{− |}

z

_|

)2.

Demostraci´on. En efecto,

|

f (z)

_{| ≤}



∞

n=1

|

anzn

_{| ≤}

2A(r)



∞

n=1



z r



n = 2A(r)

|

z

|

r

_{− |}

z

_|

. De manera similar

|

f



(z)

_{| ≤}



∞

n=1 n

_|

anzn

−

1

| ≤

2 A(r) r

∞



n=1 n



z r



n

₋

1 = 2 A(r) r 1 (1

_{− |}

z/r

_|

)2 = 2A(r) r (r

_{− |}

z

_|

)2. 

Proposici´on 1.31. Sea f una funci´ on anal´ıtica en el disco

_|

z

₋

z0

|

< R. Sea r < R. Supongamos que f (z)

_

= 0 cuando

_|

z

₋

z0

| ≤

r. Suponga adem´ as que



f (z) f (z0)



≤

e

M

para cada

_|

z

₋

z0

|

= r y M una constante positiva. Entonces, para cada

|

z

−

z0

|

< r, se cumple que (1.32) log



f (z0) f (z)



≤

2M

_|

z

₋

z0

|

r

_{− |}

z

₋

z0

|

y adem´as



f



(z) f (z)



≤

2M r (r

_{− |}

z

₋

z0

|

)2.

Demostraci´on. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que z0 = 0, ya que el caso general se sigue al considerar f (z

₋

z0). Para cada

|

z

| ≤

r, sea h(z) = log f (z)/f (z0). Entonces, para cada

_|

z

_|

= r, se cumple que

_

e h(z)

_≤

M . Por el corolario anterior, tenemos que

log



f (0)

f (z)



=

−

e h(z)

≤ |

h(z)

| ≤

2M

_|

z

_|

r

_{− |}

z

_|

(30)

y tambi´en que



f



(z)

f (z)



=

|

h



(z)

| ≤

2M r

(r

_{− |}

z

_|

)2. 

Proposici´on 1.33. Sea f una funci´ on anal´ıtica en el disco

_|

z

₋

z0

|

< R. Suponga que 2r < R. Supongamos adem´ as que

f (z0)



= 0 y que



f (z) f (z0)



≤

e

M

para

_|

z

₋

z0

|

= 2r y alg´ un n´ umero real M . Por ´ ultimo, supongamos que f tiene ceros z1, z2,

· · ·

, zn (posiblemente repetidos) en el disco cerrado

|

z

−

z0

| ≤

r. Entonces





f



_(z₀₎ f (z0) + n



j=1 1 z j

−

z0





≤

2M r .

Demostración. Supondremos que z0 = 0. Sea g(z) la función definida mediante f (z) = g(z)

n



j=1

(z

₋

z j).

Entonces g(z) es anal´ıtica en

_|

z

_|

< R y no se anula en

_|

z

_{| ≤}

r. Si

_|

z

_|

= 2r entonces,

|

z

₋

z j

| ≥

r

≥ |

z j

|

. Por lo tanto





g(z)g(0)





=





f (z) f (0)





n



j=1

|

z j

|

z

₋

z j

| ≤





f (z) f (0)





≤

e M _.

Por el principio del módulo máximo esta desigualdad también se cumple para z tal que

|

z

_|

= r. Por la proposici´on anterior,





g



₍₀₎ g(0)





≤

2M r .

Escribamos ahora f j(z) = z

−

z j, de modo que f (z) = g(z)f 1(z)

· · ·

f n(z). Entonces f



(0) f (0) = g



(0) g(0) + n



j=1 f _j



(0) f j(0) = g



(0) g(0)

−

n



j=1 1 z j. 

(31)

La siguiente proposici´on es una generalizaci´on de las proposiciones 1.25 y 1.29.

Proposici´on 1.34. (Borel-Carath´eodory). Sea R > 0. Sea f (z) =



∞

n=0

cn(z

−

z0)n una funci´ on anal´ıtica en el c´ırculo

_|

z

₋

z0

| ≤

R. Si



e f (z)

≤

U para

|

z

−

z0

|

= R entonces

|

cn

|

=



f (n)_(z 0) n!



≤

2



U

− 

e f (z0)



R

−

n_, _{para n = 1, 2,}

· · ·

. Y para

_|

z

₋

z0

| ≤

r < R, se tiene

|

f (z)

₋

f (z0)

| ≤

2r R

₋

r



U

− 

e f (z0)



,



f (n)(z) n!



≤

2R (R

₋

r)n+1



U

− 

e f (z0)



, para n = 1, 2,

· · ·

.

Demostraci´on. Sea

F (z) = U

₋

c0

−

∞



n=1 cn(z

−

z0)n =

∞



n=0 bn(z

−

z0)n. Si ζ = z0 + reiϕ con 0 < r < R, entonces

(1.35) bn = 1 2πi



|

ζ

₋

z0

|

=r F (ζ )dζ (ζ

₋

z0)n+1 = 1 2πrn π



−

π (P + iQ)e

−

inϕdϕ, para n = 0, 1, 2,

_{· · ·}

, donde F (ζ ) = F (z0 + reiϕ) = P + iQ, (P, Q

∈

R) P =

_

e F (ζ ) = U

_{− }

e f (ζ )

_≥

0. En particular, se tiene b0 = 1 2π π



−

π (P + iQ)dϕ.

Dado que F (ζ )/(ζ

₋

z0)n+1 es anal´ıtica en el c´ırculo

|

ζ

−

z0

| ≤

r, tenemos 0 = r n 2π π



−

π

(32)

Tomando el conjugado a esta ´ultima expresi´on y tomando en cuenta (1.35), se tiene bnrn = 1 π π



−

π P e

−

inϕdϕ, para n = 1, 2,

_{· · ·}

, de aqu´ı (como P

_≥

0, si

_|

ζ

₋

z0

| ≤

r < R), se tiene

|

bn

| ≤

1 πrn π



−

π

|

P

_|

dϕ = 2 2πrn π



−

π P dϕ = 2 rn



e b0. Por lo tanto, cuando r

_→

R se tiene

(1.36)

_|

bn

| ≤

2



e b0

Rn , para n = 1, 2,

· · ·

, con lo cual queda demostrada la primera parte.

Ahora considere el c´ırculo

_|

z

₋

z0

| ≤

r < R. Aplicando (1.36) se tiene

|

F (z)

₋

F (z0)

|

=



∞



n=1 bn(z

−

z0)n



≤

2



e b0

∞



n=1



r R



n = 2r R

₋

r



e b0. Finalmente, derivando F (z) y aplicando (1.36) tenemos

|

F (k)(z)

_{| ≤}



∞

n=k n(n

₋

1)

_{· · ·}

(n

₋

k + 1)rn

−

k2



e b0 Rn = 2



e b0

∞



n=k dk drk



r R



n = 2 R k! (R

₋

r)k+1



e b0, para k = 1, 2,

· · ·

. 

Corolario 1.37. Sea F (z) una funci´ on anal´ıtica en una regi´ on que contiene al c´ırculo

|

z

₋

z0

| ≤

r. Supongamos que F (z0)



= 0 y adem´ as





F (zF (z)0)





≤

M,

|

z

−

z0

| ≤

r.

Si F (z)

_

= 0 en el semic´ırculo

_|

z

₋

z0

| ≤

r/2,



e (z

−

z0)

≥

0, entonces se tiene que



e F



(z0) F (z₀)

≥ −

4 r log M y



e F



(z0) F (z₀)

≥ −

4 r log M +



e 1 z₀

₋

ρ, donde ρ es cualquier cero de F (z) en el semic´ırculo

_|

z

₋

z0

| ≤

r/2,



e (z

−

z0) < 0.

(33)

Demostraci´on. Consideremos a la funci´on g(z) =





F (z)



ρ 1 z

₋

ρ), si z



= ρ; l´ım z

_→

ρg(z), si z = ρ,

donde el producto est´a tomado sobre todos los ceros F (z) en el semic´ırculo

_|

z

₋

z0

_{| ≤}

r/2 (incluyendo su multiplicidad). De esta forma g(z) es una funci´on anal´ıtica en el semic´ırculo

|

z

₋

z0

| ≤

r/2. En la circunferencia

|

z

−

z0

|

= r, se tiene



g(z) g(z0)



=



F (z) F (z0)



_ρ z0

−

ρ z

₋

ρ



≤

M.

Por el Principio del M´odulo M´aximo esta desigualdad se cumple en el c´ırculo

_|

z

₋

z0

| ≤

r. Analizemos en el semic´ırculo

_|

z

₋

z0

| ≤

r/2, por hip´otesis se cumple que g(z)



= 0, entonces tomando la rama principal del logaritmo, vemos que f (z) = l o g



g(z)/g(z0)



, la cual es una funci´on anal´ıtica en este mismo c´ırculo y



e f (z) = log



g(z)

g(z0)



≤

log M

(M

_≥

1, ya que para z = z0 se tiene que g(z)/g(z0) = 1); adem´as,



e f (z0) = 0. Aplicando el lema anterior con R = r/2, se tiene

|

f



(z0)

|

=



g



_(z₀₎ g(z0)



≤

4 r log M ;



g



(z0) g(z0)



=



F



(z0) F (z0)

−



_ρ 1 z0

₋

ρ



≤

4 r log M, o sea (1.38)

_

e



F



(z0) F (z0)

−



_ρ 1 z0

−

ρ



≥ −

4 r log M.

(34)

La funci´

on zeta de Riemann

§1. Introducci´on

La funci´on zeta de Riemann se deﬁne por

(2.1) ζ (s) =



∞

n=1 1

ns; s = σ + it,



e s = σ > 1.

Esta serie converge absolutamente en la regi´on σ > 1 y de manera uniforme en el semiplano



e s = σ

_≥

1 + σ0, para todo σ0 > 0. Por tales razones ζ (s) es una función holomorfa en la región σ > 1. La función definida por (2.1), fue estudiada por Euler (1707-1783), quien consideró solamente valores reales de s. La notación ζ (s) y s = σ + it se debe a B. Riemann (1826-1866), quien hizo numerosos descubrimientos acerca de ζ (s), ver [19].

§2. Definición y propiedades básicas Teorema 2.2. En la regi´ on

_

e s = σ > 1, tiene lugar la identidad

(2.3) ζ (s) =



∞

n=1 1 ns =

∞



p 1 1

₋

p

−

s, donde el producto est´ a tomado sobre todos los n´ umeros primos p.

Demostraci´on. Sea X > 0 y sea σ > 1. Consideremos al producto parcial P (X ) =



p

_≤

X 1 1

₋

p

−

s

(35)

y probemos que P (X )

_→

ζ (s) cuando X

_{→ ∞}

. Escribiendo cada factor de P (X ) como una serie geom´etrica tenemos

P (X ) =



p

_≤

X



1 + 1 ps + 1 p2s + 1 p3s +

· · ·



.

De esta forma, P (X ) queda expresado como producto de un número finito de series absoluta-mente convergentes. Al tomar todos los productos de estas series, del Teorema fundamental de la aritmética se sigue P (X ) =



n

_≤

X 1 ns + R(X ), donde R(X )

_



n>X 1 nσ. De esta forma tenemos



ζ (s)

₋



n

_≤

X 1 ns







n>X 1 nσ.

Tomando l´ımite cuando X

_{→ ∞}

, se concluye la demostraci´on. 

Lema 2.4. La funci´ on ζ (s) no se anula en la regi´ on σ > 1.

Demostraci´on. Observe que



1 ζ (s)



=



∞



n=1 µ(n) ns



≤

∞



n=1 1 nσ

≤

1 +

∞



1 1 uσdu = σ σ

₋

1, o sea

_|

ζ (s)

_{| ≥}

(σ

₋

1)/σ > 0. 

Teorema 2.5. Sea N

_≥

1 un entero ﬁjo. Si σ > 1 entonces la funci´ on ζ (s) admite la representaci´ on (2.6) ζ (s) = N



n=1 1 ns + N 1

−

s s

₋

1

−

1 2N

−

s_{+ s}

∞



N ρ(u) us+1du.

Demostración. Aplicando la fórmula de sumación de Euler tenemos



N <n

_≤

M 1 ns = M



N du us + 1 2M s

−

1 2N s + s M



N ρ(u) u1+sdu = M 1

₋

s 1

₋

s

−

N 1

−

s 1

₋

s + M

−

s 2

−

N

−

s 2 + s M



N ρ(u) u1+sdu.

(36)

Por lo tanto

∞



n=N +1 1 ns = l´ım_M

_→∞





M 1

₋

1

−

ss

−

N 1

−

s 1

₋

s + M

−

s 2

−

N

−

s 2 + s M



N ρ(u) u1+sdu





=

₋

N 1

−

s 1

₋

s

−

N

−

s 2 + s

∞



N ρ(u) u1+sdu. Finalmente ζ (s) = N



n=1 1 ns + N 1

₋

s s

₋

1

−

1 2N

−

s_{+ s}

∞



N ρ(u) us+1du.  Sustituyendo N = 1 en (2.6), se obtiene (2.7) ζ (s) = 1 s

₋

1 + 1 2 + s

∞



1 ρ(u) us+1du.

Observe que la integral en la parte derecha de la igualdad converge absolutamente en la regi´on σ > 0 y de manera uniforme si σ

_≥

σ0, para todo σ0 > 0. Por tal raz´on ζ (s) se extiende anal´ıticamente al semiplano complejo σ > 0 salvo el punto s = 1, que es un polo simple con residuo igual a uno.

Lema 2.8. Sea σ0 > 0. Si 0 < σ0

≤

σ

≤

2 y x

≥ |

t

|

/π, entonces tiene lugar la f´ ormula

(2.9) ζ (s) =



n

_≤

x 1 ns + x1

−

s s

₋

1 + O(x

−

σ_),

donde s = σ + it y la constante implicada del simbolo O depende s´ olo de σ0.

Demostraci´on. Del Teorema 2.5, para N > x se tiene ζ (s) = N



n=1 1 ns + N 1

−

s s

₋

1

−

1 2N

−

s_{+ s}

∞



N ρ(u) us+1du (2.10) =



1

_≤

n

_≤

x 1 ns +



x<n

_≤

N 1 ns + N 1

−

s s

₋

1 + O(N

−

σ_{) + O}



|

t

|

N σ



. Ahora estudiemos a la suma



x<n

_≤

N 1 nit

·

1 nσ.

(37)

Apliquemos la f´ormula de sumaci´on de Abel con cn = n

−

it y f (n) = n

−

σ para obtener



x<n

_≤

N 1 nσ+it = σ N



x u

−

(1+σ)C(u)du +C_(N )N

−

σ_.

Por otro lado, por el Lema 1.15 tenemos

C_{(u) =}



x<n

_≤

u

exp



2πi(

−

t log n 2π )



=

u



x

exp

_{−

it log v

_}

dv + O(1) = u 1

₋

it

−

x1

−

it 1

₋

it + O(1). Por lo tanto



x<n

_≤

N 1 nσ+it = σ N



x u

−

(1+σ)C(u)du +C_(N )N

−

σ _= σ N



x



u1

−

it

₋

x1

−

itu

−

(1+σ) 1

₋

it



du +O



N



x u

−

(1+σ)du



+ N 1

₋

s

−

x1

−

itN

−

σ 1

₋

it + O(N

−

σ₎ = N 1

₋

s 1

₋

s + x1

−

s s

₋

1 + O(xN

−

σ_{) + O(x}

₋

σ_).

De esto ´ultimo y de (2.10), tomando l´ımite cuando N

_{→ ∞}

se obtiene el Lema. 

§3. Ecuaci´on funcional de la funci´on zeta de Riemann Teorema 2.11. En la regi´ on

_

e s > 1, tiene lugar la igualdad

π

−

s/2s(s

₋

1)Γ



s 2



ζ (s) = 1 + s(s

−

1)

∞



1 (xs2

−

1+ x

−

1+s 2 )ω(x)dx,

donde ω(x) est´ a deﬁnida en (1.14).

Demostraci´on. Para

_

e s > 0, aplicando el Lema 1.18 tenemos Γ(s/2) =

∞



0 xs/2

−

1e

−

xdx. Si x = πn2_{y, se tiene} Γ



s 2



= (πn 2₎s/2

∞



0 ys2

−

1e

−

πn2ydy,

(38)

por lo que π

−

s/2Γ



s 2



1 ns =

∞



0 ys2

−

1e

−

πn2ydy, para n = 1, 2, 3,

· · ·

.

Ahora tomando

_

e s > 1 y sumando sobre n = 1, 2, 3,

_{· · ·}

, obtenemos

(2.12) π

−

s/2Γ



s 2



ζ (s) =

∞



n=1

∞



0 ys2

−

1e

−

πn2ydy.

En (2.12), la posibilidad de cambiar el orden de la sumatoria con la integraci´on se deduce del hecho de que



n>N e

−

πn2x = O(e

−

πN 2x), si x

_≥

1;

∞



n=1 e

−

πn2x = O



_√

1 x



, si 0 < x < 1. Luego

∞



n=1

∞



0 ys2

−

1e

−

πn2ydy =

∞



0 ys2

−

1

∞



n=1 e

−

πn2ydy =

∞



0 ys2

−

1ω(y)dy (2.13) = 1



0 y2s

−

1ω(y)dy +

∞



1 ys2

−

1ω(y)dy.

En la primera integral de la ´ultima igualdad tomamos y = 1/x y por (1.13), se tiene 1



0 ys2

−

1ω(y)dy +

∞



1 ys2

−

1ω(y)dy =

∞



1 x

−

1

−

s2ω(1/x)dx +

∞



1 xs2

−

1ω(x)dx =

∞



1 x

−

1

−

s2



√

_x

₋

₁ 2 +

√

xω(x)



dx +

∞



1 xs2

−

1ω(x)dx

(39)

=

∞



1 x

−

s+12 2 dx

−

∞



1 x

−

1

−

s2 2 dx +

∞



1



x

−

1+s2 + xs2

−

1



ω(x)dx = 1 s

₋

1

−

1 s +

∞



1



x

−

1+s2 + xs2

−

1



ω(x)dx = 1 s(s

₋

1) +

∞



1



x

−

1+s2 + xs2

−

1



ω(x)dx.

Finalmente, combinando (2.12), (2.13) y multiplicando por s(s

₋

1) tenemos π

−

s/2s(s

₋

1)Γ



s 2



ζ (s) = 1 + s(s

−

1)

∞



1 (xs2

−

1+ x

−

1+s 2 )ω(x)dx.

El Teorema est´a demostrado. 

Definición 2.14. La función ξ de Riemann se define por (2.15) ξ (s) = 1 + s(s

₋

1)

∞



1

(x2s

−

1+ x

−

1+s2 )ω(x)dx.

Observe que la integral en la parte derecha de la ecuación anterior define a una función entera. Por tal razón ξ (s) es una función entera que además satisface

ξ (s) = ξ (1

₋

s). El hecho anterior es equivalente a la relaci´on

π

−

s/2Γ



s

2



ζ (s) = π

−

(1

₋

s)/2_Γ



1

−

s

2



ζ (1

−

s).

La ´ultima relaci´on es llamada Ecuaci´ on Funcional de la funci´ on zeta de Riemann .

Corolario 2.16. La funci´ on ζ (s) se extiende anal´ıticamente en todo el plano complejo, excepto en s = 1.

Demostraci´on. Del Teorema 2.11 y las deﬁniciones de las funciones ξ (s) y Γ(s) obtenemos ζ (s) = 1

s

₋

1π

s/2_ξ (s) 1 sΓ(s/2)