ALGEBRA LINEAL ALGEBRA LINEAL
Unidad 2: Fase 3- Actividad Grupal 2- Ciclo de la tarea Unidad 2: Fase 3- Actividad Grupal 2- Ciclo de la tarea
Presentado por: Presentado por: ALBERTO JULIO AMARIS ALBERTO JULIO AMARIS
Código 73138.566 Código 73138.566 JHON JAIRO PATERNINA JHON JAIRO PATERNINA
Código 73.131.291 Código 73.131.291 HELBER RAFAEL BAHOQUES HELBER RAFAEL BAHOQUES
Código 8781631 Código 8781631 EDGAR PABON EDGAR PABON Código Código Tutor: Tutor:
ERIK MIGUEL BARRIOS MONTES ERIK MIGUEL BARRIOS MONTES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍASINGENIERÍAS – ECBTI ECBTI PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
INTRODUCCION INTRODUCCION
Dentro del siguiente trabajo se encontrará la respuesta a la actividad grupal 2 consistente en la resolución de los problemas planteados en la Guía Integradora de Actividades, en la cual cada estudiante asume el rol elegido en la primera fase del
curso.
Además de asumir el rol elegido serán presentados en el foro de desarrollo Ciclo de la tarea (Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales) mínimo tres (3) aportes para dar solución a los problemas propuestos, como también la retroalimentación a las participaciones de los compañeros.
Para la resolución de los ejercicios propuestos se requiere de métodos como la eliminación de Gauss Jordán, la inversa, la ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.
OBJETIVOS OBJETIVOS
Facilitar el proceso de aprendizaje a partir de tareas.
Conocer y apropiarse de los conceptos de Sistemas de ecuaciones lineales,
rectas, planos y espacios vectoriales.
Realizar consolidación de los problemas propuestos a partir de los aportes de los compañeros del curso.
Reconocer la importancia del dominio básico del algebra lineal, como disciplina
fundamental en el proceso del estudiante en formación en cualquier área científica
PROBLEMAS A DESARROLLAR: PROBLEMAS A DESARROLLAR:
1. Se llama proceso de reducción por filas o renglones, al procedo de simplificar una matriz aumentada perteneciente a un sistema de ecuaciones, este procedimiento se desarrolla mediante la ejecución de las 3 operaciones elementales entre filas. Dos métodos usados para solución de sistemas de ecuaciones son la Eliminación Gaussiana, y la Eliminación de gauss – Jordan
a) Explique en qué consiste la diferencia entre los dos procesos. a) Explique en qué consiste la diferencia entre los dos procesos.
La eliminación gaussiana consiste en convertir los valores que están debajo de la diagonal principal en ceros. En el caso de una ecuación 3x3, se halla el valor de una incógnita en la última ecuación, la cual se reemplaza en la segunda ecuación para hallar una segunda incógnita, y finalmente estos dos valores se reemplazan en la primera ecuación, obteniendo así las tres incógnitas.
A diferencia de la eliminación Gaussiana, la eliminación Gauss-Jordan convierte en ceros todos los valores que estén debajo y encima de la diagonal principal, con el fin de obtener una matriz diagonal, y convertir estos valores en unos para obtener las incógnitas.
b) Resuelva y compare el siguiente sistema de ecuaciones por los dos métodos. b) Resuelva y compare el siguiente sistema de ecuaciones por los dos métodos.
=
=
=
Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan
2 4 6
4 5 6
1ª línea dividimos en 2
1 2 3
4 5 6
312
9244
De 2ª líneas sustraemos 1 línea, multiplicamos por 4; de 3 líneas sustraemos 1 línea, multiplicamos por 3
1 2 3
0 3 6
0 5 11
91223
2ª línea dividimos en -31 2 3
0 1 2
0 5 11
94 23
De 1º línea sustraemos 2º línea, multiplicamos por 2; a 3 línea sumamos 2 línea, multiplicada por 5
101
0 1 2
001
143
3- línea dividimos en -1101
0 1 2
0 0 1
143
A 1º línea sumamos 3 º línea, multiplicada por 1; de 2 línea sustraemos 3 línea, multiplicamos por 2
1 0 0
0 1 0
= 4
= 2
= 3
La solución por el método de eliminación de Gauss2 4 6
4 5 6
312
18244
22×1→2
2 4 6
036
0 0 1
18123
33/2∗1>3
2 4 6
0 3 6
0 5 11
181223
35/3∗2>3
2 4 6
036
0 0 1
18123
2 4 6 = 18
3 6= 12
1= 3
De la ecuación 3 del sistema encontramos con la variable “z”:
=3
=
De la ecuación 2 del sistema encontramos con la variable “y”:
3=126=126×3=6
=
De la ecuación 1 del sistema encontramos con la variable “x”:
2=1846=184× 26×3=8
=
=4
=2
=3
Al comparar la solución obtenida en los 2 métodos se observa que son los mismos resultados.
Compruebe y/o verifique el resultado a través del programa Geogebra y anexe pantallazos de la comprobación.
2.
a) La figura muestra un circuito de dos mallas conformado por tres resistencias de 4, 6 y 2 ohmios y dos fuentes de voltaje de 14 y 10 voltios. Se desconocen los valores de las corrientes I1, I2 e I3. Aplicando las leyes Ohm y de Kirchhoff, se obtuvieron las siguientes tres ecuaciones:
=
106
2
=0
146
104
=0
Se escriben las ecuaciones en forma de forma ordenada para escribirlas en forma de matriz
6
2
=10
=0
6
4
=24
1 1 1
6 0 2
6 4 0
010
24
Se intercambia la fila 2 por la fila 16 0 2
1 1 1
6 4 010024
Se intercambia la fila 2 por la fila 36 0 2
6 4 0
1 1 110240
Se multiplica la fila 1 por
1 0 13
6 4 0
1 1 1106240
Se multiplica la fila 1 por -6 y se suma a la fila 21 0 13
042
1 1 1
10614
0
Se multiplica la fila 1 por -1 y se suma a la fila 3(1 0
1
3
0 4 2
0 1 23
10
614106)
Se multiplica la fila 2 por
(
1 0 13
0 1 12
0 1 23
72106)
106
Se multiplica la fila 2 por -1 y se suma a la fila 3(
1 0 13
0 1 12
0 0 116
1067211
6 )
Se multiplica la fila 3 por6/11
(
1 0 13
0 1 12
0 0 1
721)
106
Se multiplica la fila 3 por
y se suma a la fila 21 0 13
0 1 0
0 0 1
1
1063
Se multiplica la fila 3 por
y se suma a la fila 11 0 0
0 1 0
0 0 1
231
Se tiene que:
=2
=3
b.
b. Dado el Dado el siguiente siguiente sistema de sistema de ecuaciones:ecuaciones:
433=10
138=21
843=15
A simple vista se puede observar que el resultado esA simple vista se puede observar que el resultado es(1, 1, 1) Compruebe y Compruebe y explique el por qué. (Use el método de Gauss Jordan)
explique el por qué. (Use el método de Gauss Jordan)
Se deduce que el resultado es(1, 1, 1) porque al sumar los coeficientes de las incógnitas obtenemos los resultados indicados, lo que indica que los valores de a, b y c no afecta la ecuación. Se plantea la matriz:
4 3 3
0138
8 4 3102115
Se multiplica la fila 1 por
1 34 34
0138
8 4 3
5221
15
Se multiplica la fila 1 por8
y se suma a la fila 31 34 34
0 13 8
023
5
5221
Se multiplica la fila 2 por
(
1 34 34
0 1 813
023
135)
5221
Se multiplica la fila 2 por2
(
1 34 34
0 1 813
0 0 2313
132313)
5221
Se multiplica la fila 3 por
(1 34 34
0 1 813
0 0 15221131)
Se multiplica la fila 3 por
y se suma a la fila 21 34 34
0 1 0
0 0 1
521
1
Se multiplica la fila 3 por
y se suma a la fila 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
11
A = 1 B = 1 C = 1 3.3. Encuentre las ecuaciones paramétrEncuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas icas y simétricas de la línea de la línea a través dea través de los puntos los puntos (1, 2, 0) yy(-5, 4, 2) Solución
=1,2 ,0
=5,4,2
Se define la ecuaciones paramétrica Se define las ecuaciones simétricas
=
−
=
−
=
−
=
=
⃗= ⃗
=51 4220
=622
Por lo tanto= ,=, =
Ahora tomamos el punto
=1,2 ,0
y remplazamos los valores en las ecuaciones paramétricas y nos queda:=
=
=
Para las ecuaciones simétricas nos quedaría
=
=
4.
4. Encuentre la distancia entre el punto(1, 2, 3) y el plano
2=4
Solución: Solución: = 1,2,3
=2=4
=24=0
Utilizamos la formula
=
| .
+.
+.
+|
+
+
=|2.1 1.21.3 4|
2
1
1
=|2234 |
√ 411 = 1√ 6
5. Encuentre la línea de intersección de los planos:
=1
-> P122=1
-> P2Tomamos los vectores normales N1 Y N2 de las ecuaciones P1 Y P2
1
=111
N2 =122
Un vector director de la recta será:
D = N1 x N2 =
1 2
1 1
3
1
1 2 2
=1 1
2 21 1 1
1 22 1 1
1 23
011213
011
Para hallar una ecuación vectorial de la recta necesitamos un punto
∈1∩2
=1 1
22=1 2
Hacemos Z = 0 en (1) y (2)=1 ∗ 2
22= 2
2=1
=1
Reemplazando en la ecuación (1)
1=1
=0
Una ecuación vectorial de la recta que interseca los planos es:
= 100t 011,t ∈ ℝ
CONCLUSIONES CONCLUSIONES
Sin duda alguna, con este trabajo aprendimos mucho sobre esta rama de la matemática, ya que se busca la resolución de problemas de la vida cotidiana a base de operaciones matemáticas ya establecidas; al obtener el conocimiento para llegar a la resolución de problemas fortalecemos el conocimiento analítico y resolutivo, obteniendo a partir de dicha fortaleza las virtudes y recursos para avanzar dentro del curso, además busca mejorar la forma en cómo se trabaja de manera colaborativa, dando así un paso agigantado a lo que se avecina dentro de la carrera y el curso como tal, sin dejar por fuera la fuente de conocimiento que en si representa este documento y que puede servir como guía en un caso dado a quien lo requiera.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, con la característica que en todas las ecuaciones están las mismas variables.
Es de vital importancia, el reconocimiento y adecuada aplicación de algunos métodos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales, tal es el caso del método por eliminación Gaussiana, el método de Gauss Jordan, empleando la matriz inversa entre otros, que aportan herramientas cognoscitivas significativas al proceso de formación profesional del estudiante de la Unad
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Rodriguez J., (N-D.)Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas.Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7091
OVI Unidad 2 - Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales OVI Unidad 2 - Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales
Vargas, J. (2015). Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Eliminación Gausiana. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7182
