Tema 6-A:
Dinámica de los
sistemas de partículas*
Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16
Tema 6A
Prof.Dr. Emilio Gómez González
Dpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
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Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez
Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de partículas.
Energía cinética de un sistema de partículas.
Energía potencial de un sistema de partículas.
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Centro de masas (I)
Dado un sistema de n partículas, se define la
posición de su centro de masas,
, como:
Si llamamos
a la posición
de una partícula referida al
c.m., entonces,
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Centro de masas (II)
Si se trata de un objeto
continuo de masa :
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de partículas.
Energía cinética de un sistema de partículas.
Energía potencial de un sistema de partículas.
Movimiento del centro de
masas (I)
Tenemos:
Derivando :
+…+
Derivando de nuevo:
+…+
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Movimiento del centro de
masas (II)
2ª ley de Newton:
,
+
,
,
+
,
,
+
,
3ª ley de Newton:
→
→
,
,
,
El c.m. de un sistema se mueve
como una partícula de masa
sometida a la fuerza
externa resultante que actúa
sobre el sistema.
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (I)
Para una partícula,
Para un sistema de partículas,
(1)
Por tanto, podemos decir que la cantidad de
movimiento de un sistema de partículas es igual a
la cantidad de movimiento de una partícula que
tuviera toda la masa del sistema,
, y se
moviera a la velocidad del c.m.,
.
9
Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (II)
Vimos que
Entonces, derivando:
Queda:
(2)
Comparando (1) y (2), vemos que
(es obvio que
, la
velocidad del c.m. respecto a sí mismo, es cero)
Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema
referida al c.m. , , es siempre cero.
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (III)
Derivando con respecto al tiempo:
,
El c.m. se mueve como una partícula que tuviera
toda la masa del sistema concentrada en ella y
sobre la que actuara la fuerza neta externa
resultante.
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Cantidad de movimiento de un
sistema de partículas (IV)
¿Qué pasa cuando
,
?
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Si la fuerza neta externa resultante sobre un
sistema de partículas es cero, la cantidad de
movimiento del sistema permanece constante.
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un
sistema de partículas (I)
Para una partícula,
(respecto a )
Para un sistema de partículas:
+…+
+
+…+
Sustituyendo
y
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Momento cinético de un sistema de
partículas (II)
Desarrollando la expresión:
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Como
Σ
0 ; Σ
0
Entonces,
Σ
′
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Momento cinético de un sistema
de partículas (III)
Donde:
es el momento cinético del sistema de
partículas respecto al c.m.
y
es el momento cinético respecto al origen
de coordenadas que tendría una partícula de masa
, que se encontrase en la posición del c.m.,
, y se moviese a la velocidad del c.m.,
.
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Momento cinético de un sistema de
partículas (IV). Teorema del
momento cinético.
Derivando
respecto al tiempo:
,
,
,
,
3ª ley de Newton:
→
→
→
→
→
→
→
→
,
,
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Momento cinético de un sistema de
partículas (V). Teorema del
momento cinético.
,
Lo que varía respecto al tiempo el
momento cinético de un sistema de partículas es
igual a la suma de los momentos de las fuerzas
exteriores que actúan sobre el sistema.
En el caso particular de que todas las fuerzas fueran
internas, el momento cinético permanecería
constante. Y lo mismo sucedería si la suma de los
momentos exteriores fuera nula:
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
Energía potencial de un sistema de
partículas.
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Energía cinética de un sistema
de partículas (I)
Para un sistema de partículas:
Recordemos que la posición de una partícula puede
escribirse como
Entonces,
, y
⋅
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Energía cinética de un sistema
de partículas (II)
Como
(la velocidad del c.m.
respecto de sí mismo es cero)
La energía cinética de un sistema de partículas puede
escribirse como la suma de dos términos: (1) la
energía cinética asociada con el movimiento del c.m.,
, y (2) la energía cinética asociada con el
movimiento de las partículas del sistema respecto al
centro de masas,
.
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Índice
Centro de masas.
Movimiento del centro de masas.
Cantidad de movimiento de un sistema de
partículas.
Momento cinético de un sistema de
partículas.
Energía cinética de un sistema de
partículas.
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