TAREAS DE COVARIACIÓN EN DIFERENTES CONTEXTOS PARA PROMOVER EL ENTENDIMIENTO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA:
Keops Xeki García Galván
DIRIGIDA POR:
DR. FERNANDO BARRERA MORA DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Junio de 2018
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
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Dedicatoria
A mi familia,
Leticia, Magdalena, Melitón, Katherine, Yabin y Paula, quienes me brindan su
apoyo en las cosas que emprendo.
A mis hijos,
Kimberly y Nahúm, que son mi inspiración.
A mi compañero en esta formación,
4
Agradecimientos
Al Área Académica de Matemáticas y Física de la Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo, por brindarme la oportunidad de prepararme académicamente y ser partícipe en la
culminación de este logro profesional.
A los profesores que me guiaron en esta formación, especialmente para el Dr. Fernando
Barrera Mora, quien me enseño a valorar el tiempo, a ser constante y hacer del trabajo algo
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Resumen
Uno de los conceptos centrales en matemáticas es el de función, ya que las funciones son un
medio para describir y analizar fenómenos, naturales o sociales, que involucran cambio. Por
otra parte, la idea de covariación, es decir, la variación conjunta de dos o más cantidades es
uno de los fundamentos del concepto de función.
Diversas investigaciones y propuestas curriculares coinciden en señalar la importancia del
concepto de función en el estudio de matemáticas. No obstante, se han identificado diversas
problemáticas en el entendimiento del concepto de función, las cuales posiblemente tienen
su origen en el uso de tareas que involucran operar funciones expresadas algebraicamente,
pero sin considerar otros elementos, tales como tareas contextualizadas o la conexión entre
diversas representaciones semióticas. Algunos trabajos han abordado el estudio de funciones
en escenarios matemáticos, hipotéticos o reales, pero no se ha contrastado cómo cada
contexto contribuye al entendimiento del concepto. Así, en este trabajo, se buscó identificar
los elementos del pensamiento matemático que emergen y apoyan el entendimiento de las
funciones, cuando se abordan tareas orientadas al análisis covariacional, en diferentes
contextos.
Este trabajo muestra los resultados de la implementación de tres tareas, una por cada
contexto. Los participantes fueron estudiantes de nivel licenciatura, de un Instituto
Tecnológico en una comunidad rural en el estado de Hidalgo. Se identificó la manera en que
las actividades permitieron que los estudiantes conectaran diversas ideas en cada contexto:
en el matemático, expresaron de manera formal relaciones entre datos e incógnitas,
identificaron patrones y transitaron entre diferentes representaciones; en el hipotético, se
compararon las ventajas de realizar suposiciones para entender un problema, y favorecer el
análisis visual de las relaciones entre datos e incógnitas; en el real, se promovió el modelado
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Abstract
One of the central concepts in mathematics is the function, the principal application it allows
to formulate and describe phenomenon that involves change. A diverse study that consign
with the importance of the function of mathematics, also the National Council of Teacher of Mathematics, evaluate this concept. In other hand, the idea of convariation, says that it is the
variation together of one or more quantities, it is one of the fundamental concepts of function.
Even though the amount of studies that exist to board the concept of function, there is
evidence that students show difficulties on learning this concept. A possible explanation of that before, is that the studies found have guide its offer its operation of functions or
manipulate symbols, but they have not focus on their learning. Otherwise, from the jobs that
they have boarded the theme of functions, it shows that they have used work in mathematical,
real and hypothetic context separately, but a contrast has not been shown, of how each context
contributes to a specific form of the understanding of the concept function. In this idea, we
are to find the elements that emerge when you look on to activities of analysis of the
covariation, in different context.
This work shows results that apply to three activities of instruction, one for each context:
mathematic (similar triangle), hypothetic (how long the fuel last), and real (how much water
is used in a town). The participants were three groups of students learning a degree on
industrial engineer, with previous knowledge of differential and integral calculus. It has
shown that the activities allow the students to connect many ideas in each one of the context:
in mathematics context, express a formal manner related in between data and unknown
quantity, identification of patterns and the transit in between different representations; (ii) in
the hypothetic context, it is compared the advantages that have in creating suppositions that
favor the understandment of the problem, the visual analysis of the relation in between data and unknown quantity and the connection between different representations; (iii) At last, the
real context, has favored the model of real situations implementing language and
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Índice
Contenido
Capítulo 1. El proble ma de investigación ... 9
1.1 Introducción... 9
1.2 Revisión de la literatura ...11
1.3 Planteamiento del problema ...16
1.4 Objetivo ...17
1.5 Hipótesis...17
Capítulo 2. Marco Conceptual... 18
2.1 Introducción...18
2.2 Dimensión ontológica ...19
2.2.1 Concepción de las matemáticas ...19
2.2.2 Perspectiva de aprendizaje...19
2.3 Dimensión epistemológica ...20
2.4 Dimensión didáctica ...20
2.4.1 Aprendizaje con entendimiento ...21
2.3.2 Tareas en contextos ...22
2.3.3Tareas de instrucción ...23
Capítulo 3. Metodología ... 24
3.1 Introducción...24
3.2 Participantes ...24
3.3 Características de las tareas ...24
3.4 Descripción de las tareas ...26
3.4.1 Tarea en el contexto puramente matemático ...26
3.4.2 Tarea en el contexto real ...27
3.4.3 Tarea en el contexto hipotético ...28
3.5 Posibles rutas de solución ...30
3.6 Recolección de la información ...32
Capítulo 4. Análisis y Resultados ... 33
4.1 Introducción...33
8
4.2.1 Análisis en el contexto puramente matemático ...33
4.2.2 Análisis en el contexto real ...34
4.2.3 Análisis en el contexto hipotético...36
4.3 Resultados ...40
4.3.1 Contexto puramente matemático ...40
4.3.2 Contexto real...48
4.3.3 Contexto hipotético ...54
4.4 Elementos que emergieron en cada contexto ...61
Capítulo 5. Discusión y Conclusiones... 64
5.1 Introducción...64
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación...64
5.3 Trabajos a futuro ...65
Referencias ...70
Apéndices ... 75
Apéndice A. Tabla de registro de información ...75
Apéndice B. Transcripciones de las tareas en los contextos matemático e hipotético...76
9
Capítulo 1. El problema de investigación
1.1 Introducción
Uno de los conceptos centrales en matemáticas es el de función (Carlson y Oehrtman, 2005),
esto se puede constatar cuando al abordar un problema matemático hay que analizar el
comportamiento de cantidades que varían conjuntamente. Por ejemplo, en geometría es
importante determinar cómo cambia el área de un círculo cuando su radio aumenta o
disminuye; cómo varía el volumen de un recipiente cuando su altura se modifica; cómo se
modifica el área de un polígono regular cuando varía la longitud de su apotema. La
importancia del concepto de función radica en que permite, entre otras cosas, describir y
analizar procesos de cambio, naturales o sociales, en diferentes disciplinas (Zeytun,
Cetinkaya y Erbas, 2010).
Por otra parte, la idea de covariación, es decir, la variación conjunta de dos o más cantidades,
es uno de los fundamentos del concepto de función (Thompson, 1994a). Analizar la
covariación de cantidades implica coordinar secuencias conjuntas de cambios que se
presentan entre dos o más variables (Thompson, 1994b). Cabe mencionar que la covariación
y su representación en diferentes registros, favorecen el desarrollo de imágenes mentales a
partir de representaciones tabulares, gráficas, dinámicas o formales de una función.
El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM, 2000),
destaca la importancia del concepto de función en la formación matemática de los estudiantes
preuniversitarios. Esto se debe a que la solución de diferentes situaciones problemáticas
requiere utilizar funciones como modelos matemáticos. Por otra parte, la covariación permite
analizar relaciones y cambios coordinados entre diversas cantidades (Johnston, 2012). Un
caso específico se presenta al modelar llenado de recipientes, donde se busca expresar el
volumen de líquido en un tanque en función de la velocidad de vaciado. Este es un problema
común que se presenta en aplicaciones reales en la industria. En física, con frecuencia, se
abordan problemas que involucran analizar la velocidad, aceleración o rendimiento de
equipos o maquinarias, variables que dependen de otras cantidades, como la presión o
temperatura. En química se abordan problemas sobre velocidad de reacciones químicas en
10 La covariación está estrechamente ligada al proceso de medición del cambio (Dolores y
Salgado, 2009), cuando una variable pasa de un estado inicial a un estado final. Por ejemplo,
al analizar el cambio de volumen de un cilindro si su altura se modifica, considerando un
volumen inicial, antes de variar la altura y uno final cuando la altura se ha modificado. El
análisis de este tipo de procesos de cambio da lugar a explorar la covariación entre dos
cantidades (altura y volumen).
De acuerdo con Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu, (2002), el razonamiento covariacional
consiste en desarrollar habilidades mentales que permiten visualizar cómo los cambios de
una variable se relacionan con cambios en otra(s) variable(s). En esta línea de ideas, centrar
la atención en la covariación favorece la observación y representación de relaciones entre
cantidades, llevando esto a la identificación de elementos o cantidades fijas y variables
durante el estudio de funciones. A través del desarrollo del razonamiento covariacional, se
promueve que los estudiantes den sentido a las representaciones tabulares, gráficas o
algebraicas de una función (Johnston 2012).
Las tareas de aprendizaje que se proponen en este trabajo, buscan identificar características
del rol que juega la covariación conjunta entre cantidades en el desarrollo de niveles
progresivos de entendimiento del concepto de función. Referente a las características de las
tareas de instrucción, Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000) argumentan que se pueden
enmarcar en tres contextos (hipotético, real y matemático), cada uno de los cuales ofrece
oportunidades diferenciadas para desarrollar formas matemáticas de pensar. También se
busca determinar cuáles elementos del pensamiento matemático emergen al abordar las tareas
en cada contexto, tales como identificar patrones, formular y justificar conjeturas, y
finalmente comunicar resultados (Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez, 2013; Santos-Trigo,
2007).
Con esta aproximación, se espera que los estudiantes identifiquen elementos importantes que
les ayuden a construir y fortalecer el desarrollo de niveles progresivos de entendimiento del
concepto de función. Se espera que inicialmente organicen la información y la
complementen, buscando visualizar datos e incógnitas. Después, que centren la atención en
11 espera que los estudiantes utilicen diversas representaciones (verbal, gráfica, tabular, formal)
para representar una función, y que elaboren modelos. Con lo anterior se espera que los
estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar (Schoenfeld, 1992; Barrera-Mora y
Reyes-Rodríguez, 2013; Santos-Trigo, 2007).
1.2 Revisión de la literatura
Diversos estudios sugieren que el razonamiento covariacional juega un rol importante en el
entendimiento de ideas fundamentales de cálculo diferencial, como la variación, acumulación
y el modelado de fenómenos (Ímaz y Moreno, 2010); así como para abordar temas
matemáticos avanzados (Carlson et al., 2003). En este sentido, Moore, Paoletti, Stevens y
Hobson, (2016), sostienen que el razonamiento covariacional favorece el desarrollo de ideas
matemáticas en las que está involucrado el concepto de función.
La literatura de investigación reporta estudios que abordan la comprensión del concepto de
función tomando como base la covariación de cantidades (Thompson, 1994a; Johnson, 2012;
Moore, Paoletti y Musgrave, 2013; Thompson, y Carlson, 2017). Por ejemplo, diversos
autores han propuesto tareas de instrucción donde se solicita modelar el volumen en función
la altura, en el vaciado de tanques (Carlson et al., 2002), o el llenado de recipientes (Carlson
et al., 2003). En otra línea de ideas, Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000), propusieron una
tarea de instrucción hipotética para modelar el comportamiento de absorción de medicamento
en el cuerpo.
Los trabajos sobre modelación de llenado de recipientes se han llevado a cabo principalmente
con estudiantes de licenciatura (Carlson, et al., 2003). Algunas de estas investigaciones
concluyen que los alumnos muestran dificultades para observar y describir variaciones
conjuntas entre cantidades y, que las estrategias que proponen, tienen limitados elementos de
razonamiento covariacional (Carlson, et al., 2003).
En esta línea, Carlson et al., (2002) reportan un estudio con 20 estudiantes sobresalientes de
licenciatura, quienes habían cursado y aprobado la asignatura de cálculo diferencial. En esa
investigación se abordaron diferentes tareas de instrucción, tales como: (i) graficar la altura
de un líquido como función de la cantidad de agua que se vertía en una botella de forma
12 mediciones de temperatura, y (iii) describir la velocidad de la parte superior de una escalera,
al deslizarse a partir de una posición inicial vertical contra una pared. Se concluyó que los
estudiantes presentaron dificultades para realizar el análisis y justificar sus respuestas. Es
decir, que aún después de aprobar un curso de cálculo diferencial, no habían entendido la
esencia de los conceptos de covariación y función.
De manera similar, Stalvey y Vidakovic (2015), reportan una investigación realizada con
estudiantes que cursaban cálculo diferencial, cuyo objetivo fue entender cuál era la idea de
función que tenían los alumnos. La tarea propuesta consistió en analizar el comportamiento
del volumen en dos recipientes (figura 1.1), bajo el supuesto que r1 < r2 (dónde r1 y r2
representaban el diámetro de la tubería de descarga para cada recipiente) en tres fases de
modelado gráfico: (i) volumen vs tiempo de llenado; (ii) tiempo de llenado o vaciado vs
altura y (iii) altura vs volumen y viceversa. En este estudio se destaca la importancia de la
noción de función, y el papel que juega el razonamiento covariacional en la representación
gráfica de la variación y el cambio. Los estudiantes lograron avanzar de manera parcial en la
solución de la tarea, ya que fueron capaces de realizar algunos modelos gráficos, no obstante
mostraron dificultades para observar relaciones covariacionales; por ejemplo, no
interpretaron cómo un cambio en la altura modificaba al volumen. Se concluye que los
estudiantes no tenían claro el concepto de función.
Fig. 1.1 Enfriadores, (Stalvey y Vidak ovic, 2015).
Otra investigación realizada con estudiantes de posgrado (Thompson, 1994a), tuvo el
objetivo de identificar las imágenes mentales que se generaban los participantes al construir
representaciones gráficas, donde estaban presentes cambios dinámicos entre cantidades.
13 aprendizaje de otras ideas matemáticas y por ello el razonamiento covariacional debe
desarrollarse de manera profunda.
Diversos estudios referentes al desarrollo del razonamiento covariacional, mencionan la
importancia de adquirir habilidades que permitan observar cambios de una cantidad en
términos de otra(s) (Thompson, 1994a; Johnson, 2012), ya que este conocimiento permite
abordar temas avanzados de matemáticas. De manera general, la literatura coincide que una
posible ruta para comprender la covariación de cantidades, es a través de la versatilidad para
mostrar la información (tabulación, formal, verbal, etc.), porque permite, entre otras cosas,
identificar cantidades fijas y variables, así como transitar entre representaciones. También
mencionan, que el uso de software dinámico favorece la identificación y análisis de
cantidades, de manera dinámica.
En este sentido, Johnson (2012) realizó un estudio con alumnos que aún no habían
cursado cálculo diferencial, con el objetivo de desarrollar habilidades de razonamiento
covariacional. En su trabajo, propuso tres tareas, la primera de ellas basada en obtener el
perímetro y área de cuadrados, cuando se modificaba la longitud de sus lados, para diferentes
iteraciones. De esta actividad esperaba que los estudiantes identificaran relaciones
covariacionales y expresaran algebraicamente una relación entre variables. El instructor
propuso que la información se representara de manera tabular, y que los estudiantes centraran
la atención en qué cantidades eran fijas o variables. Observó que el proceso de tabulación,
favoreció la identificación de cambios entre cantidades, sin embargo, no fue suficiente para
que los participantes generalizaran resultados.
En la segunda tarea, solicitó identificar el comportamiento de mediciones de temperatura de
cierta ciudad en un lapso de tiempo determinado (temperatura contra tiempo). Para el
desarrollo de la actividad, se elaboró en GeoGebra una gráfica que relacionaba temperatura
(eje vertical) contra tiempo (eje horizontal). Esto con la finalidad de que los estudiantes
observaran cómo se comportaba el rango y dominio de la función que modela el fenómeno.
Se concluyó que el software dinámico favoreció la observación e interpretación de cambios
covariacionales. Por último, se abordó el vaciado de botellas; se pidió graficar la relación
14 los estudiantes tuvieron dificultad para realizar el gráfico o su interpretación. Las
conclusiones generales son que proponer tareas de instrucción donde se pueda identificar la
covariación entre cantidades, contribuye a conceptualizar elementos que son útiles en el
estudio de cálculo. También sugiere, que las actividades deberían ser contextualizadas, para
promover el interés y fortalecer la identificación de conceptos matemáticos en contextos
variados.
Por su lado Moore et al. (2013), realizaron un estudio cuyo propósito fue identificar
elementos del razonamiento covariacional que emergían, cuando dos alumnos que habían
cursado y aprobado el curso de cálculo diferencial, donde abordaron tópicos como funciones
y sus representaciones, resolvían problemas relacionados con funciones trigonométricas. Se
pidió graficar expresiones cartesianas y polares equivalentes e identificar la relación entre
ellas. Entre los resultados, reportan que los estudiantes lograron elaborar las gráficas, sin
embargo, tuvieron dificultades para identificar cómo se relacionaban las expresiones
equivalentes. No obstante, argumentan que utilizar diferentes representaciones (cartesianas
y polares), favoreció en desarrollar razonamiento covariacional; porque al buscar relaciones
existentes, identificaron cómo un cambio en una cantidad, provocaba cambios en otra(s). De
esta manera, sugieren que una tarea de instrucción debiera favorecer el uso de diferentes
representaciones. Además, que el contexto es importante para apoyar el entendimiento, por
lo que proponen que el estudio de covariación debe realizarse en distintos contextos y
elaborar diferentes representaciones, con la finalidad de robustecer los significados de los
conceptos.
En esta misma línea, Moore, Paoletti, Musgrave y Gammaro (2013), reportan un trabajo
realizado con estudiantes de licenciatura en matemáticas, con el propósito de identificar cómo
relacionaban gráficas cartesianas y polares. Se centraron en identificar las habilidades
mostradas para observar cómo cambios en cantidades provoca modificaciones en otra(s). Su
propuesta consistió en presentar dos ecuaciones (y=x2 y r=θ2) con su representación gráfica.
Esperaban que los estudiantes identificaran, cómo se comportaban y se relacionaban al
evaluarse en distintos valores de x y θ. Después pidieron extender la tarea modificando las
ecuaciones (y=x2+1 y r=θ2.+1), y solicitaron la representación gráfica. En el estudio se
15 expresiones cartesianas y polares, al evaluarse en parámetros equivalentes. Sin embargo,
argumentan que este tipo de actividades, promueve el entendimiento del razonamiento
covariacional, ya que, constantemente los alumnos intentaron observar cambios entre las
cantidades, además, que la representación gráfica contribuye favorablemente, para que los
estudiantes estructuren imágenes mentales que les permitan identificar los cambios y las
relaciones entre los sistemas de representación propuestos.
Por otra parte, Weber (2013) realizó un experimento con dos estudiantes que cursaban
cálculo diferencial, con el objetivo de identificar cómo interpretaban la razón de cambio en
funciones de dos variables, a través de la representación gráfica de la derivada, cuando había
incrementos en cada parámetro. Observó que los estudiantes identificaron la razón de
cambio, pero gráficamente no pudieron relacionar la dirección del incremento en el plano.
Menciona que una posible explicación de lo sucedido, fue la dificultad para interpretar la
covariación entre cantidades y su repercusión en el comportamiento de la función. Por esta
razón, argumenta que el análisis de la covariación entre cantidades juega un rol importante
en el estudio de cálculo o precálculo.
En otro estudio, Dolores y Salgado (2009), propusieron un método de graficación
covariacional, el cual consistió en observar los cambios cuando se realizaban primeras
diferencias. La tarea de instrucción pedía construir polígonos regulares inscritos en una
circunferencia e incrementar la cantidad de lados en cada iteración; es decir, partieron de un
triángulo inscrito en una circunferencia, posteriormente inscribieron un cuadrado, después
un pentágono y así sucesivamente. Para abordar la tarea plantearon ciertas interrogantes, tales
como: ¿Qué cambia? ¿Cuánto cambia? ¿Cómo cambia? ¿A qué razón cambia? ¿Cómo se
comporta eso que cambia? En este sentido, identificaron cómo la graficación covariacional
permite desarrollar otras habilidades de razonamiento, como la generación de imágenes
mentales, comparadas con la elaboración de una gráfica a partir de una tabla.
La literatura revisada incluyó estudios relacionados con la propuesta de este trabajo de tesis.
De manera general, estos trabajos coinciden en señalar la importancia que tiene el desarrollo
del razonamiento covariacional y cómo favorece para entender conceptos matemáticos de
16 entender a la covariación como un fundamento del concepto de función. Se identificó que la
mayoría de tareas de instrucción, se enmarcan en contextos puramente matemáticos; por
ejemplo, al analizar patrones durante la construcción de polígonos (Dolores y Salgado, 2009);
transitividad en las representaciones (Thompson, 1994a); exploración de ángulos a partir de
las identidades trigonométricas (Johnson, 2012), por mencionar algunos. Por otra parte, en el
contexto hipotético, se reporta el trabajo realizado por Barrera-Mora y Santos Trigo, (2000),
donde se argumenta la importancia que tiene este contexto como antecedente para abordar
problemas reales, además las ventajas que tiene el relacionar contextos y realizar el tránsito
entre ellos.
Referente a los elementos matemáticos relacionados con la covariación entre cantidades, los
estudios revisados coinciden de manera general con favorecer distintas representaciones
(tabular, verbal, algebraica). También se observa que la mayoría de los trabajos reportan las
dificultades que presentan los estudiantes para identificar regularidades en elementos fijos y
variables. Por otro lado, en todos los estudios revisados, se favoreció el análisis sistemático
de la información, la simplificación de modelos y la transición de modelos simples a otros
más robustos.
1.3 Planteamiento del problema
Diversos autores han detectado que estudiantes de todos los niveles educativos, incluso
aquellos que han aprobado con buenas notas cursos de cálculo, no comprenden con
profundidad el concepto de función (Carlson et al., 2003; Thompson, 1994a). Algunos
trabajos reportan que estudiantes que han aprobado cálculo diferencial e integral, muestran
problemas para entender la idea de covariación, la cual es uno de los fundamentos del
concepto de función (Carlson et al., 2002). Sumado a esto, muestran evidencia que hay
complicaciones para representar analíticamente una relación funcional, a pesar de identificar
cambios conjuntos entre cantidades (Johnson, 2012). En este sentido, es frecuente observar
que los estudiantes presentan problemas para representar funciones algebraicamente y los
que lo logran, tienen dificultades en su interpretación (Earnest, 2015).
Una práctica común en el estudio del concepto de función, consiste en identificar
17 un punto de partida relevante, si se quisiera abordar el concepto de función desde una
perspectiva covariacional, ya que, permitiría entre otras cosas, observar, cómo cambios en el
eje horizontal podría provocar cambios en el eje vertical o viceversa. Sin embargo, se tiene
evidencia que cuando se solicita a los estudiantes representar una función, principalmente
realizan tabulaciones y colocan pares ordenados en el plano cartesiano, para finalmente unir
esos puntos y suponer que la tarea quedó resuelta. Esto podría indicar, que se desarrollan de
manera parcial la comprensión sobre lo que significan los cambios covariacionales y la
relación que tienen con las representaciones gráficas, que son elementos importantes en el
estudio del concepto de función (Moore et al., 2016). No obstante, utilizar sólo tabulación y
colocar pares ordenados, no permite identificar a la covariación de cantidades como un
elemento central del concepto de función (NCTM, 2000).
Por otro lado, la literatura muestra que existe una amplia diversidad de trabajos de
investigación que han buscado abordar el tema de funciones (Clement, 1989; Thompson,
1994b; Carlson et al., 2003). Sin embargo, la mayoría de estos estudios han utilizado tareas
en contextos matemáticos, reales e hipotéticos por separado. No se ha encontrado el reporte
de trabajos, que hayan realizado un contraste de cómo cada contexto contribuye de forma
específica al entendimiento de la idea de función. En esta línea de ideas, se busca determinar
cómo tareas orientadas al análisis de la covariación, en diferentes contextos, favorecen el
entendimiento del concepto de función.
1.4 Objetivo
Identificar elementos que permitan diseñar tareas de aprendizaje, para fortalecer el
entendimiento del concepto de función, tomando como referente la covariación conjunta
entre cantidades. La pregunta de investigación que guía a este trabajo es, ¿Qué elementos de
aprendizaje emergen al abordar tareas planteadas en diferentes contextos, involucrando
covariación de cantidades?
1.5 Hipótesis
El abordar tareas de instrucción en diferentes contextos, tomando como referente la
covariación de cantidades, permite a estudiantes de precálculo y cálculo robustecer su
18
Capítulo 2. Marco Conceptual
2.1 Introducción
Según Lester (2010), un marco de investigación es una estructura de ideas, acuerdos y
principios, que orientan y sustentan los procesos de indagación. Su importancia radica en que
aporta elementos para desarrollar y sustentar los procesos que tienen lugar en un trabajo de
investigación. De este modo Eisenhart (1991) clasifica a los marcos de investigación, en
educación matemática, en tres tipos: teórico, práctico o conceptual. El primero se basa en
teorías tales como la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget o la del socio-constructivismo
de Vigotsky. Por otra parte, el marco práctico se basa en experiencias personales del
investigador y hallazgos en estudios previos, incluso se apoya de la opinión pública. En el
marco conceptual, se consideran diferentes puntos de vista (teorías, investigaciones previas,
etc.). En este marco, se argumentan las ideas que se adoptan, y se concluye con las razones
que influyeron para tomarlas (Eisenhart, 1991). Por las características de este trabajo, se
utiliza un marco conceptual. Primero se discuten opiniones sobre qué son las matemáticas,
aprendizaje, entendimiento y didáctica. Posteriormente, se describen las razones que
influyeron para utilizar estas ideas como referentes en esta investigación.
El trabajo aquí presentado, se sustenta en un marco de investigación estructurado en torno de
tres dimensiones: ontológica, epistemológica y didáctica. La primera, describe la postura
adoptada sobre las matemáticas y su aprendizaje. Desde el punto de vista epistemológico, se
puntualizan las ideas que se tienen, respecto a la forma de aprendizaje. Por su parte, en la
dimensión didáctica, se detallan las características que se consideran necesarias, para
favorecer el entendimiento (tipos de tareas y escenario de instrucción).
Para abordar las dimensiones anteriores, se ha considerado un marco conceptual, constituido
con cuatro elementos centrales: (i) de acuerdo con Steen (1988) las matemáticas son
consideradas como la ciencia de los patrones, (ii) referente al aprendizaje, se adopta la idea
de aprendizaje con entendimiento (Hiebert, et al., 1997), (iii) desde el punto de vista
didáctico, se adopta una perspectiva basada en la resolución de problemas (Polya, 2005;
Schoenfeld 1985) y, por último, (iv) se considera el papel de los contextos de las tareas de
19 2.2 Dimensión ontológica
En esta dimensión se puntualiza la conceptualización que adoptamos en este trabajo sobre
las matemáticas y la forma en que se desarrolla del aprendizaje de esta disciplina. Diversos
autores como Schoenfeld (1992); Godino, Batanero, y Font (2003) argumentan que el actuar
docente y las metas que se persiguen en el diseño de sus tareas de instrucción, están
moldeadas por la noción que tienen los profesores sobre la disciplina.
2.2.1 Concepción de las matemáticas
En este trabajo, se ha adoptado la idea de Steen (1988) de que matemáticas, es la ciencia de
los patrones. Consecuentemente la actividad matemática consiste en la identificación de
pautas y regularidades en distintos fenómenos (naturales, sociales, matemáticos), generar
modelos que describan a estos fenómenos, y generar conceptos y herramientas para operar
esos modelos (Lesh y Harel, 2003). Los modelos son herramientas conceptuales que sirven
para describir cambios o predecir comportamientos para tomar decisiones. Sumado a esto,
Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2013) argumentan que la actividad matemática no
consiste en aplicar reglas o algoritmos, sino en crear esas reglas y llevar a cabo actividades
que permitan entender patrones que se observan en los mundos natural, social o de las ideas.
2.2.2 Perspectiva de aprendizaje
El aprendizaje de las matemáticas es un proceso dinámico, que no depende únicamente de la
memorización de reglas o algoritmos (Barrera-Mora y Reyes Rodríguez, 2013). Con esta idea
Santos-Trigo (2007) argumenta que aunque es necesario memorizar conceptos y tener fluidez
para realizar algunos algoritmos o procedimientos rutinarios, el aprendizaje debe incluir
también el desarrollo de una actitud inquisitiva (Santos-Trigo, 2007). Es decir, la habilidad
para formular sistemáticamente preguntas, interrogantes o dilemas y buscar diferentes rutas
o estrategias para resolver un problema. En suma, se adoptó la idea de Santos-Trigo (2007)
y Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2016), de que saber matemáticas implica tener la
capacidad y disposición de utilizar el lenguaje, herramientas y conceptos propios de la
disciplina, con la finalidad de identificar patrones, así como proponer reglas, formulas o
algoritmos, imaginar, crear, relacionar conceptos y desarrollar diferentes tipos de argumentos
20 2.3 Dimensión epistemológica
A través de los años, han surgido diversas teorías que buscan explicar la forma en que se
aprenden cosas nuevas. Por ejemplo, la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget o la del
socio-constructivismo de Vigotsky. Cada una aporta diferentes elementos respecto al
entendimiento de cómo se aprende. En este sentido, Feldman (2005) argumenta que aprender,
es un proceso continuo y complejo, por lo que resulta difícil contar con prescripciones que
garanticen el aprendizaje en cualquier disciplina. De esta manera, diversas teorías sobre el
aprendizaje matemático, como las propuestas por Simon (1994) y Ernest (2010) argumentan
que el proceso de aprender está influenciado por la interacción del individuo en contextos
sociales. En otras palabras, aprender conceptos matemáticos, está moldeado por las
interacciones entre los individuos dentro de una comunidad de aprendizaje.
En este trabajo se adopta un enfoque socio-constructivista del aprendizaje, debido a que esta
perspectiva permite, entre otras cosas, explorar diferentes formas de pensamiento y actuar
del alumno. Este enfoque considera que los estudiantes construyen de manera activa y en
interacción grupal su conocimiento, con base en sus conocimientos previos y estructuras
cognitivas particulares, más que copiarlo o absorberlo de otros. Propone además, que el
estudiante, al interactuar en un medio social específico, reorganiza de manera constante sus
estructuras cognitivas, mediante procesos de reflexión y comunicación de ideas. En esta
línea, Ernest (2010) menciona que el conocimiento se materializa, a partir de la interacción
entre las experiencias y prácticas propias, con las de otros.
2.4 Dimensión didáctica
Partiendo de la idea propuesta por Schoenfeld (1992) de que la actividad principal al aprender
matemáticas consiste en desarrollar formas matemáticas de pensar y no sólo aplicar reglas y
algoritmos, se sostiene que la enseñanza de matemáticas debiera desarrollar en el estudiante
la habilidad para pensar y razonar matemáticamente; mediante la puesta en práctica de los
elementos del pensamiento matemático (Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez, 2013). Por otro
lado, es importante resaltar, que además de la fluidez procedimental (Santos-Trigo, 2000), se
debe favorecer la comprensión de los conceptos o ideas, así como la habilidad de aplicar
21 primaria del proceso de instrucción consiste en apoyar el que los estudiantes desarrollen
niveles progresivos de entendimiento conceptual.
Al diseñar una tarea de instrucción, se deben considerar distintos elementos que podrían
contribuir para lograr el aprendizaje; por ejemplo, el objetivo de la actividad, el entorno, la
complejidad, los recursos matemáticos, entre otros. Ya que, durante el proceso de construir
un aprendizaje con entendimiento, las tareas son la parte central, porque ellas son el
instrumento para involucrar a los alumnos en la construcción de significados para las ideas
matemáticas. En este sentido, es importante diseñar tareas versátiles que permitan utilizar
más de un sentido (visión, tacto, oído); porque, podría significar la asimilación y adaptación
del nuevo conocimiento en estudiantes con distintas estilos de aprendizaje.
Por otro lado, de acuerdo con algunos investigadores (Carlson et al., 2003; Thompson,
1994a), es importante que durante la implementación de las tareas se permita representar la
información en diferentes registros, ya que esto puede favorecer la generación de imágenes
mentales para los conceptos matemáticos. En este sentido Duval (1998) argumenta que el
aprendizaje requiere de coordinar diversos registros de representación; ya que esto favorece
el desarrollo de conexiones entre conocimientos previos y nuevos conceptos. Esta idea se
basa en el hecho de que las representaciones no son construcciones culturales aisladas, sino
por el contrario son herramientas altamente estructuradas, cada una de las cuales ofrece
información diferenciada de un concepto. Por último, se adopta la idea que el diseño de las
tareas debería presentarse en diferentes contextos (Barrera-Mora y Santos-Trigo, 2000), para
que el estudiante problematice, desde un enfoque matemático, los fenómenos o
problemáticas de su entorno.
2.4.1 Aprendizaje con entendimiento
Referente al entendimiento, se asume que es un concepto complejo y que se desarrolla a
través de niveles progresivos. Por ejemplo, cuando se aborda el Teorema de Pitágoras, un
primer nivel pudiese consistir en identificar que la ecuación de Pitágoras a2+b2=c2 hace
referencia a un triángulo rectángulo cuyos lados se designan por la letras a, b y c. En otro
nivel de entendimiento sería posible calcular uno de los lados del triángulo conociendo dos.
22 ecuación a2+b2=c2 en cualquier estructura algebraica (anillos, campos, grupos). Un nivel
más en el estudio de este teorema consiste en aplicarlo en distintos contextos, (matemáticos,
hipotéticos o reales), en donde se busca dar sentido a las aplicaciones. Los estudiantes escalan
niveles sucesivos de entendimiento matemático cuando logran realizar una mayor cantidad
de conexiones relevantes entre una idea y otras cosas que conocen. De esta manera,
desarrollan un conocimiento estructurado mediante los procesos de reflexión y comunicación
de resultados, que aparecen durante la resolución de problemas (Hiebert et al., 1997).
En esta línea de ideas, Carpenter y Lehrer (1999), argumentan que se ha entendido algo,
cuando es posible aplicar ese algo para resolver problemas. Con estas ideas, se promueve que
los estudiantes puedan ampliar sus habilidades para relacionar ideas previas con nuevos
conocimientos. Esto es útil porque va ampliado la visión que los estudiantes muestran hacia
las matemáticas y trata de evitar que se conceptualicen como un conjunto de hechos, reglas
o procedimientos aislados. En este sentido, Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2016)
mencionan que el desarrollo de entendimiento es gradual, implica la activación mental,
requiere que los estudiantes desarrollen ciclos sucesivos de actividades que requieren la
acción (experimentar o explorar relaciones), observación (identificar patrones y
regularidades), formulación de conjeturas y comunicación de resultados (incluyendo el uso
de diferentes tipos de argumentos).
2.3.2 Tareas en contextos
Las tareas de instrucción debieran enmarcarse en distintos contextos (Carlson et al., 2003);
ya que lo anterior favorecería la articulación de los fenómenos del mundo real con las
matemáticas escolares. Con esta idea, Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000) argumentan que
las tareas de aprendizaje desde la aproximación de resolución de problemas, pueden ubicarse
en tres diferentes contextos: (i) el matemático, aquí la situación a abordar permite que se
utilicen y desarrollen recursos matemáticos para solucionar el problema; (ii) el del mundo
real, que se relaciona con la identificación de datos obtenidos a partir de mediciones,
encuestas o experimentos, los cuales pueden analizarse e interpretarse con el uso de recursos
matemáticos; y (iii) el hipotético, aquí el problema es construido a partir de suposiciones
sobre el comportamiento de ciertas variables que explican el comportamiento del problema;
23 de solución; además, permite el uso de diversas representaciones semióticas (Barrera-Mora
y Santos-Trigo, 2000).
2.3.3Tareas de instrucción
Una propuesta didáctica útil para apoyar el aprendizaje matemático, es la resolución de
problemas (Polya, 2005; Schoenfeld, 1985). Esta propuesta promueve que el estudiante tenga
una participación activa al crear herramientas conceptuales en diferentes contextos y que
desarrolle una actitud inquisitiva, al poner en práctica los elementos del pensamiento
matemático (Santos-Trigo, 2007). Desde esta perspectiva se espera que los problemas se
visualicen desde distintas perspectivas y se puedan identificar patrones, aplicar heurísticas,
formular conjeturas, justificar resultados y formular nuevos problemas. En este sentido,
Schoenfeld (1985) reconoce la importancia que tienen los conocimientos previos, los cuales
son la base para la construcción de nuevas ideas o conceptos al resolver problemas. Por esta
razón, es de interés explorar los recursos de los estudiantes, iniciando con problemas simples,
hasta problemas de mayor complejidad.
Es importante también que las tareas favorezcan el uso de diferentes representaciones
semióticas (Duval, 1998); incluyendo la representación de la información de forma tabular,
verbal, o gráfica; así como el tránsito entre las diferentes representaciones. Las actividades
24
Capítulo 3. Metodología
3.1 Introducción
El enfoque del presente trabajo es cualitativo, porque las fuentes de información consisten
en palabras, plasmadas en producciones escritas o verbales de los participantes, a través de
las cuales se busca identificar formas particulares de pensar o razonar, relativas al desarrollo
de niveles progresivos de entendimiento del concepto de función. En esta metodología se
debe prestar particular atención a la forma en que los estudiantes responden a las preguntas
que guían a la tarea, es decir, se busca identificar, qué es lo que piensan al abordar la tarea,
cómo interpretan la información, qué heurísticas utilizan y cómo relacionan sus recursos con
el nuevo conocimiento que se genera al abordar las tareas, en cada uno de los contextos
considerados. El diseño de las tareas incluyó en su estructura general, la descripción del
problema, las condiciones de aplicación, así como los cuestionamientos que utilizaría el
profesor para apoyar el avance de los estudiantes, y la determinación de las representaciones
que podrían ser de utilidad.
3.2 Participantes
Las tareas de instrucción se implementaron en una escuela pública de nivel superior,
(Instituto Tecnológico de Atitalaquia, ITAt), en una zona rural del Estado de Hidalgo. Los
participantes se eligieron por conveniencia, debido a que en ese momento, el autor se
encontraba al frente del grupo donde se aplicaron las tareas. Las tareas se implementaron
con tres grupos mixtos de estudiantes, con 25 integrantes en promedio, de una licenciatura
en ingeniería industrial. Los alumnos habían cursado y aprobado las asignaturas de cálculo
diferencial e integral. Para cada actividad los estudiantes se integraron en equipos de entre
dos a cuatro individuos. Se eligió a un líder por equipo con la finalidad de que él comunicara
los resultados de su equipo al resto del grupo. Se permitió el uso de calculadora, Geogebra,
Excel o los recursos computacionales que los participantes consideraran necesarios para
abordar las tareas.
3.3 Características de las tareas
Se diseñaron tres tareas, una por cada contexto (matemático, real e hipotético). Con base en
25 del concepto de función, tomando como base una aproximación covariacional. Las
características consideradas durante el diseño de las tareas fueron: formulación de preguntas,
conjeturas y relaciones, orientadas a promover el razonamiento covariacional y la
construcción de modelos o sistemas conceptuales. Las tareas se estructuraron para favorecer
el pensamiento matemático, expresado mediante distintas representaciones semióticas, con
la finalidad de favorecer la construcción de conexiones útiles, para entender y dar sentido a
distintos fenómenos modelados mediante funciones.
Referente a la estructura de las tareas, consisten de la problemática a abordar, descripción del
problema, preguntas guía, tablas, gráficas o información referente a la contextualización de
la tarea. La primera actividad, enmarcada en un contexto puramente matemático consistió en
construir un triángulo dado un segmento que representa uno de los lados. Se partió de un
segmento X y se pidió la construcción de un triángulo equilátero ABC, que tuviera como lado
la longitud X. Posteriormente, se pidió dividir éste triángulo en varios triángulos congruentes,
se esperaba que tomaran los puntos medios de cada segmento como referencia para realizar
la construcción. Se propuso realizar distintas iteraciones similares a la anterior, bajo la
consigna de dejar el triángulo que quedaba en el centro sin dividir lo que daba lugar al
denominado triángulo de Sierpinski. Se solicitó obtener el área y perímetro. Por último, se
solicitó registrar la información en una tabla (apéndice A), para observar patrones de
comportamiento de las áreas y perímetros. Con esta información, se esperaba que los
estudiantes generalizaran mediante una expresión algebraica (función) el comportamiento
del área, perímetro, cantidad de triángulos y altura, dado el número de iteración.
La segunda tarea, en el contexto real, tuvo como base información estadística sobre el
crecimiento poblacional en el poblado de Atitalaquia, Hgo., y el consumo de agua por
persona, bajo ciertas consideraciones. Se pidió, analizar la información, complementarla y
realizar un modelo matemático que describiera el consumo del agua en función del
crecimiento poblacional en dicho poblado. La tercera tarea, fue propuesta en el contexto
hipotético; consistió en obtener el rendimiento de combustible de una camioneta en función
de la velocidad, bajo ciertas condiciones de manejo. Para abordar dicho problema, se
26 3.4 Descripción de las tareas
En este apartado se realiza la descripción de las tres tareas. Primero se presenta el problema
con algunas preguntas guías que servirán como elementos de discusión, análisis y reflexión.
Después, se propone información, tablas, figuras y gráficas que sirven para describir cada
tarea. Además, se incluyen puntos claves en torno a identificar los elementos que emergen
durante el proceso de solución.
3.4.1 Tarea en el contexto puramente matemático
a) El problema. Dado el segmento AB, (Fig. 3.1), ¿Se puede construir, con regla y compás, un triángulo equilátero cuyo lado sea la longitud de AB?
Para abordar la tarea, pueden iniciar contestando preguntas como ¿qué es un triángulo
equilátero?, ¿cómo se obtiene el perímetro de un triángulo equilátero? En esta fase, fue
fundamental la justificación de las construcciones. Se buscó, que se identificaran las
características propias de los triángulos. En esta idea, se solicitó responder lo siguiente: Si la
longitud de X es igual a 1 unidad, ¿cuál es el área y perímetro del triángulo?, ¿cuál es el
semiperímetro del triángulo? Para complementar la tarea, se pidió que reflexionaran los
siguientes cuestionamientos: ¿es posible construir dentro del triángulo equilátero ABC cuatro
triángulos equiláteros de áreas iguales? ¿Qué características tienen esos triángulos? ¿Son
27 Fig. 3.2 Primera iteración en la división del triángulo ABC.
Si se sabe el área del primer triángulo, ¿Qué relación tiene con el área de los nuevos
triángulos? ¿Cuál es la relación con sus perímetros de cada triángulo y la del triángulo inicial?
Posteriormente, se pidió que los estudiantes realizaran otra iteración (construir triángulos
dentro de las nuevas construcciones Fig. 3.2), en el ambiente lápiz y papel, y que se
obtuvieran área y perímetro. Para finalizar, se solicitó que realizaran las construcciones en
Geogebra y registraran sus observaciones en la tabla mostrada en el apéndice A.
3.4.2 Tarea en el contexto real
a) El problema. Los estudiantes recibieron información sobre la importancia de tener proyecciones del consumo de agua potable, para ciertos periodos de tiempo en el municipio
de Atitalaquia, Hidalgo. La problemática se justificó porque es común observar que el
desabasto en sus comunidades y cabecera municipal va en aumento. Al investigar en las
oficinas del sistema de agua potable municipal (Tezoquipa, Hgo.), sobre la distribución del
líquido, las autoridades comentan que no cuentan con un programa de abastecimiento que
logre la completa satisfacción en la población; dicen que el agua se distribuye según el día y
horario que le corresponda a cada manzana, de manera que algunas familias se quedan sin
agua. Mencionan además, que es un problema en constante crecimiento, porque actualmente
se ha incrementado considerablemente la cantidad de personas que solicitan conexión al
sistema de distribución, mismo que se encuentra en mal estado. En este sentido, se propuso
a los participantes que realizaran un modelo que aproximara el comportamiento en el
consumo de agua en el municipio de Atitalaquia, en función del crecimiento poblacional, el
28 servir como referente para que el municipio tenga elementos para seleccionar tubería,
válvulas y bombas en las próximas ampliaciones de la red de suministro.
b) Descripción del consumo. Estudios recientes realizados por la Organización Mundial de la Salud [OMS], mencionan que la cantidad de agua para el consumo diario es, en promedio,
de 20 litros (OMS, 2015). Sin embargo, otras dependencias, proponen que la cantidad de
agua que se requiere para preparación de la alimentación, aseo personal, etc. asciende a más
de 350 litros diarios por persona (Comisión Nacional del Agua [CONAGUA], 2013). Por
otra parte, datos del consejo consultivo del agua A.C., indican que cada mexicano consume
al día aproximadamente 360 litros de agua. (CONAGUA, 2013). Con estas ideas, se
aproximó que una persona del poblado de Atitalaquia, Hgo., consume diariamente 180 litros
de agua.
Con la información del consumo de agua por individuo al día, y conociendo que la cantidad
de personas que habitan en la comunidad es aproximadamente 30,000, se estima que
diariamente consumen 5,400,000 litros, equivalente a 5,400 m3, para contextualizar, un
tinaco de 1000 litros equivale a un metro cúbico de agua, en otras palabras son 5,400 tinacos
diarios.
Por otro lado, los datos del Instituto Nacional de Estadística y Geografía [INEGI], (2010),
indican que en el municipio de Atitalaquia había en 2010, un total de 26,904 personas y 6,645
viviendas tenían acceso al agua potable de la red pública. Para 2015, se contaban 29,683
habitantes y 7,801 hogares tenían acceso a la red pública de agua potable, además que hay
3.9 personas en promedio por hogar (INEGI, 2015). Considerando que la tasa de crecimiento
poblacional 2010-2015, fue del 2.1% (INEGI, 2010), se prevé que en 2020 se tenga una
población de 32,869 y 36,397 para 2025, (INEGI, 2010; 2015). Con base a la información
anterior se solicitó a los estudiantes elaborar un modelo que indicara el comportamiento en
el consumo de agua, en función del crecimiento poblacional en el municipio de Atitalaquia.
3.4.3 Tarea en el contexto hipotético
a) El problema. En diversas pruebas de conducción de vehículos automotores se ha observado que el rendimiento de gasolina depende de la velocidad a la que se conduzca y de
29 camioneta pick-up (Chevrolet-Tornado, 4cil, 105HP, modelo 2011, tamaño 1.8L, manual,
versión 2 PTS) es necesario identificar el rendimiento de combustible; para eso, se tomaron
datos de estudio que relacionan la velocidad y el consumo de gasolina, para el denominado
rendimiento carretero (Davis, Diegel y Boundy, 2012; SENER, 2018). Este tipo de
rendimiento es considerado para tramos donde la velocidad y aceleración se mantienen
idealmente constantes (autopistas). En este sentido la SENER, (2018), aclara que los valores
propuestos son de pruebas de laboratorio, razón por la cual, no se pueden reproducir en
condiciones de manejo habitual. De esta manera, se toma información del comportamiento
del consumo al variar la velocidad y medir los kilómetros recorridos por litro. Los datos
observados se muestran en la tabla y a partir de estos se construye una representación gráfica
(Fig. 3.3).
Suponiendo que la pick-up viaja de la ciudad A la ciudad B por una carretera que está
compuesta por los tramos como se muestra en la figura 3.4, en X0 y X1 la velocidad máxima
que se puede alcanzar es de 110 Km/h y en el tramo Y0 es de 90Km/h, se desea saber bajo
ciertas condiciones, cuál es el rendimiento promedio de cada tramo. Velocidad
Rendimiento carretero Km/h Km/l
20 6.56
30 8.85
40 11.15
50 13.15
60 14.45
70 15.65
80 16.7
90 17.1
100 16.75
110 15.6
120 13.55
130 10.35
140 7.4
150 3.9
0 5 10 15 20
0 50 100 150 200
R e n d imi e n to Velocidad
30 Fig. 3.4 Tramos carreteros.
3.5 Posibles rutas de solución
a) Tarea en el contexto puramente matemático. Referente a la construcción de las diferentes iteraciones en los triángulos congruentes, se pidió que la información se registrara
en la tabla propuesta (apéndice A), la cual es posible analizarla desde diferentes perspectivas:
(i) primero se puede explorar una función que determine la cantidad de triángulos en la
interacción n-ésima, para ello se espera que registren valores en una hoja de cálculo, para
contrastar y extender la variación entre la interacción y la cantidad de triángulos.
Posteriormente se podría cuestionar: ¿cuál será la cantidad de triángulos en la iteracción 5,
10 y 15 respectivamente? Para responder a esta pregunta, los estudiantes pueden analizar
casos particulares hasta que logren extender al caso general. Con esta acción, se pretende que
tengan presente la representación algebraica y que de esta manera observen la relación
existente entre datos e incógnitas. Es viable que los estudiantes representen la información
con un gráfico, para que conecten diferentes relaciones entre elementos fijos y variables. De
este modo, se espera que efectúen un análisis visual del comportamiento de los parámetros
(en cada caso particular).
(ii) En esta fase se pide que determinen una función, que al evaluarla cuando se conoce la
iteración como argumento, resulte el área de cada triángulo. Para esta parte, se deberán
realizar casos particulares hasta que se generalice para la iteración n. Similar a la etapa
anterior, se espera que hagan uso de diferentes representaciones; no obstante, se podrán
explorar otros conceptos matemáticos, tales como: suma, potenciación, área, altura del
31 con el cambio en el área. Además, se podrán determinar características propias de la función,
por ejemplo determinar si la función es convergente o divergente.
(iii) Finalmente, se pedirá que determinen una función, cuyo argumento es el número de
iteración, que devuelva como resultado el perímetro para cada triángulo. Se espera un análisis
idéntico a la fase ii; es decir, que se realicen diferentes representaciones y se identifiquen
relaciones covariacionales entre la cantidad de triángulos y la suma de sus perímetros. Esta
actividad permitió determinar características de relaciones funcionales.
b) Tarea en el contexto real. Una primera actividad para abordar la tarea consiste en analizar la información y completarla. Una pregunta que servirá de guía para avanzar en el proceso
de solución es ¿cómo ha sido el comportamiento del consumo de agua en función del
crecimiento poblacional en periodos de tiempo determinados? Para responder necesitarán
delimitar la información, ya que es un problema complejo de múltiples variables, por
ejemplo, si las personas están en casa la mayor parte del día, si prepara sus alimentos, la
frecuencia con que se asea, si poseen auto y cómo lo lavan (en casa o autolavado, con cubeta
o manguera), la manera de lavar los vidrios y pisos, si cuenta con sistemas de recolección de
agua de lluvia, si reutilizan el agua de la regadera o lavabo, la cantidad de agua consumida
por ganado o mascotas, etc. Aquí la importancia de proponer hipótesis que simplifiquen el
problema y poder abordarlo mediante herramientas matemáticas.
Se espera que los estudiantes reflexionen de manera retrospectiva, por ejemplo ¿cómo
estiman el consumo de agua las organizaciones nacionales e internacionales? Por otro lado,
se pretende que una vez completada y analizada la información, la organicen en diferentes
representaciones (tablas, gráficas o de manea verbal) y que se haga uso de software dinámico
como Geogebra, para modelar y generar conexiones que permitirán validar el modelo y sus
conclusiones.
c) Tarea en el contexto hipotético. Para este caso, es posible interpretar la información bajo ciertas premisas que guíen las directrices del problema. Como se pude observar en el gráfico
de la Fig. 3.4, hay tramos en donde la velocidad aumenta, ¿cómo es en estos tramos el
rendimiento? Si se observa la información es posible identificar que no se indica cuál es la
32 donde se hacen los cambios de velocidad aparecen otros factores a considerar, por ejemplo
el frenado y acelerado, por esto se podría cuestionar cómo se comporta el consumo de
combustible. En este análisis podremos tomar distintas rutas que ayuden a explorar las
relaciones que existen entre elementos importantes por ejemplo, la distancia contra la
velocidad, la velocidad alcanzada en los tramos carreteros y los puntos de cambio, etcétera.
3.6 Recolección de la información
La información que se obtuvo para realizar el análisis e identificar los elementos que
emergieron al abordar las tareas de instrucción en los contextos y características previamente
mencionadas, los cuales servirán para diseñar otras tareas que permitan robustecer el
entendimiento del concepto de función, fueron de carácter cualitativo, tales como evidencia
fotográfica, toma de audio, video y evidencia escrita. Se resalta que la recolección se realizó
bajo la autorización de los estudiantes, quienes eran mayores de edad y en pleno uso de sus
facultades físicas y mentales, por lo que no requirió solicitar permiso formal a la institución,
no obstante se informó a los directivos respecto de la implementación de las tareas y el uso
33
Capítulo 4. Análisis y Resultados
4.1 Introducción
Este capítulo tiene el propósito de determinar de qué manera, tareas desarrolladas por
estudiantes de licenciatura orientadas al análisis covariacional en diferentes contextos,
favorecieron el desarrollo de entendimiento del concepto de función. Además de identificar
los elementos que emergieron al abordar las tareas relacionadas con la covariación en
diferentes contextos. Está integrado por tres secciones, en la primera se hace un análisis de
los elementos matemáticos que surgieron de forma común en el desarrollo de las actividades.
En el siguiente apartado se interpretan los resultados de las tareas en el contexto puramente
matemático, hipotético, real. En la última sección se lleva a cabo una comparación entre los
aportes de cada tarea, en el contexto correspondiente, para fortalecer el entendimiento del
concepto de función.
Para realizar el análisis, durante la primera y tercera actividad, se identificaron líderes en
cada equipo, a cada uno se le asignó un número del 1 al 6. El seguimiento de las actividades
se realizó a través del líder, debido a que fueron quienes mostraron interés en el desarrollo
de las tareas e influyeron y organizaron la actividad del resto de los integrantes del equipo.
Para la tarea dos se formaron 5 equipos y se numeraron. De manera similar a las otras
actividades se identificó a un líder para dar el seguimiento correspondiente.
4.2 Análisis y fases importantes
4.2.1 Análisis en el contexto puramente matemático
La solución de esta tarea pudo tomar diferentes rutas, pero se orientó por fases previamente
planificadas. En la fase (i) se analizaron elementos de construcción de triángulos y los
elementos que los caracterizan; en la fase (ii) se reflexionó sobre el concepto de área y
perímetro, así como la forma de obtenerlos, en la fase (iii) se analizaron conceptos de
congruencia entre triángulos, covariación entre la cantidad de triángulos y el área, así como
la cantidad de triángulos y el perímetro, identificación de distancia entre dos puntos,
obtención del punto medio y construcción de triángulos a partir de condiciones dadas.
Posteriormente se pidió que trabajaran con Geogebra, ahí se solicitó representar los triángulos
