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(1)

TEMA 7 – INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS.

APLICACIONES

TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

EJERCICIO 1 : Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo [1, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo: f

 

x 2x2 3x

 

Solución:

   

  

3

1 3 1

1 2 1

1 2 1 2

1 2 2 1,

T.V.M.       

 

f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2]. EJERCICIO 2 : Dada la función: f

  

xx1

3

Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0, 1]. ¿Es creciente o decreciente la función en dicho intervalo?

Solución:

 

 

 

1

1 1 1

1 0 0 1

0 f 1 f 1 ,

0     

  

T.V.M.

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en este intervalo.

EJERCICIO 3 : Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

1,0

a)

1,2

b)

Solución:

   

 

 

2 1

1 1 1

1 1 1 0

1 0 0 , 1 T.V.M.

a)      

 

  

f f

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [–1,0]. (También se puede apreciar directamente en la gráfica).

   

2

1 2 0 1 2

1 2 2 , 1 T.V.M.

b)   

 

f f  La función decrece en este intervalo.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN

EJERCICIO 4 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

 

2 1

  x x f

Solución:

 

   

lim(x 1) 2

1 x

) 1 x ).( 1 x ( lim 1 x

1 x lim 1

x 2 ) 1 x ( lim 1

x 1 f x f lim 1 ' f

1 x 1

x 2

1 x 2

1 x 1

x    

  

  

   

  

 

 

EJERCICIO 5 :

 

.

3 1 función

la para (1) derivada, de

definición la

utilizando

Calcula, f xx

Solución:

 

   

3 1 3 1 lim 1 x

0 3

1 x

lim 1

x 1 f x f lim 1 ' f

1 x 1

x 1

x

 

  

    

 

EJERCICIO 6 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1)2 en x=2, aplicando la definición de derivada

Solución:

 

   

lim x 2

2 x

2 x x lim 2

x x 2 x lim 2

x

1 1 x 2 x lim 2

x 1 1 x lim 2

x 2 f x f lim 2 ' f

2 x 2

x 2

2 x 2

2 x 2

2 x 2

x

 

  

  

    

   

  

 

 

(2)

EJERCICIO 7 :

 

 

. x x f ,

f' 1 siendo 2

calcula derivada,

de definición la

Aplicando

Solución:

 

   

x 2

2 lim x ) 1 x ( ) x 1 ( 2 lim x 1 x x 2 2 lim 1 x x x 2 2 lim 1 x 2 x 2 lim 1 x 1 f x f lim 1 ' f 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 

                      

FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN

EJERCICIO 8 : Halla f´(x), aplicandola definicióndederivada: a) f(x)x21 b)

 

3 1

  x

x

f c) f

 

x2x2 d)

 

x x

f1 e)

 

3 2x x

f

Solución:

a)

 

  

 

 

          h 1 x 1 xh 2 h x lim h 1 x 1 h x lim h x f h x f lim x ' f 2 2 2 0 h 2 2 0 h 0 h

x 2 x 2 h lim h x 2 h h lim h xh 2 h lim 0 h 0 h 2 0

h   

      

b)

 

  

3 1 h 3 h lim h 3 h lim h 3 1 x 1 h x lim h 3 1 x 3 1 h x lim h x f h x f lim x ' f 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h                     

c)

 

  

 

 

 

     

    h x 2 xh 4 h 2 x 2 lim h x 2 xh 2 h x 2 lim h x 2 h x 2 lim h x f h x f lim x ' f 2 2 2 0 h 2 2 2 0 h 2 2 0 h 0 h

x 4 x 4 h 2 lim h x 4 h 2 h lim h xh 4 h 2 lim 0 h 0 h 2 0 h          

d)

 

  

                        

 hxx h

h lim h h x x h lim h h x x h x x lim h h x x h x x lim h x 1 h x 1 lim h x f h x f lim x ' f 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h

2

0 h x 1 h x x 1

lim  

  

e)

 

  

3 2 h 3 h 2 lim h 3 h 2 lim h 3 x 2 h 2 x 2 lim h 3 x 2 3 h x 2 lim h x f h x f lim x ' f 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h                 

CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS

EJERCICIO 9 : Halla la función derivada de:

 

3 2 5

a) 4

 

x x

x

f

 

x

e x

f

b) c)f

 

x2x3x21 d)f

 

xlnx

 

3 2

e) f xx5x f)f

 

xsenx

 

5 1 3

g)f xx3x2 h)f

 

xcosx

 

4 3 2

i)f xx3x2 j)f

 

xtgx

 

1 2 2 k) 2    x x x

f l)f

 

xxex

 

2 1 3 m) 2    x x x

f n) f

 

xx2senx

 

3 1 ñ) 2    x x x

f o)f

 

xxlnx

 

x x x

f 2

p)  

 

x

e x x

f 3 1

q)  

 

3 2 3 r) 2   x x x

f s) f

 

x3xsenx

Solución:

a) f'

 

x 12x32 b) f'

 

x ex c) f'

 

x 6x22x

 

x 1 x ' f ) d 

 

3 1 x 10 x '

f  4

(3)

 

x 12x 6x '

f

i)  2

 

x cos 1 x 1 x ' f j) 2 2    tg

 

2

2 2 2 2 2 2 1 x 2 4 x 2 x 2 1 x 2 4 x 2 x 2 x 4 1 x 2 2 2 x 1 x 2 x 2 x ' f k)              

 l) f'

 

x exxex 

1x

ex

 

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 6 x 2 x 3 2 x x 2 x 6 6 x 3 2 x x 2 1 x 3 2 x 3 x ' f m)              

 n)f'

 

x 2x senxx2cosx

 

2

2 2 2 2 2 2 3 x 1 x 6 x 3 x x 1 x 6 x 2 3 x x 1 3 x x 2 x ' f ñ)                

 

lnx 1

x 1 x x ln x ' f

o)     

 

2 x 2 x 2 1 x ' f

p)  

 

 

 

x 2 x

x 2 x x x e x 3 2 e 1 x 3 3 e e e 1 x 3 e 3 x ' f

q)        

2

2 2 2 2 2 2 3 2 18 6 3 2 6 18 12 3 2 2 3 3 2 6             x x x x x x x x x x x x ' f ) r

s)

 

senx x cosx

x x cos x x sen x x

f      3 

3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 '

CÁLCULO DE DERIVADAS

EJERCICIO 10 : Halla la función derivada de: a)

 

2

4

3x x x

f   b)

 

4 3 1

x

x

f c)

 

x x

e x

f 4 32

d) f

 

xln

3x42x

e)

 

        3 2 1 x x sen x

f

 

3 9 3 f) 2 4 x x x

f  

 

1 2 3 g) 2 2    x x x

f h) f

 

xxex

 

3 1 2 8

i) f xx5x3 j)f

 

x

x43x

ex

 

         1 k) 2 x x sen x

f

 

5 6 2 3 l) 3 4 x x x

f  

 

1 2 3 m) 3 2    x x x

f n) f

 

xln

x42x

 

5 3 2 ñ) 2 4 x x x

f   

 

x x x x f 3 4 3 o) 2   

 

2 3

p)f xx3

 

4 7

5 3 2 1

q)f xxx r) f

 

xexsenx

 

          2 3 s) 2 x x cos x f

 

3 2 4

t) f xx5x u) f

 

x

x23x

ex

 

          1 1 v) 2 x x sen x f

 

1

4 3

w) f x x7x

 

1 3 4 x) 2 3    x x x

f y) f

 

xe7x43

 

3 1 3 9

z) f xx2x4

 

2 3 4 3 1) x x x f

2) f

 

xln

2x53x

 

7 2 3 3) 5 x x x

f   4) f

 

xx4cosx

 

1

1 2 5)    x x e x f

 

2 5

3 4 6) 6  

x x

x

f

 

1 2 7) 2   x x x

f 8) f

 

x2x3x4

Solución:

a) f'

 

x 4

3x2x

3

6x 1

b)

 

1 4 6 1 4 2 12 12 1 4 2 1 ' 3 2 3 2 2 3        x x x x x x x f

(4)

d)

 

x x x x x x x f 2 3 2 12 2 12 2 3 1 ' 4 3 3 4       

e)

 

 

                                       3 x 2 1 x 3 x 2 5 3 x 2 1 x 3 x 2 2 x 2 3 x 2 3 x 2 2 1 x 3 x 2 3 x 2 1 x x ' f 2 2

2 cos cos

cos

 

3 x 18 x 12 x ' f

f)  3

 

  

 

2 2

2

2

3 3 2 2 2 2 1 x x 2 1 x x 4 x 6 x 6 x 6 1 x x 2 2 x 3 1 x x 6 x ' f g)              

 

x e xe e

1 x

' f

h)  x x  x  i) f'

 

x 40x46x2

 

x

4x3 3

 

ex x4 3x

 

ex 4x3 3 x4 3x

 

ex x4 4x3 3x 3

ex '

f

j)            

 

               2 2 2 2 1 x x 2 x 1 x 1 x x cos x ' f k)

                       

 x 1

x cos 1 x 1 x 1 x x 2 1 x 1 x x cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2

 

5 x 18 x 6 5 x 18 2 x 12 x ' f l) 2 3 2 3    

 

 

           2 3 2 4 4 2 3 2 2 3 1 x 2 x 18 x 6 x 2 x 4 1 x 2 x 6 3 x 1 x 2 x 2 x ' f m)

3

2

2 4 1 x 2 x 2 x 18 x 2    

 

x 2 x 2 x 4 2 x 4 x 2 x 1 x ' f n) 4 3 3 4       

 

5 x 6 x 8 x ' f ñ) 3   

 



             2 2 2 2 2 2 2 x 3 x 12 x 8 x 9 x 6 x 9 x 3 x 3 x 3 x 2 4 x 3 x 3 x 3 x ' f o)

2

2 2 3 12 8 3 x x x x     

 

3 x 2 x 3 3 x 2 2 x 6 x 6 3 x 2 2 1 x ' f p) 3 2 3 2 2 3       

 

3 6

x 5 21 x 2 x ' f

q)  

 

x ex senx ex cosx

senx cosx

ex '

f

r)      

 

                                          2 x x 3 sen 2 x x 6 6 x 3 2 x x 2 x 3 2 x 3 2 x x 3 sen x ' f s) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

                          2 x x 3 sen 2 x 6 x 3 2 x x 3 sen 2 x 6 x 3 2 2 2 2 2 2 2 2

 

3 2 x 20 x '

f  4

t)

  

x 2x 3

e

x 3x

e e

2x 3 x 3x

 

e x x 3

'

f   x 2 x  x   2  x 2 

u)

 

                                                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x x 2 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 1 x 1 x 1 x 1 x x '

f cos cos cos

v)

             1 1 1 1 2 2 2 2 2 x x cos x x x

 

4 3 x 7 x '

f  6

(5)

 

 

2

2

2 4

2 2

4 2 4

2 2

3 2

2

1 x

x 6 x 12 x 4

1 x

x 6 x 8 x 12 x 12

1 x

x 2 3 x 4 1 x x 12 x ' f

    

    

   

x)

 

7x4 3

 

3 3 7x4 3 e x 28 x 28 e

x '

f      

y)

 

x 18x 12x3 '

f  

z)

 

2

2

4 2

2 2

4 4 2

2 2

3 2 2

x 4

x 3 x 36

x 4

x 6 x 9 x 36

x 4

x 2 x 3 x 4 x 9 x ' f

   

   

   

1)

 

x 3 x 2

3 x 10 3 x 10 x 3 x 2

1 x

' f

5 4 4

5

    

 

2)

 

7 2 x 15 x ' f

4

  3)

 

x 4x x x

senx

4x x x senx '

f  3cos  4   3cos  4 4)

 

2

2 1 x

1 x

2 2 2

1 x

1 x

2 2 1

x 1 x

1 x

1 x 2 x e 1

x

1 x x 2 x 2 e 1

x

1 x 1 x x 2 e x ' f

2 2

2

     

     

   

 

 

 

5)

 

2 8x 2

3 x 24 x '

f 5

5

   

6)

 

2

2

2

2 2

2 2

2 2 2

1 x

2 x 2

1 x

x 4 2 x 2

1 x

x 2 x 2 1 x 2 x ' f

    

   

   

7)

 

4 3

4 3

4 3 3

4 2x 3x

x 6 1

x 3 x 2 2

x 6 1 2

x 3 x 2 2

x 12 2 x 12 2 x 3 x 2 2

1 x

' f

             8)

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA

EJERCICIO 11 : Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=x2+ 2x-1 en el punto de abscisa x=1.

Solución: y – f(1) = f ‘ (1).(x – 1)

 f(1) = 12 + 2.1 – 1 = 2

 f ‘ (x) = 2x + 2  f ‘ (1) = 2 + 2 = 4

 La recta será:y24

x1

y4x2

EJERCICIO 12 : Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 - 3x que tenga pendiente 7.

Solución: m = -7 = f ‘ (x)  f ‘(x) = 4x – 3 = -7  x = -1

 y – f(-1) = f ‘ (-1).(x + 1)

 f(-1) = 2.(-1)2 – 3.(-1) = 2 + 3 = 5

 f ‘ (-1) = -7

 La recta será: y57

x1

y7x2

EJERCICIO 13 : Hallalaecuacióndelarectatangentealacurva yx queseaparalelaa.larecta 1

4 1

  x y

Solución: Lapendientedelarectaes

4 1 m

 La pendiente es igual a la derivada: x 4 4

1

x 2

1

   

 y – f(4) = f’(4)(x - 4)  La recta será:

x 1 4 1 y 4 x 4 1 2

(6)

ESTUDIO DE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN

EJERCICIO 14 : Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las siguientes funciones: a)

 

3 2 2 1

 

x x

x

f b)

 

3

2x x

f c)

 

2

3 12

3 x x

x

f    d) f

  

xx2

2 e)

 

2 1 3

2

 

x x

x f

Solución: a)

 D(f) = R

 

6 2

'  

f x x

  

     

3 / 1 x 0 2 x 6 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (1/3,+) Decreciente (-,1/3)

Mínimo (1/3,f(1/3)) = (1/3,2/3) b)

 D(f) = R

 

x 6x2 '

f 

 

    

    

0 x 0 x 6 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

2

Creciente en todo R

c)

 D(f) = R

 

x 12 6x '

f  

 

  

     

2 x 0 x 6 12 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (-,2) Decreciente (2,+) Máximo (2,f(2)) = (2,15)

d)

 D(f) = R

 

x 2(x 2) '

f  

 

  

      

2 x 0 4 x 2 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

(7)

e)

 D(f) = R

 

2 3 2

'  

f x x

  

     

2 / 3 x 0 3 x 2 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (3/2,+) Decreciente (-,3/2)

Mínimo (3/2,f(3/2)) = (3/2,-5/8) EJERCICIO 15 : Dada la función:f

 

x4x22x1

a) ¿Es creciente o decreciente en x = 0? ¿Y en x = 1?

b) Halla los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Solución: f'

 

x 8x2

 

0 2 0 Decrecienteen 0 '

a) f    x

f'

 

1 60  Crecienteenx 1 b)  D(f) = R

 f'

 

x 8x2

  

     

4 / 1 x 0 2 x 8 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (1/4,+) Decreciente (-,1/4)

Mínimo (1/4,f(1/4)) = (1/4,3/4)

EJERCICIO 16 : Consideramos la función: f

 

x 5x2 3x

 

a) ¿Crece o decrece en x 1? ¿Y en x  1?

b) Halla los tramos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. Solución:

 

10 3 '

a) f xx

 

1 13 0 Decrecienteen 1

'     x

f

 

1 7 0 Crecienteen 1

'    x

f

b)  D(f) = R

 f'

 

x 10x3

  

     

10 / 3 x 0 3 x 10 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (3/10,+) Decreciente (-,3/10)

Mínimo (3/10,f(3/10)) = (3/10,9/20)

EJERCICIO 17 : Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

 

2

8x x x

f  

Solución:  D(f) = R

 

x 8 2x '

f  

 

  

     

4 x 0 x 2 8 0 ) x ( ' f

(8)

Creciente (-,4) Decreciente (4,+) Máximo (4,f(4)) = (4,16)

EJERCICIO 18 : Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

 

4

3

2

x x x

f  

Solución:

 D(f) = R

 

4 3 x 2 x '

f  

 

    

     

2 / 3 x 0 4

3 x 2 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (3/2,+) Decreciente (-,3/2)

Mínimo (3/2,f(3/2)) = (3/2,-9/16) EJERCICIO 19 : Dada la siguiente función:

 

2

7 14x x x

f  

a) ¿Es creciente o decreciente en x = 0? ¿Y en x = 4?

b) Halla los tramos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. Solución:

 

x x f' 14 14

a)  

 

0 14 0 Crecienteen 0

'    x

f

 

4 42 0 Decrecienteen 4

'    x

f b)

 D(f) = R

 

x 14 14x '

f  

 

  

     

1 x 0 x 14 14 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (-,1) Decreciente (1,+) Máximo (1,f(1)) = (1,7)

APLICACIONES DE LA DERIVADA

EJERCICIO 20

 

1.

abscisa la

de punto el en 1 3 curva

la a tangente recta

la de ecuación la

Halla

a) 3 2

  

x

x x x

f

 

en 3? e

decrecient o

creciente ¿Es

b) f x x

Solución:

a) y – f(1) = f ‘(1)(x – 1)  f(1) = 1 – 3 + 1 = -1

 f'

 

x 3x26x  f ‘ (1) = 3 – 6 = -3

 La recta será: y13

x1

y3x2

 

3 9 0 Escrecienteen 3. '

b)f    x

EJERCICIO 21 : Dadalafunción: f

 

x3x2x

(9)

b Halla los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Solución:

a) y – f(1) = f ‘(1)(x – 1)  f(1) = 3 – 1 = 2

 f'

 

x 6x1 f ‘ (1) = 6 – 1 = 5

 La recta será: y25

x1

y5x3 b

 D(f) = R

 

x 6x 1 '

f  

 

  

     

6 / 1 x 0 1 x 6 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (1/6,+) Decreciente (-,1/6)

Mínimo (1/6,f(1/6)) = (1/6,-1/12) EJERCICIO 22 : Consideremos la función:

 

2 1

2 3 2

 

x x

x f

 

enelpuntodeabscisa 2. a

tangente recta

la de ecuación la

Obtén

a) f x x

b) Halla los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

Solución:

a) y – f(2) = f ‘(2)(x – 2)  f(2) = 6 – 4 + 1 = 3

 f'

 

x 3x2  f ‘ (2) = 6 - 2 = 4

 La recta será: y34

x2

y4x5 b

 D(f) = R

 

x 3x 2 '

f  

 

  

     

3 / 2 x 0 2 x 3 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

Creciente (2/3,+) Decreciente (-,2/3)

Mínimo (2/3,f(2/3)) = (2/3,1/3)

PUNTOS DE TANGENTE HORIZONTAL

EJERCICIO 23 : Halla y representa gráficamente los puntos de tangente horizontal de la función:

 

xx3x28x12

f

Solución:

 

    

                

3 4 6

8 2 6

10 2 6

96 4 2 0

8 2 3

' 2

x x x

x x x f

  

  

27 500 3 4 y 0 2 :

Puntos , ,

2, 0

. 27 500 , 3

4

en Mínimo

en

Máximo 

  

(10)

EJERCICIO 24 :

 

, hallasuspuntossingulares yrepreséntalos 1

2

función la

Dada

2 2

 

x x x f

Solución:

 

 

  

   

   

 0

1 4 1

4 4 4 1

2 2 1 4 '

2 2

2

3 3

2 2

2 2

x x

x

x x x

x

x x x

x x

f x0  Punto:

0,0

(0,0) en Máximo

EJERCICIO 25:

 

y

9 9

función la

de horizontal tangente

de puntos los

Averigua

2

 

x x x

f represéntalos

Solución:

 

 

   

   

   

 0

9 81 9

9 18 81 9

9 2 9 9 9 '

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

x x

x

x x

x

x x x

x f

      

      

   

 

 

  

     

2 3 3 : Punto 3

2 3 3 : Punto 3

9 0

81 9

2 1 2

2

, x

, x

x x

. 2 3 , 3

2 3 , 3

     

   

 

en Máximo

en Mínimo

EJERCICIO 26 : Halla y representa gráficamente los puntos de tangente horizontal de la siguiente función: f(x)(x1)2(x5)

Solución:

 



 

 

 

 

 

f' x 2x 1 x 5 x 12 x 1 2 x 5 x 1

x1



2x10x1

 

 x1



3x9

0

  

 

 

  

32 , 3 3

x 1 x

: Punto

0 1, : Punto

0). (1, en Mínimo

32) 3, ( en Máximo 

EJERCICIO 27 : Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos: f

 

xx36x215x

Solución:

 

3 12 15 0 4 5 0

'  2     2   

(11)

    

 

 

 

              

100 , 5 Punto 5

8 , 1 Punto 1

2 6 4 2

20 16 4 ;

2 6 4 2

20 16 4

x x x

x

8). -(1, en Mínimo

) 5 ( en

Máximo  ,100

EJERCICIO 28 : Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

 

2

3 2

  

x x x

f

Solución:

 

2

2

2 2 2

2 2

2 3 4 2

3 4 2 2

3 2 2 '

     

     

     

x x x x

x x x x

x x

x x

f

 

          

f' x 0 x2 4x 3 0 x2 4x 3 0

    

 

 

 

         

6 , 3 Punto 3

2 , 1 Punto 1

2 2 4 2

12 16 4

x x x

EJERCICIO 29 : Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función: 1

9 3 2 3

  

x x x

y

Solución: D(f) = D(f ‘) = R

 

     

    

2 12 4 2 0

3 2 3 9 6 3

' 2 2

x x

x x

x y

   

   

 

  

26 3 Punto 3

6 1 Punto 1

2 4

2 x ,

, x

26). -(3, en Mínimo

) 1 ( en Máximo  ,6

EJERCICIO 30 : Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

 

2

3

 

x x x f

Solución:

 

2

2 3

2 3 2 3

2 3 2

2 6 2 2

6 3 2

2 3

'

   

   

  

x x x x

x x x x

x x

x x f

 

    

 

 

    

  

 

27 , 3 Punto 3

0 , 0 Punto 0

0 6 2 0

6 2 0

' 3 2 2

x x x

x x

x x

f

EJERCICIO 31 : Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

 

4 2

2x x x

f  

Solución:

 

      

 

  

  

 

  

  

1 , 1 Punto 1

0 , 0 Punto 0

1 1 Punto 1

0 1 4

4 4

' 3 2

x x

, x

(12)

(1,-1) y 1) -(-1, en Mínimo

) ( en Máximo 0,0

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIO 32 : La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a Máximos y mínimos.

b Puntos de corte con los ejes. c Ramas infinitas.

d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Solución:

 

 

3 3 Hay unmínimoen

3, 3

0

3 a)

  

    

  f

' f

 

 

0 3 Hay unmáximoen

0,3

0

0

   

f ' f

,

 

, ,

 

, ,

,

. )

b 4 0 2 0 3 0 y 0 3 )

c

 

 

 



  

f x lim f x lim

x

x ;

en Decrece )

d

,3

y en

0, 

;creceen

3,0

.

EJERCICIO 33 : Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Solución:

 Asíntota vertical: x  0  Posición de la curva:

 



 



x f lim x

f lim

x

x 0 0

;

Asíntota horizontal: y  0  Posición de la curva:

    

 

 

0 Si

0 Si

y , x

y , x

,0

y en

0,

.

en e decrecient es

función

La  

(13)

EJERCICIO 34 : A partir de la gráfica de f (x):

a ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? b Di cuáles son sus asíntotas.

c Indica la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales.

Solución: a (0, 0)

b Asíntotas verticales: x 1, x  1 Asíntota horizontal: y  0

 



 



 

x f lim x

f lim

x

x 1 1

; )

c

 



 



x f lim x

f lim

x

x 1 1

;

EJERCICIO 35 : Representaunafunciónpolinómica f

 

x , delaquesabemosque:

 



 



  

f x lim f x

lim

x

x ;

2, 2

yen

0,2

. en

0 es derivada

Su  

 

 

. 3,0 , 1, 0 , 1,0 y 0,2 en

ejes los a

Corta  

Solución:

EJERCICIO 36 : Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:

La derivada no se anula en ningún punto.

La función es decreciente.

Corta a los ejes en (-1, 0) y en (0,-1)

 



 

 

x f lim x

f lim

x

x 2 2

;

Tiene una asíntota horizontal en y  1. Además:

Solución:

1 2

1

1

EJERCICIO 37 : Representagráficamenteunafunciónf(x),delaqueconocemoslosiguiente:

1, 4

yen

1, 4

.

en anula se derivada

Su  

 No corta a los ejes.

 



 

 

x f lim x

f lim

x

x 0 0

(14)

Tiene una asíntota oblicua, que es y 2x. Además:

Solución:

EJERCICIO 38 : Estudia y representa la siguiente función: f

 

xx33x2 Solución:

 Dominio: D(f) = R

 Puntos de corte con los ejes:

    

 

 

  

 

  

) 4 , 2 ( Punto 2

) 0 , 0 ( Punto 0

0 3 0

3

eje el

Con 3 2 2

x x x

x x

x X

0,0

Punto 0

0 : eje el

Con Y x  y 

 Ramas infinitas:



 

 

2 3

x 2

3

x

x 3 x lim ;

x 3 x lim

 Monotonía y extremos: D(f) = R

 

    

  

 

 

      

 

 

) 4 , 2 ( 2

x

) 0 , 0 ( 0

x 0 ) 2 x ( x 3 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

x 6 x 3 x '

f 2

Punto Punto

Creciente: (-,-2)  (0,) Decreciente: (-2,0) Máximo: (-2,4) Mínimo: (0,0)

 Curvatura y puntos de inflexión: D(f) = D(f ‘) = R

 

  

        

 

1 x 0 6 x 6 0 ) x ( ' ' f

R ) ' f ( D 6 x 6 x ' ' f

Cóncava: (-,-1) Convexa: (-1,)

Punto de Inflexión: (-1,2)

(15)

EJERCICIO 39 : Estudia y representa la función:

 

4 2

2x x x

f  

Solución:

 Dominio: D(f) = R

 Puntos de corte con los ejes:

      

 

 

 

 

 

  

  

) 0 , 2 ( Punto 2

) 0 , 0 ( Punto 0

) 0 , 2 ( Punto 2

0 2 0

2

eje el

Con 4 2 2 2

x x x

x x x

x X

Con el eje Y  x = 0  y = 0  Punto (0,0)

Ramas infinitas:



 

 

2 4 x 2

4 x

x 2 x lim ;

x 2 x lim

 Monotonía y extremos: D(f) = R

 

      

    

       

  

 

1 x

1 x

0 x 0 ) 1 x ( x 4 0 ) x ( ' f

R ) ' f ( D

x 4 x 4 x '

f 3 2

Creciente: (-1,0)  (1,+) Decreciente: (-,-1)  (0,1) Máximo: (0,0)

Mínimo: (-1,-1), (1,-1)

 Curvatura y puntos de inflexión: D(f) = D(f ‘) = R

 

    

        

 

3 / 1 x 0 4 x 12 0 ) x ( ' ' f

R ) ' f ( D 4 x 12 x ' ' f

2 2

Cóncava:

    

  

 

3 1 , 3 1

Convexa:

    

  

       

  

 

 ,

3 1 3

1 ,

Punto de Inflexión:

    

  

 

9 5 , 3 1

(16)

EJERCICIO 40 : Estudia y representa la siguiente función:

 

2 3

 

x x x f

Solución:

 Dominio R- {2}

 Puntos de corte con los ejes:

0,0

Punto 0

0 2 3 0

eje el

Con    

  

x

x x y

X

0, 0

Punto 0

0

eje el

Con Yx  y  

 Asíntota vertical: x  2

 



 



 

 

x f lim x

f lim

x

x 2 ; 2

Asíntota horizontal: y  3

3 con , 3 2 3

3 con , 3 2 3

 

 

 

 

y x

x lim

y x

x lim

x x

 Monotonía y extremos: D(f) = R – {2}

 

 

 

    

       

  

   

   

  

solución tiene

No 0 6 0 2 x

6 x

' f

2 R ) ' f ( D

2 x

6

2 x

x 3 6 x 3

2 x

x 3 2 x 3 x ' f

2 2

2 2

Creciente: (0,) Decreciente: (-,0)

No existe ni máximo ni mínimo

 Curvatura y puntos de inflexión: D(f) = D(f ‘) = R – {2}

 

    

    

  

  

    

solución tiene

No 0 ) 2 x (

12 0

) x ( ' ' f

} 2 { R ) ' f ( D

) 2 x (

12

) 2 x (

) 2 x ( 2 ). 6 ( ) 2 x .( 0 x ' ' f

3 3

4 2

Cóncava: (-,0) Convexa: (0,+)

Punto de Inflexión: No existe

(17)

EJERCICIO 41 : Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

 

1 2   x x x f Solución:

 Dominio R – {-1}

 Puntos de corte con los ejes:

0,0

Punto 0 0 1 0 eje el Con 2         x x x y X

0,0

Punto 0 0 eje el

Con Yx  y  

 Asíntotas verticales: x 1

 



 



    x f lim x f lim x

x 1 1

;

Asíntota horizontal:   

  

 x 1

x lim ) x ( f lim 2 x x

 No existe asíntota horizontal Asíntota oblicua: y = mx + n

                                                              1 1 1 1 x x lim 1 x x x x lim x . 1 1 x x lim mx ) x ( f lim n 1 x x x lim x 1 x x lim x ) x ( f lim m x 2 2 x 2 x x 2 2 x 2 x x 1 x y 

         ) 100 ( t sin A ) 100 ( f ) 100 ( t sin A ) 100 ( f

 Monotonía y extremos: D(f) = R – {-1}

 

 

 

                                        2 x 0 2 x 0 x 0 ) 2 x ( x 0 x 2 x 0 1 x x 2 x x ' f 1 R ) ' f ( D 1 x x 2 x 1 x x x 2 x 2 1 x 1 . x ) 1 x ( x 2 x ' f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Creciente: (-,-2)  (0,+) Decreciente: (-2,-1)  (-1,0) Máximo (-2,-4) y Mínimo (0,0)

 Curvatura y puntos de inflexión: D(f) = D(f ‘) = R – {-1}

 

                                    solución tiene No 0 ) 1 x ( 2 0 ) x ( ' ' f } 1 { R ) ' f ( D ) 1 x ( 2 ) 1 x ( x 4 x 2 2 x 2 x 2 x 2 ) 1 x ( 2 ). x 2 x ( ) 1 x ).( 2 x 2 ( ) 1 x ( ) 1 x ( 2 ). x 2 x ( ) 1 x ).( 2 x 2 ( x ' ' f 3 3 3 2 2 3 2 4 2 2

Cóncava: (-,-1) Convexa: (-1,+)

Punto de Inflexión: No existe

(18)

EJERCICIO 42 : Estudia y representa la siguiente función:

 

2

3

 

x x x f

Solución:

 Dominio R – {2}

 Puntos de corte con los ejes:

0,0

Punto 0

0 2 0

eje el Con

3

      

x

x x y

X

0,0

Punto 0

0

eje el

Con Yx  y  

 Asíntota vertical: x  2

 



 



x f lim x

f lim

x

x 2 2

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador.

 



 



  

f x lim f x lim

x

x ;

 Monotonía y extremos: D(f) = R – {2}

 

 

 

    

  

     

   

  

   

   

  

3 x

0 x 0 3 x x 2 0

x ' f

2 R ) ' f ( D

2 x

3 x x 2

2 x

x 6 x 2

2 x

x x 6 x 3

2 x

x 2 x x 3 x '

f 2

2 2

2 2 3

2 3 2 3

2 3 2

Creciente: (3,+)

Decreciente: (-,0)  (0,2)  (3,+) Mínimo: (3,27)

 Curvatura y puntos de inflexión: D(f) = D(f ‘) = R – {2}

 

    

    

         

     

   

 

 

   

     

 

   

 

 

  

ución Notienesol 0

5 x 3 x

0 x 0 ) 5 x 3 x ( x 4 x

20 x 12 x 4 0 )

2 x (

x 20 x 12 x 4 0 ) x ( ' ' f

} 2 { R ) ' f ( D

) 2 x (

x 20 x 12 x 4

) 2 x (

x 12 x 2 x 4 x 24 x 12 x 12 x 6

) 2 x (

2 ) x 6 x 2 ( ) 2 x )( x 12 x 6 (

) 2 x (

) 2 x ( 2 ) x 6 x 2 ( ) 2 x )( x 12 x 6 ( x ' ' f

2 2

2 3 3

2 3

3 2 3

3

2 3 2

2 3

3

2 3 2

4

2 3 2 2

0

Cóncava: (0,2)

Convexa: (-,0)  (2,+) Punto de Inflexión: (0,0)

(19)

EJERCICIO 43 : Representa gráficamente la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

 

x x x

f 2

3

 

Solución:

 Dominio R - {0}

 Puntos de corte con los ejes: (-1,26;0)

 Asíntota vertical: x  0:

 



 



x f lim x

f lim

x

x 0 0

;

Rama parabólica:

 



 



  

f x limf x lim

x

x ;

 Monotonía y extremos: Creciente (1,+)

Decreciente (-,0)  (0,1) Mínimo (1,3)

 Curvatura y puntos de inflexión Cóncava: (-1,26;0)

Convexa: (-;-1,26)  (0,+) Punto de inflexión: (-1,26;0)

 Gráfica:

EJERCICIO 44 : Estudia y representa la función:

 

2

3

 

x x x f

Solución:

 Dominio R - {-2}

 Puntos de corte con los ejes: (0,0)

 Asíntota vertical: x 2

 



 



 

x f lim x

f lim

x

x 2 2

;

Rama parabólica

 



 



  

f x limf x lim

x

x ;

 Monotonía y extremos: Creciente (-3,-2)  (-2,+) Decreciente (-,-3) Mínimo (-3,27)

 Curvatura y puntos de inflexión: a un número entre -2 y 0 Cóncava: (-2,a)

Convexa: (-;-2)  (a,+) Punto de inflexión: (a,f(a))

 Gráfica:

EJERCICIO 45 : Estudia y representa la siguiente función:

 

x x x

f 1

4

 

Solución:

 Dominio R - {0}

 Puntos de corte con los ejes: (1,0) y (-1,0)

 Asíntota vertical: x  0

 

 

 



x f lim x

f lim

x

x 0 0

;

Rama infinitas:

 



 



  

f x limf x lim

x

x ;

 Monotonía y extremos: Creciente R – {o}

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: (-;-0,58)  (0;0,58) Convexa: (--0,58;0)  (0,+)

Punto de inflexión: (-0,58;1,54) y (0,58;-1,54)

(20)

EJERCICIO 46 : Estudia y representa la siguiente función:

 

1 4 2 2

  

x x x f

Solución:

 Dominio R - {-1,1}

 Puntos de corte con los ejes: (0,0)

 Asíntotas verticales: x 1, x  1

 

 

 



 

 

  

 

 

 

 

 

  

x f lim ;

x f lim 1 x

x f lim ;

x f lim 1

x

1 x 1

x

1 x 1

x

Asíntota horizontal: y  1

  

 

1 ) 100 ( f

1 ) 100 ( f

 Monotonía y extremos: Creciente (0,1)  (1,+) Decreciente (-,-1)  (-1,0) Máximo: (0,4)

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: (-,-1)  (1,+) Convexa: (-1,1)

Punto de inflexión: No existen

 Gráfica:

EJERCICIO 47 : Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

 

1

2 2

 

x x x f

Solución:

 Dominio R

 Puntos de corte con los ejes: (0,0)

 No tiene asíntotas verticales. Asíntota horizontal: y  1

  

 

1 ) 100 ( f

1 ) 100 ( f

 Monotonía y extremos: Creciente (0,+) Decreciente (-,0) Mínimo: (0,0)

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: (-;-0,58)  (0,58;+) Convexa: (-0,58;0,58)

Punto de inflexión: (-0,58;0,25) y (0,58;0,25)

 Gráfica:

EJERCICIO 48 : Dada la función

 

2 2

1 2

x x x

f   estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución:

 Dominio R – {0}

 Puntos de corte con los ejes: No existen

 Asíntota vertical: x  0

 



 

 

x f lim x

f lim

x

x 0 0

;

Asíntota horizontal: y  2

  

 

2 ) 100 ( f

2 ) 100 ( f

 Monotonía y extremos: Creciente (-,0) Decreciente (0,+)

Máximo y Mínimo: No existen

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: R – {0}

Punto de inflexión: No existe

(21)

EJERCICIO 49 : Estudia y representa la siguiente función:

 

1

2 3

 

x x x f

Solución:

 Dominio R

 Puntos de corte con los ejes: (0,0)

 Asíntota vertical: No tiene Asíntota oblicua: y  x

  

 

 

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

 Monotonía y extremos: Creciente R

Máximo y Mínimo: No existen

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: (-,0)

Convexa: (0,+) Punto de inflexión: (0,0)

 Gráfica:

EJERCICIO 50 : Dada la función

 

2 3

4 x x x

f   estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución:

 Dominio R – {0}

 Puntos de corte con los ejes: (-1,6;0)

 Asíntota vertical: x  0

 



 



x f lim x

f lim

x

x 0 0

;

Asíntota oblicua: y  x

  

 

 

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

 Monotonía y extremos: Creciente (-,0)  (2,+) Decreciente: (0,2)

Mínimo: (2,3)

 Curvatura y puntos de inflexión: Convexa: R – {0}

Punto de inflexión: No tiene

 Gráfica:

EJERCICIO 51 : Estudia y representa la función:

 

1 2

2 3

  

x x

x x

f

Solución:

 Dominio R – {-1}

 Puntos de corte con los ejes: (0;0)

 Asíntota vertical: x 1

 



 



 

  

lim1 f x ; xlim1 f x x

Asíntota oblicua: y  x-2 

  

 

 

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

 Monotonía y extremos:

Creciente (-,-3)  (-1,+) Decreciente: (-3,-1)

Máximo: (-3,-27/4)

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: (-,-1)  (-1,0)

Convexa: (0,+) Punto de inflexión: (0,0)

(22)

EJERCICIO 52 : Estudia y representa la siguiente función:

 

1

2 3

 

x x x f

Solución:

 Dominio R – {-1,1}

 Puntos de corte con los ejes: (0;0)

 Asíntotas verticales: x 1, x 1

 

 

 



 

 

  

 

 

 

 

 

  

x f lim ;

x f lim 1 x

x f lim ;

x f lim 1

x

1 x 1

x

1 x 1

x

Asíntota oblicua: y  x 

  

 

 

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

) 100 ( t sin A ) 100 ( f

 Monotonía y extremos:

Creciente (-;-1,73)  (1,73;+)

Decreciente (-1,73;-1)  (-1,1)  (1;1,73) Máximo (-1,73;-2,6)

Mínimo: (1,73;2,6)

 Curvatura y puntos de inflexión: Cóncava: (-,-1)  (0,1)

Convexa: (-1,0)  (1,+) Punto de inflexión: (0,0)

 Gráfica:

EJERCICIO 53 : Estudia y representa la función:

 

2 4

1 x x x

f  

Solución:

 Dominio R – {0}

 Puntos de corte con los ejes: No tiene

 Asíntota vertical: x  0

 

 

 



x f lim x

f lim

x

x 0 0

;

Rama parabólica

 



 



  

f x x f x

xlim ; lim

 Monotonía y extremos: Creciente (-1,0)  (1,+) Decreciente (-,-1)  (0,1) Mínimo: (-1,2) y (1,2)

 Curvatura y puntos de inflexión: Convexa: R – {0}

Punto de inflexión: No tiene

 Gráfica:

EJERCICIO 54 : Estudia y representa la función:

 

1

2 4

 

x x x f

Solución:

 Dominio R

 Puntos de corte con los ejes: (0,0)

 Asíntotas verticales: No tiene.

Rama parabólica

 



 



  

f x limf x lim

x

x ;

 Monotonía y extremos: Creciente (0,+) Decreciente (-,0) Mínimo: (0,0)

 Curvatura y puntos de inflexión: Convexa: R

Punto de inflexión: No tiene

Figure

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