Modelado Matem á tico de Procesos Qu í micos

(1)

Modelado Matem

á

tico de

Procesos Qu

í

micos

(2)

Modelos

• Representación aproximada de la realidad

• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y

relaciones que son de interés

• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…

• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que

pasa si…., decisiones,...

(3)

¿Qué es un modelo matemático?

• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables

del proceso de interés y representan adecuadamente

su comportamiento

• Relacionan las variables de salida con las variables

de entrada, cuya evolución se supone conocida

• Siempre son aproximaciones de la realidad

• Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de

procesos

(4)

Modelo como representación del proceso

y

tiempo

y

_m

Proceso

(5)

Procesos continuos y de eventos discretos

• Procesos continuos:

Las variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado

• Procesos de eventos:

Las variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores

q

(6)

Procesos continuos y de eventos discretos

• Procesos continuos

» Descritos normalmente por ecuaciones diferenciales totales o en derivadas parciales

» Interesa conocer la evolución de ciertas variables de interés

• Procesos de eventos discretos

» Descritos principalmente por secuencias de actividades » Interesa conocer el comportamiento estadístico de las

(7)

Modelos estáticos y dinámicos

• Modelo estático:

» Relaciona las variables en un estado de equilibrio

• Modelo dinámico:

» Relaciona las variables a lo largo del tiempo

h

k

F

=

_e

;

=

h

k

F

t

d

h

d

A

dt

dV

e

−

=

Fe

h

(8)

Respuesta dinámica

Estado estacionario

F

_e

h

₁

h

₂

(9)

Modelos estáticos y dinámicos

• Estáticos

» Representan situaciones de equilibrio

» Descritos mediante ecuaciones algebraicas » Orientados a diseño

• Dinámicos

» Representan la evolución temporal

(10)

Modelos discretizados

• modelos en tiempo discreto

Proceso

Ordenador

D/A

A/D

y(kT)

(11)

Obtención de modelos

• Mediante razonamientos, por aplicación de principios generales de la física, la química, etc

(12)

Modelos de conocimiento

• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación

de principios de conservación de masa, energía,

momento, etc. y otras leyes particulares del dominio

de aplicación

• Tienen validez general

(13)

Modelos de conocimiento

• Principios físico-químicos involucrados

» Ecuaciones de conservación de propiedades fundamentales:

• Masa total

• Masa de componentes individuales • Energía

• Cantidad de movimiento

» Ecuaciones cinéticas de transferencia de materia, calor, cantidad de movimiento y reacción química

(14)

Régimen nominal de operación

• Problema regulador: mantener al proceso próximo al régimen nominal de operación, compensando mediante la acción de control el efecto de las entradas de perturbación

• Modelo dinámico: descripción del comportamiento del proceso alrededor del régimen permanente deseado (valores nominales de las variables de entrada y salida que satisfacen las

(15)

Identificación de Modelos

• El modelo se obtiene a partir de datos

experimentales de entrada-salida del proceso

Y

U

t

U

t

Y

Proceso

(16)

Modelos de conocimiento

• Metodología de modelado:

» Establecer los límites y objetivos del modelo » Establecer las hipótesis básicas

» Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación

(17)

Desarrollo del modelo

• Definir Objetivos

» Establecer los límites y objetivos del modelo • decisiones de diseño específicas

• valores numéricos

• relaciones funcionales • precisión requerida

• Preparar Información

» Establecer las hipótesis básicas

• diagrama del proceso e identificación del sistema • identificar variables de interés

(18)

Desarrollo del modelo

• Formular el modelo

» Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación

• balances de conservación • ecuaciones constitutivas

• racionalizar (combinar ecuaciones)

(19)

Solución del modelo y simulación

• Determinar solución

» Analítica » Numérica

• Analizar resultados

» chequear resultados

(20)

Solución del modelo y simulación

• Interpretar resultados

» dibujar solución

» comportamiento característico (como oscilaciones y extremos)

» relacionar resultados con datos y suposiciones » evaluar sensibilidad

» responder a cuestiones del tipo “que pasa si”

(21)

Tipos de modelos

• Parámetros concentrados

• Parámetros distribuidos

• No-lineales

• Lineales

• Tiempo

(22)

Ley de conservación de una propiedad

Velocidad de acumulación de una propiedad del sistema, P, en un volumen de control fijo en el espacio, V

=

-+

Velocidad de entrada de la propiedad P en V

Velocidad de salida de la propiedad P en V

(23)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la masa total

Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =

Masa que entra al sistema por unidad de tiempo

-Masa que sale del sistema por unidad de tiempo +

Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo

-Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo

m

(24)

Ejemplo: depósito

• Depósito con descarga por rebosadero

A h V F F_e m -h A V F F t d m d e

ρ

= = = ⇒ F F F F dt dh

A _e -

(25)

Ejemplo: depósito

• Depósito con descarga por gravedad

⇒

- F F

dt dh A dt

dV

e

= =

A

h V

F F_e

El caudal de descarga, F, se puede expresar en función del nivel:

• flujo laminar:

• flujo turbulento:

h k F =

ec. diferencial

(26)

A 2

1 ₌ _F ₋ _F dh ₌ _F ₊ _F ₋_F dh

A

F_e1

F F₁

h₁

h₂ F_e2

(27)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la masa de

componentes individuales

Acumulación de masa de componente por unidad de tiempo =

Masa que entra de componente por unidad de tiempo -Masa que sale de componente por unidad de tiempo +

Masa que se genera de componente por unidad de tiempo -Masa que se consume de componente por unidad de tiempo

m

(28)

Ejemplo: reactor químico isotermo

Hipótesis:

• mezcla perfecta en el reactor

• temperatura en el reactor constante • volumen constante

• reacción química irreversible de

descomposición de la especie A; A → 2B con entalpía de reacción nula y cinética de primer orden

Reactor

Productos: A y B

Materia prima: A

AT

FT

A A k c

r =

(29)

Ejemplo: reactor químico isotermo

A B

F_e,C_Ae,T_e

C_A C_BT

Producto A

A A

Ae e

A

_F

_c

_Fc

_V

_k

_c

t

d

c

V

d

(

)

₌

₋

A B

B

_Fc

_V

_k

_c

t

d

c

V

d

(

)

₌

₋

₊

Ecuación de conservación del componente A:

Ecuación de conservación del componente B:

• entradas: Fe, C_Ae • salidas: c_A, F

• entradas: Fe, C e

Ecuación 1

(30)

Ejemplo: reactor químico isotermo

• Tanque con descarga por rebosadero:

» El volumen de masa reaccionante es constante

» Si lo que interesa conocer es el comportamiento de c

F

_e

=

A A

Ae e

A

_F

_c

_Fc

_V

_k

_c

t

d

c

V

d

(

)

₌

₋

0 2

) (

2

= −

= = =

NE NV

NF NE

F y c

NV _A

(31)

Ejemplo: reactor químico isotermo

• Tanque con descarga por gravedad:

» El volumen de masa reaccionante no es constante

» De [2]:

F

dt

dV

e

−

=

A A Ae e

A

_F

_c

_Fc

_V

_k

_c

t

d

c

V

d

(

)

₌

₋

0 2 ) ( 2 = − = = = NE NV NF NE F y c NV _A A A Ae e A

A

_c

dV

_F

_c

_Fc

_V

_k

_c

c

d

V

(

)

+

=

−

[1]

[2]

(32)

Ejemplo: reactor químico isotermo

• Tanque con descarga por gravedad:

» Sustituyendo [1] en [3]:

0 3 ) , ( 3 = − = = = NE NV NF NE F y h c NV _A A A Ae e

A

_F

_c

_V

_k

_c

t

d

c

d

V

(

)

=

(

−

)

−

F

dt

dV

e

−

=

kh

flujo laminar

(33)

Ejemplo: reactor químico isotermo

» Ambos sistemas responderán igual a un cambio en la concentración de entrada

» No será así cuando varíe F_e

» Condición inicial para c_A: valor nominal en régimen permanente:

» Se obtiene resolviendo el modelo estático: una vez especificados los valores de y

A

c

0 =

dt

dc

_A

e

F c_Ae

A A

Ae

e

c

V

k

c

(34)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo

• Consideraciones:

» La energía específica (energía por unidad de masa) total de un

=

Velocidad de entrada _{de energía en V}

-

Velocidad de salida _{de energía en V}

(35)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un

proceso no reactivo

» Término acumulación de energía en V: • Sólo aparece la energía interna

» Entrada y salida de energía: • con la corriente de entrada • con la corriente de salida

(36)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

» Hipótesis:

• Energía cinética específica despreciable (velocidad de los fluidos baja)

• Energía cinética total que entra y sale del equipo parecida (velocidades de las corrientes de entrada y salida semejante) • Energía potencial que entra y sale del equipo parecida (poca

(37)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

» Balance de energía:

• u: energía interna específica

• h_e,h: entalpías específicas de las corrientes de entrada y salida • Q: energía aportada en forma de calor por unidad de tiempo • W: trabajo realizado sobre los alrededores por unidad de

W

Q

h

F

h

F

u

V

dt

d

e e

e

−

+

−

=

ρ

(38)

Ecuaciones de conservación en modelos

de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso reactivo

» Si el proceso es reactivo, la energía interna y las entalpías se refieren a los reactivos y productos de la reacción

» En modelos sencillos es habitual tomar como ecuación de balance de energía:

W

Q

r

H

h

F

h

F

u

V

dt

d

A r

e e

e

−

+

−

∆

−

=

(

)

(

)

(39)

Hipótesis:

• T uniforme en el depósito • Aislamiento perfecto

• Densidad constante

• Al tratarse de un líquido:

Ejemplo: calentador de agua

Q

V,T

F F_e, T_e

Tanque con descarga por rebosadero

h

u

v

p

≈

0 ⇒

=

T: temperatura

V: volumen del depósito H: entalpía

A: sección del depósito

Q

h

F

h

F

dt

dh

(40)

Ejemplo: calentador de agua

Entalpía del agua a temperatura T

Referida a agua líquida a temperatura T₀:

)

(

T

₀

c

h

=

_p

−

• c_p: calor específico medio entre T y T₀ (≈cte)

Velocidad de transferencia de calor al agua:

)

(

T

UA

(41)

Ejemplo: calentador de agua

)

(

)

(

T

UA

T

c

F

dt

dT

c

V

ρ

_p

=

_e

ρ

_p _e

−

+

_s

−

Ecuación no lineal

Especificadas las variables de entrada, F_e, T_e y T_s y la condición inicial T(0), La integración de esta ecuación permite calcular la evolución temporal de la temperatura

se obtiene resolviendo el modelo estático (dT/dt=0), una vez especificados

(42)

Modelos de conocimiento

Conclusiones:

• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales

y algebraicas frecuentemente no lineales

• Útiles para muchos fines

(43)

Modelos linealizados

• Aproximaciones lineales de las ecuaciones

no-lineales

• Más fáciles de manipular matemáticamente

• Su rango de validez es limitado

h

k

F

t

d

h

d

A

=

_e

−

F

h

t

d

h

d

(44)

Modelos linealizados

• las variables u e y son cambios sobre un punto de operación

(45)

Linealización

• Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de

operación u0, y0, z0, ….

(46)

Modelos linealizados

• Variables de desviación

» Dado que el proceso trabaja en un punto de operación para el que se obtiene un modelo dinámico lineal, interesa estudiar la evolución de las variables a partir del punto de operación. Estas variables se denominan variables de desviación

x(t)

x

t

x

(47)

Ejemplo: Modelo linealizado del depósito

• Tanque con descarga por gravedad

0 h k

=

+ − F_e dt dh A A h V F

F_e _f ₍_h&_,_h_,_F_e₎₌₀

Punto nominal de operación: h&,h,F_e

0 0 0 0 = ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ e e F F f h h f h h f _& & 1 ; 2 ; 0 0 0 − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ e F f h k h f A h f &

(48)

Ejemplo: Modelo linealizado del depósito

• Tanque con descarga por gravedad

h V

F_e + 2 ∆ −∆ =0

(49)

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• Reactor con descarga por rebosadero

A B

F_e,C_Ae,T_e

C_A C_BT

Producto A

A A

Ae e

A

_F

_c

_V

_k

_c

t

d

c

d

V

(

)

=

(

−

)

−

A B

e

B

_F

_c

_V

_k

_c

t

d

c

d

V

(

)

=

−

+

Dos ecuaciones: punto de operación:

0 ) , , , (

1 cA cA Fe cAe =

(50)

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• Desarrollando las funciones en series de Taylor y

despreciando los términos de orden superior al

primero:

0 )

(

)

(

)

(

)

(

∆

₊

_∆

₋

_∆

₊

₋

_∆

₌

e A

Ae Ae

e A

e

A

_F

_V

_k

_c

_F

_c

_F

t

d

c

d

V

A Ae e

A

_c

F

_c

c

_F

c

d

V



∆

₊

_∆

₌





_∆

₊



−



_∆

(51)

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• Llamando:

k

V

F

K

k

V

F

c

K

k

V

F

V

e e e Ae A e

+

=

+

−

=

+

=

;

₁

;

₂

τ

e Ae

A

_c

_K

_c

_K

_F

t

d

c

d

∆

₊

_∆

₌

_∆

₊

_∆

2 1

)

(

τ

Modelo linealizado

;

0 )

0 (

;

0 )

0 (

;

0 )

0 (

=

∆

=

∆

=

∆

c

F

(52)

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• De la misma forma se llega a:

e A

B

_c

_K

_c

_K

_F

t

d

c

d

∆

₊

_∆

₌

_∆

₊

_∆

2 1

2

)

(

τ

B

F

c

K

F

k

V

K

F

V

₌

−

=

₁ ₂

2

;

τ

(53)

• Bibliografía:

» P. Ollero, E. F. Camacho. Control e instrumentación de procesos químicos. Ed Síntesis (1997). Capítulo 2

» C.A. Smith, A.B. Corripio. Control Automático de Procesos. Teoría y Práctica. Ed. Limusa (1999), Capítulos 3 y 4.

» D.E. Seborg, T.F. Edgar, D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. Ed. John Wiley & Sons (1989). Capítulo 2.

En este tema se ha hecho uso del siguiente material: