SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR

SEMANA 1

SISTEMAS DE MEDIDA

ANGULAR

1. Del gráfico adjunto, halle “α − θ”.

A) 180º B) 360º C) 270º D) 450º E) 540º

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

(−θ) + (α − 90º) = 360º

∴ α − θ = 450º

RPTA.: D

2. Reducir:

′

=

+

′

g m m

1º 2

1 2

A

2

2

A) 82 B) 80 C) 37 D) 2 E) 17

RESOLUCIÓN

m m

g m

m

62 ₁₀₂

2 ₂

1º 2

1 2

A

2

2

′ ′

′

=

+

′

RPTA.: A

3. Convertir 37g _{al sistema}

sexagesimal.

A) 33º12′ B) 33º15′ C) 33º18′ D) 33º 20′ E) 33º 24′

RESOLUCIÓN

g

α = ×

=

′ =

9º 37

10 33,3º 33º18

RPTA. : C

4. El factor que convierte cualquier número radianes en minutos centesimales es:

22 Considere :

7

 

π =

 

 

A) 3436,36 B) 3436,63 C) 6363,63 D) 6334,34 E) 4637,43

RESOLUCIÓN

R C 200R

C 200

= =

π π

# min. cent. = 200R ×100

π

# min. cent. =

Factor

20000 R π

20000

Factor : 6363, 63 22

7

=

RPTA.: C

5. En la figura mostrada, halle la medida del ángulo AOB en radianes.

A)

400

π

B)

200

π

C)

100

π

D)

50

π

E)

10

π

θ

α

o

(

)

6x−4 3

xº 5

o B

A

α

o 90º

−θ

RESOLUCIÓN

(

)

(

)

g

3 9º 3

xº 6x 4 x 6x 4

5 = − ×10 ⇒ = − ×2 ⇒ 2x 18x 12 16x 12 x 3

4

= − ⇒ _{= → =}

Luego:

º

3 3 3 rad

xº rad

5 5 4 180º 400

π π

 

α = =   × =

 

RPTA.: A

6. De la figura mostrada, calcule:

2x y M

y

− =

A) 2

13 B) 1

15 C) 3 20

D) 2

25 E) 7 12

RESOLUCIÓN

3θ = xº

5θ = yg

g g

3

xº

10

x

27

5

y

9º

y

50

⇒

₌

_×

⇒

₌

Luego: M 2x 1 2 27 1

y 50

 

= − =  −

 

2 M

25

∴ =

RPTA.: D

7. En un triángulo ABC la suma de las medidas de A y B es 90 grados centesimales y la suma de las medidas de B y C en el sistema

radial es 3

4

π

rad. Halle la

diferencia de los ángulos internos C y A.

A) 36º B) 99º C) 54º D) 63º E) 9º

RESOLUCIÓN

∆ABC: A + B + C = 180º

A + B < > 90g _{= 81º → C = 99º}

B + C = 3 rad 4

π

< > 135º → A= 45º

∴ C − A = 54º

RPTA.: C

8. Cuatro veces el número de grados centesimales de un cierto ángulo se diferencian de su número de grados sexagesimales en 155. ¿Cuál es ese ángulo en radianes?

A) π

4 B) π

10 C)

π 12

D) π

3 E) π 20

RESOLUCIÓN

4C − S = 155 4 (10k) − 9 k = 155 31 k = 155

K = 5

1

( )

R = π = π 5 = π

20 20 4

4

RPTA.: A

9. Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo convencional para un mismo ángulo. Determine el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados de la siguiente manera:

S = 6xx + 9 , C = 8xx − 6

A) 3π

20 B)

π 9

20 C)

π 20

D) 9

10 π

E) 10π

9

RESOLUCIÓN

Hacemos: xx _{= a}

( )

6a 9 8a 6

a 12

9 10

Luego :

S 6 12 9 81

rad 9

81º rad

180º 20

+ ₌ − _{→ =}

= + =

π π

× =

RPTA.: B 3θ

xº

5θ

g

10. La mitad del número que expresa la medida en grados sexagesimales de un ángulo excede en 52 al quíntuplo de su medida en radianes. Calcule dicho ángulo en grados centesimales.

Considere

 

π =

 

 

22 :

7

A) 120g _{B) 130}g _{C) 140}g

D) 150g _{E) 160}g

RESOLUCIÓN

S

R

K

K

K

K

K

K

5

52

2

9

5

52

2

20

9

22

52

2

28

104

52

14

28

=

+

π

⇒

₌

₊

⇒

₋

₌

⇒

₌

⇒

₌

Luego: C = 10(14) = 140

∴ El ángulo mide 140g

RPTA.: C

11. Si al número de grados sexagesimales que contiene un ángulo se le resta 13, y a su número de grados centesimales se le resta 2, se obtienen dos cantidades en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

A) π

2 B) π

3 C) π 4

D) π

5 E) π 6

RESOLUCIÓN

− ₌

−

S 13 2

C 2 3

3S – 39 = 2C – 4 3S – 2C = 35 3(9K) – 2 (10K) = 35 7K = 35 K = 5

( )

π π

= =

R 5

20 4

RPTA.: C

12. Se crea un nuevo sistema de medida angular “Asterisco”, tal que su unidad (1*_{) equivale a 1,5}

veces el ángulo llano. Halle el equivalente de 5 ángulos rectos en este nuevo sistema.

A)

*

3

5

 

 

 

* _C)

*

5

3

 

 

 

RESOLUCIÓN

Dato:

1* <> 1,5 (180º) = 270º

Piden:

x <> 5 (90º) = 450º

→ =

∴ =

i *

*

450º 1 x

270º

5 x

3

RPTA.: C

13. Si sumamos al complemento de un ángulo expresado en grados sexagesimales con el suplemento del mismo ángulo en grados centesimales se obtiene 195. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

A) π

3 B) π

4 C) π 5

D) π

6 E) π 8

RESOLUCIÓN

(90 − S) + (200 − C) = 195 95 = S + C 95 = 9K + 10K K = 5

( )

π π

= 5 =

R

20 4

RPTA.: B

S = 9 K C = 10 K

π =

R K

14. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal que la diferencia de su número de segundos sexagesimales y de su número de minutos centesimales sea 15700.

A)

2 π

B) 2π C)

40 π

D) 40π E)

10 π

RESOLUCIÓN

Piden: ∢ =R_rad

Condición:

Número Número

Segundos − Minutos = 15700 Sexg. Cent.

3600 S − 100 C = 15700 39(9n) − (10n) = 157

314n = 157

π

= 1 → =

n R

2 40

π

∴∢ = rad

40

RPTA.: C

15. Si la diferencia de segundos centesimales y segundos sexagesimales que mide un ángulo es 27040. Calcule la medida (en rad.) de dicho ángulo.

A) π

10 B)

π

20 C)

π 30

D) π

40 E)

π 50

RESOLUCIÓN

S = 9 n Sabemos: C = 10 n

R = n 20

π

Condición:

Número de

segundos centesimales

Número de

27040 Segundos sexagesimales

 

−

 

 

 

=

 

 

10000

( )

10000n − 3240n = 2704 6760n = 2704

n 2 5

=

∴ R 2 R

20 5 50

π   π

=   → =  

RPTA.: E

16. Siendo “S”, “C” y “R” los números de grados sexagesimales,

centesimales y números de

radianes de un mismo ángulo respectivamente. Reducir la expresión:

M = S(π − 200) + C(180−π) + 20R

A) 0 B) 0,0016 C) 1 D) 0,246 E) 2,1416

RESOLUCIÓN

S = 180 K C = 200 K R = πK

180K(π-200)+200K(180−π)+20(πK)=M

180Kπ + 20Kπ− 200πK+(200K)(180)− (180K)(200) = M

M = 0

RPTA.: A

17. Sabiendo que “S” y “R” son los números de grados sexagesimales y radianes de un ángulo, donde:

π²S² R²− ₌ 179R 181

Halle “R”.

A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2

RESOLUCIÓN

S = 180 K C = 200 K R = π K S = 9n

Sabemos C = 10n

(

) ( )

π − π

⇒ _{= π}

2

² 180k k ²

179( k) 181

(

)

_{( )}

π − π

= π

²k² 180 ² ²k²

179 k

181

(

)(

)

 

π _{ }

= π

²k² 181 179

179 k 181

πk = 1

 

= _π = π _π =

 

1 1

k R 1

RPTA.: A

18. Halle “C” a partir de la ecuación:

(

)

+ − = + −

π

6 7

8 5 6 7

S C 20

R 4 S C R

9 10

siendo “S”, “C” y “R” lo

convencional para un mismo

ángulo.

A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10

RESOLUCIÓN

Condición:

(

)

+ − = + −

π

i 5 i 6 i 7 5 6 7

20 K 20 K 20 K

S C 20

S C R R 4 S C R

9 10

5 1

20k (S5+C6−R7) = 4 (S5 + C6 −R7)

k = 1

5

∴ C = 40

RPTA.: C

19. A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “β” toma su mínimo valor.

A) 52g B) 30º C) 45g D) 45º E) 135º

RESOLUCIÓN

(

)

(

)

g

g 10

10 ² 10 40 45 9 º 9º

α² − 10α + 40 = β − 5

(α + 5)² + 15 = β − 5 (α + 5)² = β − 20

β − 20 ≥ 0 → β = 20 (mínimo)

−(45 −9β)º = (9β − 45)º = (180 − 45)º = 135º

→ θ = 45º

RPTA.: D

20. Se inventan 2 sistemas de medición angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < > 90º.

Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.

A) 3

8 B) 5

8 C) 7 8

D) 9

8 E) 11

8

o

A B

C D

(

)

10 ² 10 40

(

)

S = 180 K Sabemos C = 200 K =? R = π K

θ

(

)

RESOLUCIÓN

1x = 2g

8y = 9º

º

x g

y º g

x

y

x y

1

2

9

8

9

10

1

1

8

5

5

8

Re lación de Sistemas





=

×









=

=

→

x y x 5

5 = 8 ⇒ y = 8

RPTA.: B

21. Sabiendo que:

º

g m s

1º21

2º15

4º3

a0 bc de

3

5

3

′

′′

′

′

′



 

 



=



_′

 

_′

 

_′





 

 



Calcule: M b d s e

a c e

+ + + =

+ +

A) 1 B) 2 C) 1

2

D) 1

3 E) 3

RESOLUCIÓN

′ ′′

′ ′ ′

     

=

 _′   _′   _′ 

     

º

g m s

1º 21 2º15 4º 3

a0 bc de

3 5 3

′ ′′

′ ′ ′

     

=

 _′   _′   _′ 

     

º

g m s

81 135 243

a0 bc de

3 5 3

27 27 81 0 30 50 250 0 30 52 50 0

′ ′′ =

= =

g m s

g m s

g m s

g m s

g m s

º ¨ a bc de

a bc de

a bc de

Luego:

a = 3 , b = 5, c = 2, d = 5, e = 0

5 5 5 0 15

M 3

3 2 0 5

+ + +

∴ = = =

+ +