La transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada transformaci´

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(1)

Yoel E. Guti´

errez T.

1.

Introducci´

on

La transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada transformaci´on in-tegral y transforma una funci´on f(t) de una variable t (a la cual nos referiremos como tiempo) en un funci´onF(s) de otra variables(lafrecuencia). La atracci´on de la transfor-mada de Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio t en ecuaciones algebraicas en el domino s.

2.

Definici´

on y notaci´

on

La transformada de Laplace de una funci´onf de valores reales o complejos y de variable real t≥0 es una funci´onF definida mediante la expresi´on

F(s) = L[f(t)] = ∫

0

e−stf(t)dt, (2.1)

siempre que la integral converja.

Observaciones

1. La variable s es compleja. Por simplicidad, trataremos, la mayor´ıa de las veces a s

como real.

2. e−st es llamado el n´ucleo de la transformaci´on.

3. El s´ımboloLdenota el operador transformada de Laplace; cuando opera en una funci´onf(t) la transforma en una funci´onF(s).

4. Con frecuencia ocurre en la pr´actica que existe un n´umero real s0 tal que la integral

en (2.1) converge sis > s0, pero no converge sis≤s0. El conjunto de valores realess,

tal que s > s0, recibe el nombre de rango de convergencia o de existencia de L[f(t)].

Puede ocurrir que la integral en (2.1) no exista para ning´un valor de s.

5. Cuando tomamos la transformada de Laplace, el comportamiento def(t) para valores negativos de t es ignorado o suprimido. Esto significa que F(s) contiene informaci´on sobre el comportamiento def(t) s´olo part≥0, as´ı que la transformada de Laplace no

(2)

es una herramienta conveniente para investigar problemas en los que sean relevantes los valores de f(t) para t <0. en la mayor´ıa de las aplicaciones a la ingenier´ıa esto no causa ning´un problema, ya que estamos interesados en sistemas f´ısicos para los cuales las funciones con las que estamos tratando var´ıan con el tiempo t. Un atributo de los sistemas f´ısicos realizables es que no son anticipantes en el sentido de que no hay una salida (o respuesta) hasta que se aplica una entrada (o excitaci´on).

6. Si el comportamiento def(t) parat <0 es de inter´es entonces necesitamos la trans-formada de Laplace bilateral o de dos lados de la funci´on f(t) definida por

LB[f(t)] = ∫

−∞

e−stf(t)dt. (2.2)

La transformada de Laplace definida por (2.1) con l´ımite inferior cero es algunas veces llamada latransformada de Laplace unilateral o de un lado de la funci´onf(t). Nos ocuparemos solamente de estas ´ultimas transformadas y nos referiremos a ellas simplemente como la transformada de Laplace de la funci´on f(t).

3.

Condiciones suficientes para la existencia de la

trans-formada de Laplace

Para poder establecer ciertas condiciones sobref(t) de manera que garantice la existen-cia de L[f(t)], introduciremos los conceptos de convergencia, continuidad parcial y orden exponencial.

Definici´on 3.1 La integral

0

f(t)dt (3.3)

se dice que es convergente si existe

l´ım r−→0

r

0

f(t)dt, (3.4)

en cuyo caso el valor de (3.3) es, por definici´on, el valor de (3.4).

Definici´on 3.2 Una funci´on f(t) discontinua en un punto t0, tiene una discontinuidad

de salto en ese punto si

l´ım t−→t0+

f(t) =f(t0+) y l´ım

t−→t0

f(t) = f(t0)

existen.

Definici´on 3.3 Una funci´on f(t) es parcialmente continua en el intervalo [0,∞) si

(3)

Definici´on 3.4 Una funci´onf(t)es de orden exponencialαsi existen constantes reales

α, M > 0 y T 0 tales que

|f(t)| ≤M eαt

siempre que t≥T.

Lo que nos dice esta definici´on es que una funci´onf(t) es de orden exponencial si no crece m´as r´apido que una funci´on exponencial de la forma M eαt. Afortunadamente la mayor´ıa de las funciones de significado pr´actico satisfacen este requerimiento, y por tanto son de orden exponencial.

Teorema 3.1 (Existencia de la transformada de Laplace) Si la funci´onf(t)es par-cialmente continua en[0,∞)y de orden exponencialα, entonces la transformada de Laplace existe existe para Re(s)> α.

Las condiciones dadas en la hip´otesis del teorema anterior son suficientes para garantizar la existencia de la transformada de Laplace de una funci´on. Sin embargo, no constituyen condiciones necesarias.

4.

Propiedades de la transformada de Laplace

Consideraremos algunas de las propiedades de la transformada de Laplace que nos ayudaran a encontrar las transformadas de Laplace de algunas funciones.

Teorema 4.1 (Linealidad) Si L[f(t)] existe para Re(s) > α y L[g(t)] existe para

Re(s)> β, entonces tambi´en existe L[af(t) +bg(t)] para Re(s)>m´axα, β, y

L[af(t) +bg(t)] =aL[f(t)] +bL[g(t)], (4.5)

donde a y b son constantes arbitrarias.

Teorema 4.2 (Primer teorema de traslaci´on) Si f(t) es una funci´on que tiene una transformada de Laplace F(s) con Re(s) > α, entonces la funci´on eatf(t) tambi´en tiene

una transformada de Laplace dada por

L[eatf(t)] =F(s−a), Re(s)> α+a.

5.

La transformada inversa

En la pr´actica es de mucha importancia la capacidad de recuperar f(t) a partir de su transformada de LaplaceF(s). As´ı, es natural hablar de la transformada inversa de Laplace de una funci´onF(s), esto es, de una funci´on f(t) tal que L[f(t)] =F(s). Escribimos

f(t) = L−1[F(s)]. (5.6)

Aunque es claro que siempre que exista una transformada de Laplace, ´esta es ´unica, no se puede afirmar lo mismo respecto a la transformada inversa de Laplace. Restringiremos nuestra atenci´on a las funciones que son continuas en [0,∞).

(4)

Observaciones

1. El s´ımbolo L−1 se llama operador de la transformada inversa de Laplace.

2. La propiedad de linealidad para la transformada de Laplace establece que si a y b

son constantes cualesquiera,

L[af(t) +bg(t)] =aL[f(t)] +bL[g(t)] =aF(s) +bG(s).

Entonces se sigue que

L−1[aF(s) +bG(s)] = af(t) +bg(t) =aL−1[F(s)] +bL−1[G(s)],

as´ı que el operador inverso de la transformada de LaplaceL−1 tambi´en es un operador lineal.

3. Uno de los m´etodos m´as importantes para buscar la transformada inversa de Laplace es el m´etodo de la fracciones parciales.

4. En el primer teorema de traslaci´on vimos que para un escalara,

L[f(t)] = F(s)−→L[eatf(t)] =F(s−a).

Expresado en forma inversa, el teorema se convierte en

L−1[F(s)] = f(t)−→L−1[F(s−a)] =eatf(t).

6.

Derivada e integral de la transformada de Laplace

Teorema 6.1 (Derivada de la transformada de Laplace) Sif(t)es parcialmente con-tinua en [0,∞), de orden exponencial α y L[f(t)] = F(s), entonces si n = 1,2, . . .,

dn

dsnF(s) = (1)

nL[tnf(t)] s > α. (6.7)

Del mismo modo, si L1[F(s)] =f(t), entonces

L1[d n

snF(s)] = (1)

ntnf(t). (6.8)

Teorema 6.2 (Integral de la transformada de Laplace) Sif(t)es parcialmente con-tinua en [0,∞), de orden exponencial α, L[f(t)] =F(s) y l´ımt−→0+f(tt) existe, entonces

s

F(x)dx= L[f(t)

(5)

7.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La transformada de Laplace es ´util para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, para ello es necesario conocer las transformadas de Laplace de derivadas e integrales de una funci´on.

7.1.

Transformadas de Laplace de las derivadas de una funci´

on

Teorema 7.1 Si f(t) es una funci´on continua en [0,∞) y de orden exponencial α, y su derivada es parcialmente continua en [0,∞), entonces

L[f′(t)] =sF(s)−f(0) s > α. (7.10)

Prueba. Integrando por partes se tiene que

L[f′(t)] = ∫

0

e−stf′(t)dt=e−stf(t)

0

+s

0

e−stf(t)dt.

N´otese que comof(t) es de orden exponencial α, entonces

|e−stf(t)| ≤e−stM eαt=M e(α−s)t−→0 si t−→ ∞.

Esto es

L[f′(t)] =sF(s)−f(0) s > α.

Mediante la aplicaci´on sucesiva de la regla (7.10) se obtienen reglas para hallar las transformadas de Laplace de derivadas de orden superior, por ejemplo

L[f′′(t)] =sL[f′(t)]−f′(0) =s2F(s)−sf(0)−f′(0)

y

L[f(3)(t)] =sL[f′′(t)]−f′′(0) =s3F(s)−s2f(0)−sf′(0)−f′′(0).

En general, se obtiene el siguiente resultado

Teorema 7.2 Si f(t), f′(t), . . ., f(n−1)(t) son funciones continua en [0,) y de orden exponencial α, y f(n)(t) es parcialmente continua en [0.), entonces

L[f(n)(t)] = snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−. . .−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0). (7.11)

La ventaja de usar la transformada de Laplace cuando tratamos con ecuaciones difer-enciales ordinarias puede verse r´apidamente ya que nos permite reemplazar la operaci´on de diferenciaci´on en el dominio tiempo por una operaci´on algebraica sencilla en el dominio

(6)

7.2.

Transformada de Laplace de la integral de una funci´

on

En algunas aplicaciones, el comportamiento de un sistema puede ser representado por una ecuaci´on integro diferencial, que es una ecuaci´on que contiene tanto derivadas co-mo integrales de una inc´ognita variable. Para resolver directamente tales ecuaciones es conveniente poder obtener la transformada de Laplace de integrales tales como ∫0tf(u)du.

Teorema 7.3 Si f(t) es una funci´on parcialmente continua en [0,∞) y de orden expo-nencial α 0, entonces

L [ ∫ t

0

f(u)du

] = 1

sL[f(t)] s > α. (7.12)

Prueba. Escribiendo

g(t) = ∫ t

0

f(u)du

tenemos g′(t) = f(t), excepto en los puntos de discontinuidad de f(t). Integrando por partes se obtiene que

0

e−stg(t)dt = e

−stg(t)

−s 0 +1 s 0

e−stf(t)dt.

Pero,

|e−stg(t)| ≤e−st

t

0

f(u)du≤M e−st

t

0

eαudu= M

α(e

(s−α)te−st)−→0

cuando t−→ ∞ para s > α≥0. Entonces

L[g(t)] = 1

sL[f(t)] s > α.

7.3.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Estamos ahora en posici´on de usar el m´etodo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes. Para ilustrar esto, consideremos la EDO lineal de segundo orden

ad

2y

dt2 +b

dy

dt +cy =g(t) (t 0) (7.13)

sujeta a las condiciones iniciales y(0) =t0,y′(0) =t1.

Al tomar la transformada de Laplace de cada t´ermino en (7.13) se obtiene

aL

[d2y

dt2

] +bL

[dy

dt

]

+cL[y] =L[g(t)]

(7)

[as2+bs+c]Y(s) =G(s) +at1+ [as+b]t0

as´ı que

Y(s) = G(s) +at1+ [as+b]t0

as2+bs+c . (7.14)

Por ´ultimo, aplicamos la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on (7.14) para obtener la soluci´on

y=L−1[Y(s)].

Observaciones

1. Una ventaja distintiva al usar la transformada de Laplace es que nos permite reem-plazar la operaci´on de diferenciaci´on por una operaci´on algebraica. Consecuente-mente, al tomar la transformada de Laplace de cada t´ermino de una EDO, ´esta es convertida en una ecuaci´on algebraica en la variable s.

2. El m´etodo la transformada de Laplace produce la soluci´on completa de la EDO lineal con las condiciones iniciales autom´aticamente incluidas.

3. El m´etodo de la transformada de Laplace se adapta idealmente para resolver proble-mas con valor inicial, esto es, las EDO lineales en donde est´an especificadas todas las condiciones iniciales y(0), y′(0), y as´ı sucesivamente, en el tiempo t = 0. El m´etodo es menos atractivo para problemas con valores en la frontera, cuando no todas las condiciones en y(t) y sus derivadas est´an especificadas en t = 0, pero algunas est´an especificadas en otros valores de la variable independiente. Sin embargo, todav´ıa se puede utilizar el m´etodo de la transformada de Laplace si se asignan constantes ar-bitrarias a una o m´as de las condiciones iniciales y despu´es se determinan sus valores usando las condiciones de frontera dadas.

4. Debe notarse que el denominador del lado derecho de (7.14) es el lado izquierdo de (7.13) reemplazando el operador dtd con s. El denominador igualado a cero tambi´en corresponde a la ecuaci´on caracter´ıstica usada en el tratamiento cl´asico.

5. El m´etodo usado para resolver una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes puede ser aplicado f´acilmente a EDO lineales de orden superior. Para EDO de orden superior el proceso de aplicar la inversi´on puede resultar bastante tediosa, y conviene usar m´etodos matriciales.

8.

Funci´

on escal´

on unitario

En muchas aplicaciones de la ingenier´ıa se consideran problemas que involucran fun-ciones discontinuas. Para manipular tales funfun-ciones discontinuas usamos la funci´on es-cal´on unitarioU(t), definida por

U(t) = {

0 t <0

1 t 0

(8)

La funci´on escal´on unitario tambi´en se conoce como funci´on de Heaviside. Una funci´on que representa un escal´on unitario ent=apuede ser definida por una traslaci´on horizontal de duraci´ona. Esta est´a definida por

U(t−a) = {

0 t < a

1 t≥a

(8.16)

La funci´on producto f(t)U(t−a) toma valores

f(t)U(t−a) = {

0 t <0

f(t) t≥0

(8.17)

as´ı la funci´onU(t−a) puede ser interpretada como un mecanismo para encender la funci´on

f(t) en t = a. De esta manera, podemos construir una funci´on discontinua, usando la funci´on escal´on unitario.

Alternativamente, una funci´on discontinua tambi´en puede ser construida usando la funci´on pulso unitario

U(t−a)−U(t−b) = {

1 a≤t < b

0 en otro caso

(8.18)

8.1.

Transformada de Laplace de la funci´

on escal´

on unitario

Por la definici´on de la transformada de Laplace, la transformada de U(t−a), a 0, est´a dada por

L[U(t−a)] = ∫

0

U(t−a)e−stdt = ∫

a

e−stdt= e

−st

−s

a = e

−as

s , a 0, s >0.

Esto es,

L[U(t−a)] = e

−as

s , a≥0, s >0 (8.19)

y el caso particular de a= 0

L[U(t)] = 1

s, s >0. (8.20)

N´otese que es apropiado escribir

L−1

[e−as

s

]

=U(t−a), a 0, s >0. (8.21)

8.2.

El segundo teorema de traslaci´

on

Este teorema algunas veces es conocido como Teorema de Heviside o de retraso.

Teorema 8.1 si L[f(t)] =F(s) entonces para una constante no negativa a

(9)

Prueba. Por definici´on

L[f(t−a)U(t−a)] = ∫

0

f(t−a)U(t−a)e−stdt = ∫

a

f(t−a)e−stdt.

Haciendo la sustituci´on T=t-a

L[f(t−a)U(t−a)] = ∫

0

f(T)e−s(T+a)dT =e−as

0

f(T)e−sTdT.

Como F(s) = L[f(t)] = ∫0∞f(T)e−sTdT, se sigue que

L[f(t−a)U(t−a)] =e−asF(s).

Observaciones

1. Es importante distinguir entre las dos funcionesf(t)U(t−a) yf(t−a)U(t−a). Como vimos antes f(t)U(t−a) simplemente indica que la funci´on f(t) est´a encendida en el tiempo t=a, as´ı que

f(t)U(t−a) = {

0 t <0

f(t) t≥0

Por otro lado, f(t−a)U(t−a) representa una traslaci´on a la derecha (ya que a≥0) de la funci´onf(t) a unidades, as´ı que

f(t−a)U(t−a) = {

0 t <0

f(t−a) t 0

puede interpretarse como la representaci´on de la funci´on f(t) retrasada en el tiem-po tiem-por a unidades. As´ı, cuando consideramos su transformada de Laplace e−asF(s), donde F(s) denota la trasformada de Laplace de f(t), la componente e−as puede ser interpretada como el operador retraso en la transformada F(s). Esto indicar´a que la respuesta del sistema caracterizada porF(s) ser´a retrasada en el tiempoa unidades. Como muchos sistemas pr´acticos importantes tienen alguna forma de retraso inher-ente a su comportamiento, es claro que el resultado de este teorema es muy ´util.

2. En la pr´actica, la importancia del segundo teorema de traslaci´on radica en determi-nar transformadas inversas, ya que, en muchos sistemas pr´acticos los ingenieros est´an interesados en conocer como influyen los retrasos en la respuesta del sistema. con-secuentemente, para muchos, la forma m´as usual del segundo teorema de traslaci´on es

(10)

9.

Funciones peri´

odicas

Ya hemos determinado la transformada de Laplace de funciones peri´odicas tales como cosωt y senωt, que son funciones continuas suaves (derivables). Sin embargo, en muchas aplicaciones de la ingenier´ıa, frecuentemente encontramos funciones peri´odicas que tienen un comportamiento discontinuo. El siguiente teorema provee una expresi´on expl´ıcita para la transformada de Laplace de una funci´on peri´odica.

Teorema 9.1 Si f(t) es continua por tramos en [0,∞),de orden exponencial y peri´odica con periodo T, esto es f(t+nT) =f(t) para todo entero n, entonces

L[f(t)] = 1 1−e−sT

T

0

e−stf(t)dt.

Prueba. La transformada de Laplace def(t) existe y puede ser expresada como una serie de integrales sobre periodos sucesivos; esto es,

L[f(t)] = ∫

0

f(t)e−stdt=

r=0

∫ (1+r)T

rT

f(t)e−stdt.

Si hacemos la sustituci´on t=v+rt, entonces

L[f(t)] =

r=0

∫ (T

0

f(v+rT)e−s(v+rT)dv.

Como f(t) es peri´odica con periodoT,

f(v+rT) =f(v) r= 0,1,2, . . . ,

as´ı que

L[f(t)] =

r=0

∫ (T

0

f(v)e−sve−srtdv= (

r=0

e−srt

) ∫ (T

0

f(v)e−svdv.

La serie ∑r=0e−srt es una progresi´on geom´etrica infinita cuyo primer t´ermino es 1 y raz´on com´une−sT. Su suma est´a dada por 1e1−sT, as´ı que

L[f(t)] = 1 1−e−sT

∫ (T

0

f(v)e−svdv.

(11)

10.

La funci´

on delta de Dirac

Con frecuencia, sobre los sistemas mec´anicos act´uan fuerzas externas (o bien sobre los circuitos el´ectricos) de gran magnitud s´olo durante un lapso muy breve; por ejemplo, en un ala de aeroplano que se encuentra oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo, o una bola de b´eisbol, podr´ıa mandarse volando golpe´andola violentamente con un bate. La funci´on de pulsoδa(t−t0) definida por

δa(t−t0) =

          

0 t < t0−a

1

2a t0−a ≤t < t0+a t t≥t0 +a,

(10.24)

cuando a > 0, t0 0 podr´ıa servir como modelo matem´atico de este tipo de fuerzas.

Para valores peque˜nos de a, δa(t −t0) es, esencialmente, una funci´on constante de gran

magnitud que se encuentra encendida s´olo durante un lapso muy peque˜no, alrededor det0.

Esta funci´onδa(t−t0), se llamaimpulso unitarioporque tiene la propiedad de integraci´on,

−∞

δa(t−t0)dt= 1.

En la practica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con la expresi´on

δ(t−t0) = l´ım

a−→0δa(t−t0). (10.25)

Esta ´ultima expresi´on, llamadafunci´on delta de Dirac, se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes:

1. δ(t−t0) =

{

t=t0

0 =t0

2. ∫−∞ δ(t−t0)dt= 1.

La funci´on delta de Dirac no es una funci´on en el sentido usual. Sin embargo, sus propiedades, son tales que, usadas con cuidado pueden conducir a resultados que tienen significado f´ısico o pr´actico y que en muchos casos no se pueden obtener por ning´un otro m´etodo. En este con texto, provee a los ingenieros de una herramienta matem´atica importante.

10.1.

La propiedad del filtrado

Es posible, bajo condiciones adecuadas, multiplicar una funci´on ordinaria por la funci´on delta de Dirac. As´ı

δ(t−t0)f(t) =f(t)δ(t−t0) =f(t0)δ(t−t0) (10.26)

(12)

La expresi´on (10.26) establece que sif(t) es continua en t=t0 entonces

−∞

f(t)δ(t−t0)dt =f(t0). (10.27)

La propiedad importante (10.27) de la funci´on delta de Dirac es de significado practico y es llamada propiedad de filtrado, porque provee un m´etodo que permite aislar, o separar, el valor de una funci´on en cualquier punto particular.

Por razones te´oricas es conveniente usar l´ımites infinitos en (10.27), aunque en realidad pueden ser sustituidos por l´ımites finitos. Esto es cierto ya que para α < t0 < β, donde α

y β son constantes β

α

f(t)δ(t−t0)dt=f(t0). (10.28)

10.2.

La transformada de Laplace de la funci´

on delta de Dirac

La transformada de Laplace de la funci´on del de Dirac se puede deducir f´acilmente de la propiedad (10.27). Como δ(t−t0)=0 para t ̸= t0, si hacemos f(t) = e−st en (10.27),

vemos que para t0 0,

L[δ(t−t0)] =

−∞

e−stδ(t−t0)dt=e−t0s.

As´ı, para t0 0

L[δ(t−t0)] = e−t0s. (10.29)

o, en t´erminos de la transformada inversa,

L−1[e−t0s] =δ(tt

0). (10.30)

10.3.

Relaciones entre la funci´

on escal´

on unitario y la delta de

Dirac

De las definiciones deu(t) yδ(t) se puede argumentar que

u(t) = ∫ t

−∞

δ(t)dt, (10.31)

ya que el intervalo de integraci´on contiene al cero si t >0 pero no si t < 0. Inversamente, (10.31) puede escribirse como

δ(t) = d

dtu(t) = u

(t), (10.32)

que expresa el hecho de que u′(t) es cero en todas partes excepto en t = 0, cuando ocurre el salto en u(t).

Igualmente se puede argumentar que

δ(t−t0) =

d

dtu(t−t0) = u

(tt

(13)

11.

Convoluci´

on

La convoluci´on de dos funciones f(t) y g(t) parcialmente continuas en (0,∞], tiene muchas aplicaciones en varios campos de la ingenier´ıa, esta denotada por (f g)(t) y definida como

(f ∗g)(t) = ∫ t

0

f(µ)g(t−µ)dµ. (11.34)

Sustituyen α =t−µen (11.34) obtenemos

(f ∗g)(t) = ∫ t

0

g(α)f(t−α) = (g∗f)(t).

Esto es, la convoluci´on es conmutativa. Otras propiedades b´asicas de la convoluci´on son las siguientes:

1. c(f∗g) = cf ∗g =f∗cg c constante

2. f (g∗h) = (f ∗g)∗h

3. f (g+h) = (f∗g) + (f∗h),

las cuales se demuestran f´acilmente a partir de la definici´on.

La importancia de la convoluci´on en la teor´ıa de la transformada de Laplace es que nos permite obtener la transformada inversa de un producto de dos transformadas. El resultado necesario para hacer esto est´a contenido en el siguiente teorema.

Teorema 11.1 Sif(t)yg(t)son dos funciones parcialmente continuas en[0,∞), de orden exponencial α y tienen transformadas de Laplace F(s) y G(s) respectivamente, entonces

L [ ∫ t

0

f(µ)g(t−µ)

]

= L[(f∗g)(t)] = F(s)G(s) (11.35)

o, en la forma inversa m´as usual,

L1[F(s)G(s)] = (f∗g)(t). (11.36)

Prueba. Por definici´on

F(s)G(s) =L[f(t)]L[g(t)] = [ ∫

0

e−sxf(x)dx

][ ∫

0

e−syg(y)dy

]

,

donde hemos usado, en las integrales, las variables ficticiasx ey, en lugar det, para evitar confusiones. Ahora, esto puede ser expresado mediante la integral doble como

F(s)G(s) = ∫

0

0

e−s(x+y)f(x)g(y)dxdy= ∫ ∫

R

e−s(x+y)f(x)g(y)dxdy,

donde R es el primer cuadrante en el plano (x, y). Haciendo la sustituci´on

(14)

la integral doble se transforma en

F(s)G(s) = ∫ ∫

R1

e−stf(t−µ)g(µ)dtdµ,

donde R1 es la regi´on semi-infinita en el plano (µ, t) acotada por la recta µ= 0 y µ= t.

Esto puede escribirse como

F(s)G(s) = ∫

0

e−st

( ∫ t

0

f(t−µ)g(µ)

)

dt= ∫

0

e−st(g∗f)(t)dt=L[(g∗f)(t)]

y como la convoluci´on es conmutativa, podemos escribir

F(s)G(s) = L[(f ∗g)(t)],

Figure

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Referencias

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