Cálculo experimental de la constante de Verdet de un material solido transparente mediante el efecto Faraday

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. A. S. Universidad Nacional de Trujillo. SI C. FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA. “CALCULO EXPERIMENTAL DE LA CONSTANTE DE VERDET DE UN MATERIAL SOLIDO TRANSPARENTE MEDIANTE EL EFECTO FARADAY”. B. IB. LI O. TE. TESIS Para obtener el título profesional de Licenciado en Física Autor:. Br. CARLOS ALBERTO MORGAN CRUZ. Asesor:. Mg. JULIO IDROGO CORDOVA. Trujillo – Perú 2011. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. “Cálculo experimental de la constante de Verdet de un material sólido transparente mediante el efecto Faraday”. B. IB. LI O. TE. Br. CARLOS ALBERTO MORGAN CRUZ. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicado a:. A todos aquellos seres que se deleitan con el estudio de la materia y la energía de éste y otros universos, y sobre. B. IB. LI O. TE. todo dedicado a Dios, el ser supremo que los creó. 3I Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Agradecimientos: A Dios, por darme la fuerza y el coraje de hacer realidad uno de mis sueños más deseados y sobre todo por despertar en mí, esa curiosidad del. SI C. A. S. estudio de las ciencias físicas, uno de los motivos por el cual soy feliz. A mi asesor de tesis, Mg. Julio Idrogo Córdova, por su orientación,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. apoyo constante, su paciencia y disposición durante el desarrollo de este humilde trabajo. Al Dr. Wilder Aldama Reyna, por su apoyo desinteresado, sus aportes de experiencia muy valiosa, sin la cual no hubiese sido posible culminar el presente trabajo.. A mi amada esposa Patricia por acompañarme en aquellos momentos difíciles, por su apoyo incondicional desde cuando empecé este loco estudio por la física, a mis hijos Valeria y Patrick, por su comprensión. TE. infinita, y por haberles robado tiempo muy preciado de dedicación y atención. También quiero agradecer a mis padres, por su orientación y. LI O. buenos consejos de todo momento que me sirvieron en mi formación. B. IB. personal y profesional. II4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Resumen: El efecto Faraday consiste en una anisotropía inducida en un material, mediante la aplicación de un campo magnético paralelo a la dirección de la propagación de la luz. La luz lineal se puede representar mediante un par de ondas polarizadas circularmente,. S. que se propagan con diferente velocidad, por tanto acumulan una diferencia de fase,. A. originándose el poder rotatorio del plano de polarización de la luz transmitida. En éste. SI C. trabajo se utilizó el método experimental encontrándose la constante de Verdet de un material sólido no absorbente transparente mediante el denominado Efecto Faraday,. B. IB. LI O. TE. Verdet. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. obteniéndose V = 0.0029 ± 0.0001 grados militeslas-1 cm-1, siendo “V” la constante de. 5V Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. La naturaleza ondulatoria de la luz fue propuesta inicialmente por Christian Huygens en 1678 y demostrada experimentalmente entre 1880 y 1803 por Thomas Young y redescubierta por Fresnel en 1814, sin embargo el primer indicio de una conexión entre la luz, la electricidad y el magnetismo fue establecido por Michael Faraday en 1845, aunque en forma indirecta ya que se requiere de un medio material para que se observe el efecto. La Teoría electromagnética formulada por Maxwell durante los años 1865 la cual predijo la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz y fue confirmada por Hertz durante los años 1885 y 1889, en la que produce y detecta ondas electromagnéticas, además de medir su velocidad y demostrar sus propiedades de reflexión y refracción. Aunque Hertz descubrió el efecto fotoeléctrico se alude como primera conexión entre la luz y el electromagnetismo al efecto Faraday. Michael Faraday descubrió que el plano de polarización de la luz linealmente polarizada incidente sobre un material de vidrio rotaba cuando se aplica un campo magnético en la dirección de la propagación. El efecto Faraday consiste en una anisotropía inducida en un material, mediante la aplicación de un campo magnético paralelo a la dirección de la propagación de la luz. La luz lineal se puede representar mediante un par de ondas polarizadas circularmente, que se propagan con diferente velocidad, por tanto acumulan una diferencia de fase, originándose el poder rotatorio del plano de polarización de la luz transmitida.. LI O. TE. Podemos encontrar estudios teóricos publicados en la Revista Mexicana de Física sobre la descripción clásica del efecto, un diseño y construcción de un equipo para la demostración del efecto Faraday (S. Galindo, 2002), las consideraciones que se realizan es que debemos generar un campo magnético mínimo de 500 gauss, una muestra a lo mas de decena de centímetros, para obtener un giro del plano de polarización del orden de un par de grados sexagesimales.. B. IB. Además existen otras referencias anteriores sobre éste trabajo que se encuentran publicados en la Revista Cubana de Física (R.A Díaz,1991) que tratan de la determinación experimental de la constante de Verdet de vidrios ópticos tipo Flint pesado que es usado ampliamente en la construcción de dispositivos como la llamada celda de Faraday, además de hacer estudio de la dependencia térmica del efecto Faraday en el vidrio mencionado en un intervalo de temperatura de 30°C y 80°C, se utilizó longitud de onda de laser He-Ne Otros trabajos referenciales desarrollados por el Departamento de Óptica de la Facultad de Ciencias Físicas de la Universidad Complutense de Madrid (Héctor Guerrero, 1993), utiliza el efecto Faraday para el estudio de las propiedades de materiales compuestos semiconductores policristalinos y para el desarrollo de dispositivos magneto-opticos por fibra óptica de plástico. 6 -1Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. También existen trabajos doctorales del Departamento de Señal y Comunicaciones de la Universidad Politécnica de Catalunya, España (Juame Comellas, 1999), sobre técnicas para minimizar y controlar las polarizaciones en comunicaciones por fibra óptica utilizando el efecto Faraday. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Presentamos el trabajo estructurándolo en capítulos, el Capítulo 1 está dedicado a estudiar la representación de los estados de polarización desde un punto de vista algebraico, el Capítulo 2 nos servirá para representar los estados de polarización en forma geométrica utilizando la esfera de Poincaré, el Capítulo 3 se refiere a la representación de estados de polarización mediante matrices, llamadas matrices (2*1) de Jones, el Capítulo 4, también dedicado a la representación de las polarizaciones pero teniendo en cuenta un nuevo factor llamado grado de polarización, los cuales son representados mediante la matrices de Stokes- Mueller (José Gil, 1983), el capítulo 5, está destinado a una muy breve explicación de la interacción entre ondas electromagnéticas y medios isotrópicos, utilizando las conocidas ecuaciones de Maxwell y así como también mencionaremos la Ley de Malus, el capítulo 6 y 7, son básicamente el corazón del presente trabajo llamado Anisotropías inducidas utilizando un campo magnético o mejor conocido como Efecto Faraday, desarrollaremos una base teórica, se explica el montaje experimental, los equipos y materiales utilizados, así como también detallaremos las aplicaciones y conclusiones. Debemos destacar que existen y se estudian anisotropías inducidas mediante la aplicación de otras magnitudes físicas como pueden ser un campo eléctrico o un esfuerzo mecánico, sin embargo el estudio de estos efectos no están contenidos dentro de este trabajo.. B. IB. LI O. TE. A la fecha en la Universidad Nacional de Trujillo, no hemos encontrado evidencias sobre estudios anteriores sobre el efecto Faraday, por lo que es parte de éste proyecto y anhelo dar inicio a trabajos futuros relacionados sobre al tema y sus aplicaciones. -27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. INDICE Dedicatoria…………………………………………………………………..……....…...I Agradecimientos…….……………………………………………………………..……II. S. Índice….. …….……………………………………………………………………...... III. SI C. A. Resumen…..……….………………………………………………………….…...........V Introducción.………………………………………….……………….….…….….……1. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. CAPITULO 1: Estados y operadores de Polarización ................................. 3 1.1 Superposición de dos ondas de igual dirección y frecuencia ................................. 3 1.2 Superposición de dos ondas perpendiculares de igual frecuencia .......................... 4 1.3 Operadores de polarización .................................................................................... 7. CAPITULO 2: Representación de los estados de polarización .............. 9 2.1 La esfera de Poincaré .............................................................................................. 9 2.2 Superposición lineal de estados de polarización .................................................. 11 2.2.1 Superposición de vibraciones rectilíneas perpendiculares 2.2.2 Superposición de vibraciones circulares o elípticas ...................................... 12. CAPITULO 3: Representación matricial de Jones ....................................... 13 3.1 Vectores de Jones ................................................................................................. 13 3.2 Matriz de Jones .................................................................................................... 15 3.2.1 Polarizador Rotador ....................................................................................... 16 3.2.2 Polarizador rectilíneo en dirección de e1 ....................................................... 17 3.2.3 Polarizador circular........................................................................................ 18. TE. CAPITULO 4: Representación matricial de Stokes-Mueller ................. 20. LI O. 4.1 Vector de Stokes ................................................................................................... 20 4.2 Matriz de Mueller ................................................................................................ 24. CAPITULO 5: Medios Isotrópicos .......................................................................... 25. B. IB. 5.1 Ecuaciones de Maxwell en medio materiales ....................................................... 25 5.2 Flujo de energía de una onda electromagnética.................................................... 27 5.3 Ley de Malus ........................................................................................................ 28 5.4 Clasificación del medio ........................................................................................ 29. CAPITULO 6: Anisotropías inducidas: Efecto Faraday ............................ 31 6.1 Efecto Faraday ...................................................................................................... 31 6.2 Base Teórica ......................................................................................................... 33. CAPITULO 7: MONTAJE EXPERIMENTAL ................................................................ 31 7.1 Montaje experimental ........................................................................................... 36 7.2 Equipo y materiales utilizados.............................................................................. 38 7.2.1 Puntero Láser ................................................................................................. 38 III -1-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. 7.2.2 Polarizadores ................................................................................................. 38 7.2.3 Electroimán .................................................................................................... 39 7.2.4 Tesla metro .................................................................................................... 40 7.2.5 Muestra .......................................................................................................... 40 7.2.6 Foto celda ...................................................................................................... 41 7.3 Datos experimentales ............................................................................................ 41 7.4 Aplicaciones ......................................................................................................... 44 7.5 Conclusiones…………..…………………………………………………………44. A. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS…………………………………………………46. SI C. ANEXOS…………………………………………………………………..…………...48. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. INDICE DE FIGURAS……………………………………………….………………..58. IV -2Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 1. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Estados y operadores de Polarización. Estudiaremos la polarización de una onda electromagnética monocromática, ya que este tipo de onda resulta una muy buena aproximación de ciertos haces luminosos, como en nuestro caso utilizaremos los láseres. Realizaremos una breve introducción de la superposición de dos ondas planas de igual dirección y frecuencia así como también la superposición de dos ondas perpendiculares de igual frecuencia, sin embargo debemos anotar que también existen el estudio de superposición de ondas de diferente frecuencia que no detallaremos en éste trabajo por tratarse solo de ondas electromagnéticas monocromáticas. Luego mencionaremos algunos métodos de polarización y sus mecanismos de cambio de estado.. TE. 1.1 Superposición de dos ondas de igual dirección y frecuencia. LI O. Compondremos dos ondas de la misma dirección y frecuencia, el primero con amplitud A1, y fase inicial 1, el segundo con amplitud A2, y fase inicial 2, ambos con frecuencia angular igual. IB. Por lo tanto:. B. X1 = A1 sen (t +. X2 = A2 sen (t + El resultado de la composición de dos ondas de la misma dirección y de la misma frecuencia X = A sen (t +. -3Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Figura Nro. 1.1: Representación vectorial de las amplitudes de ondas de igual dirección y distinta amplitud Observado la figura Nro. 1.1, se puede obtener de la suma vectorial de las amplitudes A1 y A2, cuyo ángulo entre ambos es simplemente  = 1 -2 y si consideramos el análisis en un tiempo t=0, se tiene que: A =  (A1)2+(A2)2+2(A1) (A2) cos De las ecuaciones (1.1) y (1.2) se tiene que:. Tg  = ( A1 senA2 sen( A1 cosA2 cos Ahora consideremos algunos casos importantes especiales.. Si por tanto  =0 y decimos que las ondas están en fase e interfieren constructivamente, por tanto de la ecuación (1.4) se tiene: A= A1 +A2. LI O. TE. Si por tanto así que las ondas están en oposición e interfieren destructivamente, de la ecuación (1.4) se tiene: A= A1 - A2. B. IB. Si por tanto entonces decimos que las ondas están en cuadratura, de la ecuación (1.4) se tiene: A= (A1)2 + (A2)21/2. 1.2 Superposición de dos ondas perpendiculares de igual frecuencia Ahora consideremos el caso donde la onda electromagnética se mueve en un plano de modo que sus coordenadas tanto en la dirección x e y oscilan con movimiento armónico, además escogeremos la configuración de tal forma que la fase inicial a lo largo del eje x es cero, por tanto se tiene que: -4Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. X = Ax sen (t). (1.6). Y = Ay sen (t + ). (1.7). Las amplitudes son Ax y Ay, y  es la diferencia de fase entre ambos movimientos.. S. Si tenemos en cuenta que Ax, Ay  0 y  0, la ecuación de la superposición se obtiene eliminando el tiempo de las ecuaciones (1.6) y (1.7):. SI C. A. sent = X/ Ax cost = (- sent cos Y/ Ay)(1/sen. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Reemplazando en cos2 t + sen2 t = 1. (X/Ax)2 X/Ax)Y/Ay)(cos)+Y/Ay)2= sen2δ. (1.8). En la figura Nro. 1.2 se apreciar que el primer movimiento se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ax sobre el eje X, el segmento marcado en color rojo. Al girar con velocidad angular x, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es xt. El origen de ángulos se encuentra en la parte derecha de la circunferencia en el punto marcado por O.. B. IB. LI O. TE. El segundo movimiento se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ay sobre el eje Y, el segmento marcado en color azul. Al girar con velocidad angular y, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es yt+. El origen de ángulos se encuentra en la parte inferior de la circunferencia en el punto marcado por O y  es la posición angular de partida en el instante t=0.. Figura Nro. 1.2: Representación vectorial de ondas perpendiculares y de diferente amplitud. -5Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La ecuación (1.8) es la ecuación de una elipse, una onda electromagnética que satisface ésta relación se dice que esta polarizada elípticamente, existen algunos casos especiales importantes que se derivan de ésta relación, considerando x=y para todos los casos, entonces: Si Ax = Ay, y además ( ó π)entonces de la ecuación (1.8) se tiene que:. S. X = ± Y, su representación gráfica se puede observar en la figura Nro. 1.3. Y. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Y. SI C. A. (1.9). X. X.  π. Figura Nro. 1.3: Representación de polarización lineal. La onda electromagnética que satisface la ecuación (1.8) se dice que esta polarizada linealmente Si Ax = Ay, además (π/2 ó π/2) entonces de la ecuación (1.8) se tiene que: X2 + Y2 = A2x = A2y. (1.10). X. X. B. IB. LI O. TE. Y. π/2 Figura Nro. 1.4: Representación de polarización circular derecha En éste caso la onda electromagnética que satisface la ecuación (1.10) se dice que esta polarizada circularmente, su representación gráfica se observa en la figura Nro. 1.4 (Alvaro Tejero, 2004). -6Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Operadores de polarización. S. En principio se puede polarizar una onda no polarizada de varias formas como puede ser por una reflexión o por una dispersión. En el caso de la luz reflejada por un material transparente puede ser polarizada completamente si se cumple que el rayo reflejado es perpendicular al rayo refractado, donde el B depende básicamente de los índices de refracción de los medios siendo éste el ángulo de incidencia, es decir:. A. Tg B = n2/n1. SI C. donde:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. B = ángulo de Brewster y;. n2, n1= índices de refracción del material transparente y del medio de la onda no polarizada respectivamente. Sin embargo también se puede variar el estado de una polarización mediante un operador que es un medio o dispositivo capaz de modificar la polarización de una onda electromagnética. Birrefringencia. Un birrefringente es un operador de polarización que introduce un desfase entre dos polarizaciones ortogonales invariantes, características del medio.. TE. La primera de las dos direcciones sigue las leyes normales de la refracción al cual le llamaremos rayo ordinario, el segundo tendrá una velocidad e índice de refracción diferente y le llamaremos rayo extraordinario. La birrefringencia se debe a la diferencia de las velocidades de fase, por lo tanto podemos hablar de una onda lenta y una rápida (polarizadas),. B. IB. LI O. En general las ondas propias tienen polarización elíptica entonces corresponde a un birrefringente elíptico, caso especiales como hemos visto en el capítulo anterior si éstas ondas propias son polarizadas en forma circular, entonces hablaremos de un birrefringencia circular, en éste caso existirá el poder rotatorio de la sustancia birrefringente Para ilustrar, si consideramos la onda como rayo incidente en forma perpendicular a una sustancia y que corresponde a dos rayos refractados que emergen en forma paralela, entonces ocurre el fenómeno llamado doble refracción, originando un desfase, por tal motivo a birrefringente se considera como un desfasor. Un ejemplo y muy usado de éstas sustancia es el cristal de calcita. Dicroísmo. Un dicroico es un operador de polarización que absorbe en forma diferente dos polarizaciones ortogonales diferentes. -7Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Bajo ésta afirmación una onda electromagnética no polarizada que se propague en forma perpendicular a una sustancia dicroica lo suficiente gruesa, será descompuesta en dos ondas ortogonales polarizadas, las cuales serán absorbidas en forma diferente una más que otra, hasta lograr solo una onda polarizada.. S. Por tanto el dicroísmo resulta de la diferencia de los coeficientes de absorción, dependiente de la frecuencia de la onda electromagnética, en el espectro visible la sustancia dicroica más importante es la turmalina (borosilicato de aluminio).. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. También se debe tener en consideración que existen sustancias de dicroísmo elíptico, circular y lineal.. -8Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 2. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Representación de los estados de polarización. 2.1 La esfera de Poincaré. Un estado de polarización físico es representado por la elipse tal como se demostró en la ecuación 1.8 y así mismo ésta elipse puede ser representado por un punto de la esfera de Poincaré (A. Patiño, 2007), ahora sabemos que una elipse puede ser definida por dos parámetros, ε (ρ, ε). - El ángulo ρ, que nos da la orientación del eje mayor de la elipse con respecto a un eje de referencia. Tal que 0≤ ρ ≤ π -El ángulo ε, nos da la elipticidad. Se atribuirá a ε>0 para una elipse derecha y ε<0 para una elipse a la izquierda. Por tanto tenemos que –π/4 ≤ ε ≤ π/4. Además |tag ε| = b/a. Donde “b” es la longitud del eje menor (QR) y “a” la longitud del eje mayor (OR) Y. Q. X’. P. R. ε ρ. O. Ay X. B. IB. LI O. TE. Y’. Ax. Figura Nro. 2.1: Representación de Polarización en una elipse E (ρ, ε). -9Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Un estado de polarización se puede representar gráficamente mediante la figura Nro. 2.1, donde se tiene que ρ es la orientación del eje mayor (OR) y tag ε = QR/PQ. La representación de una polarización está dada por un punto ε de la esfera de Poincaré de longitud 2ρ y latitud 2ε y radio igual a 1, la cual se explica con mayor detalle en la figura Nro. 2.2. S. Entonces si consideramos normalizada la intensidad, tenemos que:. (2.1). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. I=1 X1 = cos (2ε) cos (2ρ) X2 = cos (2ε) sen (2ρ) X3=sen(2ε) X3. N. E. 2 2ε. 21 2. O. X2. LI O. TE. A. 2ρ. B. X1. S. IB. Figura Nro. 2.2: Representación de polarización en la Esfera de Poincaré. B. Se describen algunas características, -. -. El meridiano, es la intercepción de la esfera con el plano X3=0, es el origen de las longitudes contadas a partir del eje X1 positivo. El Ecuador, es la intercepción de la esfera con el plano X2=0, es el origen de las latitudes contadas positivamente para el hemisferio norte (la latitud del polo norte es 90ᵒ). Se define dos polos: el polo norte de coordenadas cartesiana (0,0,1) y el polo sur de coordenadas (-1,0,0) Algunas propiedades:. -10Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. -. El ecuador es el lugar geométrico de las ondas polarizadas en forma lineal, es decir ε=0, observando la figura Nro. 2.1 si tag ε, entonces la elipse se transforma en una línea El polo Norte representa la polarización circular derecha (ε = π/4) y el polo Sur representa la polarización circular izquierda (ε=-π /4). El hemisferio norte, representa las ondas dextrógiras, y por defecto el hemisferio sur las ondas levógiras. S. -. A. 2.2 Superposición lineal de estados de polarización. SI C. 2.2.1 Superposición de vibraciones rectilíneas perpendiculares,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. observando la figura. Nro. 2.1, encontramos a la elipse en sus ejes propios en el sistema x’y’, entonces después de aplicar una transformación de coordenadas según las relaciones (2.3) podemos hallar la ecuación de la elipse en sistema xy (A.Patiño, 2007) x’2/a2 +y’2/b2 = 1. (2.2). y utilizando la relaciones que proviene del operador: x’ = cosρ x + senρ y. y’ = -senρ x + cosρ y. (2.3). Reemplazando y reagrupando. cos²ρ/a² + sen²ρ/b²)x² + 2xysenρcosρ(1/a² - 1/b²) + sen²ρ/a² + cos²ρ/b²)y² = 1  Se obtiene la ecuación de la elipse (2.4), y comparado con la ecuación (1.8) podemos hallar la sgtes relaciones:. TE. 1/A²x = sen²cos²ρ/a² + sen²ρ/b²). LI O. 1/A²y = sen²sen²ρ/a² + cos²ρ/b²). cos/ AxAy = sen² senρ cosρ (1/b² - 1/a2). IB. Teniendo en cuenta que a = b ctg ε, reemplazando en la ecuación (2.4), tenemos que:. B. tag²ρ tag²ε)x² + 2xytagρ(1 - tagε²) + tag²ρ + tag²ε)y² = a²sec² ρ. (2.5). Encontramos la ecuación de la elipse (2.5), que depende de la rotación “ρ” y la elipticidad “ε”, de una constante que debe ser conocida “a”.. -11Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2.2 Superposición de vibraciones circulares o elípticas Si recordamos según las ecuaciones (1.6) y (1.7), tenemos que una polarización elíptica según su representación cartesiana es: X1 = Ax sen (t). S. Y1 = Ay sen (t + ). SI C. A. Pero simplificando a un caso particular, cuando tenemos una polarización circular derecha ( =π/2), con frecuencia y amplitud igual entonces tenemos que:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. X1 = A sen (t) Y1 = A sen (t + π/2). Y si consideramos otro estado de polarización con la misma frecuencia, pero en este caso con polarización circular izquierda ( =-π/2), tenemos que: X2 = A sen (t). Y2 = A sen (t - π/2). Entonces tenemos que la superposición de vibraciones circulares es equivalente a: X = 2A sen (t) Y=0. B. IB. LI O. TE. Esto quiere decir que estamos en un caso particular del estado de polarización lineal, es decir que según la figura Nro. 2.1, tagε = 0, por tanto ε = 0, y también se puede observar que ρ = π/2 es decir que éste estado se encuentra sobre el ecuador exactamente el lado opuesto del eje X1 de la esfera de Poincaré. -12Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 3. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Representación matricial de Jones. Debemos recalcar que casi en la totalidad de éste trabajo, cuando hablemos de una onda electromagnética, asumiremos que es totalmente monocromática y coherente, bajo este supuesto ahora expresaremos tanto un estado y operador de polarización en forma de vector (columna) o en forma matricial con respecto a una base orto normal, el cual nos permitirá una representación más simplificada para cálculos más complejos. 3.1 Vectores de Jones. Como lo hemos descrito en los capítulos anteriores un estado de polarización se puede expresar en forma cartesiana en una base orto normal (e1,e2) cualquiera como: I = xe1 + ye2 y en forma matricial (2x1):. y. LI O. I=. TE. x. (3.1). B. IB. Este vector solo tiene información sobre la amplitud y fase de dos componentes transversales del campo y sus componentes pueden ser números complejos. Tenemos algunos ejemplos de vector de polarización y su representación en vectores de Jones tomando como referencia la base orto normal horizontal y vertical (P. PellatFinet, 2,009). -13Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Tabla N. 3.1: Vectores de estado y vectores de Jones en base orto normal (e1,e2). Vector de estado. Vector de Jones. Polarización. 1. 0. e2. A. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1. SI C. 0. S. e1. cos. e1cos  + e2sen . rectilínea (ve, e1)=. sen. sen. e1sen  - e2cos . rectilínea  al anterior. -cos. 1. ( e1 + e2) / √2. (1/√2). 1.  (ve, e1)= 45°. 1. ( -e1 + ie2) / √2.  (ve, e1)= 45°. (1/√2). -1 1. (1/√2). B. IB. LI O. TE. ( e1 - e2) / √2. -i. circular izquierda. 1 ( e1 + ie2) / √2. (1/√2). i. circular derecha. -14Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Tabla Nro. 3.2: Vectores de estado y vectores de Jones en base de polarizaciones circulares (Cd, Ci). Vector de estado. Vector de Jones. Polarización. S. 1. 0. circular izquierda. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Ci. A. circular derecha 0. SI C. Cd. 1. (Cd + Ci ) / √2. (1/√2). 1 1. (Cd – Ci ) / √2. (1/√2). 1. -1. (Cd + iCg ) / √2. (1/√2). 1 i. (Cd - iCg ) / √2. (1/√2). 1. LI O. TE. -i. B. IB. 3.2 Matriz de Jones Sabemos que un operador de polarización es un dispositivo capaz de modificar la polarización de una onda electromagnética, el cual podremos representar mediante una matriz de 2x2. Debemos tener en cuenta que la utilidad de la matriz de Jones se restringe a problemas relativos a luz totalmente polarizada. Ahora según lo expuesto en el punto 3.1, el vector “I” es un vector de Jones que representa una polarización de onda incidente, el vector “S” representa una polarización saliente y “T” la matriz del operador o de transformación, por tanto se tiene: S=TI. (3.2). -15Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2.1 Polarizador Rotador Un ejemplo sencillo es un rotador de polarización al cual lo vamos a definir como la matriz T y un vector de estado I= e1cos  + e2sen, el cual se puede representar mediante el vector “I”. S. cos I=. - sen φ. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. cos φ T=. SI C. A. sen. sen φ. cos φ. De acuerdo a la ecuación (3.2), el vector de estado final transformado es S cos φ S=. sen φ. - sen φ. cos. cos φ. sen. cos (+φ) sen (+φ). TE. S=. Por tanto el vector final transformado es:. LI O. S = e1cos (+φ) + e2sen (+φ). B. IB. Gráficamente lo podemos representar en la Figura 3.1, donde el vector de estado inicial “I” ingresa a un operador el cual modifica la polarización, generado un vector de estado final “S”. La matriz “T”, describe el medio óptico que determina el cambio de intensidad y el estado de polarización de la onda incidente. -16Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. e2. S. e2 (+φ). e1. T. S. I. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. . Figura Nro. 3.1: Rotación del plano de polarización. 3.2.2 Polarizador rectilíneo en dirección de e1. Si consideramos nuevamente el vector de estado I = e1cos  + e2sen  y el operador “T”, los cuales se pueden expresar en forma matricial. cos I= sen. T=. 0. TE. 1. LI O. 0. 0. B. IB. Aplicando, nuevamente la ecuación 3.2, se tiente que el vector “S” cos. S= 0. Por tanto el vector de estado queda polarizado a lo largo de la dirección e1. Gráficamente se expresa en la figura Nro. 3.2. -17Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. e2. e2. e1. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ). A. I. SI C. T. e1. S. S= cos. Figura Nro. 3.2: Polarización en dirección del vector e1. 3.2.3 Polarizador circular. Si consideramos un vector I= e1 y el operador “T”, los cuales se pueden expresar en matrices. I=. 1 0. 1. TE. 1 T = 1/√2. -i. LI O. i. B. IB. Por tanto el vector de estado final es “S”. S = 1/√2. 1 i. Observado el resultado y comparando con la Tabla Nro. 3.1, tenemos que el vector de estado es referida a una polarización circular derecha, gráficamente se representa en la figura Nro. 3.3. -18Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. e1. S. I. A. e2. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. e1. S. e2. B. IB. LI O. TE. Figura Nro. 3.3: Polarización circular. -19Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 4. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Representación matricial de Stokes-Mueller. 4.1 Vector de Stokes. G. Stokes, introduce los parámetros (So, S1, S2, S3) para caracterizar el estado de una onda totalmente polarizada cuyos valores según la espera de Poincaré son: So = I S1 = I cos (2ε) cos (2ρ) S2 = I cos (2ε) sen (2ρ) S3 = I sen (2ε). (4.1). O teniendo en cuenta relaciones trigonométricas, se tiene que:. (4.2). B. IB. LI O. TE. So = I S1 = I cos (2α) S2 = I sen (2α) cos () S3 = I sen (2α) sen (). Pero en general, la luz se presenta como una superposición de un gran número de trenes de ondas simples con fases independientes. La superposición incoherente de un número de haces de luz viene caracterizada por un vector de Stokes que es la suma de los vectores de Stokes asociados a dichos haces. Los parámetros de Stokes del haz total son: So = ∑Soi i. S1 = ∑S1i i. S2 = ∑S2i i. -20Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S3 = ∑S3i (4.3) Además según se observa en la figura Nro. 4.1 que la tag α = Ax/Ay y remplazando en las relaciones (4.2), se tiene cada uno de los parámetros de un haz de luz parcialmente polarizado expresado en promedio temporal (José Gil, 1983) So = <Ax2 + Ay2>. S. S1 = <Ax2 - Ay2>. SI C. A. S2 = <2 Ax Ay cos > S3 = <2 Ax Ay sen > Y’. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Y. (4.4). Q. (x’,y’). P. X’. R. Ay y. ε α ρ. X. O. TE. Ax. LI O. Figura Nro. 4.1: Representación de Polarización en una elipse. B. IB. Las relaciones (4.4) es la representación más general de los parámetros de Stokes y están sujetos a la condición: So2  S12 + S22 + S32 Donde la igualdad So2 = S12 + S22 + S32, se cumple cuando se trata de luz totalmente polarizada En el caso de luz natural, los promedios temporales se anulan salvo So y el vector se representa como:. SN =. IN 0 0 0. (4.5) -21-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Considerando que una luz parcialmente polarizada puede es la superposición incoherente de dos haces, de los cuales uno de ellos esta polarizado totalmente y el otro no polarizado, se puede expresar como: S = SN + SP (4.6) Entonces el vector de Stokes para la luz polarizada se representa como:. A SI C. SP =. S. IP S1 S2 S3. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Considerando (4.5) y (4.6), se tiene que el vector de Stokes S es igual a:. S=. So S1 S2 S3. S=. IN + IP S1 S2 S3. =. IN 0 0 0. +. IP S1 S2 S3. TE. Donde So = I = IN + IP Entonces se puede definir como el grado de polarización “G” como:. LI O. G = IP/I. (4.7). B. IB. Ahora empleando la representación de Poincaré y la relación (4.7), tenemos que:. S=. I IP cos (2ε) cos (2ρ) IP cos (2ε) sen (2ρ) IP sen (2ε). S=I. 1 G cos (2ε) cos (2ρ) G cos (2ε) sen (2ρ) G sen (2ε). (4.8). -22Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Por tanto el vector de Stokes, nos da información de la intensidad I y del grado de polarización G de la luz, además de la elipticidad “ε” y de la rotación “ρ” de la elipse. Podemos observar en un ejemplo, cuando ε = 0 y ρ = 0 se reemplazan en el vector (4.8), se tiene que:. A SI C. S=I. S. 1 G 0 0. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Entonces S, es un vector que representa una onda con intensidad I con grado de polarización G, polarizado rectilíneamente y su rotación es cero, es decir la recta esta en dirección de X según la Figura Nro. 4.1 Tabla N. 4.1: Vectores de Stokes compuesta por polarizaciones rectilíneas. Vector de Stokes. 1 0 0 0. B. IB. LI O. TE. 1 G 0 0 1 0 0 G. 1 0 1 0. Polarización. Luz natural (no polarizada). Luz parcialmente polarizada con grado G La parte polarizada es rectilínea y está en dirección de X (Ver Figura Nro. 4.1). Luz parcialmente polarizada de grado G, la parte polarizada es circular derecha. Luz totalmente polarizada en forma recta, formando un ángulo de 45° con el eje X. -23Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 4.2 Matriz de Mueller Como en el caso de la matriz de Jones, la matriz de Mueller es un operador que modifica las condiciones de polarización un haz incidente, refiriéndose al grado de polarización, elipticidad y rotación de la elipse.. A. S. Ahora si consideramos al vector “I” un vector de Stokes que representa una onda incidente, el vector “S” representa una onda saliente y “M” la matriz del operador o de transformación (matriz 4x4), por tanto se tiene:. SI C. S=MI. I=. 1 0 1 0. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Considerando al estado incidente “I”:. (4.2). La matriz de Mueller o de transformación “M”:. M=. 1 0 0 0. 0 1 0 0. 0 0 0 0 0 -1 1 0. LI O. TE. Aplicando la relación (4.3), se tiene que el estado emergente “S” es:. B. IB. S=. 1 0 0 1. Donde el vector de Stokes emergente representa una polarización circular derecha, según se observa de la Tabla Nro. 4.1. -24Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 5. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Medios Isotrópicos. TE. Ahora estudiaremos los medios homogéneos e isotrópicos cuando son iluminados por una onda plana, es decir la interacción onda materia pero desde un punto de vista macroscópico utilizando las maravillosas ecuaciones de Maxwell, para lo cual realizaremos aproximaciones de la materia: Los medios ópticamente poco densos, es decir si los átomos están lo suficiente lejos de los otros y para encontrar la ecuación de movimiento de la carga se asume que los otros átomos no existen, en éste caso al incidir el campo sobre la carga, obtendremos un campo resultante el cual nos dará información sobre la materia como: cargas, frecuencias, etc Los medios ópticamente densos, en ésta aproximación los átomos se encuentran muy próximos, para tener una idea, si tomamos un volumen cuyo arista es cualquier longitud de onda del espectro visible encontraremos del orden de 104 átomos, esto nos indica que no podemos hacer la aproximación de átomos independientes, por tanto para obtener el campo resultante el cálculo se simplifica con promedios espaciales a escala macroscópica. LI O. 5.1 Ecuaciones de Maxwell en medio materiales. B. IB. Uno de los grandes aportes de Maxwell es haber explicado que no todas las cargas y corrientes son fuentes de campos electromagnéticos, si no únicamente las cargas y corrientes de conducción, las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo en medios materiales lineales en forma diferencial se definen como: Ley de Gauss para el campo eléctrico . D =ρC. (5.1). Ley de Gauss para el campo magnético . B =0. (5.2). Ley de Faraday (circulación del campo eléctrico) -25Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. xE= - ∂B/∂t. (5.3). Ley de Ampre-Maxwell (circulación del campo magnético) x H= Jc + ∂D/∂t. (5.4). Donde:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. D = vector desplazamiento H = vector magnetización P = vector polarización M= vector de imanación B = inducción magnética E = campo eléctrico J = densidad de corriente libre ρ = densidad de carga de conducción (libre) εo, μo = permitividad y permeabilidad del vacio ε, μ = permitividad y permeabilidad de la materia σ = conductividad eléctrica. SI C. A. S. D= εoE + P = εE H=B/μo – M → B = μ H Jc = σ E. Otra ecuación importante, que se deduce de las ecuaciones de Maxwell, es la ecuación de la conservación de la carga de conducción: . Jc + ∂ρC/∂t = 0. (5.5). TE. Si introducimos los conceptos de potencial vector (A) y potencial escalar (), de la ley de Gauss del campo magnético (5.2) se obtiene que: B=. xA. LI O. Y de la ley de Faraday (5.3), se tiene que:  = E + ∂A /∂t → E =.  + ∂A /∂t. B. IB. -. Así las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en solo dos ecuaciones en función de los potenciales: La ley de Gauss para el campo eléctrico -.  +∂ (. 2. . A) / ∂t = ρC/ε. (5.6). La ley de Ampere-Maxwell x (. x A) = μ Jc - εμ ∂ (.  + ∂A/∂t) / ∂t. (5.7). -26Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 5.2 Flujo de energía de una onda electromagnética Utilizando los conceptos de densidad de energía asociada a un campo eléctrico y magnético de una onda electromagnética, sabemos que: Eε = εo ξ2/2 ;. A. S. Eβ = β2/2μo. SI C. ξ=cβ. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Donde: Eε = densidad de energía eléctrica (energía eléctrica por unidad de volumen) Eβ = densidad de energía magnética (energía magnética por unidad de volumen) ξ = magnitud de campo eléctrico β = magnitud del campo magnético c = velocidad de la luz Entonces la densidad de energía total será: E = Eε + Eβ E = εo ξ2. Ahora la intensidad “I” de una onda electromagnética (energía que pasa a través de una unidad de área en una unidad de tiempo) es: I = Ec = c εo ξ2. (5.8). TE. Sabemos que la dirección de propagación de una onda electromagnética es perpendicular a la dirección del campo eléctrico y a su vez al campo magnético, entonces tenemos que su producto vectorial es:. IB. LI O. │ ξ x β│ = ξ β = ξ2/c. (5.9). B. ξ ξxβ β. Figura Nro. 5.1: Dirección de propagación de la onda electromagnética Si multiplicamos a la relación (5.9) la cantidad c2 εo, entonces obtenemos que: -27Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. c2 εo│ ξ x β│= c εo ξ2 por tanto concluimos que: c2 εo│ ξ x β│= I. S. Ahora llamaremos a “P” el vector de Poyting, que tiene módulo igual a la intensidad y su dirección nos da dirección del flujo de la onda electromagnética tal como se muestra en la Figura Nro. 5.1. SI C. A. P = c2 εo ξ x β. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 5.3 Ley de Malus. Esta ley es de suma importancia, es la ley que gobierna la intensidad transmitida por un polarizador lineal, ésta ley nos apoyará para confirmar la rotación del plano de polarización de una luz. Para su explicación utilizaremos la figura Nro. 5.2.. Luz natural. Eje de Polarización. E. Ω. TE. EcosΩ. B. IB. LI O. Eje de Polarización. Figura Nro. 5.2: Ley de Malus Si consideramos una fuente de luz natural (no polarizada) la cual incide sobre un primer polarizador, la luz transmitida esta polarizada linealmente según el eje de transmisión del polarizador, luego al incidir nuevamente sobre un segundo polarizador al que le denominaremos analizador cuyo eje de transmisión esta rotado un ángulo Ω con respecto al anterior, ésta luz emergente del analizador cuyo campo eléctrico se podrá descomponer en sus dos componentes rectangulares, la componente perpendicular al eje de polarización EsenΩ será absorbido y por tanto no será transmitido, mientras la -28-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. componente paralela EcosΩ será transmitido. Entonces si utilizamos la relación 5.8 tenemos que la intensidad de la onda electromagnética transmitida del polarizador es: Ii = c εo ξ2 Y la intensidad de la onda transmitida del analizador es:. S. It = c εo ξ2cos2Ω. SI C. A. Por tanto concluimos que, la intensidad transmitida es proporcional a la intensidad inicial y al cuadrado del ángulo formado por los ejes de polarización.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. It = Ii cos2Ω. 5.4 Clasificación del medio. TE. La clasificación del medio se realizará en función de las propiedades de la materia como la permitividad ε y la permeabilidad μ, en nuestro caso vamos aproximar a μ ≈ μ o, por tanto los diversos materiales solo estarán en función de la permeabilidad y la conductividad - Conductores si σ≠0 , dieléctricos si σ = 0 - Isotrópicos si ε es un escalar, anisotrópico es ε es un tensor - Homogéneo si ε no depende de la posición, inhomogéneo si ε no depende de la posición - Dispersivo si ε depende de la frecuencia, no dispersivo si ε es independiente de la frecuencia - Absorbente si ε es complejo, no absorbente si ε es real Sabemos que D = ε E, en general la constante dieléctrica es un tensor de 3x3 considerando una base ortogonal se tiene que:. LI O. D1 D2 D3. E1 E2 E3. B. IB. =. ε11 ε12 ε13 ε11 ε12 ε13 ε11 ε12 ε13. Si el medio es anisotrópico, es aquel que presenta distintas propiedades en cualquier dirección, entonces:. D1 D2 D3. =. εx 0 0 0 εy 0 0 0 εz. E1 E2 E3. -29Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Si el medio es isotrópico ε = ε I, es aquel que presenta las mismas propiedades en cualquier dirección, entonces:. 0 1 0. 0 0 1. E1 E2 E3. S. = ε. 1 0 0. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. D1 D2 D3. -30Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 6. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Anisotropías inducidas: Efecto Faraday. La anisotropía inducida aparece cuando se modifica la isotropía de una muestra mediante la aplicación de una magnitud física, como puede ser un campo eléctrico, un esfuerzo mecánico o un campo magnético. 6.1 Efecto Faraday. B. IB. LI O. TE. En 1845, Michael Faraday, descubrió el modo por el cual la luz que se propaga por un material puede ser influenciada por la aplicación de un campo magnético externo. En particular, encontró que el plano de vibración (inclinación) de una luz polarizada linealmente que incide sobre un trozo de cristal rota cuando se aplica un campo magnético en la dirección de propagación de esa luz. Este efecto, llamado magnetoóptico o efecto Faraday, fue uno de los primeros indicios de la interacción entre el electromagnetismo y la luz. En posteriores observaciones se observó que la rotación del plano de vibración de la luz es proporcional a la fuerza del campo magnético y a la distancia recorrida por la propia luz bajo su efecto. Más tarde se descubrió que existe cierto factor de proporcionalidad, que se conoce como la constante de Verdet, y que es específico de cada material. Todo este trabajo científico se llevó a cabo en su totalidad de manera experimental. El ángulo medido Ω (en grados sexagesimales) sobre el que rota el plano de vibración viene dado por la siguiente expresión empírica (Héctor Guerrero, 1992) Ω = VBL Donde: Ω : es el ángulo rotado del plano de polarización V : Constante de Verdet medido en grados militeslas-1 cm-1 L : Longitud de la muestra, medido en cm B : La intensidad de campo magnético medido en Teslas K: vector de onda. (6.1). Donde la constante de Verdet por convención puede ser positiva o negativa, es positiva si gira según las manecillas del reloj cuando el observador está ubicado en dirección -31Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. opuesta a la dirección del campo magnético y del vector de onda, entonces le llamaremos rotación dextrógira. Si la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj y el observador está situado en sentido contrario al vector de onda, entonces podremos deducir que el campo magnético esta en dirección contraria al vector de onda. Podremos observar una representación exagerada en la figura Nro. 5.1 el efecto Faraday con rotación dextrógira de ángulo Ω.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Otro aspecto importante es que hay que diferenciar entre materiales que tiene actividad óptica natural y las que resultan del efecto Faraday, se entiende como material con actividad óptica natural cuando un haz polarizado linealmente incidente es rotado sin necesidad de una magnitud física externa. K. Ω. B. B. IB. LI O. TE. Onda incidente. Onda transmitida con plano de polarización rotado. Figura Nro. 6.1: Representación del Efecto Faraday. -32Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 6.2 Base Teórica. SI C. A. S. Una onda polarizada linealmente puede ser descompuesta en dos ondas polarizadas circularmente, una a derechas y la otra a izquierdas. La propagación de cada una de ellas es independiente de la otra. Si los índices de refracción que presenta el material para cada una de las dos ondas es diferente, entonces sus velocidades de propagación también lo serán. Al final del tramo de material se ve que al sumar de nuevo las dos ondas circularmente polarizadas se obtiene una onda linealmente polarizada pero en esta ocasión el plano de vibración estará rotado respecto el de la onda original. (S. Galindo,2002). 1 EI= A. 0. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Utilizando la representación matricial de Jones del capítulo 3, tenemos que una onda linealmente polarizada con amplitud A y con cierta dirección de propagación especial según el eje Z se puede escribir como la suma de dos ondas polarizadas circularmente, a ésta onda la etiquetaremos como onda incidente EI: 1. e. i(Kz – ωt). = A/2. i. 1. +. -i. ei(Kz – ωt). (6.2). Donde: A = Amplitud de la onda linealmente polarizada K = vector de onda ω = frecuencia angular. Considerando que la velocidad que se propagan las ondas polarizadas circularmente, entonces se tiene que:. TE. K= 2π/λ λ = VT Por tanto:. LI O. K = ωη/c. B. IB. Donde: λ = longitud de onda T = período η = índice de refracción c = velocidad de la luz Entonces los vectores de onda polarizados circularmente izquierda KI y derecha KD respectivamente son: KD= ωηI/c KI= ωηD/c. -33Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Bajo ésta consideraciones la relación (6.2) se debe reescribir como: 1 iωt EI= (A/)2 e-. 1. z. e-iKD. i. +. z. e-iKI. -i. 1. 1. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ES =(A/2) e. SI C. A. S. Según la representación de la figura Nro. 6.2, se puede apreciar el recorrido efectuado de las ondas a través de la muestra de espesor L, entonces a ésta la etiquetaremos onda transmitida ES, la cual se puede reescribir como:. -iωt. e. (KD + KI)L/2. i. e. -i(KD - KI)L/2. +. -i. e i(KD - KI)L/2. (6.3). EI. φ L φD. TE. K. Ω ES φD. B. IB. LI O. Onda incidente. L. φL. B. Z Onda transmitida Figura Nro. 6.2: Ondas circulares dextrógira y levógira -34Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducimos un cambio de variable:. Ψ = (KD + KI)L/2 Ω = (KD - KI)L/2. e. i. 1. e. -iΩ. +. -i. e iΩ. SI C. 1 Ψ. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ES =(A/2) e. -iωt. A. S. Entonces la expresión (6.3) se puede escribir como:. (e iΩ + e –iΩ)/2. iωt Ψ ES =A ee. (-ie iΩ + ie –iΩ)/2. (6.4). Utilizando las relaciones trigonométricas: sen Ω = (e iΩ - e –iΩ)/2i cos Ω = (e iΩ + e –iΩ)/2. Reemplazamos en la expresión (6.4) y tenemos: cos Ω. sen Ω. B. IB. LI O. TE. iωt Ψ ES =A ee. -35Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 7. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. MONTAJE EXPERIMENTAL. 7.1 Montaje experimental. B. IB. LI O. TE. Para determinar la constante de Verdet, se describirá el montaje experimental bajo una vista frontal como se aprecia en la figura Nro. 7.1, se utilizará un fuente de luz monocromática con una cierta longitud de onda, en nuestro caso se utilizará un Puntero Láser Rojo el cual estará ubicada en un extremo del material, la emisión incidirá en forma perpendicular sobre un primer polarizador con el fin de obtener una láser polarizado linealmente, así mismo éste láser incidirá perpendicularmente sobre un material transparente con superficies completamente lisas con el fin de evitar reflexiones difusas y ayudar a la transmisión del mismo, éste material estará sometido a un campo magnético estable cuya dirección y orientación debe ser la misma que la propagación láser, para la generación del campo magnético será necesario un arreglo con ayuda del electroimán. A partir de la propagación inicial sobre el material se centrará nuestro estudio, ya que es el momento en el cual aparece el Efecto Faraday, el láser transmitido tendrá la particularidad de tener un plano de polarización rotado, el cual nuevamente incidirá sobre un segundo polarizador (analizador) ubicado al otro extremo del material, cabe señalar que éste analizador debe ser capaz de rotar sobre un eje paralelo a la propagación del láser y adecuado para una medición angular, el segundo polarizador debe ajustarse gradualmente hasta generar nuevamente el máximo o mínimo de la radiación láser, éste ángulo rotado con referencia a un ángulo inicial será el ángulo rotado del plano de polarización, el mismo que puede ser horario o antihorario, ahora para detectar la variación de la intensidad del láser transmitido en primer instancia emplearemos el ojo humano, pero como sabemos nuestro órgano visual no es sensible a variaciones pequeñas de intensidad por lo que utilizaremos como herramienta de apoyo una fotocelda, las variaciones de la intensidad se producirán en función de las variaciones del campo magnético. Por lo que para cada valor de un campo magnético se obtendrá un valor de ángulo rotado del plano de polarización Algunas consideraciones y recomendaciones generales que debemos tomar en cuenta son: -. La generación de la magnitud adecuada y suficiente del campo magnético, la longitud de la muestra debe ser adecuada, la potencia del láser debe ser los suficiente para lograr la transmisión del láser mediante el medio material, así mismo -36-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.