Análisis de guías de onda ópticas planas usando el método SPPS

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

ANÁLISIS DE GUÍAS DE ONDA ÓPTICAS PLANAS

USANDO EL MÉTODO SPPS

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

PRESENTAN

ALAN ERIK VÁZQUEZ SANTIAGO

GABRIEL ABRAHAM SÁNCHEZ FERNÁNDEZ

ASESORES:

DR. RAÚL CASTILLO PÉREZ

DR. VLADIMIR RABINOVITCH LIKHTMAN

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 3 Agradecimientos

Le agradezco mucho a dios por haberme guiado en todo momento a lo largo de mi carrera y por darme una familia que me apoyo en todo momento tanto mi mama como mi papa que siempre me inculcaron los buenos valores. Sobre todo por darme la oportunidad de poder estudiar en una de las mejores instituciones siendo para mí un ejemplo de vida a seguir los amo y siempre estaré agradecido con dios por haberme dado los padres tan maravillosos.

También debo agradecer a todos los profesores que a lo largo de mi carrera creyeron en mí y que también me enseñaron de la mejor forma y con buenas bases.

A todas esas personas que conocí a lo largo de mi carrera y que fueron parte de muchas vivencias que hicieron que me sintiera en un lugar agradable y sano. Y a mi compañero de tesis Alan Vázquez Santiago que fue paciente conmigo en cuanto a tiempos de trabajo y que es una gran amigo que tuve el privilegio de conocer a lo largo de la carrera

Le quiero dedicar también este trabajo al Dr. Raúl Castillo Pérez.porque realmente es una persona muy dedicada y amable que siempre nos trató de una forma correcta y que siempre nos ayudó en todo momento enseñándonos a poder analizar cualquier tipo de problema.

Dr. Vladimir Rabinovitch Likhtman.

Gracias por su apoyo en conocimientos de ingeniería en el área de la fibra óptica

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 4 Agradecimientos

A mis padres.

Como muestra de cariño y agradecimiento por todo el amor y apoyo brindado, así como la vida de sacrificios y esfuerzos que vivimos para lograr mi formación profesional. Mil gracias por compartir conmigo los momentos más difíciles y felices de mi vida. Quiero que sepan que el objetivo logrado también es de ustedes. A mi hermana.

Te agradezco por tu apoyo incondicional que me brindas día a día y que siempre estás conmigo en las buenas y en las malas. Este logro es parte de los momentos que quiero que siempre recordemos juntos y de igual manera deseo vivir la culminación de tus estudios. “Te quiero mucho hermana”.

A mis asesores.

Sabiendo que jamás existirá una forma de agradecer en esta vida de lucha y superación constante, deseo expresarles a mis asesores que mis ideales, esfuerzos y logros han sido también suyos y constituye el legado más grande que pudiera recibir. Con admiración y respeto.

Dr. Raúl Castillo Pérez.

Mis más sinceros agradecimientos por el apoyo y conocimientos brindados, que sin escatimar esfuerzo alguno ha sacrificado gran parte de su tiempo, para que lograra cumplir este objetivo. Con admiración y respeto, gracias.

Dr. Vladimir Rabinovitch Likhtman.

Gracias por su apoyo y por trasmitirnos sus conocimientos para culminar esta etapa de mí de mi vida profesional.

A mis profesores.

Con reconocimiento por todo el apoyo y conocimiento brindado a través de mis estudios y con la promesa de seguir siempre superándome profesionalmente. A mis amigos. Al término de esta etapa de mi vida, quiero expresar un profundo agradecimiento a quienes con su ayuda, apoyo y comprensión me alentaron a lograr esta meta. Recordando siempre los buenos momentos que compartimos en las aulas. A Gabriel Sánchez Fernández gracias por compartir esta experiencia y haber logrado la culminación de nuestro objetivo. “Amigo gracias por tu amistad”.

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ÍNDICE

Objetivo 7

Objetivos particulares 7

Justificación 8

Resumen 9

CAPÍTULO I Conceptos básicos 10

1.1. Ventajas de la fibra óptica 10

1.2. Desventajas de la fibra óptica 10

1.3. Electrostática en el vacío 11

1.4. Índice de refracción 11

1.5. Descripción geométrica óptica 12

1.6. Reflexión interna total 13

1.7. Modos de propagación 14

1.8. Longitud de onda 18

1.9. Ondas armónicas 19

1.10. Velocidad de fase y velocidad de grupo 20

1.11. Dispersión 24

1.11.1. Dispersión intermodal 24

1.11.2. Dispersión material 25

1.11.3. Dispersión Cromática 27

1.12 Dispersión de velocidad de grupo 28

1.13. Distorsión de un pulso por la dispersión y tasa de información 32

CAPÍTULO II Ondas electromagnéticas 33

2.1. Expresión general de una onda plana 33

2.2. Régimen permanente sinusoidal (RPS) 35

2.3. Parámetros de propagación 41

2.3.1. Frecuencia y longitud de onda de corte 41

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CAPÍTULO III Análisis de pozos cuánticos usando series de potencias de

parámetro espectral 44

3.1. Solución en la capa no homogénea 47

3.2. Derivación de la ecuación dispersión 49

3.3. Validación del método SPPS 52

3.3.1. El potencial de pozo cuadrado 52

3.3.2. El potencial de sech cuadrado 53

CAPÍTULO IV Cálculos numéricos y resultados 55

4.1. Descripción del programa en MATLAB 55

4.2. Diagrama de flujo 60

4.3. Ecuaciones de los potenciales 63

4.4. Resultados obtenidos y graficas 66

Conclusiones 73

Bibliografía 75

Anexo A Código del programa 77

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OBJETIVO

Analizar distintos perfiles para modos guiados en guías ópticas usando Series de Potencias de Parámetro Espectral (SPPS) para calcular la velocidad de grupo, dispersión e índice de grupo.

OBJETIVOS PARTICULARES

 Comprender conceptos teóricos de la propagación en una guía de onda.

 Estudiar y comprender el funcionamiento del método SPPS.

 Elaborar un programa que permita calcular los diferentes eigenvalores para la ecuación de dispersión respectiva a partir del método SPPS.

 Definir la función que describe las características del perfil para un rango determinado en el área de trabajo de una guía óptica y colocar las condiciones que permitan obtener los parámetros.

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JUSTIFICACIÓN

El estudio de la propagación de la luz es interesante para conocer el comportamiento de los diferentes modos de propagación en una guía de onda. Esto se puede estudiar por medio de la ecuación de dispersión con la finalidad de conocer las ventajas y desventajas de diferentes perfiles que existen tanto en la industria como en la investigación. Un parámetro importante a obtener es la velocidad de grupo, dada la importancia de conocer si el haz de luz se propaga de manera constante o en diferentes velocidades para cada longitud de onda y este parámetro está relacionado con la dispersión. La dispersión es una consecuencia de las propiedades físicas del medio de transmisión y, como se sabe, el ensanchamiento que sufren los pulsos de luz es un factor crítico que limita la calidad de la transmisión de una señal sobre enlaces ópticos. Estos parámetros se estudiarán para las distintas ventanas de trabajo de la fibra óptica y en un rango amplio para su comparación con respecto a los distintos perfiles.

EL método de Series de Potencias de Parámetro Espectral (SPPS) es un método para generar soluciones de problemas de valores propios (eigenvalores), que permite de una forma explícita solucionar la ecuación de dispersión. Los resultados numéricos obtenidos muestran un rendimiento práctico de gran precisión. Estos algoritmos se pueden implementar de forma sencilla en rutinas en la plataforma de Matlab.

A partir de este método matemático se propone obtener soluciones para diferentes perfiles, que no necesariamente deben tener una forma simétrica, lo cual es de gran importancia para el estudio de una gran gama de perfiles en guías ópticas. En un determinado rango de frecuencia, si la velocidad se mantiene constante, quiere decir que el pulso que viaja a través un modo guiado no sufrirá grandes cambios. Cuando existe una gran variación en la velocidad, esto trae como consecuencia una deformación del pulso. Los resultados también permiten visualizar los diferentes modos de propagación que existen para cada perfil y a su vez poder diferenciar si la guía es monomodo o multimodo.

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RESUMEN

Se plantea la forma de obtener los diferentes eigenvalores correspondientes a los modos propagados en guías de onda propuestas mediante distintos potenciales para un rango amplio de longitudes de onda. Estos valores son posteriormente utilizados para los cálculos subsecuentes de la velocidad de grupo dispersión e índice de grupo. Se planteó un rango de longitudes de onda que cubriera las tres ventanas de trabajo de la fibra óptica. Este rango fue de 750 nm a 1650 nm con el objetivo de no centrarse sólo en las ventanas de trabajo de la fibra óptica más utilizadas, pero también se realizaron rangos más pequeños que centraban las frecuencias de la segunda y tercera ventana de trabajo para ciertos perfiles, en especial los de dispersión desplazada. Así se puede visualizar el comportamiento de un perfil estándar con respecto a uno de dispersión desplazada. También se realizaron variaciones en los valores de los pozos de los perfiles de dispersión desplazada ya sea positivamente o negativamente según sea el caso del perfil, con la finalidad de ver la evolución y el comportamiento tanto de los eigenvalores como de la velocidad de grupo.

Teniendo en orden los eigenvalores se visualizan gráficamente las curvas de los eigenvalores de cada perfil obtenido con respecto a la frecuencia. Después se procede a obtener la velocidad de grupo de cada perfil. Algunos comandos de MatLab, importantes que fueron utilizados son los siguientes: spapi: con la finalidad de generar una aproximación de la curva de valores propios con respecto a la frecuencia utilizando splines; fnder: este comando realiza la derivada de la curva de eigenvalores; y fnval: que evalúa el resultado obtenido de la derivada con respecto a la frecuencia que le corresponde. A su vez también se utilizaron estos comandos son: polyfit, polyder y polyval, que generan aproximaciones polinomiales de las series de eigenvalores obtenidos, al igual que su derivada y su evaluación numérica. Esto permite suavizar el comportamiento de las curvas de los eigenvalores y quitar así los cambios abruptos.

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CAPÍTULO I

CONCEPTOS BÁSICOS

La fibra óptica es un medio de transmisión guiado que lleva señales de luz de alta capacidad de transmisión de ancho de banda debido a las frecuencias ópticas. Los sistemas modernos de comunicaciones con fibra óptica tienen la capacidad de transmitir varios gigabits por segundo a través de grandes distancias [11].

1.1. Ventajas de la fibra óptica

 Mayor ancho de banda en frecuencias ópticas (aproximadamente de 10 Gb).

 Inmunidad a la diafonía: son inmunes a la diafonía debida a los cables vecinos que provocan una inducción electromagnética. Las fibras de plástico o de vidrio no son conductores de la electricidad.

 Seguridad: las fibras ópticas son más seguras que los cables metálicos. Es casi imposible entrar a un cable de fibra óptica sin que se de cuenta un usuario. También debido a que son de plástico o de vidrio, no se asocia a ellas ningún tipo de corriente o voltaje.

 Economía: el costo de la fibra óptica es aproximadamente igual al de los cables metálicos. Los cables de fibra óptica tienen menores pérdidas y en consecuencia requieren menos repetidores.

1.2. Desventajas de la fibra óptica

 Costos de interconexión: los sistemas de fibra óptica son virtualmente inútiles por sí mismos. Para ser prácticos se deben conectar a instalaciones electrónicas normales, lo cual requiere con frecuencia conexiones costosas.

 Resistencia: las fibras ópticas son muy frágiles, aunque esto se puede mejorar recubriendo la fibra con kevlar y otras capas protectoras plásticas y metálicas.

 Potencia eléctrica remota: a veces es necesario llevar energía eléctrica a un equipo remoto o de regeneración. Esto no se puede hacer con el cable óptico, por lo que se deben agregar cables metálicos en el cableado.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 11 Para comprender el funcionamiento de la fibra óptica es necesario explorar varios aspectos de la naturaleza de la luz. Ésta es una forma de energía electromagnética que alcanza su máxima velocidad en el vacío aproximadamente: 300,000 . La velocidad de la luz depende del medio en el que se propaga, y decrece a medida que el medio se hace más denso [5].

1.3. Electrostática en el vacío

En la electrostática comúnmente se utilizan constantes electromagnéticas para el estudio de las cargas eléctricas.

Constantes

Estas son las constantes de principal interés en el electromagnetismo:

 Permitividad eléctrica del vacío: _[

⁄ _{] [} ⁄ ]

 Permeabilidad magnética del vacío: _{[ ⁄ ] [ ⁄ ]}

 Impedancia de onda en el vacío: _{√ [ ]}

 Velocidad de la luz en el vacío:

√ [ ⁄ ] [2].

1.4. Índice de refracción

Se define el índice de refracción para un medio como la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en dicho medio [10]

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1.5. Descripción geométrica óptica

La forma física de la fibra óptica está constituida por un núcleo cilíndrico de vidrio de silicio rodeado de una cubierta que tiene un índice refractivo más bajo que el del núcleo. Un cambio abrupto en el índice del recubrimiento conforma a las fibras llamadas de índice escalonado. Otros tipos de fibras, conocidas como de índice gradual, tienen un índice de refracción que decrece gradualmente dentro del núcleo.

La siguiente Figura 1 nos muestra la sección transversal y el perfil esquemático para las dos clases de fibras y donde , y son los indices de refraccion corespondientes al aire, nucleo de la fibra y del revestimiento respectivamente. Ademas es el radio del nucleo y es el radio del recubrimiento [1].

Figura 1. Sección transversal y el perfil de índice de refracción para fibras de índice escalonado e índice gradual.

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1.6. Reflexión interna total

La Figura 2 muestra rayos de luz monocromática originada por una fuente puntual , que proyecta rayos que inciden sobre la interfaz entre el vidrio y el aire. Para el rayo , que es perpendicular a la interfaz, parte de la luz se refleja en la interfaz y

el resto viaja a través de ella sin cambio en dirección [10].

Para los rayos del al , que tienen ángulos de incidencia progresivamente mayores en la interfaz, existe también una reflexión y refracción en la interfaz. Aumentar el ángulo de incidencia tiene como consecuencia un aumento en el ángulo de refracción; para el rayo incidente se tiene un ángulo de 90°, lo que significa que el rayo refractado apunta directamente a lo largo de la interfaz. El ángulo de incidencia que muestra esta situación es llamado ángulo crítico . Para ángulos de incidencia mayores que , por ejemplo los rayos y , no

existen rayos refractados y toda la luz es reflejada; este efecto se denomina

reflexión interna total [10].

Para hallar , se utiliza la siguiente expresión

.

Se sabe que el seno de un ángulo no puede sobrepasar a la unidad. Esto se cumple cuando no es mayor a en la expresión anterior. Esta limitante es debida a que la reflexión interna total no ocurrirá cuando la luz incidente está en el medio de menor índice de refracción. Ahora, si la fuente puntual estuviera en aire, todos los rayos incidentes en dicha interfaz de aire y vidrio serían reflejados y

refractados en la interfaz.

Figura 2. La reflexión interna total de luz desde una fuente puntual en vidrio, ocurre para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico . Al ángulo crítico, el rayo refractado apunta a lo largo

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1.7. Modos de propagación

La tecnología actual proporciona dos formas de propagación de la luz a lo largo de canales ópticos, cada una de las cuales necesita fibras con características distintas: multimodo y monomodo. A su vez, la multimodo se puede implementar de dos maneras: índice escalonado o índice gradual. La monomodo es de índice escalonado [5].

Figura 3. Diagrama a bloques de los tipos de fibras más comunes [5].

Figura 4. Fibras de índice escalonado a) monomodo b) multimodo [11].

Modo

Multimodo Monomodo

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Figura 5. Pulsos propagados en fibras ópticas (a) Monomodo índice escalonado; (b) Multimodo índice escalonado y (c) Multimodo índice gradual [11].

El perfil del índice es una representación gráfica del índice de refracción en la sección transversal de la fibra, el cual en la Figura 5 se grafica en el eje horizontal y el eje de la distancia radial al centro es la vertical.

Una fibra con índice escalonado tiene un núcleo central con índice de refracción uniforme. Este núcleo está rodeado con un revestimiento externo con índice de refracción uniforme pero menor que del núcleo central. En una fibra de índice gradual el índice de refracción del núcleo es máximo en el centro y disminuye de forma gradual de acuerdo con la distancia hacia la orilla externa ambos pueden verse en la Figura 5 [11].

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 16 En la Figura 5 (a) En la fibra monomodo de índice escalonado un rayo de luz se mueve a través de la densidad constante en línea recta hasta que alcanza la interfaz del núcleo y la cubierta. En la interfaz hay un cambio abrupto a una densidad más baja que altera el ángulo de movimiento del rayo.

En la Figura 6 se muestran unos rayos que se propagan en la fibra de índice escalonado. Algunos rayos del centro viajan en línea recta a través del núcleo y alcanzan el destino sin reflejarse o refractarse. Algunos otros rayos golpean la interfaz del núcleo y se reflejan en un ángulo menor que el ángulo crítico; estos rayos penetran la cubierta y se pierden. Todavía hay otros que golpean el borde del núcleo con ángulos mayores que el ángulo crítico y se vuelven a reflejar dentro del núcleo hasta el otro lado, balanceándose hacia arriba y hacia abajo a lo largo del canal hasta que alcanzan su destino.

Cada rayo se refleja fuera de la interfaz en un ángulo igual a su ángulo de incidencia. Cuanto mayor sea el ángulo de incidencia, más amplio es el ángulo de reflexión. Un rayo con un ángulo de incidencia menor necesitará más balanceos para viajar la misma distancia que un rayo con un ángulo de incidencia mayor. En consecuencia, el rayo con el ángulo de incidencia más pequeño debe viajar más rápido para alcanzar su destino. Esta diferencia en la longitud del camino significa que distintos rayos llegan al destino en momentos distintos. Puesto que los distintos rayos son recombinados en el receptor, el resultado es una señal que no es ya una réplica exacta de la señal enviada. Entonces la señal ha sido distorsionada por los retrasos de la propagación. Esta distorsión limita la tasa de datos [5].

Figura 6. Fibra multimodo de índice escalonado [5].

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Figura 7. Fibra multimodo índice gradual [5].

La señal se introduce en el centro del núcleo. A partir de este punto, solamente el rayo horizontal se mueve en línea recta a través de la zona central, de densidad constante. Los rayos en otros ángulos se mueven a través de una serie de densidades que cambian constantemente. Cada diferencia de densidad hace que el rayo se refracte formando una curva (ver Figura. 7). Además, cambiar la refracción cambia la distancia que cada rayo viaja en el mismo periodo de tiempo, dando como resultado que rayos distintos se intersecan a intervalos regulares. Si se sitúa cuidadosamente el receptor en uno de estos intervalos se puede conseguir reconstruir la señal con una precisión mucho mayor.

Monomodo. La fibra monomodo de índice escalonado usa una fuente de luz muy enfocada que limita los rayos a un rango muy pequeño de ángulos, todos cerca de la horizontal. La fibra monomodo se fabrica con un diámetro del núcleo mucho más pequeño que las fibras multimodo y con una densidad (índice de refracción) sustancialmente menor. El decrecimiento de densidad da como resultado un ángulo crítico que está cerca de los 90 grados para hacer que la propagación de los rayos sea casi horizontal. En este caso la propagación de los distintos rayos es casi idéntica y los retrasos son despreciables. Todos los rayos llegan al destino juntos y se pueden recombinar sin distorsionar la señal, como se muestra en la siguiente Figura 8.

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1.8. Longitud de onda

La longitud de onda es la distancia mínima a lo largo de la dirección de propagación entre dos puntos con la misma fase [2].

Figura 9. Longitud de onda definida como la distancia entre dos planos cuya fase difiere .

Sea el punto perteneciente a un plano de fase constante y el punto más cercano a lo largo de la dirección de propagación con la misma fase. Como es el vector perpendicular e indica la dirección de propagación de la onda, en ambos planos podemos escribir el vector de posición de un punto en función del otro y de la separación entre planos

̂

donde _̂ es un vector perpendicular unitario.

La fase de la onda en un punto queda en función de la fase en el otro propagada en el vector _̂ y el vector de onda

Como las fases difieren en , la última exponencial de la expresión anterior debe ser la unidad:

̂

Por tanto

⁄

será la longitud de onda.

X

Y r

r'

λ

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1.9. Ondas armónicas

Las ondas armónicas son la forma de onda más simple, en la cual el perfil es una curva representada por un seno o coseno. También se les conoce como ondas sinusoidales, ondas armónicas simples, o comúnmente como ondas armónicas [7].

A continuación se elige una función simple.

(1.1)

donde es una constante positiva llamada número de onda. Esta constante es importante debido a que no podemos utilizar el seno de una cantidad que tiene unidades físicas. Puesto que el seno es la relación de dos longitudes, no tiene unidades. Por lo tanto, está en radianes, que no son una unidad física. El máximo valor de es y entonces como el seno varía de a estos serán los máximos y mínimos correspondientes. Este máximo de la perturbación se conoce como amplitud de onda (Figura 10). Al transformar la ecuación (1.1) en una onda progresiva que viaja con velocidad en la dirección positiva de , remplazaremos por , para obtener la siguiente expresión

Ésta es una solución de la ecuación diferencial de onda. Si se mantiene fija bien sea o , se tiene una perturbación sinusoidal de tal forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. Se define a como el periodo espacial y es conocido como longitud de onda. La medida estándar de es el nanómetro, donde _.

Figura 10. Longitud de onda

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 20 Al aumentar o disminuir a en cierta cantidad en , no debería de alterar , es decir [7]:

En el caso de una onda armónica, equivale a cambiar el argumento de la función seno en ±2π. Por lo tanto

( )

y así . Ya que tanto como son números positivos,

.

La Figura 10 muestra como esta escalado con respecto a (1.1) en términos de . Aquí, es el argumento de la función seno, llamada fase. Obsérvese que

donde seno , lo cual ocurre cuando …y así progresivamente. Esto ocurre para _⁄ y ⁄ respectivamente [7]

1.10. Velocidad de fase y velocidad de grupo

La velocidad de onda de una onda plana se define como la velocidad a la que viaja una superficie de fase constante. Se denomina como velocidad de fase La velocidad para una onda armónica de frecuencia angular y la longitud de onda se llama velocidad de fase. Si la onda se desplaza en el eje , su fasor será _{y su expresión temporal real será} { _{} donde es la amplitud y la frecuencia angular. Un plano de}

igual fase para un instante se define como:

.

Si el tiempo aumenta, el valor de debe incrementarse también para mantener la fase de contante. El plano se mueve en el espacio en la dirección . Para tener la velocidad de fase

diferenciamos la ecuación anterior donde y

son escalares y constantes [2]:

( )

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 21 La velocidad dependerá del material. En el vacío, esta velocidad es la de la luz. Relacionando podemos escribir:

_√

donde es el periodo de la onda y es la frecuencia.

La velocidad de fase no es necesariamente la velocidad que observamos cuando analizamos un movimiento ondulatorio. Si tenemos una onda continua (o como se dice algunas veces un tren de ondas de longitud infinita) ésta puede constar de una sola longitud de onda y de una sola frecuencia pero una onda de estas características no es adecuada para transmitir una señal, porque una señal implica algo que empieza en un cierto instante y termina un cierto tiempo más tarde. La onda debe tener forma similar a la representada en la Figura 11 [4].

Una onda de esta forma se denomina pulso. Por consiguiente, si se mide la velocidad con que la señal se transmite nos estamos refiriendo esencialmente, a la velocidad con que el pulso viaja.

De inmediato se diría que ésta es la velocidad de fase ya que ésta es la velocidad de propagación de las ondas. Sin embargo aquí entra un factor importante; la onda o pulso representado en la Figura 11 es armónica porque su amplitud es constante a lo largo del eje . Luego se debe hacer un análisis de Fourier de la onda. Al hacerlo se descubre que realmente contiene varias frecuencias y varias longitudes de onda. Desde luego si la velocidad de propagación es independiente de la frecuencia (o sea, si no hay dispersión) todas las componentes de Fourier viajan con la misma velocidad de fase. Sin embargo, en un medio dispersivo cada componente de Fourier tiene su propia velocidad de propagación [4].

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 22 Un caso práctico es donde se propaga un paquete de ondas formado por dos ondas de igual amplitud y frecuencias angulares ligeramente distintas

y con . Las constantes de fase en función de la frecuencia son y . La constante de fase corresponde a las dos frecuencias y su expresión instantánea sería.

(1.2)

Como , la expresión anterior (1.2) representa una onda que oscila rápidamente con frecuencia angular y amplitud que varía lentamente con frecuencia angular . En la Figura 11 la onda dentro de la envolvente se propaga con una velocidad de fase al hacer y por lo tanto

Con esto se tiene la velocidad de grupo igualando a una constante el argumento del primer factor coseno en (1.2)

Si se deriva se obtiene

_⁄

Cuando así se obtiene la fórmula para la velocidad de grupo

⁄ [ ⁄ ]

Esta es la velocidad en un punto en la envolvente del paquete de ondas como se observa en la Figura 11.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 23 Si la velocidad de fase depende de la frecuencia se representa dispersión y la dispersión conlleva a que la onda de la señal, debido a la diferencia de velocidades con la frecuencia, se distorsione.

Velocidad de grupo puede ser considerada como la velocidad con la cual se trasporta la energía de la onda.

Una señal que transmite información tiene un intervalo de frecuencias muy pequeño alrededor de una portadora de alta frecuencia. Esta señal constituye un grupo de frecuencias y forma un paquete de ondas. Por lo tanto a la velocidad de grupo se le conoce como la velocidad de la envolvente del paquete de ondas o de un grupo de frecuencias.

Todas las señales que llevan información están en una banda de frecuencias las ondas de las distintas componentes en frecuencia se propagan con velocidades diferentes. Esto ocasionará una distorsión en la forma de onda de la señal [2]. Si se considera que habrá propagación donde es la frecuencia y es la frecuencia de corte.

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1.11. DISPERSIÓN

Se describe la pendiente de dispersión cómo un valor determinado para cierta fibra que varía con respecto a la longitud de onda, o más exactamente, podríamos decir que es la tasa de cambio de la dispersión con respecto a la longitud de onda. La dispersión tiene la siguientes unidades ps/(kmnm) [3].

El efecto de la dispersión es el ensanchamiento de un pulso de luz a medida que viaja y se propaga a través de una longitud de fibra óptica. Hay cuatro tipos de dispersión que se relacionan con sus varias causas.

 Dispersión intermodal

 Dispersión de material

 Dispersión cromática

 Dispersión por modo de polarización (Polarization Mode Dispersión, PMD).

1.11.1. Dispersión intermodal

Como se ve en la Figura 4, la luz que se propaga por una fibra multimodo tiene múltiples trayectorias de rayos, y cada uno toma un camino diferente en el interior del núcleo de la fibra.

El número de modos N que se puede esperar que se propaguen por la fibra puede aproximarse por

donde es la frecuencia normalizada.

√ √

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Figura 13. Se muestra un cono de aceptación de una sección de una guía multimodo en la que muestra tres modos. Uno de los modos tiene sólo dos reflexiones, mientras que los otros tienen casi siete reflexiones sobre la misma distancia recorrida. Como resultado, la señal se retrasa en

comparación con el modo que solo tiene dos reflexiones [3].

Si o menos, sólo un modo se propagará. Si es grande, muchos modos se propagarán. La Figura 13 ilustra un ejemplo de transmisión multimodal de luz por una fibra. También muestra los efectos de ensanchamiento en un pulso de luz después de viajar por la fibra a cierta distancia. Este tipo de distorsión puede ser eliminada mediante el uso de fibra monomodo donde 405.

En el extremo de recepción de la fibra, la energía de los diferentes modos llega con un poco de retraso en el tiempo. Esto provoca un traslape del pulso recibido..

1.11.2. Dispersión material

Es causada por el hecho de que diferentes longitudes de onda pasan a través de una trayectoria determinada en el material a diferentes velocidades. Estamos familiarizados con la relación que define el índice de refracción :

Por supuesto, el material de interés aquí es de dióxido de silicio El problema surge porque cada longitud de onda que se propaga a través del material se desplaza a una velocidad ligeramente diferente [3].

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 26 El ángulo de refracción es para la componente azul y es menor que el ángulo de refracción para la componente roja (recordando que los ángulos se miden con respecto a la normal). En la Figura 14 b, un rayo de luz blanca en vidrio incide sobre una interfaz de vidrio y aire. De nueva cuenta, la componente azul se dobla más que la componente roja, pero ahora es mayor que . Esto se debe al cambio que existe respecto a y : para el primer caso es aire-vidrio y en el segundo caso es vidrio-aire, respectivamente [10].

Figura 14. Dispersión cromática de luz blanca. La componente azul se dobla más que la componente roja. a) Al pasar de aire a vidrio, la componente azul termina con el ángulo de refracción menor. b) Al pasar de vidrio a aire, la componente azul termina con el ángulo de

refracción mayor.

La IEEE define la dispersión material como la dispersión atribuible a la dependencia de la longitud de onda del índice de refracción del material utilizado para formar la guía de ondas [3].

Por ejemplo un LED emite un amplio espectro de longitudes de onda en cualquier lugar en el intervalo de 30 nm a más de 100 nm de ancho, mientras que un láser DFB (láser semiconductor de retroalimentación distribuida) emite un ancho de línea espectral de nm hasta 1.0 nm. Obviamente, si la dispersión es una preocupación en un enlace determinado, se puede optar por un láser DFB, en lugar de usar un LED, y fibra monomodo.

En cuanto a las velocidades de propagación a través del material, hay un fenómeno interesante. En la banda de 850 nm, las longitudes de onda más largas se propagan más rápido que las longitudes de onda más cortas. Por ejemplo, una emisión a 865 nm, viajará más rápido a través de una guía óptica de silicio de lo que lo hará una emisión similar a 835 nm.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 27 Un hecho interesante ocurre en la banda de1310 nm. Hay una longitud de onda,

, encima de la cual dispersión de material es positiva y por debajo del la cual la

dispersión de material es negativa. Esta se conoce como longitud de onda de dispersión nula y para el silicio puro es 1276 nm. Puede variar en el intervalo de 1270-1290 nm para fibras ópticas cuyos núcleos y revestimiento se dopan para variar el índice de refracción.

La dispersión material es más relevante para los sistemas de fibra monomodo. En los sistemas de fibra multimodo, la dispersión material casi no contribuye a la dispersión total y es prácticamente insignificante. La dispersión modal es con mucho el principal contribuyente.

Cuando el intervalo de tiempo de un pulso se hace más pequeño, más vulnerable es a la dispersión la señal transmitida [3].

1.11.3. Dispersión Cromática

La dispersión cromática es una extensión de la dispersión de los materiales. Cuando nos ocupamos de la dispersión que afecta a las tasas de bits más altas (por ejemplo > 1 Gbps), el período de bit, y por lo tanto la ranura de tiempo del bit, es tan pequeño que incluso con un muy estrecho ancho de línea del láser, existe una forma de dispersión de los materiales. Todo vidrio, incluido el utilizado para fabricar la fibra, exhibe dispersión material, ya que su índice de refracción varía con la longitud de onda. Además, la forma geométrica y el perfil de índice de refracción contribuyen de manera significativa a la dependencia de la longitud de onda de la velocidad de propagación de los pulsos que viajan en la fibra, es decir, la dispersión de guía de onda. Juntas, la dispersión de material y la dispersión de guía de onda conforman lo que se denomina dispersión cromática [3].

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 28

La dispersión cromática de un enlace de fibra es acumulativa con la distancia y se indica como el cambio en el retardo de grupo por unidad de longitud de onda (en

ps/nm). La dispersión cromática en un enlace de fibra óptica es sensible a [3]

 Un aumento en la tasa de bits (el aumento de la velocidad de bits aumenta

la tasa de modulación del láser lo que aumenta el ancho de sus bandas laterales).

 Un aumento en el número de enlaces en tándem y de las longitudes de los

enlaces.

En los sistemas WDM (multicanalización por división de longitud de onda), la dispersión cromática no es significativamente influenciada por

 Una disminución de la separación entre canales.

 Un aumento en el número de canales.

Los efectos de la dispersión cromática decrecen con

 Un decrecimiento en el valor absoluto de la dispersión cromática de la fibra

(una disminución en el valor de ).

 Compensación de dispersión.

El control de la dispersión cromática es especialmente crítico en los sistemas WDM [3].

1.12 Dispersión de velocidad de grupo

Se considera una fibra monomodo de longitud . Si se tiene una componente

espectral específica con cierta frecuencia , llega al extremo de salida después de

un retardo de tiempo expresado como , donde es la velocidad de

grupo, que se define como

⁄ _{. (1.3)}

Mediante el uso de ̃ ̃ ⁄ , en la expresión anterior se puede mostrar que _̃⁄ donde _̃ es el índice de grupo.

Recordemos que es el número de onda en el espacio libre, tiene un

significado físico que es la constante de propagación y por último ̃ es llamado índice de modo o índice efectivo y su significado físico es que cada modo en la fibra se propaga con un índice de refracción efectivo o eficaz cuyo valor está en el

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 29 En la Figura 15 se observan los tipos de dispersión en una guía por la que se trasmite más de un modo. Si se supone que dos frecuencias cualesquiera en un ancho de banda conducen un solo modo dentro de estas frecuencias, la dispersión sería de forma modal ya que cada frecuencia corresponde a una velocidad de grupo diferente.

En caso de conducir varios modos, a cierto margen de frecuencias le corresponden diferentes velocidades de grupo y esto significa que la potencia de la señal en el interior de la guía se divide en dos modos de propagación, por lo cual se transportará un porcentaje de potencia a cada una de las velocidades que dependerá de cada frecuencia. A esto se le conoce como dispersión multimodal [2].

Figura 15. Dispersión monomodal y multimodal en una señal limitada en banda.

La frecuencia también depende de la velocidad de grupo y esto conduce a que el pulso se pueda ensanchar por la diferencia que existe en las diferentes componentes espectrales. [1].

El siguiente parámetro (1.4) se conoce como GVD (Group Velocity Dispersion) La dispersión de Velocidad de Grupo y se calcula como:

⁄ (1.4)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 30 Por lo regular, en los sistemas de comunicaciones la frecuencia es determinada por la longitud de onda que es emitida por la fuente. Por lo tanto es más frecuente utilizar expresiones que se relacionen más con . Entonces si se utiliza la siguiente expresión

y la dispersión está relaciona con la frecuencia y la longitud de onda como se muestra a continuación

(

)

donde es el parámetro de dispersión y es expresado en unidades de ps/(kmnm).

El parámetro de dispersión varía de forma considerable cuando la longitud de onda es cambiada. Ésta tiene una dependencia de la Dispersión que a su vez es generada por la frecuencia

(

)

donde _̅ está relacionada con la velocidad de grupo [1]

̅

A continuación puede observarse la gráfica del índice de grupo comparada con el índice de refracción.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 31 El principal efecto de la dispersión de guía de ondas es cambiar por una cantidad de 30–40 de modo que la dispersión total es cero cerca de 1.31 . También reduce a partir de su valor material en el rango de longitud de onda 1.3–1.6 que es de interés para los sistemas de comunicación óptica[1].

Los valores más generales de la dispersión están en el rango de 15-18 ps/(kmnm) cerca de 1.55 . Esta región de longitud de onda es de suma importancia para los sistemas de ondas de luz.

Figura 17. Dispersión

En la Figura 17 se muestra la dispersión total y la contribución relativa del material y de la dispersión de guía de onda para una fibra monomodo y la dispersión cero en la longitud de onda .

El diseño de fibras con dispersión modificada implica el uso de múltiples capas de recubrimiento y el diseño del perfil de índice de refracción. La dispersión de guía de onda la dispersión puede ser usada para producir fibras de dispersión decreciente. Fibras en las que la GVD disminuye a lo largo de la longitud de la fibra por las variaciones axiales en el radio del núcleo. En otro tipo de fibras, conocidas como fibras de compensación de dispersión la GVD se hace normal y tiene una magnitud relativamente grande [1].

Figura 18. Típica dependencia de la longitud de onda del parámetro de dispersión D para fibras estándar, de dispersión desplazada y de dispersión aplanada en fibras.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 32 En la Figura 18 se muestra la diferencia entre los parámetros de dispersión estándar, de dispersión desplazada y de dispersión aplanada. El valor numérico de la pendiente de dispersión juega un papel importante para el diseño de los sistemas de comunicaciones modernos.

1.13. Distorsión de un pulso por la dispersión y la tasa de información

En general se asume que las fuentes de los sistemas de fibra emiten luz en una única longitud de onda, lo que equivale a una sola frecuencia, y esto nunca es verdad en la práctica.

Las fuentes reales producen radiación sobre un rango de longitudes de onda. Este rango es el ancho de línea de la fuente o su ancho espectral. El más pequeño ancho de línea es el de la fuente más coherente.

Los anchos de línea de fuentes comunes están listados en la Tabla 1a.

Anchos típicos de fuentes espectrales

Fuente Ancho de Línea Luz – diodo emisor 20-100

Laser 1.0 – 5

Nd-YAG Laser 0.1

He Ne Laser 0.002

Tabla1a. Anchos típicos de fuentes espectrales [8].

La conversión del ancho espectral con la longitud de onda y ancho de banda en frecuencia es:

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 33

CAPÍTULO II

Ondas electromagnéticas

Las cargas y corrientes producen campos de fuerzas que se pueden representar mediante y , que corresponden al campo eléctrico y magnético respectivamente y que se pueden calcular mediante las ecuaciones de Maxwell. La solución de esta ecuación es una onda cuya velocidad de propagación es finita y solamente dependerá de las características del medio [2].

2.1. Expresión general de una onda plana

Se partirá de las ecuaciones de Maxwell:

donde es la densidad de flujo magnético, densidad de flujo eléctrico, es la densidad de carga en el vacío, es la densidad de corriente y es el operador nabla que da lugar a una derivada que en este caso se utilizó para el rotacional que influye en una rotación alrededor de un puto y la divergencia es la diferencia entre el flujo que sale y entra en un campo vectorial sobre la superficie que rodea un volumen.

Se considera un medio lineal, isotrópico y homogéneo en el que no existen fuentes

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 34 Entonces sustituyendo estos valores, las ecuaciones se reducen a [2]:

(2.1)

(2.2)

Tomando la ecuación del rotacional de campo eléctrico y tomando rotacionales de ambos lados de la igualdad se obtiene

Usando identidades y las ecuaciones y se obtiene

De forma análoga se obtiene para el campo magnético la ecuación.

Las ecuaciones se llaman ecuaciones vectoriales de onda homogéneas y constituyen las ecuaciones diferenciales de propagación de Son ecuaciones tridimensionales, lo cual significa que para cada componente del campo se cumple una ecuación de onda escalar homogénea [2].

Para el campo eléctrico

{

Para el campo magnético

{

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 35

2.2. Régimen permanente sinusoidal (RPS)

Por lo regular los campos varían de manera armónica en el tiempo. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, si se asume que las ecuaciones constitutivas son lineales entonces las fuentes armónicas en el tiempo mantendrán campos armónicos y [2].

Se asume que se puede separar la dependencia espacial y temporal. Ahora las fuentes se pueden expresar como:

̂

( ) ̂

_̂

donde es la densidad de carga inicial, es la frecuencia angular, es la fase de la densidad de carga, es la densidad de corriente en sus coordenadas correspondientes y ̂, ̂, ̂ son los vectores unitarios.

Los campos se expresan de la misma forma. Por ejemplo el campo eléctrico se expresa como:

̂

( ) ̂

̂.

Así, para el campo magnético

̂

_{( ) ̂}

_̂.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 36 El fasor vectorial asociado es un vector donde sus componentes son fasores. Por tanto, el fasor asociado a y es:

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

La expresión instantánea se obtiene de igual forma de su magnitud escalar a partir de su fasor donde es la parte real [2].

{ _{} (2.3)}

{ _}

Considere un ejemplo para la ley de Faraday

Igualando la ecuación a cero y pasando del lado izquierdo la parte de la derivada parcial y sustituyendo las expresiones instantáneas por sus equivalentes de la forma (2.3) se puede reescribir la ecuación como

{[ ] _}

La ecuación debe ser cierta para todo . Dando ahora un par de valores a de forma adecuada se obtiene

{[ ]}

{[ ]} .

De esta manera la expresión entre llaves tiene la parte real nula y la parte imaginaria nula y por tanto la expresión debe ser siempre nula.

De manera similar se hace para el campo magnético y queda de la siguiente forma para el campo eléctrico [2]

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 37 Haciendo el mismo proceso para las ecuaciones restantes de Maxwell se obtiene la versión de dichas ecuaciones para el RPS [2]

Hay diferentes técnicas para resolver estas ecuaciones pero nos centraremos en las más elementales. Suponga que el medio es lineal , homogéneo e isotrópico ( y son escalares constantes) en una zona sin fuentes

. Quedan como

(2.4)

.

Debido a trabajar en RPS, el tiempo desaparece y las ecuaciones del rotacional representan un conjunto de dos ecuaciones vectoriales y con derivadas parciales de primer orden. Aplicando el rotacional a ambos lados de la ecuación (2.4)

Después de esta breve comprobación, las ecuaciones de Maxwell en un medio lineal sin fuentes y en RPS dan lugar a las siguientes ecuaciones de campo eléctrico y magnético

(2.5)

(2.6)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 38 Así que todas las componentes de los campos eléctrico y magnético serán soluciones de [2]

donde .

Para el campo eléctrico

.

Para el campo magnético

Note que las funciones de onda elementales son soluciones de la ecuación de Helmholtz.

El módulo del vector de onda esnúmero de onda es [2]

| | √ _√

Considere el régimen permanente sinusoidal y la propagación a lo largo de y por lo tanto suponga que la variación es del tipo _{. La constante dice mucho}

de las propiedades de la onda, tales como el grado de atenuación y las velocidades de fase y de grupo. Como se verá más adelante los campos deben cumplir las ecuaciones de onda y las condiciones de frontera. Se asume que no hay acumulaciones de carga en el interior de la guía y que las corrientes de conducción están incluidas, permitiendo que la permitividad eléctrica y por tanto

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 39 Con El operador tridimensional en (2.5) y (2.6) puede ser divido en dos partes [2]

Donde es el lapalaciano de la guía de onda transversal.

Recordando que trabajando en RPS y como la propagación se supone en la dirección axial se tiene que

{ _{} { }.}

Por ello si trabajamos con fasores

donde es el fasor del campo para y

Las ecuaciones de onda se escriben como

En este procedimiento para resolver las ecuaciones se trata de resolverlas para una componente de campo (la componente ) para poder obtener las ecuaciones de Maxwell. Para facilitar la búsqueda de las otras componentes es conveniente tener E y H en función de la componente . Esto se consigue a través de las

ecuaciones del rotacional.

Las ecuaciones del rotacional proporcionan:

(2.7)

(2.8)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 40 Para el campo magnético

(2.9)

(2.10)

.

Se despejan en función de usando las ecuaciones (2.7), (2.9) y (2.8), (2.10). Para eliminar se pueden despejar . Con esto se obtienen las componentes transversales de los campos en función de las componentes longitudinales en

( ₎

( ₎

( ₎

( ₎

y de manera más compacta de la siguiente forma:

̂ ̂ [ ]

̂ ̂ [ ]

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 41 En el estudio de las ondas guiadas a lo largo de sistemas uniformes, las soluciones se clasifican en los siguientes tipos:

Modos TEM

Estas ecuaciones no poseen campo eléctrico ni magnético en su dirección de propagación por lo que el campo magnético y el eléctrico están contenidos en el plano transversal a la dirección de propagación. Se les denomina modos transversales electromagnéticos.

Modos TM

Estas ondas no poseen campo magnético en la dirección de propagación

. Porque el campo magnético está contenido en el plano transversal a la dirección de propagación, se les denomina modos transversales magnéticos.

Modos TE

Estas ondas no poseen campo eléctrico en la dirección de propagación . Porque el campo eléctrico está contenido en el plano transversal a la dirección de propagación, se les denomina modos transversales eléctricos.

2.3. Parámetros de propagación

Cada modo de propagación posee una constante de propagación distinta. Así mismo cada modo tendrá un número de onda de corte diferente y característico. A partir de esto, se definirán los parámetros de propagación que determinan la forma de transmitirse de la onda a través de la guía [2].

2.3.1. Frecuencia y longitud de onda de corte

A la frecuencia concreta para la transmisión de la señal se le llamará frecuencia de trabajo. El número de onda asociado a esa frecuencia es _√ . La constante de propagación de ese modo será, a partir de la ecuación

,

√ √ √ (2.11)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 42 Analizando la expresión anterior se puede deducir la propagación del modo correspondiente en el interior de la guía:

Si entonces y por tanto la onda se atenua exponencialmente. Si entonces y por lo tanto la onda se propaga.

Resumiendo esto

donde la constante de atenuación

donde es la constante de propagación. Esto se puede observar en la Figura 19.

Tomando en cuenta la fórmula (2.11) y la gráfica de la Figura 19 se observa que: si ,

si

y los valores más elevados de son para frecuencias menores que la frecuencia de corte ,

si . si y si .

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 43

2.3.2. Longitud de onda en la guía

En el caso de el fasor del campo eléctrico se expresa como:

Para poder tener la dentro de la guía primero se fija un punto en el origen

y se toma en cuenta cada distancia y se vuelve a repetir el mismo valor del campo [2]:

Esto nos dice que _entonces:

[ ]

Con la definición se puede obtener una expresión para la longitud de onda en función de la longitud de onda en espacio libre

Por lo tanto

( )

Despejando que es la longitud de onda dentro de la guía

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 44

CAPÍTULO III

ANÁLISIS DE POZOS CUÁNTICOS USANDO SERIES DE

POTENCIAS DE PARÁMETRO ESPECTRAL

En [9] se obtiene una ecuación de dispersión para la determinación de los valores propios (eigenvalores) de pozos cuánticos no homogéneos en términos de una serie de potencias de parámetro espectral y se aplica para el tratamiento numérico de problemas de valores propios. El método es simple y se puede implementar fácilmente en el entorno de MATLAB.

Se tiene el problema de valores propios de una dimensión para el operador de Schrödinger,

_(3.1)

donde

{

donde y son constantes complejas y es una función continua en el segmento _{[ ]} (ver Figura 20).

Se buscan tales valores del parámetro espectral que la ecuación de Schrödinger posea una solución que pertenezca al espacio de Sobolev que son los que se encargarán de estudiar el problema de la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, se sabe que el espacio se Sobolev es un subespacio vectorial que tiene una norma L2, formado por funciones tales que sus derivadas de orden m pertenezcan también a L2

Para el problema de valores propios (3.1) es un operador autoadjunto en con dominio . Donde L2 _{es el cuadrado integrable es decir la integral del} cuadrado de su módulo de una función variable con valores reales o complejos sobre un determinado intervalo. Esto implica que es una función de valor real. Tenga en cuenta que en este caso el operador tiene un espectro continuo [min

{ } y un espectro discreto [9] ubicado en el conjunto

[ { }

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 45 Un problema importante que se reduce al problema espectral (3.1) se presenta en el estudio de la propagación de ondas electromagnéticas generadas por una fuente puntual en una guía de onda estratificada, esto quiere decir que en el medio se tienen 2 constantes dieléctricas diferentes y esto a su vez nos permite que la reflexión y refracción den origen a la propagación de ondas (véase, por ejemplo, [13] - [15] y [16]).

Matemáticamente, el problema consiste en encontrar una solución fundamental de la ecuación de Helmholtz:

(3.2)

Figura 20. El potencial consierando para (3.1)

donde

ω es la frecuencia central de las vibraciones armónicas, son la velocidad de la luz constante en el semiespacio superior e inferior respectivamente y

es la velocidad de la luz variable en la capa

La principal contribución en la asíntota de la solución para la distancia horizontal | _| ofrece un conjunto finito de modos propagados de forma [9]

̅ ( | |)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 46 Donde y son valores propios y funciones propias normadas del problema espectral asociado con (3.2),

Es importante para los problemas aplicados contar con métodos numéricos eficaces y rápidos para la solución del problema (3.1). El método más utilizado es el método de disparo (véase, por ejemplo, [12]), pero existen limitaciones debidas a las dificultades intrínsecas del procedimiento de disparo, sobre todo cuando el parámetro espectral, como en el problema considerado, participa en las condiciones de frontera. Éstas parten de una ecuación diferencial ordinaria en donde hacen referencia a los valores finales de un intervalo dado con el fin de encontrar una solución a dicha ecuación diferencial ordinaria que se encuentre dentro de ese intervalo y que satisfaga estas condiciones. Es conveniente tener disponible una ecuación de dispersión de forma analítica vinculada con el problema de valores propios. Entonces las soluciones de la ecuación de dispersión se pueden aproximar utilizando diferentes técnicas numéricas.

En [19] se obtiene la ecuación de dispersión asociada con el problema de valores propios (3.1) utilizando el método de la Serie de Potencias de Parámetro Espectral (SPPS).

En [19] se encuentra una representación para las soluciones de la ecuación de Sturm-Liouville. Para poder aplicar esta definición el primer parámetro que se considera es que la función deberá ser continua en el intervalo de interés, se debe encontrar una solución que satisfaga la ecuación y ese valor serán los eigenvalores. En forma SPPS se obtuvo utilizando la teoría de funciones pseudo analíticas. En el caso de que la ecuación de dispersión tiene la forma [9]

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 47

3.1. Solución en la capa no homogénea

Sea una función real valuada continua por tramos de la forma

{

donde y son constantes y es una función arbitraria continua definida en el segmento _{[ ]}.

Se buscan los valores del parámetro espectral tales que la ecuación de Schrödinger

_(3.3)

tenga una solución regular u (−∞,∞), esto quiere decir que para se tiene

que considerar la ecuación _{. Su solución general tiene la}

forma √ √ donde y son constantes arbitrarias complejas. Las soluciones que decrecen en son posibles sólo si . Nótese que _√ . Entonces la solución necesaria para tiene la forma _{y la constante de multiplicación siempre se puede elegir igual a}

uno. Por lo tanto,

de donde

y . (3.4)

En [19] con la ayuda de la teoría de funciones pseudo analíticas la siguiente representación de las soluciones de la ecuación

_(3.5)

se obtuvo. Sea _{[ ]} una solución no nula (en general, de valor complejo) de la ecuación

_(3.6)

donde es una función continua en [ ]. Entonces, la solución general de (3.5) tiene la forma [9]

,

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 48

∑ ̃ _{y ∑}

̃ (3.7)

con _{̃ y definidas por las relaciones recursivas} ̃ _,

̃ _{∫ ̃ (3.8)}

_{∫ (3.9)}

y ambas series convergen uniformemente en _{[ ]}.

La solución no nula requerida se puede obtener de la siguiente manera. De acuerdo con la teoría básica de ecuaciones lineales ordinarias (véase, por ejemplo, [22]), la ecuación (3.5) posee dos soluciones linealmente independientes con valores reales, y cuyos ceros se alternan. Por lo tanto, se puede elegir

(3.10)

y, no tiene ningún cero en _{[ ]}. Además, se puede exigir que y satisfagan las condiciones iniciales

y

La construcción de y se puede realizar de la siguiente manera (ver [20] o [21])

∑ ̃

y ∑ (3.11)

donde

̃

̃ _{∫ ̃ (3.12)}

_{∫ (3.13)}

y las series de las igualdades para y convergen uniformemente en _{[ ]}. Por lo tanto, la construcción de una solución general en la capa no homogénea consta de dos pasos.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 49 Note que como y , las condiciones iniciales satisfechas por y

tienen la forma

A partir de estas relaciones se obtiene que la solución de (3.5) que satisface las condiciones iniciales (3.4) tiene la forma

(3.14)

3.2. Derivación de la ecuación dispersión

En la región la solución de (3.3) tiene la forma [9]

√ √

de donde se obtiene que la existencia de una función propia es posible sólo si

√ . Por lo tanto y se denota _√ . En consecuencia,

_{y , donde es una constante arbitraria.}

Por lo tanto, los valores propios del problema son aquellos valores de para los que la solución (3.14) satisface la condición

(3.15)

donde _√ y .

Con el fin de escribir la forma explícita de la ecuación de dispersión (3.15) en términos de la serie de potencias de parámetro espectral se calculan las derivadas de las soluciones (3.7),

∑ ̃

∑

Por lo tanto, la derivada de la solución (3.14) tiene la forma

(∑