Escalamiento del comportamiento mecánico para elementos estructurales de material compuestos polimérico

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ESIME ZACATENCO

ESCALAMIENTO DEL COMPORTAMIENTO

MECÁNICO PARA ELEMENTOS

ESTRUCTURALES DE MATERIAL

COMPUESTOS POLIMÉRICO

TESIS

que para obtener el grado de

Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Presenta:

Ing. Luis Alberto Millán Rodríguez

Directores:

Dr. Orlando Susarrey Huerta

Dr. Hilario Hernández Moreno

A Isabel Ibarra mi amada esposa y amiga. Por su amor y apoyo inondiional.

Por alentarme a iniiar y terminar este reto. Te amo on todo mi orazón.

A mis padres Martha y Leonel .

Por todo el apoyo queme han brindado durante toda mi arrera aadémia. Por alentarme a umplir mis metas.

Los amo y siempre están en mi orazón

A mi tía Roío.

Por ser un ejemplo aadémio a seguir. Por su apoyo.

Al Instituto Politénio Naional, es un orgulloperteneer a esta gran instituión,y siempre llevare en alto sulema: La ténia al serviiode lapatria.

A la Seión de Estudios de Posgrado e Investigaión de la ESIME Zaateno del IPN.

Al Consejo Naional de Cienia y Tenología, por el apoyo eonómio otorgado du-rante mis estudios de posgrado.

Al Dr. Orlando Susarrey Huerta, por su apoyo aadémio, por las enseñanzas brin-dadas y por su amistad.

AlDr. Hilario Hernández Moreno, por su atenión y paienia, por sus onoimientos otorgados durante este paso aadémio.

A todas aquellas personas que me brindaron su amistad y apoyo durante esta etapa aa-démia de mi viday que permitieron que esta estania fuese amena y agradable.

Enestetrabajode tesissepresentaunametodologíadeesalamientodelomportamiento meániode unvigadepareddelgadade materialompuestolaminado,onelualseespera araterizar el omportamiento de un modelo a esala natural usando un modelo a esala reduida.

La metodología aquí planteada hae uso del teorema

π

, usado para alular términos adimensionalesdeadaunade laseuaiones involuradas enelanálisisdelomportamiento meánio del aso de estudio,estos términosson usadospara determinar fatores de esala, estos fatores son alulados apliando la ley de similitud

π

p

=

π

m

, on los uales se rela-iona elomportamientoentre un modelo aesala natural(prototipo)y un modeloa esala reduida (modelo).

Unavesaluladoslosfatoresdeesalaneesariosparaeldesarrollodeestametodología, estos sonapliadosalaso deestudio,elual tratade unavigadepareddelgadade material ompuesto laminadoque se enuentrasimplementeapoyada en sus extremosy soporta una arga distribuida, la seión trasversal es abierta tipo anal, a diha viga se le denomina prototipo.

Se establee que la semejanzadel material usado es simple, porlo ual se usa la misma seuenia de apilamientopara el prototipo y para el modelo, mientras que laesala geomé-tria es apliadapara todas las dimensionesde la viga,exeptuando el espesor de la pared. Considerando estoseobtieneun modeloaesalareduida elual seresuelveanalítiamente, se obtienen datos omo la deexión máxima, la urvatura, los esfuerzos y deformaiones presentes en el plano medio de la seión trasversal, así omo los existentes en ada una de las apas que onforman el material de la pared de la viga. A los resultados obtenidos se les aplian los fatores de esala obtenidos. Con el n de obtener el omportamientodel prototipo.Comoparte de lavalidaiónde losresultados yde lavalidezde lametodologíase empleaun programa de elementonito ANSYS,en elual sesimulan tantoelmodelo omo el prototipoy se omparan losresultados obtenidos.

Inthis thesisis presented amethodfor salingthe mehanial behaviorof a thin-walled beam of laminate omposite material, whih is expeted to haraterize the behavior of a prototype using asale model.

Themethodologyoutlinedheremakesuseof

π

Theoremtoalulatedimensionlessterms ofeahoftheequationsinvolvedintheanalysisofthemehanialbehaviorofthe studyase. These terms are used to determine sale fators, whih are alulated applying the law of similarity

π

p

=

π

m

, relatingas aonsequene the behaviorbetween prototype and model.

Onealulatedthesalefatorsneessary forthedevelopmentofthis methodology, the-se are applied to the study ase alled prototype, whih is a thin-walled beam omposite laminate, simply sup-ported at its ends and arries a distributed load, the ross setion is an open hannel type.

It isused a materialsimilarityof the simple type,so the same staking sequene forthe prototype and the model is used, while the geometrial sale is applied to all dimensions of the beam, exept for the wall thikness. Considering this saled model whih is solved analytially the obtained data an be listed as:the maximum deetion, the urvature,the stress and strainpresentinthe middle planeof the entralross setion,as wellasthe exis-ting wall material of the beam. The sale fators are applied to analytial results, in order to obtain the prototype behavior. As part of the validation of the results and the validity of the methodology,a niteelementprogramANSYS is used,in whih both the model and the prototype are simulated, and the results obtained were ompared.

Dediatorias vii

Agradeimientos ix

Resumen xi

Abstrat xiii

Lista de guras xix

Lista de tablas xxi

Lista de símbolos xxiii

1. Introduión 1

1.1. Presentaión . . . 1

1.2. Justiaión . . . 3

1.3. Objetivos . . . 3

1.3.1. Objetivo general . . . 3

1.3.2. Objetivos partiulares . . . 4

1.4. Planteamientodel problema . . . 4

1.5. Alanes de la tesis . . . 4

1.6. Estrutura de la tesis . . . 4

1.7. Estado delarte . . . 5

2. Materiales ompuestos polimérios 9 2.1. ¾Qué es? . . . 9

2.2. ¾Cómo se lasia? . . . 9

2.3. Apliaiónde losmateriales ompuestos . . . 10

2.4. Comportamiento meánio de losmateriales ompuestos . . . 10

2.4.1. Comportamientomaromeánio de una lámina . . . 10

2.4.1.1. Relaión esfuerzo-deformaión . . . 11

2.4.1.2. Constantes de ingenieríade un materialortotrópio . . . 14

2.4.1.3. Relaión esfuerzo-deformaión para un estado de esfuerzo plano de un materialortotrópio . . . 15

2.4.1.4. Relaión esfuerzo-deformaión para una lámina on orienta-ión variada . . . 16

2.4.2.1. Fraión volumétria y másia, densidad y porosidad . . . . 20

2.4.2.2. Módulosde elastiidad . . . 22

2.4.2.3. Resistenia máxima de una lámina . . . 27

2.4.3. Comportamientomaromeánio de un laminado . . . 30

2.4.3.1. Relaión deformaión-desplazamientode un laminado . . . . 31

2.4.3.2. Relaión esfuerzo-deformaiónde un laminado . . . 32

2.4.3.3. Fuerzas y momentos en un laminado . . . 33

2.4.3.4. Relaión arga-deformaión(rigidez de un laminado) . . . . 34

2.4.3.5. Constantes de ingenieríade un laminado . . . 35

2.4.3.6. Arreglos de apilamientode un laminado . . . 37

3. Teoría de vigas laminadas de pared delgada 41 3.1. ¾Qué es un viga de pared delgada? . . . 41

3.2. Cinemátia de lasvigas de pared delgadade seiónabiertas . . . 41

3.2.1. Campode deformaiones . . . 47

3.3. Euaiones de movimientode una viga de seión transversal abierta . . . . 49

3.3.1. Energía de deformaión. . . 50

3.3.2. Energía inétia . . . 53

3.3.3. Trabajo realizado porlas fuerzas externas . . . 54

3.3.4. Euaiones de movimiento . . . 56

3.3.5. Condiiones de frontera. . . 57

4. Teorema

π

de Bukingham y similitud 59 4.1. Teorema

π

de Bukingham . . . 59

4.1.1. Apliaióndel teorema

π

. . . 60

4.2. Similitudentre modelosy prototipos . . . 62

4.2.1. Similitud. . . 62

4.2.2. Leyesde similitud. . . 62

4.2.3. Fatores de esala . . . 63

5. Metodología 65 5.1. Desripión de la metodologíade análisis . . . 65

5.2. Seleión del elementoestrutural y suomportamiento . . . 66

5.3. Términos adimensionales

π

derivados de lasoluión analítia . . . 66

5.4. Fatoresde esala . . . 75

5.5. Soluiónanalítiadel modelo . . . 78

5.6. Apliaiónde losfatores de esala. . . 80

5.7. Validaiónde resultados . . . 80

6. Modelado y análisis numério 83 6.1. Introduión . . . 83

6.2. Modelado geométrio y propiedadesdel material . . . 83

6.3. Tipode elemento,onguraión de laseión y mallado . . . 85

6.4. Apliaiónde arga,ondiiones de frontera y soluión . . . 88

6.5. Modelado y análisis delmodelo a esalareduida . . . 88

7. Resultados y análisis de resultados 97

7.1. Resultados . . . 97

7.2. Rigidez de laseión transversal . . . 97

7.3. Respuesta elástia de la viga . . . 98

7.4. Deformaionespresentes en elontorno de la seión . . . 99

7.5. Fuerzas y momentos por unidad de longitud presentes en el ontorno de la seión . . . 99

7.6. Esfuerzos y deformaiones en las láminasque forman ellaminado . . . 100

Conlusiones 103

Trabajos futuros 105

Bibliografía 107

Anexo A 109

Anexo B 153

1.1. Pirámidede pruebas . . . 2

2.1. Prinipales preguntas de la maromeánia . . . 11

2.2. Cubode esfuerzos . . . 11

2.3. Signiado físiode larelaiónesfuerzo-deformaión anisotrópia. . . 13

2.4. Condiiones de esfuerzo plano . . . 15

2.5. Simetríafísia de una lámina unidireionalreforzada . . . 16

2.6. Rotaiónde ejes . . . 17

2.7. Elemento representativo de volumende una lámina . . . 20

2.8. Elemento representativo de volumenargadoen direión longitudinal . . . . 23

2.9. Elemento representativo de volumenargadoen direión transversal . . . . 24

2.10.Elemento representativo de volumenargadoen direión longitudinal . . . . 25

2.11.Elemento representativo de volumenargadoen orte . . . 26

2.12.Curva de esfuerzodeformaión de un ompuesto unidireional . . . 27

2.13.Modos de falla aompresión longitudinal . . . 28

2.14.Elemento representativo de volumen para alulo de la resistenia tensional transversal . . . 29

2.15.Preguntas básiasdel análisisde laminados. . . 31

2.16.Posiión de láminasen un laminado . . . 31

2.17.Representaiónde lasdeformaionesyesfuerzosde adaláminade unlaminado 32 2.18.Relaiónde desplazamientos . . . 33

3.1. Geometría de una viga de pared delgada . . . 42

3.2. Coordenadas de la seióntransversal . . . 43

3.3. Desplazamientos de la seióntransversal nodistorsionadade una viga . . . 44

3.4. Rotaiónde ejesglobales a loales . . . 44

3.5. Deformaionesangulares del planomedio . . . 45

3.6. Puntoasoiado fuera delplano medio . . . 48

3.7. Fuerzas y momentosapliados auna viga . . . 50

3.8. Cargas porunidad de área apliada alos planosde una viga . . . 55

5.1. Diagrama de ujo de lametodología . . . 67

5.2. Dimensiones, ondiiones y formade laseión de la vigade estudio . . . 68

6.1. Geometría (puntos, lineas y áreas). . . 84

6.2. Geometria delelemento SHELL181 . . . 85

6.3. Crear y modiarseión SHELL . . . 86

6.6. Carga uniformemente distribuidasobre el patín . . . 88

6.7. Condiiones de frontera . . . 89

6.8. Esalar áreas . . . 89

6.9. Seleión de elementos . . . 90

6.10.Número de elementos . . . 91

6.11.Tabla de deexión,arga axialy momento,modelo . . . 91

6.12.Tabla de deexión,arga axialy momento,prototipo . . . 91

6.13.Deexión delmodelo . . . 92

6.14.Deexión delprototipo . . . 92

6.15.Rotaióndel modelo . . . 93

6.16.Rotaióndel prototipo . . . 93

6.17.Esfuerzo modelo . . . 94

6.18.Esfuerzo prototipo . . . 94

6.19.Deformaión modelo . . . 95

2.1. Notaión tensorialy abreviadade esfuerzo y deformaión . . . 12

2.2. Propiedades meánias de una lámina de material ompuesto . . . 20

5.1. Propiedades meánias de las láminas . . . 68

5.2. Términos

π

de la maromeániade losmateriales ompuestos . . . 69

5.3. Términos

π

de la diagonalprinipalde la matrizde rigidezde ualquierviga 70 5.4. Términos

π

de lasargas externas que atúanen una viga . . . 71

5.5. Términos

π

de la euaión de laelástia y sus derivadas . . . 72

5.6. Términos

π

de lasdeformaiones de laviga . . . 73

5.7. Términos

π

de la deformaiónde lossegmentos de la seióntransversal . . . 74

5.8. Términos

π

de la fuerza y momentode lossegmentos de la seióntransversal 74 5.9. Términos

π

de la deformaióny esfuerzo de ada lámina . . . 74

5.10.Fatoresde esala de las propiedadeselementales de losmateriales ompuestos 75 5.11.Fatoresde esala de una lámina . . . 76

5.12.Fatoresde esala de un laminado . . . 76

5.13.Fatoresde esala geométrios . . . 76

5.14.Fatoresde esala de la rigidezde laseión transversal . . . 77

5.15.Fatoresde esala para argasen elplano (

x

−

s

) . . . 78

5.16.Fatoresde esala para argasen elplano (

s

−

n

) . . . 78

5.17.Fatoresde esala para argasen elplano (

x

−

n

) . . . 79

5.18.Fatoresde esala de la elástia . . . 79

5.19.Fatoresde esala de la deformaión en viga . . . 79

5.20.Propiedades meánias elementales en el modelo y el prototipo . . . 81

5.21.Matriz de rigidez delmodelo y el prototipo . . . 81

5.22.Esalamientogeométrio . . . 82

5.23.Fator de esala delontorno . . . 82

6.1. Coordenadas de los puntos base . . . 84

7.1. Comparaiónde lasrigideesde laseión transversal . . . 98

7.2. Comparaióndel omportamientoelástio . . . 99

7.3. Comparaiónde lasdeformaiones en el ontorno de laseión transversal . 99 7.4. Comparaiónde lafuerzas y momentos porunidad de longitud en el ontorno 100 7.5. Deformaión axialfueradel plano mediodelsegmento1 (alma) . . . 100

7.6. Deformaión axialfueradel plano mediodelsegmento2 (patín) . . . 101

7.7. Deformaión axialfueradel plano mediodelsegmento3 (alma) . . . 101

7.8. Esfuerzo axialfuera delplano mediodel segmento1 (alma) . . . 102

π

Términos adimensionales.

λ

Fator de esala.

x

,

y

,

z

Coordenadas sistema de ejes globales.

1

,

2

,

3

Coordenadas sistema de ejes prinipales.

x

,

s

,

n

Coordenadas sistema de ejes ontorno.

σ

x

,

σ

y

,

σ

z

Esfuerzo normal en el sistemade ejesglobales (

x

,

y

y

z

).

τ

xy

,

τ

xz

,

τ

yz

Esfuerzo ortante en el sistema de ejes globales(

x

,

y

y

z

).

ǫ

x

,

ǫ

y

,

ǫ

z

Deformaión normalen elsistema de ejes globales(

x

,

y

y

z

).

γ

xy

,

γ

xz

,

γ

yz

Deformaión angularen elsistema de ejes globales(

x

,

y

y

z

).

σ

1

,

σ

2

,

σ

3

Esfuerzo normal en el sistemade ejesprinipal (

1

,

2

y

3

).

τ

12

,

τ

13

,

τ

23

Esfuerzo ortante en el sistema de ejes prinipal(

1

,

2

y

3

).

ǫ

1

,

ǫ

2

,

ǫ

3

Deformaión normalen elsistema de ejes prinipal(

1

,

2

y

3

).

γ

12

,

γ

13

,

γ

23

Deformaión angularen elsistema de ejes prinipal(

1

,

2

y

3

).

σ

x

,

σ

s

,

σ

n

Esfuerzo normal en el sistemade ejesontorno (

x

,

s

y

n

).

τ

xs

,

τ

xn

,

τ

sn

Esfuerzo ortante en el sistema de ejes ontorno (

x

,

s

y

n

).

ǫ

x

,

ǫ

s

,

ǫ

n

Deformaión normalen elsistema de ejes ontorno (

x

,

s

y

n

).

γ

xs

,

γ

xn

,

γ

sn

Deformaión angularen elsistema de ejes ontorno (

x

,

s

y

n

).

C

ij

Matriz de rigidez.

S

ij

Matriz de exibilidad.

Q

ij

Matriz de rigidezestado de esfuerzo plano.

E

ij

Matriz de rigidezde laseión transversal de una viga.

Q

ij

Matriz de rigidezestado de esfuerzo plano trasformada.

E

1

,

E

2

,

E

3

Módulo de elastiidad ejes prinipales.

G

12

,

G

13

,

G

23

Módulo ortanteplano prinipal.

υ

12

,

υ

13

,

υ

23

Relaión de Poisson plano prinipal.

θ

Ángulo entre los ejes globalesy los ejesprinipales.

E

f

,

E

m

Módulo de elastiidad bra y matriz respetivamente.

V

c

,

V

f

,

V

m

Fraión volumétria ompuesto, bra y matriz respetivamente.

v

c

,

v

f

,

v

m

Volumenompuesto, bra y matriz respetivamente.

W

c

,

W

f

,

W

m

Fraión masiaompuesto, bra y matriz respetivamente.

w

c

,

w

f

,

w

m

Masa ompuesto,bra y matrizrespetivamente.

ρ

c

,

ρ

f

,

ρ

m

Densidad ompuesto, bra y matriz respetivamente.

A

c

,

A

f

,

A

m

Área ompuesto,bra y matriz respetivamente.

t

Espesor lámina.

δ

Variaión.

u

0

,

v

0

,

w

0

u

,

v

,

w

Desplazamientosen elplanomedioenelsistemadeejesprinipales de laviga.

U

,

V

,

W

Desplazamientos fuera del plano medio en el sistema de ejes prin-ipales de la viga.

α

Ángulo entre losejes globalesy los ejesprinipales de laviga.

ǫ

0

x

,

ǫ

0

y

,

ǫ

0

z

Deformaión normal en elplano medio delsegmento en el sistema de ejesprinipales.

γ

0

xy

,

γ

0

xz

,

γ

0

yz

Deformaión angularen el plano mediodelsegmento en el sistema de ejesprinipales.

κ

x

,

κ

y

,

κ

z

Curvaturanormal en elplano mediodelsegmento en elsistema de ejes prinipales.

κ

xy

,

κ

xz

,

κ

yz

Curvaturaangularen elplanomediodelsegmentoen elsistemade ejes prinipales.

N

x

,

N

y

,

N

xy

Carga por unidadde longitud.

M

x

,

M

y

,

M

xy

Momentopor unidadde longitud.

Q

x

,

Q

y

Carga por unidadde longitudtransversal.

[A

ij

]

Matriz de rigidezlaminado.

[B

ij

]

Matriz de rigidezaoplada.

[D

ij

]

Matriz de rigidezexión.

[H

ij

]

Matriz de rigidezortante.

b

,

h

,

l

Base, altura y longitudde la viga.

b

′

,

h

′

Base, altura y longitudde la viga,según el ontorno.

δK

,

δU

,

δJ

Energíaporunidaddevolumen,inétia,deformaión elástiayde trabajo externo respetivamente.

r(s)

,

q(s)

Componentes delvetor de posiión entroortantepuntosobre el ontorno.

Introduión

1.1. Presentaión

Los materiales ompuestos son por deniión un omponente formado por uno o más onstituyentes, onoidos omo matriz y refuerzo, que trabajando en onjunto forman un materialon propiedades meániasy físiassuperiores, omparadason laspropiedadesde sus onstituyentes individualmente, un ejemplo de este tipo de materiales son las olumnas de onreto (Matriz - Conreto, Refuerzo - Varillas de aero), entre otros. Para el objetivo de este trabajo se estudian los ompuestos de matriz poliméria(Matriz - Poliméros omo Resina Epoxia,Nylon, Poliéster, entre otros; Refuerzo - Fibrasde Vidrio, Kevlar, Carbón, entre otras).

El uso de los materiales ompuestos en apliaiones meánias, iviles y sobre todo ae-ronáutias ha tenido una gran popularidad, debido a su alta relaión resistenia - peso y rigidez - peso. En elementos estruturales omo: vigas de pared delgada,plaas y membra-nas ilíndrias,es donde más sea popularizado el uso de estos materiales.

Los materiales ompuestos laminados son los más empleados para estos elementos es-truturales, este tipo de material esta formado por láminas unidas entre si, ada lámina es reforzada y orientada según las neesidades delelemento estrutural.

Enlaindustriaaeronáutia serequiere deldiseño de elementos estruturaleseientes y sostiados, porlouales importantelauidadosa evaluaiónexperimental,antes deentrar a laproduión.

Debido a que el último paso del proeso de diseño antes de pasar a la produión es veriar y optimizar el diseño, se requiere la elaboraión de un gran número de elementos y omponentes, a los uales se les aplian ensayos estátios y dinámios, estos ensayos son ostosos y deben realizarse un número onsiderable de vees para que los datos obtenidos puedan ser representativos.

1. Generar valores base delmaterialy sus magnitudes para eldiseño preliminar.

2. Basado en el diseño/análisis de la estrutura, se seleionan las áreas rítias para subseuentes pruebas.

3. Determinar losmodos de fallarítios porresistenia para ada diseño.

4. Seleionar las pruebas ambientales que produirán la falla rítia del modelo, en el modorítio por resistenia.

5. Diseñar y probar,una serie de espeímenes, ada uno de ellos simulaun solomodode falla, paraada ondiión de arga, ompararon laprediión analítiay ajustar los modelos de análisis.

6. Diseñar yrealizarpruebas adavezmás ompliadasqueevalúenondiionesde arga on mayorposibilidadde fallo.Compararel proesoanalítioyajustar losmodelosde análisis omo sea neesario.

7. Diseñar omponentes y llevar a abo pruebas estátias y de fatiga a omponentes de esala natural para validar laintegridaddel omponente frente a lasargas apliadas y omparar on el análisis.

Porloual,laideade apliareste tipodeensayosamodelosde esalareduida disminui-ríaelostode lasiteraionesde diseño,mientrassellega aldiseñonaldelproduto,elual es usadopara realizarlaspruebas nales alprototipoaesala natural,yaqueestas pruebas no pueden ser sustituidas porompleto.

[image:26.612.188.397.62.296.2]

π

p

=

π

m

(1.1)

Un teorema basado en el análisis dimensional omo lo es la teorema

π

de Bukingham, proporionatérminos adimensionalesa los uales seles puede apliar laley de similitud,lo ual permite enontrar los fatores de esala. Un fator de esala es aquel que relaiona el omportamientoentre un prototipoy un modelo talomo lodesribe la euaión (1.2).

λ

q

=

q

p

q

m

(1.2)

Ya que la relaión entre lasantidades del prototipo y el modelo dependen fuertemente de losmateriales usados para ostruir elmodelo, se distinguen dos asos de similitudsegún Tomazevi Velehvsky (1992) [2℄los uales son:

Modelo on similitudompleta

Se usa un material del ual su espesor sea esalado según la esala geométria, y se mantengaelmismo diagramaesfuerzo-deformaión tantoparaelmodeloomopara el prototipo.

Modelo on similitudsimple

Se usa la misma seuenia de apilado y material elemental,por lo ual el espesor no presenta esalamiento.

Al emplear los fatores de esala para diseñar el modelo a esala reduida, se deben de obtener datos quepredigan el omportamiento delprototipo.

1.2. Justiaión

Los ensayos estruturales a prototipos de material ompuesto polimério (modelos a esala natural), realizados para ertiar y optimizarestruturas fabriadasen este tipode materialesson numerosos,ostososyompliadosderealizar.Porloqueunametodologíade análisis empleando modelos a esala reduida sería una poderosa herramientapara evaluar oneptos, optimizarlos diseños, enontrar fallas y modiar el diseño nal, de tal manera queelprototipodeertiaióntengalamásaltaprobabilidaddepasarlaspruebasexigidas, de talformaque losfabriantes de aeronaves utilitariasde baja produiónpuedan aeder a lasertiaiones.

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo general

Usando elteorema

π

de Bukingham enontrar lostérminosadimensionalesexistentes en elproeso de soluión de vigas laminadasde pared delgada.

Calularlos fatores de esala derivados del proeso de análisis de vigaslaminadasde pared delgadaon ayuda de lostérminosadimensionales

π

y laapliaiónde la leyde similitud.

Difereniar lostiposdesimilitudpresentes en eluso de materialesompuestos polimé-rios.

Comprobarla similitudentre elprototipoy elmodelo.Apliandoun análisis analítio y numério para resolvervigas laminadasde pared delgadaal modelo y prototipo.

1.4. Planteamiento del problema

El esalamiento de un prototipoimplia el uso de la ley de similitud y la apliaióndel teorema

π

, por lo ual es neesario desarrollar el proeso de análisis de una viga laminada de pared delgada de seión abierta de material ompuesto. A las formulas derivadas de este proeso se les aplia el teorema

π

y se inorporara la ley similitud. De este modo se lograrían determinar los fatores de esala, los uales se emplean para fabriar modelos a esala reduida y obtener elomportamientoaraterístiodel prototipo.

1.5. Alanes de la tesis

Estetrabajo de tesis selimitaalaobtenión de losfatoresde esalarelaionadoson el análisis de vigas laminadas de pared delgadade seión abierta, mediante la apliaióndel teorema

π

y lasleyes de similitud.

Debidoalagranvariedadde formasexistentesparalaseióntransversal deuna viga,se limitaelestudio auna formaen partiular, laual permitemostrarel proesode obtenión de losfatores de esala. La seiónusada para el estudioes una seión tipoanal.

Considerando omo materialallaminadousadopara fabriarlasparedes de laviga, este se onsidera igual para el prototipo y el modelo. Lo que implia que elmaterial elemental, el número de apas y suonguraión de apilado será el mismopara el prototipoy para el modelo.

1.6. Estrutura de la tesis

la soluionar problemas de vigas laminadas de pared delgada, on el ual se obtienen las euaiones que gobiernan el omportamiento de las mismas. En el apítulo 4 se desriben la apliaión del teorema

π

y las ondiiones de similitud entre prototipos y modelos. El apítulo 5desribe lametodología quese siguió para al obtenión de losfatores de esala, aumulándolosen tablas. En elapítulo 6 se muestra elproeso de modeladoy análisis del problema planteadopormedio desimulaiónnuméria.Elapítulo7muestra losresultados obtenidos apartirde lametodologíaplanteada asíomo laomparaiónentre losresultados delanálisis teórioy los delanálisis numério.Finalmenteseexponen las onlusionesy los trabajos a futuro relaionadoson laapliaiónde lametodologíadesrita en este trabajo.

1.7. Estado del arte

Enlaatualidadeldiseñoy produiónde aeronavesa adoptadoeluso de losmateriales ompuestos, ya que el uso de este tipo de materiales permite la fabriaión de aeronaves más livianas,aunadoa queelpeso esun fator importantepara eldesarrollode laindustria aeronáutia.

Con el uso de este tipo de materiales se busa reduir el peso sin omprometer la resis-tenia estrutural de la aeronave. Lo ual da omo resultado menor longitud de pista para despegue o aterrizaje, menor onsumo de ombustibley mayor autonomíade vuelo.

Independientementedelmaterialusadoparalaproduiónde lasaeronaveslaestrutura de ellas debe diseñarse parasoportar iertos fatores de arga máximos de vuelo.

Para que unaaeronave puedaoperarse y ser omerializadadeben de pasarporuna er-tiaión la ual demanda sostiados y preisos análisis, numerosas y uidadosas pruebas experimentalesparasusomponentes yprototipo.Estaspruebassonostosasyompliadas, porloualsehavueltoimportanteelestudiodelesalamientodelomportamientomeánio de loselementos estruturales de materiales ompuestos, on la nalidadde que un modelo a esala reduida araterie elomportamientode un modelo aesala natural.

Una sistema a esala reduida (modelo) que representa el omportamiento estrutural de un sistema a esala natural (prototipo) esta basado en la existenia de parámetros que ontrolan elomportamientoestrutural tantopara argas estátiasy/o dinámias, si estos parámetros existen se die que son estruturalmente similares. Esta similitud es desrita omo similitud estrutural [2℄.

aquellaen laualelnúmerode apasesdiferenteparaelprototipoyparaelmodelo,perose mantiene eluso del mismomaterial.Este trabajo demuestra queun modeloon un número de apas distinto al del prototipo puede predeir el omportamiento del prototipo, ya que mientras más se aproxime el número de apas del modelo al del prototipo se aumenta la apaidad de prediión.

En2001GeorgeJ Simitses[5℄, ontinúaon elestudiode lasimilitudestrutural enesta oasión apliada a una superie laminada gruesa, la ual se sometió a argas de exión y pandeo, obteniendo omo resultado quelasimilitudse satisfaeusado lasmismas propieda-des del materialpara el prototipoomo para el modelo.

Paraelaño2003VariddhiUngbhakorn yPairodSinghatanadgid[6℄,usaronla trasforma-ión de similitudy las leyes de esala para estudiarel omportamiento de plaas laminadas de arreglo ruzado (ross-ply) y ruzado orientado (angle-ply) antisimétrios bajo pandeo porargabiaxial,enontrandoquelosmodeloson distorsiónde apilamientomuestrabuena aproximaión mientras sea igual o mayor a 8 láminas. El mismo año Variddhi Ungbhakorn y Pairod Singhatanadgid [7℄, aplian el mismo estudio a un asarón laminado ilíndrio, tomandoen uenta de igualformauna onguraiónantisimétriade arregloruzado orien-tado (angle-ply),bajo pandeo y vibraión, onluyeron que los fatores de esala derivados de laseuaiones quegobiernan elmovimientoy laapliaiónde lasondiionesde frontera pueden serreproduidasenelmodelo,yquelasoluióndelmodelopuedeservalida.En2007 Variddhi Ungbhakorn and Nuttawit Wattanasakulpong [8℄, demuestran la exata similitud teória entre el modelo y el prototipo tratándose en esta oasión de un asarón ilíndrio laminadobajo pandeo yvibraión usandoonguraiónde apilamientoruzado (ross-ply). Sibien estos trabajosdemuestranqueesposibleemplearmodelos aesalareduida para representarelomportamientodelosmodelosaesalanatural,estánbasadosenelanálisisde laminadosde seiónretangularolaminadosilíndrios.Es porelloque existe laneesidad de enontrar este mismoomportamientopara otrotipode elementoestrutural, omoloes laviga laminadade pareddelgadade seióntransversal abierta.Debido aluso de este tipo de elementose neesitó onoer los trabajos realizado alresolver este tipode vigas.

Materiales ompuestos polimérios

2.1. ¾Qué es?

Un material ompuesto es aquelformado por la unión de dos o más omponentes inso-lubles entre ellos, que da omo resultado un material on mejores propiedades meánias, omparadoonualquierade susomponentes aislados.Algunasdelaspropiedadesque pue-den ser mejoradas son la resistenia, rigidez,resistenia a la orrosión, peso, vida en fatiga, entre otras,naturalmenteno todas lospropiedades se mejoranal mismo tiempo.

2.2. ¾Cómo se lasia?

Unaprimeralasiaiónquesepuedehaeronlosmaterialesompuestoseslareferida a su matriz,de las ual existen tres grupos:

Matriz metália Matriz erámia Matriz poliméria

Unasegunda lasiaiónde los materialesompuestos eslareferida asu refuerzo,de la ual existen también tres grupos:

Reforzado on partíulas Reforzado on hojuelas Reforzado on bras

•

Cortas(disontinuas)

•

Largas (ontinúas)

Losmaterialesompuestos pueden ser lasiadosestruturalmentede losuales existen dos grupos:

de espesor onsiderabley de baja densidad.

2.3. Apliaión de los materiales ompuestos

Los materiales ompuestos de matriz polimériason apliados en la industria aeronáu-tia, aeroespaial, deportiva, dispositivos médios, marina y automotriz, este material ha pasado aremplazar metales y otros materiales en muhas apliaiones de estas industrias.

Industria Aeronáutia: la aviaión militar a usado ampliamentelos ompuestos polimé-rios y graias a ello se a podido disminuir el peso estrutural de estos aviones en más de un 20%. Enlaaviaión omerialeluso de estos materialeshasido onservativoporlo on-erniente ala seguridad, pese a esto eluso de estos materiales a dadolugar a la fabriaión del A350 un avión trasatlántio en donde se han apliado en gran porentaje este tipo de materiales.

Dentro de las otras industrias menionadas podemos listar los palos de golf hehos on resinaepoxiareforzadaonbrasdearbón,biiletasusandoonstruiónhíbridaderesina epoxia reforzada on bra de vidrio enrolladas en tubos de aluminio, Prótesis artiiales hehas de resina epoxia reforzadason bras de vidrióo arbón, muellesde resina epoxia reforzada on bras de vidrió,entre muhas otras apliaiones.

2.4. Comportamiento meánio de los materiales

om-puestos

Losmateriales ompuestostienenaraterístiasdeomportamientomeánio diferentes alasde losmaterialesde ingenieríaonvenionales.Lamayoríade losmateriales de ingenie-ríason homogéneoseisotrópios, mientras quelosmaterialesompuestos soninhomogeneos y ortotrópiosoanisotrópios.Debido alainherenteinhomogeneidadde losmateriales om-puestos estos se estudian desde dos puntosde vista:

Miromeánia

←→

Es elestudiodelomportamientode losmateriales ompuestos donde los materiales que onstituyen el ompuesto son examinados a detalle omo parte deladeniión delomportamientode lahomogeneidaddelmaterialompuesto por ejemplo bra-matriz.

Maromeánia

←→

Eselestudiodelomportamientode losmaterialesompuestos dondeelmaterialseasume homogeneoylosefetosde losmaterialesonstituyentes se detetan omo propiedades promedio aparentes de losmateriales ompuestos.

2.4.1. Comportamiento maromeánio de una lámina

de bras unidireionaleso tejidas soportadas dentro de una matriz.

Figura2.1: Prinipales preguntasde lamaromeánia

Una lámina es el bloque base de la onstruión de materiales ompuestos laminados reforzados on bras, por lo ual el onoimiento del omportamiento de una lámina es esenial para omprenderlos laminadosestruturales.

2.4.1.1. Relaión esfuerzo-deformaión

Laleyde Hookerelaionaelesfuerzo y ladeformaión quepuede ser esritaen notaión abreviada omo semuestra en la euaión (2.1).

σ

i

=

C

ij

ǫ

j

i, j

= 1, ...,

6

(2.1)

Donde

σ

i

son lasomponentes de esfuerzo mostradas en elsiguienteubotridimensional de oordenadas

x

,

y

y

z

, ver gura (2.2),

C

ij

es lamatriz de rigidez y

ǫ

j

son las omponen-tes de deformaión. En la tabla (2.1) se muestra la notaión tensorial y abreviada para el esfuerzo y ladeformaión, graiasa estanotaión sepueden denir lasdeformaionesde un uerpotridimensional omose muestra en las euaiones (2.2) y (2.3).

Esfuerzos Deformaiones Notaión Notaión Notaión Notaión

tensorial abreviada abreviada abreviada

σ

11

σ

1

ǫ

11

ǫ

1

σ

22

σ

2

ǫ

22

ǫ

2

σ

33

σ

3

ǫ

33

ǫ

3

τ

23

=

σ

23

σ

4

γ

23

= 2

ǫ

23

ǫ

4

τ

31

=

σ

31

σ

5

γ

31

= 2

ǫ

31

ǫ

5

τ

12

=

σ

12

σ

6

γ

12

= 2

ǫ

12

ǫ

6

ǫ

1

=

∂u

∂x

ǫ

2

=

∂v

∂y

ǫ

3

=

∂w

∂z

(2.2)

γ

23

=

∂v

∂z

+

∂w

∂y

γ

31

=

∂w

∂x

+

∂u

∂z

γ

12

=

∂u

∂y

+

∂v

∂x

(2.3)

Donde

u

,

v

y

w

son losdesplazamientos en direión

x

,

y

y

z

o

1

,

2

y

3

respetivamente según la notaiónabreviadamostrada en latabla (2.1).

La Ley de Hooke puede ser esrita en forma matriial omo se muestra en la eua-ión (2.4).























σ

1

σ

2

σ

3

τ

23

τ

31

τ

12























=













C

11

C

12

C

13

C

14

C

15

C

16

C

21

C

22

C

23

C

24

C

25

C

26

C

31

C

32

C

33

C

34

C

35

C

36

C

41

C

42

C

43

C

44

C

45

C

46

C

51

C

52

C

53

C

54

C

55

C

56

C

61

C

62

C

63

C

64

C

65

C

66



































ǫ

1

ǫ

2

ǫ

3

γ

23

γ

31

γ

12























(2.4)

Larelaióndeformaión-esfuerzopuedeseresritaennotaiónabreviadaomosemuestra en laeuaión (2.5).

ǫ

i

=

S

ij

σ

j

i, j

= 1, ...,

6

(2.5)

Donde

S

ij

se le onoe omo la matriz de exibilidad y es la inversa de la matriz de rigidez,

[S] = [C]

−

1

, larelaión deformaión-esfuerzopuede ser esritamatriialmenteomo lo muestra laeuaión (2.6).























ǫ

1

ǫ

2

ǫ

3

γ

23

γ

31

γ

12























=













S

11

S

12

S

13

S

14

S

15

S

16

S

21

S

22

S

23

S

24

S

25

S

26

S

31

S

32

S

33

S

34

S

35

S

36

S

41

S

42

S

43

S

44

S

45

S

46

S

51

S

52

S

53

S

54

S

55

S

56

S

61

S

62

S

63

S

64

S

65

S

66



































σ

1

σ

2

σ

3

τ

23

τ

31

τ

12























(2.6)

[image:36.612.176.421.392.465.2]

[

C

] =

















C

11

C

12

C

13

C

14

C

15

C

16

C

22

C

23

C

24

C

25

C

26

C

33

C

34

C

35

C

36

S

C

44

C

45

C

46

I

C

55

C

56

M

C

66

















[

S

] =

















S

11

S

12

S

13

S

14

S

15

S

16

S

22

S

23

S

24

S

25

S

26

S

33

S

34

S

35

S

36

S

S

44

S

45

S

46

I

S

55

S

56

M

S

66

















(2.7)

Las euaiones (2.7), araterizan un material anisotrópio, (anisotrópio signia que no esisotrópio) porque notiene planosde simetríapara laspropiedadesdelmaterial,también se lepuede nombrar omo materialtrilínio.

El signiado físio de la relaión deformaión-esfuerzo de un material anisotrópio es mostrado en lagura (2.3).

Figura 2.3: Signiadofísio de la relaiónesfuerzo-deformaión anisotrópia

Además de losmateriales anisotrópiosexisten otros materiales queseaproximanmas a un materialisotrópio, losuales menionaremos a ontinuaión.

Si un material posee un solo plano de simetría el ual es

z

= 0

o el plano

1

−

2

, sus matries de rigidez y exibilidadpueden ser desritas por las euaiones (2.8). A este tipo de materialsele hadenominado monolínio y tiene 13 onstantes independientes.

[

C

] =

















C

11

C

12

C

13

0

0

C

16

C

22

C

23

0

0

C

26

C

33

0

0

C

36

S

C

44

C

45

0

I

C

55

0

M

C

66

















[

S

] =

















S

11

S

12

S

13

0

0

S

16

S

22

S

23

0

0

S

26

S

33

0

0

S

36

S

S

44

S

45

0

I

S

55

0

M

S

66

















(2.8)

Si un material posee dos planos ortogonales de simetría,los uales existirán en relaión a un terer plano mutuamente ortogonal, sus matries de rigidez y exibilidad pueden ser desritas por las euaiones (2.9). A este tipo de material se le denominado ortotrópio y tiene 9 onstantes independientes.

[

C

] =

















C

11

C

12

C

13

0

0

0

C

22

C

23

0

0

0

C

33

0

0

0

S

C

44

0

0

I

C

55

0

M

C

66

















[

S

] =

















S

11

S

12

S

13

0

0

0

S

22

S

23

0

0

0

S

33

0

0

0

S

S

44

0

0

I

S

55

0

M

S

66

[image:37.612.223.419.260.381.2]

Isotrópio, esto quiere deir que en ualquier punto del material hay un plano donde las propiedades meánias son iguales en todas las direiones,este tipode materialposee solo 5 onstantes independientes ysus matriesde rigidezy exibilidadpueden ser desritas por las euaiones (2.10).

[

C

] =

















C

11

C

12

C

13

0

0

0

C

11

C

13

0

0

0

C

33

0

0

0

S

C

44

0

0

I

C

44

0

M

C

11

−

C

12

2

















[

S

] =

















S

11

S

12

S

13

0

0

0

S

11

S

13

0

0

0

S

33

0

0

0

S

S

44

0

0

I

S

44

0

M

2(

S

11

−

S

12

)

















(2.10) Finalmente el material que posee un número innito de planos de simetría, se le deno-mina materialisotrópio, sus matries de rigidez y exibilidad pueden ser desritas por las euaiones (2.11) y solouentaon 2 onstantes independientes.

[

C

] =

















C

11

C

12

C

12

0

0

0

C

11

C

12

0

0

0

C

11

0

0

0

S

C

11

−

C

12

2

0

0

I

C

11

−

C

12

2

0

M

C

11

−

C

12

2

















[

S

] =

















S

11

S

12

S

12

0

0

0

S

11

S

12

0

0

0

S

11

0

0

0

S

2(

S

11

−

S

12

)

0

0

I

2(

S

11

−

S

12

)

0

M

2(

S

11

−

S

12

)

















(2.11)

2.4.1.2. Constantes de ingeniería de un material ortotrópio

Las onstantes de ingeniería son generalmente los módulos de Young

E

i

, las relaiones de Poisson

υ

ij

y losmódulosortantes

G

ij

.Estas onstantes se obtienen en ensayos simples talesomoeldetensiónuniaxialolapruebade ortantepuro,abemenionarqueexisteuna forma matemátia para obtener estos valores de una forma aproximada omo se observará en laseión (2.4.2).

Debido aque lasomponentes de lamatriz de exibilidad

S

ij

son determinadas direta-menteonmayorfailidadquelasomponentes de lamatrizrigidez

C

ij

,estasera laprimera a formar talomo se muestra en la euaión (2.12).

[S] =















1

E

1

−

υ

21

E

2

−

υ

31

E

3

0

0

0

−

υ

12

E

1

1

E

2

−

υ

32

E

3

0

0

0

−

υ

13

E

1

−

υ

23

E

2

1

E

3

0

0

0

0

0

0

_G

1

₂₃

0

0

0

0

0

0

1

G

31

0

0

0

0

0

0

_G

1

₁₂

Losmateriales ortotrópios deben satisfaer tres relaiones reiproas, de talforma que la relaiones

υ

12

,

υ

23

y

υ

13

pueden ser desritas por las relaiones de Poisson

υ

21

,

υ

32

y

υ

31

y los módulos de Young,mediantela euaión (2.13).

υ

ij

E

i

=

υ

ji

E

j

i, j

= 1,

2,

3

i

6

=

j

(2.13)

Ya que la matriz de rigidez es la inversa de la matriz de exibilidad,

[C] = [S]

−

1

, esta también puede ser desrita en término de las onstantes de ingeniería omo lo muestra la euaión (2.14).

[C] =













1

−

υ

23

υ

32

E

2

E

3

∆

υ

21

+

υ

23

υ

31

E

2

E

3

∆

υ

31

+

υ

21

υ

32

E

2

E

3

∆

0

0

0

υ

21

+

υ

23

υ

31

E

2

E

3

∆

1

−

υ

13

υ

31

E

1

E

3

∆

υ

32

+

υ

12

υ

31

E

1

E

3

∆

0

0

0

υ

31

+

υ

21

υ

32

E

2

E

3

∆

υ

32

+

υ

12

υ

31

E

1

E

3

∆

1

−

υ

12

υ

21

E

1

E

2

∆

0

0

0

0

0

0

G

23

0

0

0

0

0

0

G

31

0

0

0

0

0

0

G

12













(2.14)

donde

∆ =

1

−

υ

12

υ

21

−

υ

23

υ

32

−

υ

13

υ

31

−

2υ

21

υ

32

υ

13

E

1

E

2

E

3

(2.15)

2.4.1.3. Relaión esfuerzo-deformaión para un estado de esfuerzo plano de un material ortotrópio

En un estado de esfuerzo plano se deben de onsiderar las ondiiones mostradas en la gura (2.4), de la ual sededue que

σ

3

= 0

τ

23

= 0

τ

31

= 0

y σ

1

6

= 0

σ

2

6

= 0

τ

12

6

= 0

(2.16) lo ual impliaque ladeformaiones sean

ǫ

3

=

S

13

σ

1

+

S

23

σ

2

γ

23

= 0

γ

31

= 0

y

ǫ

1

6

= 0

ǫ

2

6

= 0

γ

12

6

= 0

(2.17)

Al onsiderar un estadode esfuerzo plano,las matriesde rigidezy exibilidad pueden ser desritas omo lomuestran laseuaiones (2.18) y (2.19).

(

ǫ

1

ǫ

2

γ

12

)

=

"

1

E

1

−

υ

21

E

2

0

−

υ

12

E

1

1

E

2

0

0

0

_G

1

₁₂

# (

σ

1

σ

2

τ

12

)

=

"

S

11

S

12

0

S

12

S

22

0

0

0

S

66

# (

σ

1

σ

2

τ

12

)

(2.18)

(

σ

1

σ

2

τ

12

)

=

"

E

1

1

−

υ

12

υ

21

υ

21

E

1

1

−

υ

12

υ

21

0

υ

12

E

2

1

−

υ

12

υ

21

E

2

1

−

υ

12

υ

21

0

0

0

G

12

# (

ǫ

1

ǫ

2

γ

12

)

=

"

Q

11

Q

12

0

Q

12

Q

22

0

0

0

Q

66

# (

ǫ

1

ǫ

2

γ

12

)

(2.19)

Considerando el ubo de la gura (2.5), el ual representa la porión de una lámina unidireional, se observa que

E

3

=

E

2

, porque ambas rigideesson medidas através de las brasde lamismamanera,tambiénseobservaque

υ

31

=

υ

21

(υ

13

=

υ

12

)

,debidoalamisma razón que losmódulos, por último,independientemente delesfuerzo ortante apliado

τ

13

o

τ

12

el resultado de la deformaión esel mismo,debido aque, por simetríalasbras tiene la mismaorientaiónon respeto alaapliaióndelesfuerzoortante, porloual,

G

13

=

G

12

, inluso si la orientaión de las bras en el plano

2

−

3

del ubo en la gura (2.5) fuese aleatorio,se apliarala mismaonsideraión.

2.4.1.4. Relaiónesfuerzo-deformaiónparauna láminaonorientaiónvariada Generalmente, un laminadono onsistesolo de láminasunidireionales alineadastodas en una sola direión debido a su baja resistenia y rigidez en direión transversal, por lo ual es neesario desarrollar la relaión esfuerzo-deformaión para láminas on orientaión variada.

Elsistema de oordenadas oupado para este n esmostrado en lagura (2.6). Losejes del sistema oordenado

1

−

2

son llamados ejes loales o ejes del material, donde el eje 1 es paraleloa la direión de las bras y el eje 2es perpendiular a ellas, onoidos también omoeje longitudinalyejetransversal respetivamente. Losejesdelsistemade oordenadas

x

−

y

son llamadosejesglobales y el ángulo

θ

esaquel formadoentre eleje x y el eje 1.

[image:40.612.116.475.519.721.2]

Figura 2.6: Rotaiónde ejes

Las matries que transforman los esfuerzos y deformaiones del los ejes loales

1

−

2

a los ejesglobales

x

−

y

están dada porlas euaiones (2.20).

{σ

xy

}

= [

T

]

{σ

12

}







σ

x

σ

y

τ

xy







=





cos

2

_θ

_sin

2

_θ

₋

_{2 sin}

_θ

_cos

_θ

sin

2

θ

cos

2

_θ

_{2 sin}

_θ

_cos

_θ

sin

θ

cos

θ

−

sin

θ

cos

θ

cos

2

_θ

₋

_sin

2

_θ











σ

1

σ

2

τ

12







{ǫ

xy

}

= [

R

]

T

{ǫ

12

}







ǫ

x

ǫ

y

γ

xy







=





cos

2

_θ

_sin

2

_θ

₋

_sin

_θ

_cos

_θ

sin

2

θ

cos

2

_θ

_sin

_θ

_cos

_θ

2 sin

θ

cos

θ

−

2 sin

θ

cos

θ

cos

2

_θ

₋

_sin

2

_θ











ǫ

1

ǫ

2

γ

12







(2.20)

De igual forma es posible trasformar de los ejes globales

x

−

y

a los ejes loales

1

−

2

mediantelaseuaiones (2.21).

{σ

12

}

= [

R

]

{σ

xy

}







σ

1

σ

2

τ

12







=





cos

2

_θ

_sin

2

θ

2 sin

θ

cos

θ

sin

2

θ

cos

2

_θ

₋

_{2 sin}

_θ

_cos

_θ

−

sin

θ

cos

θ

sin

θ

cos

θ

cos

2

_θ

₋

_sin

2

θ











σ

x

σ

y

τ

xy







{ǫ

12

}

= [

T

]

T

{ǫ

xy

}







ǫ

1

ǫ

2

γ

12







=





cos

2

_θ

_sin

2

θ

sin

θ

cos

θ

sin

2

θ

cos

2

_θ

₋

_sin

_θ

_cos

_θ

−

2 sin

θ

cos

θ

2 sin

θ

cos

θ

cos

2

_θ

₋

_sin

2

θ











ǫ

x

ǫ

y

γ

xy







(2.21)

{

σ

12

}

= [Q

12

]

{

ǫ

12

}

{

σ

12

}

= [Q

12

][T

]

T

{

ǫ

xy

}

[R]

{

σ

xy

}

= [Q

12

][T

]

T

{

ǫ

xy

}

{

σ

xy

}

= [R]

−

1

[Q

12

][T

]

T

{

ǫ

xy

}

{

σ

xy

}

= [T

][Q

12

][T

]

T

{

ǫ

xy

}

[Q

xy

] = [T

][Q

12

][T

]

T







σ

x

σ

y

τ

xy







=





Q

₁₁

Q

₁₂

Q

₁₆

Q

21

Q

22

Q

26

Q

₆₁

Q

₆₂

Q

₆₆











ǫ

x

ǫ

y

γ

xy







(2.22)

Lamatriz de Flexibilidad Orientada se obtieneomo se muestra en laeuaión (2.23).

{

ǫ

12

}

= [S

12

]

{

σ

12

}

{

ǫ

12

}

= [S

12

][R]

{

σ

xy

}

[T

]

T

_{

_ǫ

xy

}

= [S

12

][R]

{

σ

xy

}

{

ǫ

xy

}

= [T

]

T

−

1

[S

12

][R]

{

σ

xy

}

{

ǫ

xy

}

= [R]

T

[S

12

][R]

{

σ

xy

}

[S

xy

] = [R]

T

[S

12

][R]







ǫ

x

ǫ

y

γ

xy







=





S

11

S

12

S

16

S

21

S

22

S

26

S

61

S

62

S

66











σ

x

σ

y

τ

xy







(2.23)

2.4.1.5. Teorías de falla de una lámina

El diseño exitoso de una estrutura requiere el uso eiente y seguro de los materiales. Paraunlaminado,suresisteniaestárelaionadaonlaresisteniadeadaunadelasláminas que lo forman de manera individual. Varias teorías han sido desarrolladas para estudiar la falla de una láminaon orientaión arbitraria, estas teorías son generalmentebasadas en la resistenia normal y ortante de una lámina unidireional.

Teoríadefalla delesfuerzomáximo. Estateoríarelaionalateoríadelesfuerzonormal máximo de Rankine y la teoría de esfuerzo ortante máximo de Tresa, los esfuerzos que atúanen unaláminadeben de ser resueltos en los ejesloales

1

−

2

.Lafalla sepresentaen una láminasi ualquiera de los esfuerzos normaleso ortantes en los ejes loales, es igual o exede lasorrespondientes resistenias de laláminaunidireional,porlotantolaláminase onsidera que no fallasi seumplen las ondiiones dadasen lasdesigualdades (2.24).

−

(σ

C

1

)

ult

< σ

1

<

(σ

1

T

)

ult

−

(σ

C

2

)

ult

< σ

2

<

(σ

2

T

)

ult

−

(τ

12

)

ult

< τ

12

<

(τ

12

)

ult

(2.24)